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1.4.2 增长率问题--用一元二次方程解决问题(B)

1.4.2  增长率问题--用一元二次方程解决问题(B)
1.4.2  增长率问题--用一元二次方程解决问题(B)

1.4.2 用一元二次方程解决问题

--增长率问题(B)

一、教学目标

1.进一步体会通过建立方程解决实际问题的意义和方法。

2.进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系,提高分析问题、解决问题的能力。

二、教学重难点

教学重点:列一元二次方程解“平均增长率”

教学难点:寻找正确的等量关系

三、教学过程:

引入:

(1)原产量+增产量=实际产量.

(2)单位时间增产量=原产量×增长率.

(3)实际产量=原产量×(1+增长率)

探究1:某商店6月份的利润是2500元,要使8月份的利润达到3600元,平均每月增长的百分率是多少?

分析:如果设平均每月增长的百分率是x,那么7月份的利润是元,8月份的利润是元。

例1某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨,三月份上升到7200吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少?

注意以下几个问题:

(1)为计算简便、直接求得,可以直接设增长的百分率为x.

(2)认真审题,弄清基数,增长了,增长到等词语的关系.

(3)用直接开平方法做简单,不要将括号打开.

探究2:若设每年平均增长的百分数为x,分别列出下面几个问题的方程.

(1)某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b倍,求每年平均增长的百分率.

(2)某工厂用两年时间把总产值由a万元增加到b万元,求每年平均增长的百分数.(3)某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b倍,求每年增长的百分数.

思考1:可以的到什么规律?

设某产量原来的产值是a,平均每次增长的百分率为x,则增长一次后的产值为_________,增长两次后的产值为__________,…………增长n次后的产值为____________.

例2:某产品原来每件600元,由于连续两次降价,现价为384元,如果两个降价的百分数相同,求每次降价的百分数?

分析:设每次降价的百分数为x .

第一次降价后,每件为600-600x=600(1-x )(元).

第二次降价后,每件为600(1-x )-600(1-x )·x=600(1-x )2(元).

思考2:如果设平均每次增长或下降的百分数为x ,则产值a 经过两次增长或下降到b 可列式为?

a (1+x )2=

b 或a (1-x )2=b .

思考3:这种在实际生活普遍存在的增长率的问题,有什么规律?

若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n 次后的量是b,则它们的数量关系可表示为

例3:某农机厂四月份生产零件50万个,第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ,列出x 满足的方程。

四、巩固练习

1.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程

( )

A.500(1+2x)=720

B.500(1+x)2=720

C.500(1+x2)=720

D.720(1+x)2=500

2.某农户的粮食产量,平均每年的增长率为x ,第一年的产量为6万kg ,?第二年的产量为_______kg ,第三年的产量为_______,三年总产量为_______.

3.有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )。

4.某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台,平均每年的增长率是多少?

5.某省为解决农村饮用水问题,省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水b

x a n =±)1(

工程”予以一定比例的补助.2008年,A市在省财政补助的基础上再投入600万元用于“改水工程”,计划以后每年以相同的增长率投资,2010年该市计划投资“改水工程”1176万元.

(1)求A市投资“改水工程”的年平均增长率;

(2)从2008年到2010年,A市三年共投资“改水工程”多少万元?

五、课堂小结

1.善于将实际问题转化为数学问题,严格审题,弄清各数据相互关系,正确布列方程.培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法.

2.在解方程时,注意巧算;注意方程两根的取舍问题.

3.我们只学习一元一次方程,一元二次方程的解法,所以只求到两年的增长率.3年、

4年……,n年,应该说按照规律我们可以列出方程,随着知识的增加,我们也将会解这些方程.

一元二次方程及根的定义

一元二次方程及根的定 义 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2,求另一个根及 的值. 思路点拨:从一元二次方程的解的概念入手,将根代入原方程解的值,再代回原方程,解方程求出另一个根即可. 解:将代入原方程,得 即 解方程,得 当时,原方程都可化为 解方程,得. 所以方程的另一个根为4,或-1. 总结升华:以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题,解这类问题关键是要抓住“根”的概念,并以此为突破口. 举一反三: 【变式1】已知一元二次方程的一个根是,求代数式 的值. 思路点拨:抓住为方程的一个根这一关键,运用根的概念解题. 解:因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以.

