高三数学第一次检测
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、设A={3123|≤-≤-x x }，集合B 为函数)1lg(-=x y 的定义域，则A ?B=（ ） A.（1，2） B.[1，2] C.[ 1，2） D.（1，2 ]
2、已知对任意实数x ，有()()f x f x -=-，()()g x g x -=，且0x >时，()0f x '>，()0g x '>，则 0x <时 （ ）
A. ()0f x '>，()0g x '>
B. ()0f x '>，()0g x '<
C.()0f x '<，()0g x '>
D. ()0f x '<，()0g x '< 3、下列命题中是真命题的为( )
A ．?x ∈R ，x 2
＝y 2 D ．?x ∈R ，?y ∈R ，x>y 2 4、设曲线1 1x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2 B ．12 C ．12 - D ．2- 5、已知p ：x －1x ≤0，q ：4x ＋2x －m≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．m>2＋ 2 B ．m≤2＋ 2 C ．m ≥2 D ．m ≥6 6、设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ ） A ．3a >- B ．3a <- C ．1 3a >- D ．1 3a <- 7、已知条件p:x ≤1，条件q: 1 x ＜1，则p 是?q 成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件 8、若关于x 的方程245x x m -+=有四个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ． ()2,3 B ． []2,3 C ． ()1,5 D ． []1,5 9、若函数y ＝a x ＋b －1(a>0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有( ) A ．0 B ．a>1，且b>0 C ．0 D ．a>1，且b<0 10、函数f(x)的定义域为R ，f(－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x)>2，则f(x)>2x ＋4的解集为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，＋∞) 11、若函数f(x)＝x 3 －12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( ) A ．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3 B ．－3 C ．－2 D ．不存在这样的实数 12、函数f(x)对任意x ∈R ，满足f(x)＝f(4－x)．如果方程f(x)＝0恰有2011个实根，则所有这些实根之和为( ) A ．0 B ．2011 C ．4022 D ．8044 二、填空题（每小题4分） 13、若幂函数f(x)的图象经过点A ? ?? ??14，12，则它在A 点处的切线方程为________． 14、设f(x)是定义在R 上的奇函数，且y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1 2 对称，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4) ＋f(5)＝________. 15、若函数f(x)＝x 2 ＋2x ＋alnx 在(0,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是________． 16、关于函数)0(| |1 lg )(2≠+=x x x x f ，有下列命题： ①其图象关于y 轴对称； ②当x >0时，f (x )是增函数；当x <0时，f (x )是减函数； ③f (x )的最小值是lg 2； ④f (x )在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数； ⑤f (x )无最大值，也无最小值． 其中所有正确结论的序号是 ． 17、已知函数f(x)＝1－ 4 2a x ＋a (a>0且a≠1)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数． (1)求a 的值； (2)求函数f(x)的值域； (3)当x ∈(0,1]时，tf(x)≥2x －2恒成立，求实数t 的取值范围 18、已知集合A ＝{x ∈R|ax 2 －3x ＋2＝0，a ∈R}．(1)若A 是空集，求a 的取值范围； (2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；(3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围． 19、（本小题满分12分）已函数()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,在[0,1]上 ()()2ln 11x f x x =++- （1）求函数()f x 的解析式;并判断()f x 在[]1,1-上的单调性(不要求证明) （2）解不等式2(21)(1)0f x f x -+-≥． 20、已知命题p ：在x ∈[1,2]时，不等式x 2 ＋ax －2>0恒成立；命题q ：函数f(x)＝13 log ( ) 2 23x ax a -+是区间[1，＋∞)上的减函数．若命题“p ∨q”是真命题，求实数a 的取值范围． 21．已知函数f (x )＝1 2 x 2＋a ln x . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值； (3)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图像在函数g (x )＝2 3x 3的图像的下方． 22、已知f(x)＝ax －lnx ，x ∈(0，e]，a ∈R. (1)若a ＝1，求f(x)的极小值； (2)是否存在实数a ，使f(x)的最小值为3. 附加题：1、已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x － 1－f (0)x ＋12 x 2. (1)求f (x )的解析式及单调区间； (2)若f (x )≥1 2x 2＋ax ＋b ，求(a ＋1)b 的最大值 高三数学第一次检测 DBCDD BBCCB BC 13、4x －4y ＋1＝0 14、0 15、a≤－4 16、①③④ 17、[解析] (1)∵f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，即f(－x)＝－f(x)恒成立，∴f(0)＝0. 即1－ 4 2×a 0 ＋a ＝0， 解得a ＝2. (2)∵y ＝2x －12x ＋1，∴2x ＝1＋y 1－y ，由2x >0知1＋y 1－y >0， ∴－1 －2即为t·2x －t 2x ＋1 ≥2x －2. 