高等数学方明亮版第十一章答案
习 题 11-1
1．判断下列方程是几阶微分方程？
（1）2
3
d tan 3sin 1d ??=++ ???
y y t t t t ； （2）(76)d ()d 0-++=x y x x y y ；
（3）2()20''''-+=x y yy x ； （4）422()0'''''++=xy y x y ．
解 微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高阶数，叫做微分方程的阶．所以有，
（1）一阶微分方程； （2）一阶微分方程； （3）三阶微分方程； （4）三阶微分方程． 2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： （1）2'=xy y ，25=y x ；
（2）0''+=y y ，3sin 4cos =-y x x ； （3）20'''-+=y y y ，2e =x y x ；
（4）2()()20'''''-++-=xy x y x y yy y ，ln()=y xy ．
解 （1）将10'=y x 代入所给微分方程的左边，得左边210=x ，而右边＝22(5)x 210=x =左边，所以25=y x 是2'=xy y 的解． （2）将3cos 4sin '=+y x x ，3sin 4cos ''=-+y x x 代入所给微分方程的左边，得左边(3sin 4cos )(3sin 4cos )0=-++-==x x x x 右边，所以3sin 4cos =-y x x 是所给微分方程0''+=y y 的解．
（3）将2e =x y x ，22e e '=+x x y x x ，22e 4e e ''=++x x x y x x 代入所给微分方程的左边，得
左边222(2e 4e e )2(2e e )e 2e 0=++-++=≠x x x x x x x x x x x x （右边）， 所以2e =x y x 不是所给微分方程20'''-+=y y y 的解．
（4）对ln()=y xy 的两边关于x 求导，得
1''=+y y x y
，
即 ''=+xyy y xy ． 再对x 求导，得
2()''''''''++=++yy x y xyy y y xy ， 即 2()()20'''''-++-=x y x
y x y y y y ，
所以ln()=y xy 是所给微分方程2()()20'''''-++-=xy x y x y yy y 的解．
3．确定下列各函数关系式中所含参数，使函数满足所给的初始条件． （1）22-=x y C ， 05==x y ； （2）2120()e ,0==+=x x y C C x y ，0
1='
=x y ．
解 （1）将0=x ，5=y 代入微分方程，得
220525=-=-C
所以，所求函数为2225-=y x ．
（2）222212122e 2()e (22)e '=++=++x x x y C C C x C C C x ，将0
0==x y ，0
1='
=x y 分别代
入
212()e =+x y C C x 和2122(22)e '=++x y C C C x ，
得
10=C ，21=C ，
所以，所求函数为2e =x y x ．
4．能否适当地选取常数λ，使函数e λ=x y 成为方程90''-=y y 的解．
解 因为e λλ'=x y ，2e λλ''=x y ，所以为使函数e λ=x y 成为方程 90''-=y y 的解，只须满足
2e 9e 0λλλ-=x x ，
即 2(9)e 0λλ-=x ．
而e 0λ≠x ，因此必有290λ-=，即3λ=或3λ=-，从而当3λ=，或3λ=-时，函数33e ,e -==x x y y 均为方程90''-=y y 的解．
5．消去下列各式中的任意常数12,,C C C ，写出相应的微分方程． （1）2y Cx C =+； （2）()tan y x x C =+；
（3）12e e x x xy C C -=+； （4）212()y C C x -=．
解 注意到，含一个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程；含两个独立常数的式子对应于二阶微分方程．
（1）由2=+y Cx C 两边对x 求导，得
'=y C ， 代入原关系式2y Cx C =+，得所求的微分方程为 2()''+=y xy y ．
（2）由tan()=+y x x C 两边对x 求导，得
2tan()sec ()'=+++y x C x x C ，
即
2tan()tan ()'=++++y x C x x x C ．
而
tan()=+y
x C x
，故所求的微分方程为 2
?
?'=++ ???
y y y x x x x ，
化简得
22'=++xy y x y ． （3）由12e e -=+x x xy C C 两边对x 求导，得
12e e -'+=-x x y xy C C ，
两边再对x 求导，得
12e e -''''++=+x x y y xy C C ，
这样便可得所求的微分方程为
2'''+=xy y xy ．
（4）由212()-=y C C x 两边对x 求导，得
122()'-?=y C y C ，
将2
12()-=y C C x
代入上式，并化简得
12'=-xy y C ，
对上式两边再对x 求导，得
22''''+=y xy y ，
故所求的微分方程为
20'''+=xy y ．
习 题 11-2
1．求下列微分方程的通解或特解：
（1）ln 0xy y y '-=； （2）cos sin sin cos 0x ydx x ydy +=； （3）22()y xy y y '''-=+； （4）(1)d ()d 0x y x y xy y ++-=； （5）23yy xy x '=-，0
1x y
==； （6）22sin d (3)cos d 0x y x x y y ++=，16
x y
=π=
． 解 （1）分离变量，得
11
d d ln =y x y y x
， 两端积分，得
ln(ln )ln ln =+y x C ，
即
ln =y Cx ，
所以原方程的通解为
e =Cx y ．
注 该等式中的x 与C 等本应写为||x 与||C 等，去绝对值符号时会出现±号；但这些±
号可认为含于最后答案的任意常数C 中去了，这样书写简洁些，可避开绝对值与正负号的冗繁讨论，使注意力集中到解法方面，本书都做这样的处理．