. 总结升华:“方程”即是一个“等式”,在“等式”中,根据题目的需要,合理地变形,是一种对代数运算综合要求较高的能力,在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程: (1)3-27x2=0; (2)4(1-x)2-9=0. 解:(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程: (1);(2). 解:(1)由, 得, ,

, 所以, 故. (2)由, 得, , , 所以 故 4.用公式法解下列方程: (1);(2);(3). 解:(1)这里 并且 所以, 所以,. (2)将原方程变形为, 则 , 所以,

所以. (3)将原方程展开并整理得, 这里, 并且, 所以. 所以. 总结升华:公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点,要求熟练掌握,它对我们的运算能力有较高要求,也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程: (1);(2); (3). 解:(1)将原方程变形为, 提取公因式,得, 因为,所以 所以或, 故 (2)直接提取公因式,得 所以或,(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得

用一元二次方程解决几何图形问题含答案

用一元二次方程解决几何图形问题 基础题 知识点1一般图形的问题 1.(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地,并且长比宽多10米.设绿地的宽为x米,根据题意,可列方程为(B) A.x(x-10)=900 B.x(x+10)=900 C.10(x+10)=900 D.2[x+(x+10)]=900 2.(山西农业大学附中月考)从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条,剩下的面积是48 m2,则原来这块木板的面积是(B) A.100 m2B.64 m2 C.121 m2 D.144 m2 3.一个直角三角形的两条直角边相差5 cm,面积是7 cm2,则它的两条直角边长分别为2__cm,7__cm. 4.(宿迁中考)一块矩形菜地的面积是120 m2,如果它的长减少2 m,那么菜地就变成正方形,则原菜地的长是12m. 5.(深圳中考)一个矩形周长为56厘米. (1)当矩形面积为180平方厘米时,长、宽分别为多少? (2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗?请说明理由. 解:(1)设矩形的长为x厘米,则宽为(28-x)厘米,依题意,有 x(28-x)=180. 解得x1=10(舍去),x2=18.

则28-x=28-18=10. 答:长为18厘米,宽为10厘米. (2)设矩形的长为y厘米,则宽为(28-y)厘米,依题意,有 y(28-y)=200. 化简,得y2-28y+200=0. ∴Δ=282-4×200=784-800=-16<0. ∴原方程无实数根. 故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形. 知识点2边框与甬道问题 6.(兰州中考)公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1 m,另一边减少了2 m,剩余空地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长,设原正方形空地的边长为x m,则可列方程为(C) A.(x+1)(x+2)=18 B.x2-3x+16=0 C.(x-1)(x-2)=18 D.x2+3x+16=0 7.如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等

一元二次方程根的情况试题练习题

一元二次方程根的情况练习题(含答案) 一.选择题 1.一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是() A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根D.没有实数根 2.一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为() A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.两个相等的实数根D.两个不相等的实数根 3.一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是() A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 4.一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.无实数根D.无法确定 5.a,b,c为常数,且(a﹣c)2>a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是() A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根 C.无实数根D.有一根为0 6.一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是() A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根D.没有实数根 7.一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是()

C.只有一个实数根D.没有实数根 8.y=x+1是关于x的一次函数,则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为() A.没有实数根 B.有一个实数根 C.有两个不相等的实数根D.有两个相等的实数根 9.一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况() A.有一个实数根B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根D.没有实数根 10.一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为() A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根D.没有实数根 11.一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为() A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根D.没有实数根 12.一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是() A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根 13.方程x2﹣2x+3=0的根的情况是() A.有两个相等的实数根B.只有一个实数根 C.没有实数根 D.有两个不相等的实数根 14.已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0,则该方程根的情况是()

一元二次方程根的分布情况归纳总结

一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <,相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=, 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件) 表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况) 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0,一个大于0()120x x << 大致图象( >a ) 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00??? -??? ->??f 综 合结论(不讨论 a ) ()00200b a a f ?>???-?? ()0 0200 b a a f ?>???->???>?? ()00

分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ,一个大于k 即 21x k x << 大致图象( >a ) 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0??? -??? ->??k f 综 合结论(不讨论 a ) ()020b k a a f k ?>??? - ?? ()0 20 b k a a f k ?>??? - >???>?? ()0

