2013年高考数学一轮复习精品教学案2.3 函数的性质(新课标人教
版,教师版)
【考纲解读】
1. 理解函数的单调性及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.
3.会判断函数的单调性与奇偶性;掌握函数的单调性、奇偶性的综合应用. 4.理解函数的周期性与对称性.
【考点预测】
高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:
1.函数的单调性与奇偶性是历年来高考必考内容之一,选择填空题、解答题中都可能出现,解答题一般以中、高档题的形式考查,常常与三角函数、不等式等知识相联系,以考查函数知识的同时,又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力.
2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查函数的性质求解,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】
1.增函数和减函数定义:如果对于属于函数定义域内某个区间上的任意两个自变量的值
12,x x ,当12x x <时,都有12()()f x f x <,那么就说()f x 在这个区间上是增函数;当12
x x <时,都有12()()f x f x >,那么就说()f x 在这个区间上是减函数. 3.判断函数单调性的常用方法:
(1)定义法(熟练利用定义法证明函数单调性的步骤).
(2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数.
(3)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性;偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.
(4)导数法:若当[,]x a b ∈时,'
()0f x >,则()f x 在[,]a b 上递增;若当[,]x a b ∈时,
'()0f x <,则()f x 在[,]a b 上递减.
(5)利用函数图象判断函数单调性.
(6)复合函数[()]y f g x =的单调性判断:如果()y f u =和()u g x =单调性相同,那么
[()]y f g x =是增函数;如果()y f u =和()u g x =单调性相反,那么[()]y f g x =是减函
数.
4.熟记以下几个结论:
与()f x 的单调性相同;
(2)()f x -与()f x 的单调性相反;
(3)
1
()
f x 与()f x 的单调性相反. 5.如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数;如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数. 6.如果奇函数f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0;如果函数f(x)的定义域不关于原点对称,那么f(x)一定是非奇非偶函数;如果f(x)既是奇函数又是偶函数,那么f(x)的表达式是f(x)=0.
7.奇偶函数的性质:
(1)奇偶函数定义域关于原点对称.
(2)奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于y 轴对称.
(3)奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反. 8.利用定义判断函数奇偶性的步骤:
(1)首先确定定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; (2)确定f(-x)与f(x)的关系;(3)下结论.
9.周期函数的定义:如果存在一个非零常数T ,使得对于函数定义域内的任意x ,都有
()()f x T f x +=,则称()f x 为周期函数,其中T 称为()f x 的周期.若T 中存在一个最小
的正数,则称它为()f x 的最小正周期. 【例题精析】
考点一 函数的单调性
例1. (2012年高考辽宁卷文科8)函数y=
12
x 2
-㏑x 的单调递减区间为( ) (A )(-1,1] (B )(0,1] (C.)[1,+∞) (D )(0,+∞)
1. (2011年高考江苏卷2)函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________.
【答案】1(,)2
-+∞
【解析】因为210x +>,所以定义域为1(,)2
-+∞,由复合函数的单调性知:函数
)12(lo g )(5
+=x x f 的单调增区间是1
(,)2
-+∞. 考点二 函数的奇偶性
例2. (2012年高考广东卷文科4) 下列函数为偶函数的是( )
A .y=sinx B. y=3x C. y=x
e
2. (2012年高考天津卷文科6)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( )
A.y=co s2x ,x ∈R
B.y=log 2|x|,x ∈R 且x ≠0
C.y=2
x x e e y --=,x ∈R D.y=3
x +1,x ∈R
考点三 函数的周期性与对称性
例 3.(2009年高考山东卷文科第12题)已知定义在R 上的奇函数()f x 满足
(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A.(25)(11)(80)f f f -<<
B. (80)(11)(25)f f f <<-
C. (11)(80)(25)f f f <<-
D. (25)(80)(11)f f f -<<
函数,所以在[0,2]上的函数值非负,故(1)0f >,所以(25)(25)(1)0f f f -=-=-<,
(80)(0)0f f ==,(11)(3)0f f =>,所以(25)(80)(11)f f f -<<,故选D.
【名师点睛】本小题考查函数的奇偶性、单调性、对称性,利用函数性质比较函数值的大小. 【变式训练】
3. 如果函数f(x)=x 2+bx +c 对于任意实数t ,都有f (2-t )=f (2+t ),那么 ( ) A .f (2)<f (1)<f (4) B .f (1)<f (2)<f (4) C .f (2)<f (4)<f (1) D .f (4)<f (2)<f (1)
【易错专区】
问题:求单调区间时,忽视定义域
例. 函数()ln f x x x =的单调递减区间为 .
