3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时两角差的余弦公式
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P124～P127的内容，回答下列问题．
(1)当α＝60°，β＝30°时，cos α－cos β等于多少？cos 60°－cos 30°＝cos(60°－30°)成立吗？
提示：cos_60°－cos_30°＝
2，cos(60°－30°)＝
2
，故cos_60°－cos_30°
＝cos(60°－30°)不成立．
(2)cos α－cos β＝cos(α－β)一定成立吗？
提示：不一定．
(3)单位圆中(如图)，∠AOx＝α，∠BOx＝β，那么A，B的坐标是什么？的夹角是多少？
提示：A(cos_α，sin_α)，B(cos_β，sin_β)．的夹角是α－β.
(4)根据上图，分别利用平面向量数量积的定义及坐标运算，求出的数量积各是什么？
＝cos αcos β＋sinαsin β.
(5)根据上面的计算可以得出什么结论？
提示：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.
2．归纳总结，核心必记
两角差的余弦公式
[问题思考]
公式C (α－β)在结构上有什么特点？
提示：①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦；②将所得的积相加．
[课前反思]
(1)两角差的余弦公式： ；
(2)两角差的余弦公式的适用条件： ．
讲一讲
1．求下列各式的值：
(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； (2)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°； (3)12cos 15°＋3
2
sin 15°. [尝试解答] (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°－sin 75°sin(180°＋15°) ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.
(2)sin 46°cos 14°＋sin 44°cos 76°
＝sin(90°－44°)cos 14°＋sin 44°cos(90°－14°) ＝cos 44°cos 14°＋sin 44°sin 14° ＝cos(44°－14°)＝cos 30°＝
32
.
(3)∵12＝cos 60°，32＝sin 60°，∴12cos 15°＋3
2sin 15°
＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15° ＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝
2
2
.
利用公式C (α－β)求值的思路方法
(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接化简求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，然后正确地顺用公式或逆用公式求值． 练一练
1．求2cos 10°－sin 20°sin 70°
的值．
解：原式＝2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos （30°－20°）－sin 20°
cos 20°
＝
3cos 20°＋sin 20°－sin 20°
cos 20°
＝ 3.
讲一讲
2．(1)若sin α－sin β＝32，cos α－cos β＝1
2
，则cos(α－β)的值为( ) A.12 B.32 C.3
4
D ．1 (2)α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝3
5，求cos α的值．
[尝试解答] (1)由sin α－sin β＝
32，cos α－cos β＝1
2
， 得sin 2α＋sin 2
β－2sin αsin β＝34，①
cos 2α＋cos 2
β－2cos αcos β＝14
，②
①＋②得2－2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1. ∴sin αsin β＋cos αcos β＝12.∴cos(α－β)＝1
2.
(2)∵α，β为锐角，∴0<α＋β<π. 又∵cos(α＋β)＝12
13
>0，
∴0<α＋β<π
2
，
又∵cos(2α＋β)＝35，∴0<2α＋β<π
2，
∴sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝4
5，
∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]
＝cos(2α＋β)2cos(α＋β)＋sin(2α＋β)2sin(α＋β) ＝3531213＋453513＝56
65. 答案：(1)A
给值求值问题的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有：
①α＝(α－β)＋β； ②α＝α＋β2＋α－β2；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β)． 练一练
2．已知α，β∈? ????3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ? ????β－π4＝1213，求cos ? ????α＋π4的
值．
解：因为α，β∈?
????3π4，π，所以α＋β∈? ??
?
?3π2，2π. 所以cos(α＋β)＝1－sin 2
（α＋β）＝45.
又β－π4∈? ????π2，3π4，
所以cos ?
????β－π4＝－513， cos ? ????α＋π4＝cos ??????（α＋β）－?
????β－π4
＝cos(α＋β)cos ? ????β－π4＋sin(α＋β)sin ? ????β－π4 ＝453? ????－513＋? ????－35312
13 ＝－5665
.