一元二次方程的解法详细解析

一元二次方程的解法详细解析 【一元二次方程要点综述】:【要点综述】:一元二次方程和一元一次方程都是整式方程,它是初中数学的一个重点内容,也是学生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前,先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程,一般式为:。一元二次方程有三个特点:(1)只含有一个未知数;(2)未知数的最高次数是2;(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程,要先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理,如能整理为的形式,那么这个方程就是一元二次方程。下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”,将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种:1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。如下表:方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解,<0时无解。配方法二次项系数若不为1,必须先把系数化为1,再进行配方。公式法≥0时,方程有解;<0时,方程无解。先化为一般形式再用公式。因式分解法方程的一边为0,另一边分解成两个一次因式的积。方程的一边必须是0,另一边可用任何方法分解因式。【举例解析】例1:已知,解关于的方程。分析:注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。解:由得:或,当时,原方程为,即,解得.当时,原方程为,即,解得,.说明:由本题可见,只有项系数不为0,且为最高次项时,方程才

是一元二次方程,才能使用一元二次方程的解法,题中对一元二次方程的描述是不完整的,应该说明最高次项系数不为0。通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明,即形如的方程叫作关于的一元二次方程。若本题不给出条件,就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论。例2:用开平方法解下面的一元二次方程。(1);(2)(3);(4)分析:直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程,其解为。通过观察不难发现第(1)、(2)两小题中的方程显然用直接开平方法好做;第(3)题因方程左边可变为完全平方式,右边的121>0,所以此方程也可用直接开平方法解;第(4)小题,方程左边可利用平方差公式,然后把常数移到右边,即可利用直接开平方法进行解答了。解:(1)∴(注意不要丢解)由得,由得,∴原方程的解为:,(2)由得,由得∴原方程的解为:,(3)∴∴∴,∴原方程的解为:,(4)∴,即∴,∴,∴原方程的解为:,说明:解一元二次方程时,通常先把方程化为一般式,但如果不要求化为一般式,像本题要求用开平方法直接求解,就不必化成一般式。用开平方法直接求解,应注意方程两边同时开方时,只需在一边取正负号,还应注意不要丢解。例3:用配方法解下列一元二次方程。(1);(2)分析:用配方法解方程,应先将常数移到方程右边,再将二次项系数化为1,变为的形式。第(1)题可变为,然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方,即:,方程左边构成一个完全平方式,右边是一个不小于0的常数,即:,接下去即可利用直接开平方法解答了。第(2)题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。解:(1)二

用一元二次方程解决问题(一)

1.4 用一元二次方程解决问题(一) 1. 用一元二次方程解决实际问题要经历审题、找出 、设 、列 、解方 程、 、写出 答案的过程. 2. 用一元二次方程解决问题的关键是 . 3. 从一块正方形的木板上锯掉2m 宽的长方形木条,剩下的面积是482m ,则原来这块木 板的面积是( ) A. 1002m B. 642m C. 1212m D. 1442m 4. 如图,在长为100m ,宽为80 m 的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道 路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7 644 2m ,则道路的宽应为多少米? 设道的宽为x 米,则可列方程为 ( ) A. 10080100807644x x ?--= B. (100)(80)27644x x x --+= C. (100)(80)7644x x --= D. 10080356x x += 5. 如图,对一块长60 m 、宽30 m 的长方形荒地进行改造,要在其四周留一条宽度 相等的人行道,中间部分建成一块面积为1 000 m “的长方形绿地,求人行道的宽度. 6. 如图,某养殖场要用防护网围成长方形养鸡场地,其中一面利用现有的一段墙,且在与墙平行的一边开一个2m 宽的门.现有防护网的长度为91 m ,场地的面积需要1080 2m ,若墙长50 2m ,求场地的长和宽. (1) 一变:若墙长46 m ,求场地的长和宽; (2) 二变:若墙长40 m ,求场地的长和宽; (3) 通过对上面三题的讨论,你觉得墙长对题目有何影响? 7. 从正方形的铁片上截去8 cm 宽的一条长方形,余下部分的面积是48 2cm 时,则原来 的正方形铁片的面积为( ) A. 8 2cm B. 16 2cm C. 64 2cm D. 144 2cm

