4.4 二元一次方程组的应用（1）
教学内容分析：本节课一方面在列方程（组）的建模过程中，强化了方程的模型思想，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和能力，另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决中，进一步提高学生解方程组的能力.本节课也是上册一元一次方程的应用的延续和发展，进一步培养学生初步的抽象、想象、逻辑思维能力；同时，利用列表、画线段图等手段能帮助学生提高分析问题和解决问题的能力，而这些能力的形成，无疑是拿到了解决实际问题的“金钥匙”.
教学目标：
1、了解列二元一次方程组与列一元一次方程组的异同.
2、经历和体验方程组解决实际问题的过程，了解应用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.
3、学会用二元一次方程组解决实际问题.
4、会用列表、画线段图等手段帮助分析理解实际问题.
教学重点：让学生经历和体验二元一次方程组解决实际问题的过程，会用列方程组解决实际问题.
教学难点：在实际问题中找等量关系、列方程组.
教学准备：多媒体显示游泳池中的数学问题的情境、例题及步骤的归纳等.
教学过程：
一、创设情景，合作学习，引入课题
合作学习：游泳池中的数学问题.
1、出示情景（多媒体显示实际情景）.
2、复习解决问题的常用手段，用算术方法求解与列一元一次方程来求解.
上两种方法解这个问题，很难求解.
3、合作学习、解决问题（展示学生的解题过程）.
4、讨论：（1）本题用什么知识来解决问题？（引出课题）
（2）列二元一次方程解决问题与列一元一次方程解决问题，有什么异同，有什么优点？
归纳：列二元一次方程解决问题，能使问题变得简单，比较容易找出等量关系，
但必须设两个未知数，找出两条等量关系，列两条不同的方程.
二、分析问题解决问题归纳步骤
（一）典型例题，例1的教学
1、能不能用刚才合作学习中得来的知识解决实际问题？（出示例1）
2、让学生分析题中的已知与未知，并问：如何找等量关系
3
量关系：盖式纸盒中正方形的张数＋横式纸盒中正方形的张数＝1000
形的张数＋横式纸盒中长方形的张数＝2000张.
4、师生共同完成解题过程.
x+2y=1000①
解：设做竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个，根据题意，得
4x+3y ＝2000 ②
①×4－②得，5y ＝2000 ∴y ＝400
把y ＝400代入①，得x ＋800＝1000 ∴x ＝2000
∴方程组的解为??
?==400
200
y x
经检验这个解满足方程组，且符合题意.
答：做竖式纸盒200个，横式纸盒400个，恰好将库存的纸板用完. 5、合作讨论，应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤： 理解问题——制订计划——执行计划——回顾反思（多媒体显示）.
其中理解问题指审题，搞清已知和未知，分析数量关系；制订计划是指考虑如何根据等量关系设元，列出方程组，执行计划是指列出方程算求解，得到原数；回顾反思是指回顾解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意.
6、归纳指出：本题的等量关系不很明显，可通过列表格的形式帮助我们理解问题与制订计划.
（二）做一做.
1、例1的变式练习（课内练习1）.
指出：回顾反思是解决问题必不可少的一部分. 2、练习2
指出：运用线段图能帮助我们分析数量关系，更好地理解问题、解决问题.下面是本题的线段图.
设甲、乙两人每时分别走x 千米、y 千米，
则（1）
（2）
三、自主建构，形成系统，拓展提高. （一）通过以上几个问题的解决，让学生谈谈对解决问题的感悟与体验，
个方面展开： 1、列表与画线段图能有效地帮助我们分析问题，找等量关系.
2、应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤
3、列二元一次方程组的关键是什么？（找等量关系）应注意什么？
4、要注重理解问题与回顾反思的重要性.
（二）做一做. 解决一个配套问题：作业是第2题，题中挖出的土＝运出的土，当然这也是一个等量关系. 四、布置作业
教科书104页的作业题与作业本上的练习.备选例题：另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：下的鸽子就是整个鸽群的
3
1
知道树上、树下各有多少鸽子？
备选练习：
1、两列火车从相距910千米的甲、乙两地同时相向出发，10小时后相遇，如果第一列火车比第二列火车先出发4小时20分，那么在第二列火车出发8小时后相遇，问两列火车每小时各行多少千米
2、某服装厂加工一批运动服，每15米布料能裁上衣10件或裁裤子13条，现有布料345米，为了使上衣和裤子配套，裁上衣和裤子的布料各是多少米？
设计思
1、本教案采用“问题情景——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开教学.充分利用学生身边的实际问题，尽可能增加教学过程的趣味性、实践性，利用多媒体辅助手段丰富学生的学习资料，生动活泼地展示所学内容，强调学生的动脑思考和主动参与，通过集体讨论、小组活动，以合作学习促进学生的自主探究.
2、教师是学生学习的组织者、促进者、合作者，学生是学习的主人，在教师的指导下主动地、富有个性地学习，用自己的大脑去亲自探索，用自己的心灵亲自去体验、去感悟.
