北京市西城区2017年初三统一测试
数学试卷
2017.4
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．
是符合题意的． 1．据报道，到2020年北京地铁规划线网将由19条线路组成，总长度达到561 500米．将561
500用科学记数法表示为 (A) .05615×106 (B) 5.615×105 (C) 56.15×104 (D) 5 61.5×103
2．下列运算正确的是
(A) 3362a a a += (B) 532
a a a -= (C) 22
4
2a a a = (D) 52
10
()a a = 3. 不等式 x -1 >0的解集在数轴上表示正确的是
(A) (B) (C) (D)
4．在一个不透明的袋子里装有5个完全相同的乒乓球，把它们标号分别记为1，2，3，4，5，
从中随机摸出一个小球，标号为奇数的概率为 (A)
15
(B) 25 (C) 35 (D) 45
5大小在下列哪两个实数之间
(A) 0与1 (B) 1与2 (C) 2与3 (D) 3与4 6．右图是由射线AB ， BC ， CD ， DE ， EA 组成的平面图形，若∠1+
∠2+∠3+∠4=225°，ED ∥AB ，则∠1的度数为
(A)55° (B)45° (C)35° (D)25°
7．已知反比例函数6
y x
=
，当1＜x ＜2时，y 的取值范围是 (A) 1＜y ＜3 (B) 2＜y ＜3 (C) 1＜y ＜6 (D) 3＜y ＜6
8.如图，以点O 为圆心，AB 为直径的半圆经过点C ，若C 为弧AB 的中点，若AB =2，则图中阴影部分的面积是（ ）
(A)
2
π
(B) 122π+
(C)
4π (D) 124
π
+
9. 如图，点A 在观测点的北偏东方向30 °，且与观测点的距离为8千米，将点A 的位置记作A （8，30°），用同样的方法将点B ，点C 的位置分别记作B （8，60°），C （4，60°），则观测点的位置应在
(A) O 1 (B)O 2 (C) O 3 (D) O 4
10.某大型文体活动需要招募一批学生作为志愿者参与服务.已
知报名的男生有420人，女生有400人，他们身高在155≤x ＜175，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知该校共有女生400人，男生420人，抽取的样本中，男生比女生多2人，利用所得数据绘制如下统计图表：
根据统计图表提供的信息，下列说法中
① 估计报名者中男生的身高的众数在D 组；
② 估计报名者中女生的身高的中位数在B 组； ③ 抽取的样本中，抽取女生的样本容量是38；
④ 估计报名者中身高在160≤x ＜170之间的学生约有400人 其中合理的是 (A)①② (B) ) ①④ (C)②④
(D) ③④
二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 如图, 在长方体中，所有与棱AB 平行的棱
是 .
12．关于x 的方程2
40x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值
为 .
13．如图，正方形ABCD ，AC 为对角线，点E 在AC 上，且AE =AB ，则∠BED 的度数为 °．
14. 在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 半径是5，点A 为⊙O 上一点，
AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，若四边形ABOC 面积为12， 写出一个符合条件的点A 坐标 .
15. 右图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个
正确的等式 .
16．《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法.
在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法.例如在计算“当8=x 时，多项式835432
3
+--x x x 的值”，按照秦九昭算法，可先将多项式
8354323+--x x x 一步地进行改写：
()
8354383543223+--=+--x x x x x x ()[]83543+--=x x x
按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法次数，
使计算量减少. 计算当8x =时，多项式的值为1008．
请参考上述方法，将多项式3
2
21x x x ++-改写为： ，当8x =时，多项式的值为 ．
A
E
M
H F
D
B
三、解答题（本题共72分，第17～26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17101
2()4sin 453
π----．
18．方程组为 1
328y x x y =-??+=?
19．已知2340x x --=，求代数式22(1)(1)(3)2x x x x +--++的值．
20．列方程（组）解应用题
某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该
款式的衬衫，但每件进价比第一批的每件进价少了10元，且进货量是第一批进货量的一半，求第一批购进这种衬衫每件进价是多少元．
21．如图， 在Rt △ABC 中，∠ABC =90 °，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE ⊥AC 于点
E ， B
F ∥DE 交CD 于点F ．
求证： DE =BF ．
22.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =∠ACB =90 °. 对角线AC ，BD 交于点O ，
DE 平分∠ADC 交BC 于点E ，连接OE .
（1）求证：四边形ABCD 是矩形；
（2）CD=2，∠COD =60 °.求△BED 的面积.