一元二次方程根的分布教学设计

一元二次方程根的分布教学设计 大庆一中高中部孙庆夺 一、教学分析 (一)教学内容分析 本节课所讲的内容是高中数学必修一第三章第一节《函数与方程》之后的一个专题内容,是中学数学的重要内容之一。这段内容与一元二次不等式,二次函数等内容有着紧密的联系。它是在前面学习了函数与方程,二次方程,二次不等式基础上对函数与方程内容的深化和拓展,通过根的分布的不同情况,充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。从而提升学生对数学知识的应用能力。通过学习一元二次方程根的分布,有助于学生进一步理解二次方程,二次函数,加深函数与方程思想,数形结合思想在数学学习中的应用的认识,同时也为以后数学的学习打下扎实的基础。 (二)教学对象分析 高中一年级的学生已经有了一定的观察识图能力及分析判断能力,有利用已有知识解决新问题的愿望。学生学习了函数与方程,二次方程,二次函数的知识, 已经具有用数学知识解决实际问题的能力。学生抽象逻辑思维很大程度上还属于经验型,需要感性经验的直接支持。通过学习,抽象逻辑思维逐步成熟,能够用理论作为指导来分析、综合各种事实材料,从而不断扩大自己的知识领域。 (三)教学环境分析 由于本节课涉及到根的分布情况较多,对老师的的作图提出了很高的要求。采用传统的板式教学,根本就无法向学生演示动态过程,很难满足学生的求知欲,达不到教学的最佳效果。多媒体网络教学,是现代高中数学教学全新的教育技术,

使传统的教学方式得到补充。在计算机的帮助下,利用制作好的几何画板课件,操作演示,感受根的分布的不同情况,加深学生的认识和理解,同时也符合学生认识事物从感性认识到理想认识的认知过程。 (四)教学手段 采用多媒体网络教学。《普通高中数学课程标准》指出:“现代信息技术的广泛应用真正对数学教学、数学学习方面产生深刻的影响,数学课程的设计应重视运用现代信息技术,大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源,提倡实现信息技术与课程内容的有机结合。”本节课涉及到的图象信息较多,利用多媒体网络教学可以实现最大容量地向学生提供图象信息,并让学生整理归纳信息,增强学生的动手能力、思考能力和自主学习能力,也能实现数学课堂中学生的高参与度,从而实现资源、时间、效率的最优化。 (五)教学方式 自主式探究,学案式导学。自主探究,学案导学的教学方式,能够激发学生的学习兴趣、突出学生的主题地位,培养学生的数学应用意识、合作精神,这与《新课标》的要求是吻合的。 二、教学目标 1.知识与能力 加深对一元二次方程,二次函数图象与性质的认识;会利用函数知识,方法重新审视一元二次方程. 2.过程与方法 体验“观察-猜想-验证”探究问题的方法,领会由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想,加深对函数与方程,数形结合思想的理解。

一元二次方程求根公式

一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)进行配方,当b2-4ac≥0时的根为 . 该式称为一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法,简称公式法. 说明:(1)一元二次方程的公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0); (2)由求根公式可知,一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的; (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程,但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 (1)当b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根; (2)当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根; (3)当b2-4ac<0时,方程没有实数根. 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点,难点是对各种方法的选择,突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上,熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目,如果用“公式

法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法,一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法,一般不使用,但若能恰当地使用,往往能起到简化作用,思考于“因式分解法”之后,“公式法”之前。如方程;用因式分解,则6391这个数太大,不易分解;用公式法,也太繁;若配方,则方程化为,就易解,若一次项系数中有偶因数,一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法,只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项,若方 程有实根,就一定可以用求根公式求出根,但因为要代入(≥0)求值,所以对某些特殊方程,解法又显得复杂了。 2、在运用b2-4ac的符号判断方程的根的情况时,应注意以下三点: (1)b2-4ac是一元二次方程的判别式,即只有确认方程为一元二次方程时,才能确定a、b、c,求出b2-4ac; (2)在运用上述结论时,必须先将方程化为一般形式,以便确认a、b、c; (3)根的判别式是指b2-4ac,而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程: (1); (2); (3). 分析:用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值,再代入公式计算,

222降次--解一元二次方程(教案说明)

第八届全国初中青年数学教师优秀课观摩与评比活动 教案说明 课题:22.2 降次----解一元二次方程(第2课时) 单位:河南省安阳市梅园中学 姓名:张立界 日期:2012年9月16日