（2）原方程分离变量，得
cos cos d d sin sin =-y x
y x y x
， 两端积分，得
ln(sin )ln(sin )ln =-+y x C ，
即
ln(sin sin )ln ?=y x C ，
故原方程的通解为
sin sin ?=y x C ．
（3）原方程可化成
2d (1)
2d -+=y
x y x
， 分离变量，得
212d d 1=-+y x y x ， 两端积分，得 1
2ln(1)-=-+-x C y
，
即
1
2ln(1)=
++y x C
是原方程的通解．
（4）分离变量，得
d d 11
=+-y x y x y x ， 两边积分，得
ln(1)ln(1)ln -+=+-+y y x x C ，
即
e (1)(1)y x C y x -=+-
是原方程的通解．
（5）分离变量，得
2d d 31
=-y
y x x y ， 两端积分，得
2211
ln(31)ln 62
-=+y x C ， 即
2112
6
2
(31)e
x y C -=．
由定解条件0
1==x y
，知
16
(31)-=C ，即16
2=C ，
故所求特解为
21112
6
6
2
(31)2x y e
-=，即2
23312e -=x y ．
（6）将方程两边同除以2(3)sin 0+≠x y ，得
22cos d d 03sin +=+x y
x y x y
， 两端积分，得
122cos d d 3sin +=+??x y
x y C x y ，
积分后得
2ln(3)ln(sin )ln ++=x y C （其中1ln =C C ），
从而有
2
(3)sin +=x y C ，
代入初始条件1
6
=π
=
x y
，得 4sin
26
π
==C ． 因此，所求方程满足初始条件的特解为
2(3)sin 2+=x y ，
即
2
arcsi 3
n 2
y x =+． 2．一曲线过点0(2,3)M 在两坐标轴间任意点处的切线被切点所平分，求此曲线的方程． 解 设曲线的方程为()y y x =，过点(,)M x y 的切线与x 轴和y 轴的交点分别为(2,0)A x 及(0,2)B y ，则点(,)M x y 就是该切线AB 的中点．于是有
22'=-y
y x ，即x
y y '=-，且(2)3=y ， 分离变量后，有
11
d d =-y x y x
， 积分得
ln ln ln =-y C x ，
即
=C y x
．
由定解条件23==x y ，有
6=C ，
故6
=
y x
为所求的曲线． 3．一粒质量为20克的子弹以速度0200v =（米/秒）打进一块厚度为10厘米的木板，然后穿过木板以速度180v =（米/秒）离开木板．若该木板对子弹的阻力与运动速度的平方成正比（比例系数为k ），问子弹穿过木板的时间．
解 依题意有
2d d =-v
m kv t
，0200==t v ， 即
21d d -=k
v t v m
， 两端积分得，
10.02
=+=+k k
t C t C v m （其中20克＝0.02千克）
， 代入定解条件0200==t v ，得 1
200
=
C ，
故有200
100001
=
+v kt ．
设子弹穿过木板的时间为T 秒，则
0200
0.1d 100001
=+?
T
t kt
0200ln(100001)10000=+T
kt k 1ln(100001)50=+kT k
， 又已知=t T 时，180==v v 米/秒，于是
200
80100001
=
+kT ， 从而，
0.00015=kT ，
为此有
0.1ln(1.51)500.00015
=+?T
，
所以
0.10.0075ln 2.5=?T 0.00075
0.00080.9162
≈=（秒）
， 故子弹穿过木板运动持续了0.0008=T （秒）．
4．求下列齐次方程的通解或特解： （1
）0xy y '-； （2）22()d d 0x y x xy y +-=；
（3）3
3
2
()d 3d 0x y x xy y +-=； （4）(12e )d 2e (1)d 0x x y y
x
x y y
++-=；
（5）22d d y
x xy y x
=-，11x y ==； （6）22(3)d 2d 0y x y xy x -+=， 01x y ==．
解 （1）原方程变形，得
'=+y y x
令=y
u x
，即=y ux ，有''=+y u xu ，则原方程可进一步化为
'+=u xu u ，
分离变量，得
1
d =u x x ，
两端积分得
ln(ln ln +=+u x C ，
即
u Cx ，
将=
y
u x
代入上式并整理，得原方程的通解为
2y Cx ．
（2）原方程变形，得
22d d +=
y x y x xy
，即2
1d d x x
y y x y ??+ ???=． 令=
y
u x
，即=y ux ，有''=+y u xu ，则原方程可进一步化为 2
1+'+=u u xu u
， 即
1
d d =u u x x
，
两端积分，得
2
11ln 2
=+u x C ， 将=y
u x
代入上式并整理，得原方程的通解为
22(2ln )=+y x x C （其中12=C C ）．
（3）原方程变形，得
332d d 3+=y x y x xy ，即3
2
d 1()d 3()+=y y x x y x ， 令=y ux ，有d d d d =+y u
u x x x
，则原方程可进一步化为
3
2
d 1d 3++=
u u u x x u ， 即
3231
d d 12u u x u x
=-， 两端积分，得
311
ln(12)ln ln 22
--=-u x C ， 即
23(12)-=x u C ，
将=y
u x
代入上式并整理，得原方程的通解为
332-=x y Cx ． （4）显然，原方程是一个齐次方程，又注意到方程的左端可以看成是以x
y
为变量的函数，故令=
x u y ，即=x uy ，有d d d d =+x u u y y y
，则原方程可化为
d ()(12
e )2e (1)0d +++-=u u u
u y
u y
， 整理并分离变量，得
2e 11
d d 2
e +=-+u u u y u y
， 两端积分，得
ln(2e )ln ln +=-+u u y C ，
即
2e +=
u C
u y
． 将=
x
u y
代入上式并整理，得原方程的通解为 2e +=x y
y x C ．
（5）原方程可化为
2
d d ??=- ???
