陕师大附中高三年级第二次模考试题
数学(理科)
注意事项:
1.本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 答案均写在答题纸上,满分150分,时间
120分钟.
2.学生领到试卷后,请检查条形码信息是否正确. 并按规定在答题纸上填写姓名、准考证号,及填涂对应的试卷类型信息.
3.答卷必须用0.5mm 的黑色签字笔书写,字迹工整,笔迹清晰. 并且必须在题号所指示的答题区内作答,超出答题区域的书写无效.
4.只交答题纸,不交试题卷.
第 Ⅰ 卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分, 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.复数
3i
i
-在复平面上对应的点位于( ) .A 第一象限
.B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限
2.集合2
{90}P x x =-<,{13}Q x Z x =∈-≤≤,则P Q =( )
.A {33}x x -<≤
.B {13}x x -≤< .C {1,0,1,2,3}- .D {1,0,1,2}-
3.已知4cos 5α=-
且(,)2π
απ∈,则tan()4
πα+等于( )
.A 17
-
.B 7- .C 1
7
.D 7
4.若命题:p 对任意的x R ?,都有3210x x -+<,则p ?为( )
.A 不存在x R ?,使得3210x x -+< .B 存在x R ?,使得3210x x -+< .C 对任意的x R ?,都有3210x x -+≥
.D 存在x R ?,使得3210x x -+≥
5.在等比数列{}n a 中,14a =,公比为q ,前n 项和为n S ,若数列{2}n S +也是等比数列,则q 等于( )
.A 2
.B 2-
.C 3 .D 3-
6.已知向量(1,1)a =,2(4,2)a b +=,则向量,a b 的夹角的余弦值为( )
.
A
.
B .
C 2
.
D 2
-
7
.函数()sin(2))f x x x ??=+++是偶函数的充要条件是( )
.A ,6k k Z π
?π=+
∈
.B 2,6
k k Z π
?π=+∈
.C ,3
k k Z π
?π=+∈
.D 2,3
k k Z π
?π=+
∈
8.执行如下图所示的程序框图(算法流程图),输出的结果是( )
.A 9
.B 121
.C 130 .D 17021
9.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2,则21
3b a
+的最小值为( )
.
A .
B
.C 2
.D 1
10.如果实数x y 、满足条件101010x y y x y -+≥??
+≥??++≤?
,那么42x y z -=?的最大值为( )
.A 1
.B 2
.
C 12
.
D 14
11.已知偶函数()2
f x π
+,当(,)22
x ππ
∈-时,13
()sin f x x x =+. 设(1)a f =,(2)b f =,(3)c f =,
则( )
.A a b c <<
.B b c a << .C c b a << .D c a b <<
tan A B ?,则ABC ?的面积为( )
.
A
.B
.
C .
D 32
第 Ⅱ 卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷中相应的横线上.) 13.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,已知23a =,611a =,则7S = .
14.直线y x =与函数2
2,()42,x m
f x x x x m
>?=?++≤?的图象恰有三个公共点,则实数m 的取值范围是 .
15.设F 为抛物线2
14
y x =-
的焦点,与抛物线相切于点(4,4)P --的直线l 与x 轴交于点Q ,则PQF ∠= .
16.如右图,在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图, 则该多面体的外接球表面积为 .
三、解答题:本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1n n b S =,且331
2a b =,5321S S +=,记1
n
n i i T b ==∑,求n T .
18.(本小题满分12分)
如图,在ABC ?中,已知点D E 、分别在边AB BC 、上,且3AB AD =,2BC BE =.
(1)用向量AB 、AC 表示DE ;
(2)设6AB =,4AC =,60A =?,求线段DE 的长.
A
B
C
D
E
19.(本小题满分12分)
如图,AC 是圆O 的直径,点B 在圆O 上,30BAC ο∠=,
BM AC ⊥交AC 于点M ,EA ⊥平面ABC ,//FC EA ,4AC =,
3EA =,1FC =.
(1)证明:EM BF ⊥;
(2)求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值.