22.2 降次----解一元二次方程(第2课时) 教案说明 河南省安阳市梅园中学张立界 一、教材分析 本节课选自人教版数学教材九年级上册第22章第2节降次----解一元二次方程(第2课时). 一元二次方程的基本解法包括配方法、公式法和因式分解法等.解一元二次方程的基本策略是将其转化为一次方程,就是降次.配方法是解一元二次方程的重要方法,是在学生已掌握直接开平方法解方程的基础上,讨论比较复杂的一元二次方程,通过对比一边为完全平方形式的方程,使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法.有了配方法的基础,可以得到解一元二次方程的另一重要方法—公式法,进而引出判别式及根与系数的关系,为以后学习二次函数打下良好基础. 二、目标分析 1.知识与技能 理解配方法的算理,会用配方法解一元二次方程. 2.过程与方法 通过对一元二次方程二次项系数是否为1的分类处理,让学生体会转化的数学思想方法,锻炼学生的抽象概括能力. 3.情感态度价值观 通过使用导学案,培养学生的探究精神和自学能力,形成良好的学习习惯.通过“每天四道题,天天爱学习”的训练,化整为零,化难为易,增加数学的趣味性,让学生在解题中感受到成功的喜悦. 三、教法分析 本课采用“自主、探索、导引”教学思路,学生先学后教,先练后讲,把学习的主动权还给学生,突出学生的主体地位.“导学案”的设计,由易到难,由简到繁,层层推进,让学生逐步学会学习.根据时间安排,导学案可让学生提前预习时完成,节约课堂时间,让学生在课堂上讲思路、讲解法,可进一步提升学生学习能力. 四、教学问题诊断 学生的知识储备:学生已了解平方根和算术平方根概念,已掌握完全平方公 式,会解一元一次方程.前两节已理解一元二次方程的概念,上一节已学过直接开平方法解一元二次方程.具备了学习本课时的基础知识. 学生的能力水平:学生在学习一元一次方程和分式方程中已了解“化归”数学思想,具备了学习本课时的能力.

一元二次方程根的差别式

典型例题一 例 求证:如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根,那么,关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根. 分析:由已知,可根据一元二次方程的根的判别式证之. 证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1?,方程 0522=+-+m my y 的根的判别式为2?,则 . 36)4( 208)25(4. 440)9(42222221-+=-+=--=?+=++=?m m m m m m m ∵方程922+=+m x x 无实数根, 01+∴m ,即036)4(2>-+m . 故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根. 说明:上述证明中,判定02>?用到了01

分析:运用根的判别式判定根的情况时,要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式,然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号,尤其是当方程系数中含有字母时,一般利用配方法将“?”化成完全平方式或完全平方式加上(或减去)一个常数,再根据完全平方式的非负性判断“?”的符号,从而判定方程的根的情况,有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键. 解:(1)),1(4,2,1-=-==k c k b a )1(414)2(422-??--=-=?∴k k ac b )2(4)44(416 16422 2≥-=+-=+-=k k k k k ∴方程有两个实数根. (2)0≠a , ∴方程02=+bx ax 是一元二次方程,此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程,将常数项,将常数项看作零. ∴2204b a b =?-=?. ∴不论b 取任何实数,2b 均为非负数, 02≥=?b 恒成立. ∴方程有两个实数根. (3)0≠a , ∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程,它的一次项系数0=b . ac a 40402-=?-=?, ∴需要讨论a 、c 的符号,才能确定?的符号. 当0=c 时,0=?,方程有两个相等的实数根; 当a 、c 异号时,0>?,方程有两个不相等的实数根; 当a 、c 同号时,0

用一元二次方程解决问题(含答案)

4.3用一元二次方程解决问题(1) 目标导航: 知识要点: 根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题. 学习要点: 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题. 基础巩固题 1、长方形的长比宽多4cm,面积为60cm2,则它的周长为________. 2、如图,是长方形鸡场平面示意图,一边靠墙,另外三面用竹篱笆围成,若竹篱笆总长为35m,所围的面积为150m2,则此长方形鸡场的长、宽分别为_______. 3、直角三角形两条直角边的和为7,面积为6,则斜边为(). A.37B.5 C.38D.7 4、有两块木板,第一块长是宽的2倍,第二块的长比第一块的长少2m,宽是第一块宽的3倍,已知第二块木板的面积比第一块大108m2,这两块木板的长和宽分别是(). A.第一块木板长18m,宽9m,第二块木板长16m,宽27m; B.第一块木板长12m,宽6m,第二块木板长10m,宽18m; C.第一块木板长9m,宽4.5m,第二块木板长7m,宽13.5m; D.以上都不对 5、从正方形铁片,截去2cm宽的一条长方形,余下的面积是48cm2,则原来的正方形铁片的面积是(). A.8cm B.64cm C.8cm2D.64cm2 6、在一块长12m,宽8m的长方形平地中央,划出地方砌一个面积为8m2?的长方形花台,要使花坛四周的宽地 宽度一样,则这个宽度为多少? 7、某林场计划修一条长750m,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为1.6m2,?上口宽比渠深多2m,渠底比渠深多0.4m. (1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少? (2)如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完? 8、如图,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,?正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,?