y y y x x x ． 令=
y
u x
，有d d d d =+y u u x x x ，则原方程可进一步化为
2d d +=-u
u x u u x
，
即
211
d d -=u x u x
， 两端积分，得
1
ln =+x C u
， 将=y
u x
代入上式，得
ln =+x
x C y
， 代入初始条件11==x y ，得 1ln11=-=C ．
因此，所求方程满足初始条件的特解为
1ln =
+x
y x
． （6）原方程可写成
22d 1320d -+=x x x y y y
．
令=x u y ，即=x uy ，有d d d d =+x u u y y y
，则原方程成为
2d 132()0d -++=u
u u u y
y
， 分离变量，得
221
d d 1=-u u y u y
， 两端积分，得
2ln(1)ln ln -=+u y C ，
即
21-=u Cy ，
代入=x
u y
并整理，得通解
223-=x y Cy ．
由初始条件0
1==x y
，得1=-C ．于是所求特解为
322=-y y x ．
5．设有连结原点O 和(1,1)A 的一段向上凸的曲线弧OA ，对于OA 上任一点(,)P x y ，曲线弧OP 与直线段OP 所围成图形的面积为2x ，求曲线弧OA 的方程．
解 设曲线弧的方程为()=y y x ，依题意有
20
1
()d ()2
-=?x y x x xy x x ， 上式两端对x 求导，
11()()()222
'--=y x y x xy x x ，
即得微分方程
4'=-y y x
， 令=y
u x
，有d d d d =+y u u x x x ，则微分方程可化为
d 4d +=-u u x u x ，即d 4d =-u x x
，
积分得
4ln =-+u x C ，
因=y
u x
，故有
(4ln )=-+y x x C ．
又因曲线过点(1,1)A ，故1=C ．于是得曲线弧的方程是
(14ln )=+y x x ．
6．化下列方程为齐次方程，并求出通解：
（1）(1)d (41)d 0--++-=x y x y x y ； （2）()d (334)d 0+++-=x y x x y y ． 解 （1）原方程可写成
d 1
d 41
-++=
+-y x y x y x ，
令10410x y y x --=+-=???
，解得交点为1=x ，0=y ．作坐标平移变换1=+x X ，=y Y ，有
d d d d d(1)d ==
+y Y Y
x X X
， 所以原方程可进一步化为
d d 4-=
+Y Y X
X Y X
（*） 这是齐次方程．
设=Y u X ，则=Y uX ，d d d d =+Y u u X
X X
，于是（*）式可化为 1
d d 41Y Y X Y X X
-=
?+， 即
d 1
d 41
-+=
+u u u X X u ， 变量分离，得
2411d d 41+=-+u u X u X
，
两端积分，得
2111
ln(41)arctan(2)ln 22
++=-+u u X C ， 即
22
ln (41)arctan(2)??++=??X u u C 1(2)=C C ，
将1
=
=
-Y y
u X x 代入上式，得原方程的通解为 22
2ln 4(1)arctan
1
??+-+=??-y
y x C x ． （2）原方程可写成
d d 43()
+=
-+y x y
x x y ， 该方程属于
d ()d =++y
f ax by c x
类型，一般可令=++u ax by c ． 令=+u x y ，有d d 1d d =-y u
x x
，则原方程可化为
d 1d 43-=
-u u
x u
， 即
34
d 2d 2
-=-u u x u ， 积分得
32ln 22+-=+u u x C ，
将=+u x y 代入上式，得原方程的通解为
32ln 2+++-=x y x y C ．
习 题 11-3
1．求下列微分方程的通解：
（1）2
2e -'+=x y xy x ； （2）23'-=xy y x ； （3）d tan 5d -=y
x y x
； （4）1ln '+
=y y x x ； （5）2(6)d 2d 0-+=y x y y x ； （6）d 32d ρρθ
+=． 解（1）()d ()d e ()e d -????=+?????p x x p x x y q x x C ()
22
2d 2d e e e d e d ---????=+=+ ???
??x x x x x x x x C x x C 2221
e e 2
--=+x x C x ．
（2）原方程可化为
3
'-=y y x x
，
故通解为
33d d 3321e e
d ---??????=+=-=-?? ?????
?x x x
x y x x C x C Cx x x ． （3）原方程可化为
d cos 5cos d sin sin -=
y x x y x x x
， 故通解为
cos cos d d sin sin 5cos e e d sin ??- ???
????=+??????
?x x x x x x x y x C x
2
5cos sin d sin 5sin ??
=+=-????
?x x x C C x x ． （4）所给方程的通解为
()
11
d d ln ln 1
e e d ln d ln -
????=+=+????
??x x
x x x x y x C x x C x 1(ln )ln ln -=-+=+
C x
x x x C x x x
． （5）方程可化为
2
d 6d 2-=x x y y y
， 即
d 31
d 2
-=-x x y y y ，
故通解为
33
d d 1
e e
d 2-????=-+??????
?y y
y y x y y C 3211d 2??
=-+ ????y y C y
312??=+ ???
y C y ．
（6） ()
3d 3d 33e 2e d e 2e d θθθθρθθ--??
??=+=+????
??C C
33322e e e 33θθθ--??
=+=+ ???
C C ．
2．求下列微分方程的特解：
（1）d tan sec d y
y x x x -=，00x y ==； （2）cos d cot 5e d +=x y y x x ，2
4π==-x y ；
（3）2
3
d 231d y x y x x -+=，10x y ==．
解（1）tan d tan d e sec e d -????=?+ ???
?x x x x y x x C ()
lncos lncos e sec e d -=+?x
x x x C ()
1sec cos d cos =?+?x x x C x cos +=x C
x
， 代入初始条件0,0==x y ，得0=C ．故所求特解为
cos =
x
y x
． （2） cot d cot d cos e 5e e d -????=?+ ?
???x x x x x y x C ()
cos 15e sin d sin =?+?x x x C x ()cos 15e sin =-+x
C x
， 代入初始条件,42
π
==-x y ，得1C =，故所求特解为
cos 15e sin -=
x
y x
， 即
cos sin 5e 1+=x y x ．
（3） 332323d d e e d ??
??--- ? ???
?????
?=+???????x x x x x x y x C 2211
3ln 3ln e e d ??-++ ???
??=+???????x x x
x x C 222211113332e 11e d e e d 2--?????? ?=+=-+?? ? ????? ???
??
??x x x x
x x C x C x x
2
22
1
1
3
33
11e e e 22x x x x x C Cx -??=+=+ ? ???
，
代入初始条件1,0==x y ，得1
2e
=-
C ，故所求特解为 2
1
311e 2-??=- ? ???
x x y ． 3．求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于2+x y ．
解 设曲线方程为()=y y x ，依题意有2'=+y x y ，即2'-=y y x ．从而
()
d d
e 2e d e 2e d --????=+=+ ???