20.(本小题满分12分)
已知圆22
:1O x y +=和定点(2,1)A ,由圆O 外一点(,)P a b ||||PQ PA =.
(1)求实数a b 、间满足的等量关系;
(2)求线段PQ 长的最小值;
(3)若以P 为圆心所作的圆P 与圆O 有公共点,试求半径取 最小值时圆P 的方程.
21.(本小题满分12分)
已知函数)1ln()(2
++-=x ax x x f (R a ∈). (1)当2=a 时,求函数)(x f 的极值点;
(2)若函数)(x f 在区间)1,0(上恒有()f x x '>,求实数a 的取值范围;
(3)已知01>c ,且1()n n c f c +'=(1,2,)n =???,在(2)的条件下,证明数列{}n c 是单调递增数列.
请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 并请考生务必将答题卡
中对所选试题的题号进行涂写.
22.(本小题满分10分)选修44-:坐标系与参数方程选讲.
在平面直角坐标系xOy 中,曲线1cos :sin x a a C y a ?
?
=+??
=?(?为参数,实数0>a ),曲线2:C
cos sin x b y b b ?
?=??
=+?(?为参数,实数0>b ). 在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线)2
0,0(:π
αραθ≤
≤≥=l 与1C 交于O A 、两点,与2C 交于,O B 两点. 当0α=时,1||=OA ;当2
π
α=
时,2||=OB .
(1)求b a ,的值; (2)求||||||22
OB OA OA ?+的最大值.
23.(本小题满分10分)选修45-:不等式选讲.
设函数|1
||2|)(a
x a x x f -++=(x R ∈,实数0a <). (1)若2
5
)0(>
f ,求实数a 的取值范围; (2)求证:2)(≥x f .
高2017届第二次模拟 数学试题参考答案
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。
二、 填空题:本大题共3小题,每小题5分.
三.解答题:本大题共6道小题,共70分. 17.(本小题12分)
解:设等差数列{}n a 的公差为d ,则1(1)
2
n n n S na d -=+
. 所
以
311
2
3(3
1
)3
3(
)32
S a d a d a
-=+=+=,332
113b S a ==,
51135(51)
55(2)52
S a d a d a -=+
=+=. 由3133211533
211,,32 1.281321215321a a d a b a a d a d S S a a ??===??????==???
+=???+=+=?? 6分 所以(1)(1)22
n n n n n S n -+=+
=. 所以12112()(1)1n n b S n n n n =
==-++. 所以1
11
1
1
11122[()()()]2(1)1223111
n
n i i n
T b n n n n ==
=-+-+
+-=-=+++∑. 12分 18.(本小题满分12分)
解:(
1)由题意可得:
2132DE DB BE AB BC =+=+21()32AB AC AB =+-11
62
AB AC =+ 5分
(2)由1162
DE AB AC =+可得:22222
11111||()623664DE DE AB AC AB AB AC AC ==+=
+?+ 9分
22111
664cos60473664
=
?+????+?=. 故DE =
. 12分
19.(本小题满分12分)
证:(1)⊥EA 平面ABC ,?BM 平面ABC ,
BM EA ⊥∴.又AC ,BM ⊥ A AC EA =?, ⊥∴BM 平面.ACFE
而?EM 平面ACFE ,EM BM ⊥∴. 3分
AC 是圆O 的直径,90ABC ∴∠=.
又,BAC ?=∠30 4=AC ,,,BC AB 232==∴1,3==CM AM .
⊥EA 平面ABC ,EA FC //,1=FC ,⊥∴FC 平面ABCD . EAM ?与FCM ?都是等腰直角三角形.?=∠=∠∴45FMC EMA .
?=∠∴90EMF ,即MF EM ⊥(也可由勾股定理证得). M BM MF =? , ⊥∴EM 平面MBF .
而?BF 平面MBF ,⊥∴EM BF . 6分 (2)(文)
由(Ⅰ)可知,E BMF B MEF BM MEF BM V V --⊥=平面且而, 又有(Ⅰ)可知0
3,45,1,45AE AM AME FC CM CMF ==∴∠===∴∠=.