讲一讲 3．已知cos α＝
55，cos(α＋β)＝－1010，且0<β<α<π2
，求β的值． [尝试解答] 因为0<β<α<π
2，
所以0<α＋β<π， 由cos α＝
55，cos(α＋β)＝－1010
， 得sin α＝255，sin(α＋β)＝310
10，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－
1010355＋310103255＝22
. 所以β＝π4
.
已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；
(2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数； (3)结合三角函数值及角的范围求角． 练一练
3．已知sin α＋sin β＝35，cos α＋cos β＝4
5
，0<α<β<π，求α－β的值．
解：因为(sin α＋sin β)2
＝? ????352，(cos α＋cos β)2
＝? ??
??452
，以上两式展开两边分
别相加得2＋2cos(α－β)＝1.所以cos(α－β)＝－1
2.因为0<α<β<π，所以－π<α－
β<0，所以α－β＝－2π
3
.
——————————————[课堂归纳2感悟提
升]———————————————
1．本节课的重点是两角差的余弦公式，难点是公式的推导及应用． 2．要掌握两角差的余弦公式的三个应用 (1)解决给角求值问题，见讲1； (2)解决给值(式)求值问题，见讲2； (3)解决给值求角问题，见讲3.
3．本节课的易错点是：利用两角差的余弦公式解决给值求角问题时，易忽视角的范围而导致解题错误，如练3.
课下能力提升(二十二) [学业水平达标练]
题组1 给角求值问题
1．cos(－75°)的值是( ) A.
6－22 B.6＋22 C.6－24 D.6＋2
4
解析：选C cos(－75°)＝cos(45°－120°)＝cos 45°2cos 120°＋sin 45°sin 120°＝
223? ????－12＋22332＝6－24
，故选C. 2．sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°的值为( ) A.
32 B.12 C.1＋32 D.3－12
解析：选B sin 11°cos 19°＋cos 11°cos 71°＝cos 11°2cos 71°＋sin 11°sin 71°＝cos (11°－71°)＝cos(－60°)＝1
2
.故选B.
3．－cos(－50°)cos 129°＋cos 400°cos 39°＝________． 解析：－cos(－50°)cos 129°＋cos 400°cos 39° ＝－sin 40°(－sin 39°)＋cos 40°cos 39° ＝cos(40°－39°)＝cos 1°. 答案：cos 1°
题组2 给值(式)求值问题
4．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－3
5，则cos(α－β)
的值为( )
A ．－6365
B ．－3365 C.6365 D.33
65
解析：选A ∵α为锐角，且cos α＝1213，
∴sin α＝1－cos 2
α＝513
.
∵β为第三象限角，且sin β＝－3
5，
∴cos β＝－1－sin 2
β＝－45
，
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝12133? ????－45＋5133? ????－35＝－63
65
.故选A.
5．已知锐角α，β满足cos α＝35，cos(α＋β)＝－5
13，则cos(2π－β)的值为( )
A.
3365 B ．－3365 C.5465 D ．－54
65
解析：选A ∵α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，∴sin α＝4
5，sin(α
＋β)＝12
13
，
∴cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)2sin α＝－513335＋1213345＝33
65
.
6．已知sin ? ????π3＋α＝1213，α∈? ????π6，2π3，则cos α的值为________．
解析：∵sin ? ????π3＋α＝1213，α∈? ????π6
，2π3， ∴π3＋α∈? ????π2，π，cos ? ??
??π3＋α＝－513.
∴cos α＝cos ??????? ????π3
＋α－π3
＝cos ? ????π3＋αcos π3＋sin ? ??
??π3＋αsin π
3
＝－513312＋1213332＝123－5
26
.
答案：123－526
7．若x ∈??????π2，π，且sin x ＝45，求2cos ? ????x －2π3＋2cos x 的值．
解：∵x ∈????
??π2，π，sin x ＝45，∴cos x ＝－35.
∴2cos ?
????x －2π3＋2cos x
＝2? ????cos x cos 2π3＋sin x sin 2π3＋2cos x ＝2? ????
－12cos x ＋32sin x ＋2cos x
＝3sin x ＋cos x ＝435－35＝43－3
5.