??x x x x
y x x C x x C
e (
2e 2e )22--=--+=--+x x x
x x C x C ． 由0=x ，0=y ，得2=C ．故所求曲线的方程为
2(e 1)=--x y x ．
4．设曲线积分2()d [2()]d +-?L
yf x x xf x x y 在右半平面（0>x ）内与路径无关，其中()
f x 可导，且(1)1=f ，求()f x ．
解 依题意及曲线积分与路径无关的条件，有
2[2()][()]
0?-?-=??xf x x yf x x y
，
即
2()2()2()0'+--=f x xf x x f x ．
记()=y f x ，即得微分方程及初始条件为
112'+=y y x
，11==x y ．
于是，
)
11d d
22e e d -????=+=+ ?
??
?x x x
x y x C x C
2
3
?==??C x 代入初始条件1,1==x y ，得1
3
=C ，从而有
2()
3=f x x ． 5．求下列伯努利方程的通解：
（1）2
d d +=y x y xy x
； （2）4
2323'+=y y x y x ；
（3）4d 11
(12)d 33
+=-y y x y x ； （4）3d [(1ln )]d 0-++=x y y xy x x ．
解（1）方程可以化为
21d 1
1d --+=y y y x x
． 令1-=z y ，则2d d d d -=-z y y x x ，即2d d d d -=-y z
y x x
．代入上面的方程，得
d 1
1d -
+=z z x x
， 即
d 1
1d -=-z z x x
， 其通解为
11
d d
e (e
)d ln -????=-+=- ???
?x x
x x z x C Cx x x ， 所以原方程的通解为
1
ln =-Cx x x y
． （2）原方程化为
4
123
3d 23d --+=y y y x x x
．
令13-=z y ，则43
d 1d d 3d -=-z y y x x
，即43d d 3d d -=-y z y x x ．代入上面的方程，得
2d 2
33d -+=z z x x x
， 即
2d 2
d 3-=-z z x x x
， 其通解为
22
d d 233
e (e
)d -????=-+?????x x x x
z x x C 243
3()d ??=-+?????x x x C
27333
7??=- ??
?x C x ．
所以原方程的通解为
127
3
3
337
-=-y
Cx x ．
（3）原方程化为
4311
(12)33
--'+=-y y y x ．
令3-=z y ，则43-''=-z y y ，于是原方程化为
21z x z '-=-，
其通解为
d d 21
e ()e d e ()e 21d x x x x z x C x x x C --??????=+=+?????--?
?? e (21)e 21e -??=--+=--+??x x x
x C x C ，
所以原方程的通解为
3
21e -=--+x y x C ．
（4）原方程化为
31(1ln )'-
=+y y x y x ，即321
1ln --'-=+y y y x x
． 令2-=z y ，则3
2-''=-z y y ，则原方程化为
2
2(1ln )'+=-+z z x x
，
其通解为
22d d e 2(1ln )e d -????
=-++????
?x x x x z x x C
222(1ln )d -??=-++??
?x x x x C
233221(1ln )d 33-??
=-++?+????
?x x x x x C x
23322(1ln )39-??
=-+++????
x x x x C
222
(1ln )39
-=-+++x x x Cx ，
所以原方程的通解为
2222
(1ln )39
--=-+++y x x x Cx ，
或写成
233242
ln 93
=--+x x x x C y ． 习 题 11-4
1．求下列全微分方程的通解：
（1）21
d ()d 02xy x x y y ++=； （2）3222(36)d (46)d 0x xy x y x y y +++=；
（3）22
34
23d d 0x y x x y y y -+
=． 解 （1）易知，=P xy ，21
()2
=+Q x y ．因为
??==
??P Q
x y x
， 所以原给定的方程为全微分方程．而
2001
(,)0d ()d 2=++??x y u x y x x y y
22221111
()2224
=+=+x y y x y y ，
故所求方程的通解为
2211
24
+=x y y C ． （2）易知，2236=+P x xy ，3246=+Q y x y ．因为
12??==
??P Q
xy y x
， 所以原给定的方程为全微分方程．而
2320
(,)3d (46)d =++??x
y
u x y x x y x y y
34
223=++x y x y ， 故所求方程的通解为
34223++=x y x y C ． （3）易知，32=x
P y
，2243-=y x Q y ．因为
46??=-=
??P x Q
y y x
， 在0≠y 的区域内为全微分方程，故
2240111(,)2d 3d ??
=+-? ?????x y u x y x x x y y
y
231
222
3
11y
x y y x y x y ??-+?-=???+=+． 所求方程的通解为
22131-+=x y C y ，（或22
3
-=x y C y ）
， 即
223-=x y Cy ．
2．用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解：
（1）2()d d 0+=-x y x y x ； （2）22(3)d (13)d 0y x y x xy y -+-=．
解（1）用21
x
乘方程，便得到了全微分方程
211d d 0?
?+-= ???
y x y x x ，
即
2d d d d 0-??+=-= ??
?y x x y y x x x x ．
故通解为
-=y
x C x
．
（2）原方程可化为
232d 3d d 3d 0xy x y x y xy y -+-=
即
232d d 3(d d )0xy x y y x xy y +-+=
用
2
1
y 乘方程，便得到了全微分方程 21
d d 3(d d )0+-+=x x y y x x y y
，
211d d 3d()02????