090EMF ∴∠=
,MB MF ==分
1
32MEF S ?∴=?=. 10分
1
33
E BM
F V -∴=?= 12分
(Ⅱ)(理)如图,以A 为坐标原点,,AC AE 所在的直线分别为y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 由已知条件得:
(0,0,0),(0,3,0),(0,0,3),3,0),(0,4,1)A M E B F ,
∴(3,3,3),(3,1,1)BE BF =--=-. 设平面BEF 的法向量为),,(z y x n =,
由0,0,n BE n
BF ?=?
= 得330
y z y z ?-+=??++=??,
令3=
x 得1,2y z ==,(
)
3,1,2n ∴=
. ……………9分
由已知⊥EA 平面ABC ,所以取面ABC 的法向量为 (0,0,3)
AE =. 设平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ,
(第19题图)
则cos cos ,2n AE θ→
=<>=
=. 平面BEF 与平面ABC
. 12分
20.(本小题满分12分) 【解析】(Ⅰ)连,
OP Q 为切点,PQ OQ ⊥,
由勾股定理有2
2
2
PQ OP OQ =-. 又由已知PQ PA =,故2
2
PQ PA =.
即2
2
2
2
2
()1(2)(1)a b a b +-=-+-.
化简得实数a 、b 间满足的等量关系为:230a b +-=. (Ⅱ)方法一:由230a b +-=,得23b a =-+
.
PQ ==
=
故当6
5a =
时,min PQ =
即线段PQ
方法二:由(Ⅰ)知,点P 在直线:230l x y +-=上, ∴min min ||||PQ PA =,即求点A 到直线l 的距离.
∴min ||5
PQ =
=(Ⅲ)设圆P 的半径为R ,因为圆P 与圆O 有公共点,圆O 的半径为1, 所以1 1.R OP R -≤≤+ 即1R OP ≥-且1R OP ≤+.
而OP ==
故当65a =
时,min OP = 此时, 3235
b a =-+=
,min 1R =. 所以半径取最小值时圆P
的方程为:2
2
26
3()()1)5
5
x y -+-=.
方法二:圆P与圆O有公共点,圆P半径最小时为与O外切(取小者)的情形,而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1,圆心P为过原点与l垂直的
直线l'与l的交点0P
.
11
5
r=-=-.
又:20
l x y
'-=,
解方程组
20,
230
x y
x y
-=
?
?
+-=
?
,得
6
,
5
3
5
x
y
?
=
??
?
?=
??
. 即
63
(,)
55
P.
∴所求圆方程为222
63
()()1)
55
x y
-+-=.
21.(本小题满分12分)
【解析】(Ⅰ)当2
=
a时,)1
ln(
2
)
(2+
+
-
=x
x
x
x
f,
1
()22
1
f x x
x
'=-+
+
2
21
1
x
x
-
=
+
.
令()0
f x
'=得:
2
2
±
=
x.
又1
-
>
x,且)
,
2
2
(
)
2
2
,1
(+∞
-
-
∈
x时,()0
f x
'>,
)
2
2
,
2
2
(-
∈
x时,()0
f x
'<.
所以,函数)
(x
f的极大值点为
2
2
-
=
x,极小值点为
2
2
=
x. 文6分(理4分)(Ⅱ)因为
1
()2
1
f x x a
x
'=-+
+
,由()
f x x
'>,得x
x
a
x>
+
+
-
1
1
2,
即
1
1
+
+
<
x
x
a,(01)
x
<<.
又
11
111
11
y x x
x x
=+=++->
++
(∵11
x+>),
∴1
a<. 文12分(理8分)(Ⅲ)(理)①当1
=
n时,211
1
1
()2
1
c f c c a
c
'
==-+
+,又
1
>
c, ∴1
1
1
>
+
c,且1
a<,
∴111112++
-=-c a c c c )1(1
1
111+-+++=a c c 2(1)10a a >-+=->. ∴12c c >,即当1=n 时结论成立.