4.4 二元一次方程组的应用（2）
方法后，进一步让学生体会方程是刻画现实世界的有效数学模型的一节课，定系数法，学内容中有要我们所求的量较多（多于两个）时如何列二元一次方程组解决，要求较高，有利于学生分析问题、解决问题能力的提高.
教学目标：
1、掌握利用二元一次方程组求字母系数（待定系数法）.
2、进一步掌握利用二元一次方程解决实际问题.
3教学重点、难点：重点是让学生熟练掌握利用二元一次方程组解决实际问题，信息量大，所求未知量较多的实际问题时（例2）的分析与体会.
教学准备：多媒体制作几个例题及解答，待定系数法步骤的归纳.
教学过程：
一、利用二元一次方程组，求关系式中的字母系数.
1、出示例2，并分析例2，①从所求出发，求p 、q ②从已知出发，如何利用q pt l +=及两对已知量，当t ＝100℃时，l ＝2.002米和当t 时，l ＝2.01米.
③求得字母系数后，就可得到p 与t 的关系式，那么第（2）题中，已知p ＝如何求t 的值.
100p+q=2.002 ① 2、解：根据题意得
500p+q=2.01
②－①得400p=0.008
解得p=0.00002
把p=0.00002代入①得0.002＋q＝2.002
解得q＝2
答：p=0.00002q＝2
得t＝0.00002＋2，金属棒加热后，长度伸长到2.016米，即当t＝2.016时，2.016＝0.00002t
∴t＝800℃
3、变式：上题中当这根金属棒加热到200℃时，它的长度是多少？
解：由（1）得t＝0.00002t＋2
当t=200时，t＝0.00002×200＋2＝2.004米
答：此时它的长度是2.004米
4、合作讨论：例2的解题步骤？
讨论归纳：①代入（将已知的量代入关系式）
②列（列出二元一次方程组）
③解（解这个二元一次方程组）
④回代（把求得p、q值重新回代到关系式中，
如只有t与t）
指出：这种求字母系数的方法称为待定系数法.
5、做一做：：（可选用后面的补充例题1或补充练习1或作业题第3题）
二、利用二元一次方程组解决信息量大，未知数多（多于2个）的实际问题.
1、复习上节课中应用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤.
生回答：理解问题——制订计划——执行计划——回顾反思.
2、出示例3，理解例3（理解问题）
①师生共同找例3的特征
特征一：信息量多（有3条信息）关系复杂（有多个量参与）
特征二：所求的量多（4个成份质量和所占的百分比）
②找题中的等量关系a、蛋白质含量＋脂含量＝总质量×50%
b、矿物质含量＝2×脂肪含量
c、蛋白质含量＋碳水化合物合量＝总含量×83%
d、碳水化合物含量＋矿物质含量＝总质量×50%
……
3、分析如何设元与列式（制订计划）
生讨论得出：设蛋白质和脂肪的含量较好，
哪些等量关系列式？
生讨论得出：利用上面所找的等量关系的a与d.
4、解：（执行计划）
（1）略
（2）问：如何制作扇形统计图
归纳：已知百分比，可先求得角度的大小，再画图，
画图（略）.
5、检验所求答案是否符合题意，并反思本例对我们有什么启示？
利用它们的数量关系适当地设元，然后列方程组解题.
三、分小组 合作探究： 内容：书本P106的探究活动. 分组讨论，汇报结果，教师评价. 四、归纳小节，谈谈本节课的收获 可以围绕以下几个问题，展开讨论：
1、如何求一些公式中的字母系数（待定系数法）它的一般步骤是怎样的？
2、怎样解决一些信息量大，关系比较复杂的实际问题？ 五、布置作业
教科书中的作业题、作业本或根据学生的实际情况可以从下列的备选题中选做. 备选例题：为了学生的身体健康，学生课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的，小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身高调节高度，于是他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度，得到如下数据：
）
（1）小明经过数据探究，发现：桌高y 与凳高x 符合关系或y=kx+b ，请求出k 与b 的值.
（2）小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm ，凳子的高度为43.5cm
，请你判断它们是否配套？说明理由.
备选练习：1、在某地，人们发现某种蟋蟀1min ，所叫次数x 与当地温度T 之间的关系或为T ＝ax ＋b ，下面是蟋蟀所叫次数与温度变化情况对照表： （1）根据表中的数据确定a 、b 的值.
（2）如果蟋蟀1min 叫63次，那么该地当时的温度约为多少摄氏度？
2、某山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a 元，一名小学生的学习费用要b 元，某校积极捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好
捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：
（1）求a 、b 的值.
（2捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不需写出计算过程）.
设计思想：
1
这一思想，让学生自主学习，合作探究，发展学生的“最近发展区”.对复杂问题的理解，要尽量顺着学生的经验与思路，用有针对性的、适宜的策略，引导和启发学生进行自我建构，如例2、例3的教学都试图体现这一点.
2、这套教材的另一特点是活动教学的思想，如本教案中的做一做，探究活动，都试图让学生在数学学习过程中亲身参与、独立探索、动手实践和合作交流，在有意义的活动中建构自己的数学知识，获得对数学的理解，发展数学能力.