--= ? ?????x xy y ， 211
d 302??--= ???
x xy y ，
故原方程的通解为
211
32--=x xy C y
． 3．用积分因子法解下列一阶线性方程：
（1）24ln xy y x '+=； （2）tan y y x x '-=．
解 （1）将原方程写成
24ln '+
=
x
y y x x
， 此方程两端乘以2
d 2
e μ?==x
x x 后变成
224ln '+=x y xy x x ， 即
2()4ln '=x y x x ，
两端积分，得
2224ln d 2ln ==-+?x y x x x x x x C ，
故原方程的通解为
2
2ln 1=-+
C
y x x ． （2）方程两端乘以tan d e cos μ-?==x x
x ，则方程变为
cos sin cos '-=y x y x x x ，
即
(cos )cos '=y x x x ，
两端积分，得
c o s c o s d
s i n c o s ==++?y x x x x x x x C
， 故原方程的通解为
tan 1cos =++
C
y x x x
． 习 题 11-5
1．求下列微分方程的通解：
（1）211y x ''=
+； （2）e x y x '''=； （3）(5)
(4)10y y x
-=．
解（1）112
1
d arctan 1'=+=++?y x C x C x ，
()12arctan d =++?y x C x C 2121
arctan ln(1)2
=-+++x x x C x C ．
（2）11e d e e ''=+=-+?x x x y x x C x C ， 1212(e e )d e 2e '=-++=-++?x x
x x y x C x C x C x C ， 123(e 2e )d =-+++?x x y x C x C x C 2
123e 3e 2
=-+
++x x C x x C x C ． （作为最后的结果，这里
1
2C 也可以直接写成1C ）． （3）令(4)=z y ，则有d 1
0d -=z z x x
，可知=z Cx ，从而有
44
d d =y
Cx x ， 再逐次积分，即得原方程的通解
53212345=++++y C x C x C x C x C ．
2．求下列微分方程的通解：
（1）y y x '''=+； （2）0xy y '''+=；
（3）310y y ''-=； （4）()3
y y y ''''=+． 解 （1）令'=y p ，则'''=y p ，且原方程化为
'-=p p x ．
利用一阶线性方程的求解公式，得
()
d d 11
e e d e e d --????=+=+ ???
??x x x x
p x x C x x C
()
11e e e 1e --=--+=--+x x x x x C x C ． 即
11e x p x C =--+，
再积分，得通解
21121
(1e )d e 2
x x y x C x x x C C =--+=--++?．
（2）令'=y p ，则'''=y p ，且原方程化为
0'+=xp p ，
分离变量，得
d d =-p x p x
， 积分得
11
ln ln ln =+p C x
，
即
1
=
C p x
， 再积分，得通解
1
12d ln ==+?
C y x C x C x
． （3）令'=y p ，则d d ''=p
y p
y
，且原方程化为 3d 10d -=p
y p y
，
分离变量，得
3
1
d d =
p p y y ， 积分得
212
1
=-
+p C y ， 故
'===y p 再分离变量，得
d =±x ．
由于||sgn()=y y y ，故上式两端积分，
sgn()d =±?y x
，即12sgn(±+y C x C ，
两边平方，得
()2
21121-=+C y C x C ．
（4）令'=y p ，则d d ''=p y p
y ，且原方程化为3d d =+p p p p y
，即 2d (1)0d ??
-+=????
p p p y 若0≡p ，则≡y C ．≡y C 是原方程的解，但不是通解． 若0≡p ，由于p 的连续性，必在x 的某区间有0≠p ．于是
2d (1)0d -+=p
p y
， 分离变量，得
2
d d 1=+p
y p ， 积分得
1arctan =-p y C ，
即
()1tan =-p y C ，
亦即
()1cot d d -=y C y x ．
积分得
()12ln sin ln -=+y C x C ．
即
()12sin e -=x y C C ，
也可写成
()21arcsin e =+x y C C ．
由于当20=C 时，1=y C ，故前面所得的解≡y C 也包含在这个通解之内． 3．求下列初值问题的解：
（1）sin ''=+y x x ，(0)1=y ，(0)2'=-y ； （2）2(1)2'''+=x y xy ，(0)1=y ，(0)3'=y ； （3）2e y y ''=，(0)0=y ，(0)0'=y ； （4）()2
1'''+=y y ，(0)0=y ，(0)0'=y ．
解 （1）易知，211cos 2'=-+y x x C ，3121
sin 6
=-++y x x C x C ，
由初值条件(0)2'=-y ，知1201-=-+C ，得11=-C ；由(0)1=y ，知21000=-++C ，得21=C ．故特解为
31
sin 16
=--+y x x x ．
（2）令'=y p ，则'''=y p ，且原方程化为
2(1)2'+=x p xp ，
变量分离，得
2
12d d 1=+x p x p x ， 两端积分，得
21(1)'==+y p C x ，
再两端积分，得
3121
()3
=++y C x x C ，
由初值条件(0)3y '=，有
213(10)=+C ，
解得，
13=C ，
由初值条件(0)1y =，有
221
13(00)3
=+?+C
解得，
21=C ，
故所给初值条件的微分方程的特解为
第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221) 1(),(y x y x y x f ---= 222{(,)|(,)R ,1};x y x y y x ∈+≠ 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、22 2)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 24 2)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22 y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y x e x y + ,验证 z xy +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 4 2244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