1.(福建省泉州市2012届高三3月质量检查文科)下列函数中,既是偶函数,且在区间()+∞,0内是单调递增的函数是( )
A . 2
1x y = B .x y cos = C . x y ln = D .x
y 2=
2.(辽宁省大连市2012年4月高三双基测试文科)下列函数中,在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( )
A .1y x
=-
B .13
log y x =-
C .2x
y =
D .3
y x x =+
【答案】D
【解析】由奇函数,排除B 、C,而1
y x
=-
在定义域内不是单调函数,故选D. 3. (山东省实验中学2012年3月高三第四次诊断)已知定义在R 上函数()f x 是奇函数,对x R ∈都有(2)(2)f x f x +=--,则(2012)f =( )
A.2
B.-2
C.4
D.0
4. (2009年高考广东卷A 文科第8题)函数x
e x x
f )3()(-=的单调递增区间是( ) A. )2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(+∞ 【答案】D
【解析】()()(3)(3)(2)x x
x
f x x e x e x e
'''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D.
5.(北京市东城区2012年1月高三考试)对于函数()lg 21f x x =-+,有如下三个命题:
①(2)f x +是偶函数;
②()f x 在区间(),2-∞上是减函数,在区间()2,+∞上是增函数;
③(2)()f x f x +-在区间()2,+∞上是增函数.
其中正确命题的序号是 .(将你认为正确的命题序号都填上)
【答案】①②
6.(2009年高考江苏卷第3题)函数3
2
()15336f x x x x =--+的单调减区间为 .【答案】(1,11)- 【解析】
2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+,
由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-.亦可填写闭区间或半开半闭区间. 【考题回放】
1.(2012年高考陕西卷文科2)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) A 1y x =+ B 2
y x =- C 1
y x
=
D ||y x x =
2.(2010年高考山东卷文科5)设()f x 为定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,
()22x f x x b =++(b 为常数),则(1)f -=( )
(A )-3 (B )-1 (C )1 (D)3
3.(2011年高考安徽卷文科11)设()f x 是定义在R 上的奇函数,当x≤0时,()f x =2
2x x -,则(1)f = . 【答案】-3
【解析】2
(1)(1)[2(1)(1)]3f f =--=----=-.
4.(2012年高考重庆卷文科12)函数()()(4
)f x x a x =+- 为偶函数,则实数a = .
5. (2012年高考浙江卷文科16) 设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数,当x ∈[0,1]时,f (x )=x +1,则3
f 2
()=_______________。
【答案】
32 【解析】331113
()(2)()()1222222
f f f f =-=-==+=.
6.(2012年高考山东卷文科15)若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[-1,2]上的最大值为4,
最小值为m ,且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数,则a =____.
7.(2012年高考安徽卷文科13)若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是[)+∞,3,则
a =________.
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷II) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2013课标全国Ⅱ,理1)已知集合M ={x |(x -1)2<4,x ∈R },N ={-1,0,1,2,3},则M ∩N =( ). A .{0,1,2} B .{-1,0,1,2} C .{-1,0,2,3} D .{0,1,2,3} 2.(2013课标全国Ⅱ,理2)设复数z 满足(1-i)z =2i ,则z =( ). A .-1+i B .-1-I C .1+i D .1-i 3.(2013课标全国Ⅱ,理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( ). A .13 B .13- C .19 D .1 9- 4.(2013课标全国Ⅱ,理4)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l α,l β,则( ). A .α∥β且l ∥α B .α⊥β且l ⊥β C .α与β相交,且交线垂直于l D .α与β相交,且交线平行于l 5.(2013课标全国Ⅱ,理5)已知(1+ax )(1+x )5的展开式中x 2的系数为5,则a =( ). A .-4 B .-3 C .-2 D .-1 6.(2013课标全国Ⅱ,理6)执行下面的程序框图,如果输入的N =10,那么输出的S =( ). A .1111+23 10+++ B .1111+2!3! 10!+++ C .1111+23 11+++ D .1111+2!3!11!+++ 7.(2013课标全国Ⅱ,理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是 (1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( ). 8.(2013课标全国Ⅱ,理8)设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则( ). A .c >b >a B .b >c >a C .a >c >b D .a >b >c
专题15 数形结合思想 专题点拨 数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从形的直观和数的严谨两方面思考问题,拓宽了解题思路,是数学的规律性与灵活性的有机结合. (1)数形结合思想解决的问题常有以下几种: ①构建函数模型并结合其图像求参数的取值范围; ②构建函数模型并结合其图像研究方程根的范围; ③构建函数模型并结合其图像研究量与量之间的大小关系; ④构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式; ⑤构建立体几何模型研究代数问题; ⑥构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题; ⑦构建方程模型,求根的个数; ⑧研究图形的形状、位置关系、性质等. (2)数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度.具体操作时,应注意以下几点: ①准确画出函数图像,注意函数的定义域; ②用图像法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图),然后作出两个函数的图像,由图求解. (3)在运用数形结合思想分析问题和解决问题时,需做到以下四点: ①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征; ②要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化; ③要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏; ④精心联想“数”与“形”,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化,以便于问题求解. 例题剖析 一、数形结合思想在求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用 【例1】若方程x2-4x+3+m=0在x∈(0,3)时有唯一实根,求实数m的取值范围. 【解析】利用数形结合的方法,直接观察得出结果.
