第2讲 两直线的位置关系
基础巩固题组 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1.直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直
D.不能确定
解析 直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－1
2
，则k 1≠k 2，且
k 1k 2≠－1.故选C.
答案 C
2.(2017·浙江名校协作体联考)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 依题意得，直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是
?
????a （a －2）＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1，因此选C. 答案 C
3.过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( ) A.19x －9y ＝0 B.9x ＋19y ＝0 C.19x －3y ＝0
D.3x ＋19y ＝0
解析 法一 由?
????x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得?????x ＝－19
7，y ＝37，
则所求直线方程为：y ＝3
7－197x ＝－3
19x ，即3x ＋19y ＝0.
法二 设直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0， 即(1＋2λ)x －(3－λ)y ＋4＋5λ＝0，又直线过点(0，0)， 所以(1＋2λ)·0－(3－λ)·0＋4＋5λ＝0， 解得λ＝－4
5
，故所求直线方程为3x ＋19y ＝0.
4.直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A.x ＋2y －1＝0 B.2x ＋y －1＝0 C.x ＋2y ＋3＝0
D.x ＋2y －3＝0
解析 设所求直线上任一点(x ，y )，则它关于直线x ＝1的对称点(2－x ，y )在直线x －2y ＋1＝0上，即2－x －2y ＋1＝0，化简得x ＋2y －3＝0. 答案 D
5.(2017·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( ) A.7
B.172
C.14
D.17
解析 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝17
2，故选B.
答案 B
6.平面直角坐标系中直线y ＝2x ＋1关于点(1，1)对称的直线方程是( ) A.y ＝2x －1 B.y ＝－2x ＋1 C.y ＝－2x ＋3
D.y ＝2x －3
解析 在直线y ＝2x ＋1上任取两个点A (0，1)，B (1，3)，则点A 关于点(1，1)对称的点为
M (2，1)，点B 关于点(1，1)对称的点为N (1，－1).由两点式求出对称直线MN 的方程为y ＋1
1＋1
＝
x －1
2－1，即y ＝2x －3，故选D. 答案 D
7.(2017·丽水调研)已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线
l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )
A.(3，3)
B.(2，3)
C.(1，3)
D.? ??
??1，
32 解析 直线l 1的斜率为k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以k 2＝－1
k 1
＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝
3
3
(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2).两式联立，解得??
?x ＝1，
y ＝3，
即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3).故选C.
8.从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( ) A.x ＋2y －4＝0 B.2x ＋y －1＝0 C.x ＋6y －16＝0
D.6x ＋y －8＝0
解析 由直线与向量a ＝(8，4)平行知：过点(2，3)的直线的斜率k ＝1
2，所以直线的方程为y
－3＝1
2(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0，2)，又点(2，3)关于y 轴的对称点为(－2，3)，
所以反射光线过点(－2，3)与(0，2)，由两点式知A 正确. 答案 A 二、填空题
9.(2017·宁波月考)点(2，1)关于点(－1，－1)的对称点坐标为________；关于直线x －y ＋1＝0的对称点为________.
解析 设点(2，1)关于点(－1，－1)的对称点为(x 0
，y 0
)，则?????－1＝2＋x 0
2，－1＝1＋y 0
2
，∴?
???
?x 0＝－4，y 0
＝－3，即所
求对称点为(－4，－3).设点(2，1)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为(x 0，y 0)，则
?????y 0－1
x 0－2＝－1，x 0
＋22－y 0
＋1
2
＋1＝0，解得?
????x 0
＝0，
y 0
＝3，故所求对称点为(0，3). 答案 (－4，－3) (0，3)
10.若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________. 解析 由???
?
?y ＝2x ，x ＋y ＝3，得?
???
?x ＝1，y ＝2.
∴点(1，2)满足方程mx ＋2y ＋5＝0， 即m ×1＋2×2＋5＝0，∴m ＝－9. 答案 －9
11.(2017·余姚市检测)已知直线l 过点P (3，4)且与点A (－2，2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________.
解析 显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意； 设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，
由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |
1＋k 2
， ∴k ＝2或k ＝－2
3
.
∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案 2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0
12.(2016·长沙一调)已知入射光线经过点M (－3，4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2，6)，则反射光线所在直线的方程为________.
解析 设点M (－3，4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，
所以?????b －4
a －（－3）·1＝－1，－3＋a 2－
b ＋42＋3＝0，
解得a ＝1，b ＝0.
又反射光线经过点N (2，6)，
所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1
，
即6x －y －6＝0. 答案 6x －y －6＝0
13.(2017·温州十校联考)设两直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m 与l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8，若l 1∥l 2，则m ＝________；若l 1⊥l 2，则m ＝________. 解析 若l 1∥l 2，则3＋m 2＝45＋m ≠5－3m
8?m ＝－7；
若l 1⊥l 2，则(3＋m )×2＋4(5＋m )＝0?m ＝－13
3.
答案 －7 －13
3
能力提升题组 (建议用时：15分钟)
14.(2017·舟山市调研)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2
＋|MQ |2
的值为( ) A.
102
B.10
C.5
D.10
解析 由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，
∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，∴M 位于以PQ 为直径的圆上，
∵|PQ |＝9＋1＝10，∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2
＝10，故选D. 答案 D
15.如图所示，已知两点A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是( ) A.210 B.6 C.3 3
D.2 5
解析 易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4，2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2，0)，则光线所经过的路程即A 1(4，2)与A 2(－2，0)两点间的距离.
于是|A 1A 2|＝（4＋2）2
＋（2－0）2
＝210. 答案 A
16.设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，
y )，则|PA |·|PB |的最大值是________.
解析 易知A (0，0)，B (1，3)且两直线互相垂直， 即△APB 为直角三角形，
∴|PA |·|PB |≤|PA |2
＋|PB |2
2＝|AB |2
2＝102＝5.
当且仅当|PA |＝|PB |时，等号成立. 答案 5
17.在平面直角坐标系内，到点A (1，2)，B (1，5)，C (3，6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________.
解析 设平面上任一点M ，因为|MA |＋|MC |≥|AC |，当且仅当A ，M ，C 共线时取等号，同理|MB |＋|MD |≥|BD |，当且仅当B ，M ，D 共线时取等号，连接AC ，BD 交于一点M ，若|MA |＋|MC |＋|MB |＋|MD |最小，则点M 为所求.∵k AC ＝6－2
3－1＝2，
∴直线AC 的方程为y －2＝2(x －1)， 即2x －y ＝0.①
又∵k BD ＝5－（－1）
1－7
＝－1，
∴直线BD 的方程为y －5＝－(x －1)， 即x ＋y －6＝0.②
由①②得?????2x －y ＝0，x ＋y －6＝0，解得?
???
?x ＝2，y ＝4，所以M (2，4).
答案 (2，4)
18.(2017·绍兴一中检测)两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是________.
解析∵l1∥l2，且P∈l1，Q∈l2，∴l1，l2间的最大距离为|PQ|＝[2－（－1）]2＋（－1－3）2＝5，又l1与l2不重合，所以l1，l2之间距离的范围是(0，5].
答案(0，5]