高等数学第一章测试卷(B ) 一、选择题。(每题4分，共20分) 1?假设对任意的 x R ，都有(x) f(x) g(x)，且]im[g(x) (x)] 0，则 lim f (x)() A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C. 一定不存在 D.不一定存在 1 x 2. 设函数f(x) lim 2n ，讨论函数f (x)的间断点，其结论为( ) n 1 x A.不存在间断点 B.存在间断点x 1 C.存在间断点x 0 D.存在间断点x 1 x 2 X 1 3. 函数f (x) 一2 . 1 —2的无穷间断点的个数为( ) X 1 \ x 7.[x]表示取小于等于x 的最大整数，则lim x - x 0 x f(x) asinx A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数f (x)在( )内单调有界, ｛X n ｝为数列，下列命题正确的是( A.若｛x n ｝收敛，则｛ f (x n ) ｝收敛 B.若｛&｝单调，则｛ f (x n ) ｝收敛 0若｛ f (X n ) ｝收敛，则仏｝收敛 D.若｛ f (X n ) ｝单调，则 ｛X n ｝收敛 5.设｛a n ｝, ｛b n ｝, ｛C n ｝均为非负数列，且 lim n a n 0,lim b n 1,limc n n n ，则() A. a n b n 对任意n 成立 B. b n C n 对任意n 成立 C.极限lim a n C n 不存在 n D. 极限lim b n C n 不存在 n 二、填空题(每题 4分，共 20分) 6.设 X, f (X) 2f (1 X) 2 x 2x , 则 f (X) 8.若 lim]1 X X ( 丄 X a)e x ] 1, 则实数a 9.极限lim X (X 2 X a)(x b) 10.设 f (X)在 x 0处可导, f (0) 0,且f (0) b ，若函数 F(x) 在x 0处连续, 则常数 A
高数第9章答案
高等数学（化地生类专业）（下册） 姜作廉主编 《习题解答》 习题9
1,{6,6,3},6(2)6(1)3(2)0,2280.3(2,3,n AB x y z x y z π==---++-=-+-=v v u u u v 指出下列平面与坐标系的位置关系，并作图：（1）x-2y+1=0;(2)3z+2=0;(3)x+2y+3z=1;(4)2y+z=0. 2已知A(2,-1,2)和B(8,-7,5),求一平面通过A 且垂直于线段AB. 解：设所求平面的法向量为n 由点法式方程，有：故平面方程为：求过点0),(2,3,4),(0,6,0)0,230 230,,,.46460 Ax By Cz D A B D D D D A B c D A B C B D --+++=++=?? --++==-=-=-? ?+=? ≠的平面方程。 解：设所求平面方程为将已知三点带入，解得：显然，由题意D 0,故所求方程为：3x+2y+6z-12=0 4求过点(-1,-1,2)且在三个坐标轴上有相同截距的平面方程。解：设平面在三个坐标轴上的截距为t ，则平面方程由截距式1,,0,3 y z t t D x ++=?≠≠=可得：x 将点（1,-1,2）代入，1-1+2=t t=2.t 故平面方程：x+y+z-2=0.5(1)通过x 轴和M(2,-1,1) 解：设所求过x 轴平面方程为By+Cz+D=0,将M 代入：-B+C+D=0,又D=0,故B=C(0),平面方程y+z=0(2)平行于yOz 平面且经过点（3,0,5） D 解：设平面为Ax+D=0,将点代入：3A+D=0,A=-显然 3 故平面方程(0) ,202. 6(1,2,1),(3,2,1)31,,3121 133,3,.32121 3D B C y A B y x y z A B A C A C A C A C ? =-≠???? ???=?=--++=?+-=??=-=-? ?-++=??(3)通过(1,2,-1)和(-5,2,7)且平行于x 轴。解：设平面方程为By+Cz+D=0, 2B-C+D=0故平面方程：2B+7C+D=0平面过在轴的截距为解：设平面方程 将代入解得：故平面方程为21,230333 x y z x y z -+-=-++=：即：
《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（）
高等数学第一章测试题 一、单项选择题 1.0 . (),()x x x x x x βα→→当时，都是无穷小，则当时（,）不一定是无穷小 ()()()x A x αβ+ () 22()()x B x αβ+ ()ln[1()()]x C x αβ+? ()2 ()() x x D αβ 答案：D 2 0() (),()1,. () lim x x x x x x x ααββ→===解析：当时 2 1 2.( )0,,,1 lim x x ax b x a b a b →∞ +--=+则常数的值所组成的数组（）为（）设 10011111A B C D -（）（，）（）（，）（）（，）（）（，） 答案：D 解析： 0)1 1(2 lim =--++∞ →b ax x x x 1 ) 1)((1)11( 2 2 lim lim +++-+=--++∞ →∞ →x x b ax x b ax x x x x 01 1)()1(2 lim =+-++--=∞ →x b x b a x a x 10,0,a a b -=+=则分子的二次项和一次项系数为零: 即1,1-==b a 22 1)32 3(x f x x x -=-+、已知函数， 下列说法正确的是（ ）。
2(A)f(x)有个无穷间断点 ())1(1B f x 有个可去间断点，个无穷间断点 ()2()C f x 有个第一类间断点 ()111()f D x 有个可去间断点，个无穷间断点,个跳跃间断 答案：B 221(1)(1)1 ()32(2)(1)2 x x x x f x x x x x x --++=== -+---解析： 212320,1,2x x x x -+===令得 2.1x x ==是可去间断点，是无穷间断点 4、 是 。 A.奇函数 B.周期函数 C.有界函数 D.单调函数 答案：A ()()f x f x -=-解析： 1()11115. f x x = + +、函数的定义域为＿＿＿＿ A. 0,≠∈x R x 但 1 ,10 .x R B x ∈+≠ 1,0,1,.2x x C R ∈≠-- 0.,,1x R x D ∈≠- x ∈R,但x ≠0,?1 答案：C 解析：略. 6、 答案：C |sin | ()cos x f x x xe -=()x -∞<<+∞的值为 ， 极限)00()1(lim 0≠≠+→b a a x x b x 答（ ） ． ． a be D e C a b B A a b ) ()(ln )(1)(
习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?
(3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?
2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?
(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?