题组3 给值求角问题 8．满足cos αcos β＝
3
2
－sin αsin β的一组α，β的值是( ) A ．α＝13π12，β＝3π4 B ．α＝π2，β＝π
3
C ．α＝π2，β＝π6
D ．α＝π3，β＝π
4
解析：选B ∵cos αcos β＝
3
2－sin αsin β， ∴cos αcos β＋sin αsin β＝
32
， 即cos(α－β)＝
3
2
，经验证可知选项B 正确． 9．若α∈[0，π]，sin α3sin 4α3＋cos α3cos 4α
3＝0，则α的值是( )
A.
π6 B.π4 C.π3 D.π
2
解析：选D 由已知得cos 4α3cos α3＋sin 4α3sin α
3＝0，
即cos ?
??
??4α3－α3＝0，cos α＝0，又α∈[0，π]，
所以α＝π
2
，选D.
10．已知sin(π－α)＝437，cos(α－β)＝1314，0<β<α<π
2
，求角β的大小．
解：因为sin(π－α)＝437，所以sin α＝437.因为0<α<π
2
，所以cos α＝1－sin 2
α＝17.
因为cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，所以0<α－β<π
2
，所以sin(α－β)＝1－cos 2
（α－β）＝
3314
. 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin α2sin(α－β)＝17
31314＋43733314＝12
. 因为0<β<π2，所以β＝π3
.
[能力提升综合练]
1．cos 165°的值是( ) A.6－22 B.6＋22 C.
6－24 D.－6－2
4
解析：选D cos 165°＝cos(180°－15°) ＝－cos 15°＝－cos(45°－30°) ＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30° ＝－
22332－22312＝－6－24
. 2．已知cos ? ????θ＋π6＝513，0<θ<π3，则cos θ等于( )
A.53＋1226
B.12－53
13 C.
5＋12326 D.6＋53
13
解析：选A ∵θ∈? ????0，π3，∴θ＋π6∈? ????π6，π2，
∴sin ? ????θ＋π6＝1213.故cos θ＝cos ??????? ????θ＋π6－π6
＝cos ? ????θ＋π6cos π6＋sin ?
????θ＋π6sin π6
＝513332＋1213312＝53＋1226
. 3．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若a ＝(cos A ，sin A )，b ＝(cos B ，sin B )，且a 2b ＝1，则△ABC 一定是( )
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
解析：选B 因为a 2b ＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos(A －B )＝1，且A ，B ，C 是三角形的内角，
所以A ＝B ，即△ABC 一定是等腰三角形．
4．已知cos ? ????x －π6＝－33，则cos x ＋cos ? ????x －π3＝( )
A ．－233
B ．±23
3
C ．－1
D ．±1
解析：选C cos x ＋cos ? ????x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3
? ??
??32cos x ＋12sin x ＝3cos ? ????
x －π6＝－1.故选C.
5．已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝53
14，则cos β＝________．
解析：因为α为锐角，所以sin α＝43
7.因为α，β为锐角，所以0<α＋β<π.又
sin(α＋β)＝5314<32，所以0<α＋β<π3或2π3<α＋β<π.由cos α＝17<12，得π3<α<π
2，
从而2π3<α＋β<π，于是cos(α＋β)＝－11
14，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α
＋β)cos α＋sin(α＋β)2sin α＝12
.
答案：12
6．已知cos(α－β)＝－35，cos(α＋β)＝35，且α－β∈? ????π2，π，α＋β∈?
??
?
?3π2，2π，求角β的值．
解：由α－β∈? ????π2，π，cos(α－β)＝－35，
可知sin(α－β)＝4
5
.
又∵α＋β∈?
??
??3π2，2π，cos(α＋β)＝35，
∴sin(α＋β)＝－4
5，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝353? ????－35＋? ????－4534
5＝－1. ∵α－β∈?
????π2，π，α＋β∈? ??
?
?3π2，2π，
∴2β∈? ????π2
，3π2， ∴2β＝π，故β＝π
2
.