23．直线24y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）
经过点A ，与y 轴交于点C ，且OC =OA ． （1）求点A 的坐标及k 的值；
（2）点C 在x 轴上方，上点P 在第一象限，且在直线24y x =-+上，若PC =PB ，求点P
的坐标．
24．阅读下列材料：
社会消费品零售总额是指批发和零售业，住宿和餐饮业以及其他行业直接售给城乡居民和社会集团的消费品零售额．在各类与消费有关的统计数据中，社会消费品零售总额是表现国内消费需求最直接的数据．
2012年，北京市全年实现社会消费品零售额7702.8.5亿元，比上一年增长11.6%。2013年，全年实现社会消费品零售总额8375.1亿元，比上一年增长8.7%。2014年，全年实现社会消费品零售总额9098.1亿元，比上一年增长8.6%。2015年，全年实现社会消费品零售总额10338亿元，增长7.3%．
2016年，北京市实现市场总消费额19926.2元，比上一年增长了8.1%；其中实现服务性消费额8921.1元，增长了10.1%；实现社会消费品零售总额11005.1亿元，比上一年增长了6.5%．
根据以上材料解答下列问题:
(1)补全统计表；
2012-?-2016年北京市社会消费品零售总额统计表
(2)选择适当的统计图将2012-2016年北京市社会消费品零售额的比上一年增长的增长
率表示出来，并在图中标明相应数据；
(3)根据以上信息，估计2017年北京市社会消费品零售额比上一年的增长率约为，你的
预估理由是．
25．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，与AC延长线交于点D，连接BC，OE∥BC交⊙O于点E，连接BE交AC于点H．
（1）求证：BE平分∠ABC；
（2）连接OD，若BH=BD=2，求OD的长．
26．学习了《平行四边形》一章以后，小东根据学习平行四边形的经验，对平行四边形的判定问题进行了再次探究．
以下是小东的探究过程，请补充完整：
（1）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．若AB∥CD，补充下列条件中能判断四边形ABCD是平行四边形的是；（写出一个你认为正确选项的序号即可）；
（A）BC＝AD（B）∠BAD=∠BCD （C）AO＝CO，
（2）将（1）中的命题用文字语言表述为：
①命题1 ；
②画出图形，并写出命题1的证明过程；
（3）小东进一步探究发现：
若一个四边形ABCD的三个顶点A，B，C的位置如图所示，且这个四边形满足CD=AB，∠B=∠D，但四边形ABCD不是平行四边形，画出符合题意的四边形ABCD，进而
不东发现：命题2“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是一个
假命题．
27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2ax -3a (a > 0)与x轴交于A，B两点(点A在点
B的左侧).
（1）求抛物线的对称轴及线段AB的长；
（2）若抛物线的顶点为P，若∠APB=120 °，求顶点P的坐标及a的值；
（3）若在抛物线上存在点N，使得∠ANB=90 °，结合图形，求a的取值范围．
28．△ABC是等边三角形，以点C为旋转中心，将线段CA顺时针方向旋转60°得到线段CD，连接BD交AC于点O．
（1）如图1，
①求证：AC垂直平分BD；
②点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND=NM，连接BN，判断
△MND的形状，并加以证明；
（2）如图2，点M在BC的延长线上，点N在线段AO上，且ND=NM，补全图2．求证：NA = MC．
29．在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的顶点坐标分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，对于△ABC 的
“横长”、 “纵长”、 “纵横比”给出如下定义：
将|x 1? x 2|，|x 2? x 3|，|x 3? x 1|中的最大值，称为△ABC 的“横长”，记作D x ；将|y 1? y 2|，| y 2? y 3|，| y 3? y 1|中的最大值，称为△ABC 的“纵长”，记作D y ；把y x
D D 叫
做△ABC “纵横比”，记作y x
D D λ=．
例如：如图1,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A (0,3),B (2,1),C (?1,?2) ． 则 D x =|2?(?1)|=3. D y =|3?(?2)|=5. 纵横比53y x D D λ==．
（1）如图2,点A (1，0).
① 点B (2，1) ，E (-1，2)，
则△AOB 的纵横比1λ ， △AOE 的纵横比2λ ；
② 点在F 第四象限，若△AOF 的纵横比为1，写出一个符合条件的点F 的坐标； ③ 点M 是双曲线1
2y x
=
上一个动点，若△AOM 的纵横比为1，求点M 的坐标； （2）如图3,点A (1，0)，⊙P 以P (0
为圆心，1为半径，点N 是⊙P 上一个动点，
直接写出△AON 的纵横比λ的取值范围.