②假设当)(+∈=N k k n 时,有k k c c >+1,且0>k c ,则当1+=k n 时,
1
11112++
-=-++++k k k k c a c c c )1(1
1111+-++
+=++a c c k k 2(1)10a a >-+=->.
∴12++>k k c c , 即当1+=k n 时结论成立.
由①,②知数列{}n c 是单调递增数列. (理12分)
22.【解析】(Ⅰ)将1C 化为普通方程为222
()x a y a -+=,其极坐标方程为2cos a ρθ=,
由题可得当0θ=时,||1OA ρ==,∴1
2
a =
. 2分 将2C 化为普通方程为222
()x y b b +-=,其极坐标方程为2sin b ρθ=,
由题可得当2
π
θ=
时,||2OB ρ==,∴1b =. 4分
(Ⅱ)由,a b 的值可得1C ,2C 的方程分别为cos ρθ=,2sin ρθ=, ∴2
2
2||||||2cos 2sin cos sin 2cos 21OA OA OB θθθθθ+?=+=++
)14
π
θ=++. 6分
52[,],444
π
ππθ
+
∈ )14
πθ++1,当2,428
πππ
θθ+==即时取到. 10分
23.【解析】(Ⅰ)∵0,即25
102
a a ++>, 解得2a <-或1
02
a -
<<. 4分 (Ⅱ)13,2111()|2|||,2
113,a x a x a a
f x x a x x a x a a a x a x a a ?
+-≥-???=++-=---<<-???
--+≤??
, 6分
当2a x ≥-
时,1()2a f x a ≥--;当12a x a <<-时,1
()2a f x a
>--;
当1x a ≤
时,2
()f x a a
≥--. 8分
∴min 1()2a f x a =--≥=12a a -=-即a =
∴2)(≥x f . 10分
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科(四) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1.已知集合{}2,101,, -=A ,{} 2≥=x x B ,则A B =I A .{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A .2x y = B .y x = C .y x = D .2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )-sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 ( ) A .命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B .“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C .若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D .若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A .80 B .40 C .31 D .-31 7.如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A .π16+ B .π416+ C .π8+ D .π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中,常数项为 A .64 B .30 C . 15 D .1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A .(1,2) B .(2,)e C . (,3)e D .(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图,若0.9p =,则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==, S p 是 输入p 结束 输出n 12n S S =+ 否 1n n =+ 1 2 1 2 2 1 主视图 左视图 俯视图
银川一中2020届高三年级第四次月考 理 科 数 学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合{1,2,4}A =,2{|40}B x x x m =-+=,若}1{=B A I ,则B = A .{}1,3- B .{}1,0 C .{}1,3 D .{}1,5 2.设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称,13z i =+,则12z z = A .10 B .9i -- C .9i -+ D .-10 3.已知向量)4,(),3,2(x b a ==,若)(b a a -⊥,则x = A . 2 1 B .1 C . 2 D .3 4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若3623a a +=,535S =,则{}n a 的公差为 A .2 B .3 C .6 D .9 5.已知m ,n 是空间中两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确 的是( ) A .若βαβα//,,??n m ,则n m // B .若βαα//,?m ,则β//m C. 若βαβ⊥⊥,n ,则α//n D .若βα??n m ,,l =βαI ,且l n l m ⊥⊥,,则βα⊥ 6.某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》,《茶馆》,《天籁》,《马蹄声碎》四部话剧,每天一部,受多种因素影响,话剧《雷雨》不能在周一和周四上演,《茶馆》不能在周一和周三上演,《天籁》不能在周三和周四上演,《马蹄声碎》不能在周一和周四上演,那么下列说法正确的是 A .《雷雨》只能在周二上演 B .《茶馆》可能在周二或周四上演 C .周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D .四部话剧都有可能在周二上演 7.函数x e x f x cos )112 ( )(-+=(其中e 为自然对数的底数)图象的大致形状是