一元二次方程的根的判别式练习题

一元二次方程的根的判别式 1、方程2x 2+3x -k=0根的判别式是 ;当k 时,方程有实根。 2、关于x 的方程kx 2+(2k+1)x -k+1=0的实根的情况是 。 3、方程x 2+2x+m=0有两个相等实数根,则m= 。 4、关于x 的方程(k 2+1)x 2-2kx+(k 2+4)=0的根的情况是 。 5、当m 时,关于x 的方程3x 2-2(3m+1)x+3m 2-1=0有两个不相等的实数根。 6、如果关于x 的一元二次方程2x(ax -4)-x 2+6=0没有实数根,那么a 的最小整数值是 。 7、关于x 的一元二次方程mx 2+(2m -1)x -2=0的根的判别式的值等于4,则m= 。 8、设方程(x -a)(x -b)-cx=0的两根是α、β,试求方程(x -α)(x -β)+cx=0的根。 9、不解方程,判断下列关于x 的方程根的情况: (1)(a+1)x 2-2a 2x+a 3=0(a>0) (2)(k 2+1)x 2-2kx+(k 2+4)=0 10、m 、n 为何值时,方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2+2=0有实根? 11、求证:关于x 的方程(m 2+1)x 2-2mx+(m 2+4)=0没有实数根。 12、已知关于x 的方程(m 2-1)x 2+2(m+1)x+1=0,试问:m 为何实数值时,方程有实数根? 13、 已知关于x 的方程x 2-2x -m=0无实根(m 为实数),证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2-1)(x 2+1)=0 也无实根。 14、已知:a>0,b>a+c,判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0根的情况。 15、m 为何值时,方程2(m+1)x 2+4mx+2m -1=0。 (1)有两个不相等的实数根; (2)有两个实数根; (3)有两个相等的实数根; (4)无实数根。 16、当一元二次方程(2k -1)x 2-4x -6=0无实根时,k 应取何值? 17、已知:关于x 的方程x 2+bx+4b=0有两个相等实根,y 1、y 2是关于y 的方程y 2+(2-b)y+4=0的两实根,求以1y 、2y 为根的一元二次方程。 18、若x 1、x 2是方程x 2+ p x+q=0的两个实根,且23x x x x 222121=++,25x 1x 12221=+求p 和q 的值。 19、设x 1、x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0(q ≠0)的两个根,且x 2 1+3x 1x 2+x 2 2=1, 0)x 1(x )x 1(x 2211=+++,求p 和q 的值。 20、已知x 1、x 2是关于x 的方程4x 2-(3m -5)x -6m 2=0的两个实数根,且23x x 21=,求常数m 的值。 21、已知α、β是关于x 的方程x 2+px+q=0的两个不相等的实数根,且α3-α2β-αβ2+ β3=0,求证:p=0,q<0 22、已知方程(x -1)(x -2)=m 2(m 为已知实数,且m ≠0),不解方程证明: (1)这个方程有两个不相等的实数根;

一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <,相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=, 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件) 表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况) a

根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间()n m ,外,即在区间两侧 12,x m x n <>,(图形分别如下)需满足的条件是 (1)0a >时,()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明: (1)两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况: 若()0f m =或()0f n =,则此时()()0f m f n

21.2降次--解一元二次方程(第一课时)

22.2降次--解一元二次方程(第一课时) 22.2.1 配方法(1) ◆随堂检测 1、方程32x +9=0的根为( ) A 、3 B 、-3 C 、±3 D 、无实数根 2、下列方程中,一定有实数解的是( ) A 、210x += B 、2(21)0x += C 、2(21)30x ++= D 、21()2x a a -=3、若22 4()x x p x q -+=+,那么p 、q 的值分别是( ) A 、p=4,q=2 B 、p=4,q=-2 C 、p=-4,q=2 D 、p=-4,q=-2 4、若28160x -=,则x 的值是_________. 5、解一元二次方程是22(3)72x -=. 6、解关于x 的方程(x+m )2=n .◆典例分析 已知:x 2+4x+y 2-6y+13=0,求22 2x y x y -+的值.分析:本题中一个方程、两个未知数,一般情况下无法确定x 、y 的值.但观察到方程可配方成两个完全平方式的和等于零,可以挖掘出隐含条件x=-2和y=3,从而使问题顺利解决.解:原方程可化为(x+2)2+(y-3)2=0, ∴(x+2)2=0,且(y-3)2=0, ∴x=-2,且y=3, ∴原式=2681313 --=-.◆课下作业 ●拓展提高 1、已知一元二次方程032=+c x ,若方程有解,则c ________. 2、方程b a x =-2 )((b >0)的根是( ) A 、b a ± B 、)(b a +± C 、b a +± D 、b a -±