7．已知cos ? ????α－β2＝－35，sin ? ????α
2－β
＝1213，且α∈? ????π2，π，β∈? ??
??0，π2，求
cos α＋β
2
的值．
解：∵π2<α<π，0<β<π2
，
∴π4<α2<π2，0<β2<π4，π2<α＋β<3π
2
. ∴π4<α－β2<π，－π4<α2－β<π2，π4<α＋β2<3π4. 又cos ? ????α－β2＝－35，sin ? ????α2－β＝1213，
∴sin ? ????α－β2＝45，cos ? ????α2－β＝5
13.
∴cos α＋β2＝cos ????
??? ????α－β2－? ????α2－β
＝cos ? ????α－β2cos ? ????α2－β＋sin ? ????α－β2sin ? ??
??α2－β
＝? ????－353513＋45312
13
＝－1565＋4865＝3365.
第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
[核心必知]
1．预习教材，问题导入
根据以下提纲，预习教材P 128～P 131的内容，回答下列问题．
(1)把公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β中的 β用－β代替，结果如何？
提示：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β. (2)由公式C (α±β)可以得到sin(α＋β)的公式吗？
提示：可以，sin(α＋β)＝cos ??????π2－（α＋β） ＝cos ????
??? ????π2－α－β＝sin αcos β＋cos αsin β.
(3)如何由sin(α＋β)的公式推出sin(α－β)的公式？
提示：以－β代替sin(α＋β)中的β，即可得sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.
(4)如何用tan α和tan β表示tan(α＋β)和tan (α－β)? 提示：①tan(α＋β)＝sin （α＋β）cos （α＋β）
＝
sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β－sin αsin β＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
.
②tan (α－β)＝sin （α－β）cos （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β
cos αcos β＋sin αsin β
＝
tan α－tan β
1＋tan αtan β
.
2．归纳总结，核心必记 (1)两角和与差的余弦公式
(3)两角和与差的正切公式
(1)sin(α＋β)＝sin α＋sin β能否成立？若成立，在什么情况下成立？ 提示：不一定成立，当α＝2k π或β＝2k π或α＝β＝k π，k ∈Z 时成立． (2)两角和与差的正切公式对任意α，β均成立吗？
提示：不是的．在两角和的正切公式中，使用条件是：α，β，α＋β≠k π＋π
2(k ∈Z )；
在两角差的正切公式中，使用条件是：α，β，α－β≠k π＋π
2
(k ∈Z )．
[课前反思]
(1)两角和与差的余弦公式： ；
(2)两角和与差的正弦公式： ；
(3)两角和与差的正切公式： ．
讲一讲 1．化简求值：
(1)sin 13° cos 17°＋sin 77°cos 73°； (2)sin π12－3cos π12；
(3)1－tan 15°1＋tan 15°； (4)tan 72°－tan 42°－
3
3
tan 72°tan 42°. [尝试解答] (1)原式＝sin 13°cos 17 °＋sin(90°－13°)2cos(90°－17°)＝sin 13°cos 17°＋cos 13°sin 17°＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝1
2
.
(2)原式＝2? ????12sin π
12－32cos π12
＝2? ????sin π
12cos π3－cos π12sin π3
＝2sin ?
??
??π12－π3＝－2sin π4＝－ 2. (3)原式＝tan 45°－tan 15°
1＋tan 45°tan 15°
＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝
33
. (4)∵tan 30°＝tan(72°－42°)＝tan 72°－tan 42°
1＋tan 72°2tan 42°
，
∴tan 72°－tan 42°＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)． ∴原式＝tan 30°(1＋tan 72°tan 42°)－3
3
tan 72°tan 42° ＝
33
.
利用公式T (α±β)化简求值的两点说明
(1)分析式子结构，正确选用公式形式：
T (α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．
(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：
当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan π4”，“3＝tan π3”，这样可以构造出利用公
式的条件，从而可以进行化简和求值．
练一练 1．求值：
(1)sin 15°＋cos 15°；
(2)sin 119°sin 181°－sin 91°sin 29°；
(3)tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan10°. 解：(1)法一：sin 15°＋cos 15° ＝2? ??