第9章 多元函数微分学及其应用总结 一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间 2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三 维空间。 n R 为n 元数组),,,(21n x x x 的全体，称为n 维空间。 n 维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y 间的距离： ||PQ = 邻域: 设0P 是n R 的一个点，δ是某一正数，与点0P 距离小于 δ的点P 的全体称为点0P 的δ 邻域，记为),(0δP U ，即00(,){R |||}n U P P PP δδ=∈< 空心邻域: 0P 的 δ 邻域去掉中心点0P 就成为0P 的δ 空心邻域,记为 0(,)U P δ =0{0||}P PP δ<<。 内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，n P ∈R 是一个点。如果存在点P 的某个邻域 ),(δP U ，使得E P U ?),(δ，则称点P 为集合E 的内点。 如果点P 的任何邻域内都既有 属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点, E 的边界点的全体称为E 的边界． 聚点：设E 为n 维空间中的点集，n P ∈R 是一个点。如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。 开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。设点集n E ?R , 如果E 的补集 n E -R 是开集，则称E 为闭集。 区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域． 有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0>M ，使得(,)E U O M ?，即E 中所有点到原点的距离都不超过M ，则称点集E 为有界集，否则称为无界集． 如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域．
《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
第一章 练习题 一、 设()0112>++=?? ? ??x x x x f ，求)(x f 。 二、 求极限： 思路与方法： 1、利用极限的运算法则求极限； 2、利用有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小这一性质； 3、利用两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ，e x x x =??? ??+∞→11lim ； 4、利用极限存在准则； 5、用等价无穷小替换。注意：用等价无穷小代替时被代替的应是分子、分母或其无穷小因子。如果分子或分母是无穷小的和差，必须将和差化为积后方可用等价无穷小代替积中的因子部分。 6、利用函数的连续性求极限，在求极限时如出现∞-∞∞ ∞,,00等类型的未定式时，总是先对函数进行各种恒等变形，消去不定因素后再求极限。 7、利用洛比达法则求极限。 1、()()()35321lim n n n n n +++∞ → 2、???? ? ?---→311311lim x x x 3、122lim +∞ →x x x 4、x x x arctan lim ∞ →
5、x x x x sin 2cos 1lim 0-→ 6、x x x x 30 sin sin tan lim -→ 7、()x x 3cos 2ln lim 9 π → 8、11232lim +∞→??? ??++x x x x 三、 已知(),0112lim =??? ?????+-++∞→b ax x x x 求常数b a ,。 四、 讨论()nx nx n e e x x x f ++=∞→12lim 的连续性。 五、 设()12212lim +++=-∞→n n n x bx ax x x f 为连续函数，试确定a 和b 的值。 六、 求()x x e x f --=111 的连续区间、间断点并判别其类型。 七、 设函数()x f 在闭区间[]a 2,0上连续，且()()a f f 20=，则在[]a ,0上 至少有一点，使()()a x f x f +=。 八、 设()x f 在[]b a ,上连续，b d c a <<<，试证明：对任意正数p 和q ， 至少有一点[]b a ,∈ξ，使 ()()()()ξf q p d qf c pf +=+
习题九 1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为 πππ ,,343αβγ=== 的方向导数。 解： (1,1,2)(1,1,2) (1,1,2)cos cos cos u u u u y l x z αβγ ????=++???? 22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ cos cos cos 5.(2)()(3)343xy xz y yz z xy =++=--- 2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。 解： {4,3,12},13.AB AB == u u u r u u u r AB u u u r 的方向余弦为 4312cos ,cos ,cos 131313αβγ= == (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105u yz x u xz y u xy z ?==??==??==? 故4312982105. 13131313u l ?=?+?+?=? 3. 求函数22221x y z a b ??=-+ ??? 在点处沿曲线22 2 21x y a b +=在这点的内法线方向的方向导 数。 解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为 2222220,x y b x y y a b a y ''+==- 所以在点 处切线斜率为 2.b y a a ' ==- 法线斜率为 cos a b ?= . 于是tan sin ??== ∵2222,, z z x y x a y b ??=-=-??
第9章（之1） （总第44次） 教学内容:§微分方程基本概念 *1． 微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是 （ ） （A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ） 解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数． *2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ） （ （A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （D ）)2cos(α+=x C y ． 答案 （D ） 解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数． （A ）中的函数只有一个任意常数C ； （B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解； （C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=，实质上只有一个任意常数； （D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线． : 解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x x e c e c y -+=21， x x e c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ， 故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2 1 x x e e y --=，即x y sinh =． *4．证明：函数y e x x =-233321 2 sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解．
四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )
(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）
第一章函数、极限、连续 一、单项选择题 1.区间[a,+∞)，表示不等式（） 2.若 3.函数是（）。 （A）偶函数（B）奇函数（C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数 4.函数y=f(x)与其反函数 y=f-1（x）的图形对称于直线（）。 5.函数 6.函数 7.若数列{x n}有极限a,则在a的ε邻域之外，数列中的点（） （A）必不存在 （B）至多只有有限多个 （C）必定有无穷多个 （D）可以有有限个，也可以有无限多个 8.若数列{ x n }在（a-ε, a+ε）邻域内有无穷多个数列的点，则（），（其中为某一取定的正数） （A）数列{ x n }必有极限，但不一定等于 a （B）数列{ x n }极限存在且一定等于 a （C）数列{ x n }的极限不一定存在 （D）数列{ x n }一定不存在极限
9.数列 （A）以0为极限（B）以1为极限（C）以（n-2）/n为极限（D）不存在极限 10.极限定义中ε与δ的关系是（） （A）先给定ε后唯一确定δ （B）先确定ε后确定δ，但δ的值不唯一 （C）先确定δ后给定ε （D）ε与δ无关 11.任意给定 12.若函数f（x）在某点x0极限存在，则（） （A） f（x）在 x0的函数值必存在且等于极限值 （B） f（x）在x0的函数值必存在，但不一定等于极限值 （C） f（x）在x0的函数值可以不存在 （D）如果f（x0）存在则必等于极限值 13.如果 14.无穷小量是（） （A）比0稍大一点的一个数 （B）一个很小很小的数 （C）以0为极限的一个变量 （D）0数 15.无穷大量与有界量的关系是（） （A）无穷大量可能是有界量
高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人