3、填空(1)x 2-8x+______=(x-______)2;(2)9x 2+12x+_____=(3x+_____)2 4、若2 2(3)49x m x +-+是完全平方式,则m 的值等于________. 5、解下列方程:(1)(1+x)2-2=0;(2)9(x-1)2-4=0. 6、如果x 2-4x+y 2,求()z xy 的值.●体验中考 1、(2008年,丽水)一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程,其中一个一次方程是6x +=, 则另一个一次方程是_____________. 2、(2009年,太原)用配方法解方程2250x x --=时,原方程应变形为( ) A .2(1)6x += B .2(1)6x -= C .2(2)9x += D .2(2)9x -=

用一元二次方程解决传播问题含答案

用一元二次方程解决传播问题 基础题 知识点1传播问题 1.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后会有81台电脑被感染,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,则x满足的方程是(B) A.1+x2=81 B.(1+x)2=81 C.1+x+x2=81 D.1+x+(1+x)2=81 2.(大同一中期末)有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为(A) A.1+x+x(1+x)=100 B.x(1+x)=100 C.1+x+x2=100 D.x2=100 3.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支? 解:设每个支干长出x个小分支,根据题意,得 1+x+x2=111. 解得x1=10,x2=-11(舍去). 答:每个支干长出10个小分支.

知识点2 握手问题 4.新年里,一个小组有若干人,若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡,则全组送贺卡共72张,此小组人数为(C) A .7 B .8 C .9 D .10 5.某市体育局要组织一次篮球赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排28场比赛,应邀请多少支球队参加比赛?学习以下解答过程,并完成填空. 解:设应邀请x 支球队参赛,则每队共打(x -1)场比赛,比赛总场数用代数式表示为12x(x -1). 根据题意,可列出方程12x(x -1)=28. 整理,得x 2-x -56=0. 解得x 1=8,x 2=-7. 合乎实际意义的解为x =8. 答:应邀请8支球队参赛. 6.一条直线上有n 个点,共形成了45条线段,求n 的值. 解:由题意,得12n(n -1)=45. 解得n 1=10,n 2=-9(舍去). 答:n 等于10.

一元二次方程根与系数关系附答案

一元二次方程根与系数的关系(附答案) 评卷人得分 一.选择题(共6小题) 1.已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,下列说确的是() A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 2.关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根,则m的取值围是()A.m≥﹣1 B.m>﹣1 C.m≤﹣1 D.m<﹣1 3.关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 4.设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根,则x12+x22的值是()A.2 B.4 C.5 D.6 5.若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则α+β的值为()A.﹣5 B.5 C.﹣2 D. 6.已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根,则常数c的值为() A.﹣1 B.0 C.1 D.3 评卷人得分

二.填空题(共1小题) 7.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0(a≠0)的两个不等实数根分别为p,q,且p2﹣pq+q2=18,则的值为. 评卷人得分 三.解答题(共8小题) 8.已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0. (1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值围; (2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线L 的长. 9.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0. (1)若该方程的一个根为1,求a的值; (2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根. 10.已知关于x的一元二次方程(x﹣m)2﹣2(x﹣m)=0(m为常数).(1)求证:不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根; (2)若该方程一个根为3,求m的值. 11.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0. (1)当a=﹣11时,解这个方程; (2)若这个方程有两个实数根x1,x2,求a的取值围; (3)若方程两个实数根x1,x2满足[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9,求a的值. 12.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根.