即：(2x )2 －(t ＋1)·2x ＋t －2≤0.设2x ＝u ， ∵x ∈(0,1]，∴u ∈(1,2]． ∵u ∈(1,2]时u 2 －(t ＋1)·u ＋t －2≤0恒成立． ∴??? 12 －t ＋1×1＋t －2≤022 －t ＋1×2＋t －2≤0 ，解得t≥0. 18、[解析] 集合A 是方程ax 2 －3x ＋2＝0在实数范围内的解组成的集合． (1)A 是空集，即方程ax 2 －3x ＋2＝0无解，得?? ? a≠0， Δ＝－32 －8a<0， ∴a>98 ， 即实数a 的取值范围是(9 8 ，＋∞)． (2)当a ＝0时，方程只有一解，方程的解为x ＝2 3； 当a≠0时，应有Δ＝0， ∴a ＝98，此时方程有两个相等的实数根，A 中只有一个元素43， ∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23和43 . (3)A 中至多有一个元素，包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况，根据(1)，(2)的结果，得a ＝0或a≥9 8， 即a 的取值范围是{a|a ＝0或a≥9 8 }． 19、解：（1） 设10x -≤≤，则01x ≤-≤ 1 ()2ln(1)1ln(1)12x x f x x x -∴-=+--=+-- 又()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=- ， ()()f x f x =--=1 ln(1)12 x x ---+ ……3分 …………………………………………………4分 ()f x 是[-1，1]上增函数 ……………………………………………….6分 （2）()f x 是[-1，1]上增函数，由已知得:2 (21)(1)f x f x -≥- …………….7分 等价于2202211 121101111x x x x x x x ≤≤??-≥-?? -≤-≤?≤≤????≤≤-≤-≤?? ………………………………………………...10分 01x ∴≤≤∴不等式的解集为 ]0,1 ……………………………………………… 20、[解析] ∵x ∈[1,2]时，不等式x 2 ＋ax －2>0恒成立 ∴a>2－x 2 x ＝2 x －x 在x ∈[1,2]上恒成立 令g(x)＝2 x －x ，则g(x)在[1,2]上是减函数，∴g(x)max ＝g(1)＝1， ∴a>1.即若命题p 真，则a>1. 又∵函数f(x)＝log 13 (x 2 －2ax ＋3a)是区间[1，＋∞)上的减函数， ∴u(x)＝x 2 －2ax ＋3a 是[1，＋∞)上的增函数，且u(x)＝x 2 －2ax ＋3a>0在[1，＋∞)上恒成立， ∴a≤1，u(1)>0，∴－1 即若命题q 真，则－1 x ，[1分] 令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去)，[2分] 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0， 因此函数f (x )在(0,1)上是减少的，[3分] 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此函数f (x )在(1，＋∞)上是增加的，[4分] 所以f (x )在x ＝1处取得极小值为1 2 .[5分] ()1 ln(1)1(10) 2()2ln 11(01) x x x x f x x x ?---+-≤ (2)解 当a ＝1时，易知函数f (x )在[1，e]上是增加的，[6分] ∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (e)＝1 2e 2＋1.[7分] (3)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －2 3 x 3， 则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝(1－x )(1＋x ＋2x 2 )x ，[9分] 当x >1时，F ′(x )<0， 故f (x )在区间[1，＋∞)上是减少的，又F (1)＝－1 6<0， ∴在区间[1，＋∞)上，F (x )<0恒成立． 即f (x ) 因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图像在函数g (x )图像的下方． 22、[解析] (1)∵f(x)＝x －lnx ，f ′(x)＝1－1x ＝x －1 x ， ∴当0 当1 (2)假设存在实数a ，使f(x)＝ax －lnx ，x ∈[0，e]有最小值3，f ′(x)＝a －1x ＝ax －1 x ， ①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递增，f(x)min ＝f(e)＝ae －1＝3，a ＝4 e (舍去)，所以，此时f(x) 最小值不为3； ②当0<1a ， 满足条件； ③当1a ≥e 时，f(x)在(0，e]上单调递减，f(x)min ＝f(e)＝ae －1＝3，a ＝4 e (舍去)，所以，此时f(x) 最小值不为3. 综上，存在实数a ＝e 2 ，使得当x ∈(0，e]时，f(x)有最小值为3. 附加题：解：(1)∵f (x )＝f ′(1)e x － 1－f (0)x ＋12x 2， ∴f ′(x )＝f ′(1)e x － 1－f (0)＋x ， 令x ＝1得：f (0)＝1， ∴f (x )＝f ′(1)e x － 1－x ＋12x 2， ∴f (0)＝f ′(1)e － 1＝1， ∴f ′(1)＝e 得：f (x )＝e x －x ＋1 2x 2. ∵g (x )＝f ′(x )＝e x －1＋x ， g ′(x )＝e x ＋1>0， ∴y ＝g (x )在x ∈R 上单调递增． 令f ′(x )>0＝f ′(0)，得x >0，令f ′(x )<0＝f ′(0)得x <0， ∴f (x )的解析式为f (x )＝e x －x ＋1 2x 2且单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)． (2)由f (x )≥1 2x 2＋ax ＋b 得 e x －(a ＋1)x －b ≥0， 令h (x )＝e x －(a ＋1)x －b ，则h ′(x )＝e x －(a ＋1)． ①当a ＋1≤0时，h ′(x )>0?y ＝h (x )在x ∈R 上单调递增． x →－∞时，h (x )→－∞与h (x )≥0矛盾． ②当a ＋1>0时，由h ′(x )>0得x >ln(a ＋1)，由h ′(x )<0得x (a ＋1)b ≤(a ＋1)2－(a ＋1)2ln(a ＋1)(a ＋1>0)． 令F (x )＝x 2－x 2ln x (x >0)； 则F ′(x )＝x (1－2ln x )， 由F ′(x ) >0得0 当x ＝e 时，F (x )max ＝e 2，∴当a ＝e －1，b ＝e 2时，(a ＋1)b 的最大值为e 2.
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