高三数学必背公式总结 高三数学必背公式总结汇总 一、对数函数 log.a(MN)=logaM+logN loga(M/N)=logaM-logaN logaM^n=nlogaM(n=R) logbN=logaN/logab(a>0,b>0,N>0 a、b均不等于1) 二、简单几何体的面积与体积 S直棱柱侧=c*h(底面周长乘以高) S正棱椎侧=1/2*c*h′(底面的周长和斜高的一半) 设正棱台上、下底面的周长分别为c′,c,斜高为h′,S=1/2*(c+c′)*h S圆柱侧=c*l S圆台侧=1/2*(c+c′)*l=兀*(r+r′)*l S圆锥侧=1/2*c*l=兀*r*l S球=4*兀*R^3 V柱体=S*h V锥体=(1/3)*S*h V球=(4/3)*兀*R^3 三、两直线的位置关系及距离公式 (1)数轴上两点间的距离公式|AB|=|x2-x1| (2) 平面上两点A(x1,y1),(x2,y2)间的距离公式 |AB|=sqr[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2] (3) 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式 d=|Ax0+By0+C|/sqr (A^2+B^2) (4) 两平行直线l1:=Ax+By+C=0,l2=Ax+By+C2=0之间的距离d=|C1- C2|/sqr(A^2+B^2) 同角三角函数的基本关系及诱导公式 sin(2*k*兀+a)=sin(a)
tan(2*兀+a)=tana sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana sin(2*兀-a)=-sina,cos(2*兀-a)=cosa,tan(2*兀-a)=-tana sin(兀+a)=-sina sin(兀-a)=sina cos(兀+a)=-cosa cos(兀-a)=-cosa tan(兀+a)=tana 四、二倍角公式及其变形使用 1、二倍角公式 sin2a=2*sina*cosa cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2*(cosa)^2-1=1-2*(sina)^2 tan2a=(2*tana)/[1-(tana)^2] 2、二倍角公式的变形 (cosa)^2=(1+cos2a)/2 (sina)^2=(1-cos2a)/2 tan(a/2)=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina 五、正弦定理和余弦定理 正弦定理: a/sinA=b/sinB=c/sinC 余弦定理: a^2=b^2+c^2-2bccosA b^2=a^2+c^2-2accosB c^2=a^2+b^2-2abcosC cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab tan(兀-a)=-tana sin(兀/2+a)=cosa sin(兀/2-a)=cosa
第一部分 二 27 一、选择题 1.已知f (x )=2x ,则函数y =f (|x -1|)的图象为( ) [答案] D [解析] 法一:f (|x -1|)=2|x - 1|. 当x =0时,y =2.可排除A 、C . 当x =-1时,y =4.可排除B . 法二:y =2x →y =2|x |→y =2|x - 1|,经过图象的对称、平移可得到所求. [方法点拨] 1.函数图象部分的复习应该解决好画图、识图、用图三个基本问题,即对函数图象的掌握有三方面的要求: ①会画各种简单函数的图象; ②能依据函数的图象判断相应函数的性质; ③能用数形结合的思想以图辅助解题. 2.作图、识图、用图技巧 (1)作图:常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换. 描绘函数图象时,要从函数性质入手,抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行. (2)识图:从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系. (3)用图:图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究. 3.利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换: y =f (x )――→h >0,右移|h |个单位 h <0,左移|h |个单位y =f (x -h ), y =f (x )――→k >0,上移|k |个单位k <0,下移|k |个单位y =f (x )+k . ②伸缩变换: y =f (x )错误!y =f (ωx ),