一元二次方程根的两个特性及简单运用

一元二次方程根的两个特性及简单运用 我们知道方程的解是由方程的系数(包括常数项)决定的。因此,一元二次方程的根与其系数有着密切的联系。教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为1的情况下的两根之和、两根之积与系数的关系。现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程20(0) ax bx c a ++=≠的两根之和、两根之积与系数的关系。 例1、先阅读,再填空解题: (1)方程:x2-4x-12=0 的根是:x 1=6, x 2 =-2,则x 1 +x 2 =4,x 1 ·x 2 =-12; (2)方程2x2-7x+3=0的根是:x 1= 1 2 , x 2 =3,则x 1 +x 2 = 7 2 ,x 1 ·x 2 = 3 2 ; (3)方程3x2+6x-2=0的根是:x 1= , x 2 = .则x 1 +x 2 = , x 1·x 2 = ; 根据以上(1)(2)(3)你能否猜出:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0且a、b、c为常数)的两根为x 1、x 2 ,那么x 1 +x 2 、x 1 x 2 与系数a、b、c有 什么关系?请写出来你的猜想并说明理由。 解析:方程3x2+5x-2=0的根是:x 1= 1 3 x 2 =-2。则x 1 +x 2 = 5 3 -,x1·x2= 2 3 -。 能猜出:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0且a、b、c为常数) 的两根为x 1、x 2 ,那么x 1 +x 2 a b - =、x1x2 a c =。理由如下: 根据求根公式可知,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0且a、b、c 为常数)的两根为: a ac b b x 2 4 2 1 - + - =, a ac b b x 2 4 2 2 - - - = 所以x 1+x 2 = a ac b b 2 4 2- + - + a ac b b 2 4 2- - - a b - = x 1x 2 = a ac b b 2 4 2- + - · a ac b b 2 4 2- - - a c = 也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,这个方程的两个根与系数的关系是:两根之和,等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积,等于常数项除以二次项系数所得的商.

用一元二次方程解决问题

用一元二次方程解决问题 课前参与 预习内容:课本P27-28; 知识目标:能用一元二次方程解决“行程问题及几何图形问题”。 引例1.如图所示,人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时,发现在其所处的位置O 点的正北方向10海里外的A 点有一涉嫌走私船只正以24海里/时 的速度向正东方向航行,为迅速实施检查,巡逻艇调整好航向, 以26海里/时的速度追赶。在涉嫌船只不改变航向和航速的前提 下,问需要几小时才能追上(点B 为追上时的位置)? 【思考】如何设未知数?可以利用哪些图形性质找出相等关系? 引例2.如图,在矩形ABCD 中,AB=6 cm ,BC=12 cm ,点P 从点A 沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动;同时,点Q 从点B 沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动。 问:(1)△PDQ 的面积能为8 cm 2吗?为什么? (2)几秒钟后△DPQ 的面积等于28cm 2? (3)几秒后PQ ⊥DQ? 【思考】把在图中的各线段长用x 的代数式表示出来。 课中参与 例:如图,某海军基地位于A 处,在其正南方向200海里处有一重要目标B ,?在B 的正东方向200海里处有一重要目标C ,小岛D 位于AC 的中点,岛上有一补给码头:?小岛F 位于BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向,一艘军舰从A 出发,经B 到C 匀速巡航,一膄补给船同时从D 出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰. (1)小岛D 和小岛F 相距多少海里? (2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处,?那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0.1海里) 课中检测: P Q C B A D

一元二次方程的根

初中数学竞赛专题选讲(初三.1) 一元二次方程的根 一 、内容提要 1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根,是由它的系数a, b, c 的值确定的. 根公式是:x=a ac b b 242-±-. (b 2-4ac ≥0) 2. 根的判别式 ① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是: b 2-4a c ≥0. ② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是: b 2-4a c 是完全平方式?方程有有理数根. ③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根?p 2-4q 是整数的平方数. 3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根,那么 ① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0,b 2-4ac ≥0), ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0, b 2-4ac ≥0); ② x 1=a ac b b 242-+-, x 2=a ac b b 242--- (a ≠0, b 2-4ac ≥0); ③ 韦达定理:x 1+x 2= a b -, x 1x 2=a c (a ≠0, b 2-4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件 整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是:x 1是c 的因数. 特殊的例子有: C=0?x 1=0 , a+b+c=0?x 1=1 , a -b+c=0?x 1=-1. 二、例题 例1. 已知:a, b, c 是实数,且a=b+c+1. 求证:两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中,至少有一个方程有两个不相等的实数根. (1990年泉州市初二数学双基赛题) 证明 (用反证法) 设 两个方程都没有两个不相等的实数根, 那么△1≤0和△2≤0. 即?? ???++=≤-≤ ③ ② ①-1040412c b a c a b 由①得b ≥ 41,b+1 ≥4 5代入③,得 a -c=b+1≥45, 4c ≤4a -5 ④ ②+④:a 2-4a+5≤0, 即(a -2)2+1≤0,这是不能成立的. 既然△1≤0和△2≤0不能成立的,那么必有一个是大于0.

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