??sin 15°2
22＋cos 15°222 ＝2sin(15°＋45°)＝2sin 60°＝
6
2
. 法二：sin 15°＋cos 15°＝2?
?
?
??cos 15°2
22＋sin 15°222 ＝2(cos 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°) ＝2cos(45°－15°)＝2cos 30°＝
62
. (2)原式＝sin(29°＋90°)sin(1°＋180°)－sin(1°＋90°)2sin 29° ＝cos 29°(－sin 1°)－cos 1°sin 29° ＝－(sin29°cos1°＋cos 29°sin 1°) ＝－sin(29°＋1°)＝－sin 30°＝－1
2
.
(3)原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 10°＋tan 20°)
＝tan 10°tan 20°＋3(tan 10°＋tan 20°)
＝tan 10°tan 20°＋3tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝
1.
讲一讲
2．已知α，β均为锐角，且sin α＝
55，cos β＝1010
，求α－β的值． [尝试解答] ∵α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，∴cos α＝25
5
，sin β＝310
10
.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝
25531010＋55331010＝2
2
. 又∵α，β均为锐角，∴－
π2<α－β<π
2
. 又∵sin α β＝－π 4 . 解决给值(式)求角问题的方法 解决给值(式)求角问题的关键是寻求所求角的三角函数值与已知值或式之间的关系，利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，求出所求角的三角函数值，从而求出角． 练一练 2．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－1 7，且α，β∈(0，π)，求2α－β. 解：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β 1－tan （α－β）tan β ＝12－171－123? ????－17＝13，而α∈(0，π)，∴α∈? ????0，π2. ∵tan β＝－17，β∈(0，π)∴β∈? ????π2，π， ∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝1 2>0， ∴－π<α－β<－π 2 ， ∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)， ∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝tan （α－β）＋tan α 1－tan （α－β）tan α＝12＋131－1231 3＝1.∴2α －β＝－3π 4 . 讲一讲 3．已知π4<α<3π4，0<β<π4， cos ? ????π4＋α＝－35，sin(3π4＋β)＝513. (1)求sin(α＋β)的值； (2)求cos(α－β)的值． [尝试解答] (1)∵π4<α<3π4，π2<π 4 ＋α<π， ∴sin ? ?? ??π4＋α＝ 1－cos 2 ? ?? ??π4＋α ＝45. ∵0<β<π4，3π4<3π 4＋β<π， ∴cos ? ?? ? ?3π4＋β＝－ 1－sin 2 ? ?? ??3π4＋β＝－1213， ∴sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β) ＝－sin ???? ??? ????π4＋α＋? ????3π4＋β ＝－[sin(π4＋α)cos(3π4＋β)＋cos(π4＋α)2sin ? ?? ??3π4＋β] ＝－??????453? ????－1213＋? ????－353513＝6365 . (2)由(1)可知，sin ? ????π4＋α＝45，cos ? ?? ??3π4＋β＝－1213， ∴sin ???? ? ?? ????π4＋α－? ????3π4＋β ＝sin ? ????π4＋αcos ? ????3π4＋β－cos ? ????π4＋αsin ? ?? ? ?3π4＋β ＝453? ????－1213－? ????－353513＝－3365. 又sin ??????? ????π4＋α －? ????3π4＋β＝sin ???? ??（α－β）－π2 ＝－cos(α－β)，从而cos(α－β)＝33 65 . 给值求值问题的解题策略 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是： (1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差． (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角． 练一练 3．已知cos α＝45，α∈(0，π)，tan(α－β)＝1 2，求tan β及tan(2α－β)． 解：∵cos α＝4 5 >0，α∈(0，π)， ∴α∈? ????0，π2，sin α>0. ∴sin α＝1－cos 2 α＝ 1－? ????452 ＝35 ， ∴tan α＝sin αcos α＝3545＝3 4 . ∴tan β＝tan[α－(α－β)] ＝ tan α－tan （α－β） 1＋tan α2tan （α－β） ＝34－121＋34312 ＝211， tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)] ＝ tan α＋tan （α－β） 1－tan α2tan （α－β） ＝34＋121－34312 ＝2. ——————————————[课堂归纳2感悟提 升]——————————————— 1．本节课的重点是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，难点是公式的运用． 