高等数学第一章测试卷（B ） 一、选择题。（每题4分，共20分） 1.假设对任意的∈x R ，都有)()()(x g x f x ≤≤?，且0)]()([lim =-∞→x x g x ?，则)(lim x f x ∞ →（ ） A.存在且等于零 B.存在但不一定为零 C.一定不存在 D.不一定存在 2.设函数n n x x x f 211lim )(++=∞→，讨论函数)(x f 的间断点，其结论为（ ） A.不存在间断点 B.存在间断点1=x C.存在间断点0=x D. 存在间断点1-=x 3.函数222111)(x x x x x f +--=的无穷间断点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.设函数)(x f 在),(+∞-∞内单调有界，}{n x 为数列，下列命题正确的是（ ） A.若}{n x 收敛，则｛)(n x f ｝收敛 B.若}{n x 单调，则｛)(n x f ｝收敛 C.若｛)(n x f ｝收敛，则}{n x 收敛 D.若｛)(n x f ｝单调，则}{n x 收敛 5.设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且∞===∞ →∞→∞→n n n n n n c b a lim ,1lim ,0lim ，则（ ） A. n n b a <对任意n 成立 B. n n c b <对任意n 成立 C. 极限n n n c a ∞→lim 不存在 D. 极限n n n c b ∞ →lim 不存在 二、填空题（每题4分，共20分） 6.设x x x f x f x 2)1(2)(,2-=-+?，则=)(x f ____________。 7.][x 表示取小于等于x 的最大整数，则=??????→x x x 2lim 0__________。 8.若1])1(1[lim 0=--→x x e a x x ，则实数=a ___________。 9.极限=???? ??+-∞→x x b x a x x ))((lim 2 ___________。 10.设)(x f 在0=x 处可导，b f f ='=)0(,0)0(且，若函数?????=≠+=00sin )()(x A x x x a x f x F 在0=x 处连续，则常数=A ___________。
《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
第一章综合测试题 一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、 设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （ ）. （A ）在点2x =，2x =-都连续 （B ）在点2x =，2x =-都间断 （C ）在点2x =连续，在点2x =-间断 （D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、 设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（ ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界 （C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ?????? 收敛 ，则{}n y 必为无穷小 5、当0x x →时，()x α与()x β都是关于0x x -的m 阶无穷小，()()x x αβ+是关于0x x -的n 阶无
高数第一周测试题 出题人：洪义伟姜继伟贾西南马刚 一、选择题 1. 数列有界是函数收敛的（） A 充要条件 B 必要条件 C 充分条件D即非充分条件又非必要条件 2.根据limXn=a的定义，对任给ε＞0，存在正整数N，使得对于n＞N的一切Xn，不等式|Xn—a|＜ε都成立，这里的N（） A 是ε的函数N（ε），且当ε减小时N（ε）增大 B 与ε有关，但ε给定时N并不唯一确定 C 是由ε所唯一确定的 D 是一个很大的常数，与ε无关 3. f(x)=在其定义域（—∞，+∞）上是（） A 最小正周期为3π的周期函数 B 最小正周期为的周期函数 C 最小正周期为的周期函数D非周期函数 5.函数f（x）=（x∈R）的值域是（） A (0，1) B (0，1] C [0，1) D [ 0 , 1 ]
7.函数f(x)=x2-mx+5在区间[-2,+∞]上是增函数，在区间（-∞，-2）上是增函数，则f（1）等于( ) A -7 B 1 C 17 D 25 8.下列函数是无穷小量的是（） ( ) A g(2)>g(-1)>g(-3) B g(2)>g(-3)>g(-1) C g(-1)>g(-3)>g(2) D g(-3)>g(-1)>g(2)
A 1 B ∞ C 2 D 0 二、填空题 13.求 的定义域＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 14. 已知求f (5)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 15.数列 的极限＿＿＿＿＿＿。 16.求函数 的极限＿＿＿＿＿＿。 三、 解答题 17.求函数 在指定定义域下的单调性。 18.求 的极限。 19.用数列极限的定义证明 。 20.用函数极限的定义证明 。 21.根据定义证明 22.求 的极限。 ???<+≥-=8,)]5([8 ,3)(x x f f x x x f
理科A 班第一章综合测试题 一、填空题 1 、函数1()arccos(1) f x x =-的定义域为 . 2、设()2ln f x x =,[()]ln(1ln )f g x x =-, 则()g x = . 3、已知1tan ,0,()ln(1) , 0ax x e e x f x x a x +?+-≠?=+??=? 在0x =连续，则a = . 4、若lim 25n n n c n c →∞+??= ?-?? ，则c = . 5 、函数y =的连续区间为 . 二、选择题 1、 设()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 则（ ）为奇函数. （A ）[()]g g x （B ）[()]g f x （C ）[()]f f x （D ）[()]f g x 2、 设)(x f 在(,)-∞+∞内单调有界， {}n x 为数列，则下列命题正确的是（ ）. （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 3、 设21(2)cos ,2,()4 0, 2, x x f x x x ?+≠±?=-??=±? 则()f x （ ）. （A ）在点2x =，2x =-都连续 （B ）在点2x =，2x =-都间断 （C ）在点2x =连续，在点2x =-间断 （D ）在点2x =间断，在点2x =-连续 4、 设lim 0n n n x y →∞ =，则下列断言正确的是（ ）. （A ）若{}n x 发散，则{}n y 必发散 （B ）若{}n x 无界，则{}n y 必有界 （C ）若{}n x 有界，则{}n y 必为无穷小 （D ）若1n x ?????? 收敛 ，则{}n y 必为无穷
高等数学（上）第一章练习题 一．填空题 1． 12sin lim sin _________.x x x x x →∞??+= ??? 2． lim 9x x x a x a →∞+??= ?-?? ， 则__________.a = 3． 若21lim 51x x ax b x →++=-，则___________,___________.a b == 4． 02lim __________.2x x x e e x -→+-= 5． 1(12)0()ln(1)0 x x x f x x k x ?-<=?++≥?在0x =连续，则k = 6． 已知当0x →时，()1 2311ax +-与cos 1x -是等价无穷小，则常数________.a = 7． 设21()cos 1 x k x f x x x π?+≥=??? 在0x =处间断,则常数a 和b 应满足关系____________. 9．()1lim 123n n n n →∞++= 10 ．lim x →+∞?=? 11 ．lim x ax b →+∞?-=? 0 ，则a = b = 12．已知111()23x x e f x e +=+ ，则0x =是第 类间断点 二．单项选择题 13． 当0x →时, 变量211sin x x 是____________. A. 无穷小量 B. 无穷大量 C. 有界变量但不是无穷小, D. 无界变量但不是无穷大. 14．. 如果0 lim ()x x f x →存在，则0()f x ____________. A. 不一定存在, B. 无定义, C. 有定义, D. 0=. 15． 如果0lim ()x x f x -→和0 lim ()x x f x +→存在, 则_____________.
第一部分： 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y=ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域() , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则()2 f x的反函数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? =() 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+-()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x =()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=-∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x =.sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界，B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤，故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界，但不收敛，选A. 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小，则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C