2．要掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的三个应用 (1)解决给角求值问题，见讲1； (2)解决给值(式)求角问题，见讲2； (3)解决条件求值问题，见讲3. 3．本节课的易错点是，解决给值(式)求角问题时，易忽视角的范围而造成解题错误，如练2. 4．本节课要牢记常见角的变换 α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β＝β－(β－α)；α＝? ????α＋π4－π4；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；α＋β＝(2α＋β)－α；2α＝(α＋β)＋(α－β)等． 课下能力提升(二十三) [学业水平达标练] 题组1 给角求值问题 1．sin 105°的值为( ) A.3＋22 B.2＋1 2 C. 6－24 D.2＋6 4 解析：选D sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝22312＋22332＝2＋6 4 . 2．cos ? ????－17π4－sin ? ?? ??－17π4的值是( ) A. 2 B ．－ 2 C ．0 D. 2 2 解析：选A cos ? ????－17π4－sin ? ????－17π4＝cos 17π4＋sin 17π4＝2sin ? ????17π4＋π4＝2 sin 9π 2 ＝ 2. 3．tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°的值是________． 解析：∵tan 60°＝3＝tan 23°＋tan 37° 1－tan 23°tan 37° ， ∴tan 23°＋tan 37°＝3－3tan 23°tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 答案： 3 题组2 给值(式)求角问题 4．设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010 ，则α＋β的值为( ) A. 3π4 B.5π4 C.7π4 D.5π4或7π 4 解析：选C 因为α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－310 10 ，所以cos α＝－ 255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝? ?? ?? －2553(－31010)－5531010＝22，所以α＋β的值为7π4 . 5．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β＝________． 解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2?tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2?tan α＋ tan β＝tan αtan β－1?tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝－1，即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝k π－π 4 ，k ∈Z . 答案：k π－π 4，k ∈Z 6．已知△ABC 中B ＝60°，且 1cos A ＋1cos C ＝－2cos B ，若A >C ，求A 的值． 解：由已知B ＝60°，A ＋C ＝120°， 设 A －C 2 ＝α，∵A >C ，则0°<α<120°， 故A ＝ A ＋C 2 ＋ A －C 2 ＝60°＋α， C ＝A ＋C 2 －A －C 2 ＝60°－α， 故1cos A ＋1cos C ＝1cos （60°＋α）＋1 cos （60°－α） ＝ 1 12cos α－32sin α＋1 12cos α＋32 sin α 诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。）sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tan（α＋β）＝(tanα＋tanβ)/(1－tanα·tanβ) tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα·tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan^2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan^2(α/2) 半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α 2tanα tan2α＝————— 1－tan^2α sin3α＝3sinα－4sin^3α 两角和差的正弦余弦正切公式练习题 知识梳理 1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( a±3 = sin_a cos B±cos_osin 3 cos(a? 3 = cos _ocos_3sin 一 o (sin 3 tan a±a n 3 tan (a±3 = . 1?tan a an 3 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 a= 2sin_ a os_a 2 ■ 2 2 ■ 2 cos 2a= cos a — sin a= 2cos a — 1 = 1 一 2sin a 3. 有关公式的逆用、变形等 (1)ta n a±an 3= tan( a±3(1 ?tan_ a an_ 3. 4. 函数 f(M = asin a+ bcos o(a, b 为常数)，可以化为 f( a = a 2 + b 2 sin(a+ ?，其中 tan 一、选择题 1.给出如下四个命题 ②存在实数a,3 ,使等式 cos( ) cos cos sin sin 能成立； ③公式tan( ) tan an 成立的条件是 k —(k Z)且 k —(k Z)； 1 tan tan 2 2 ④不存在无穷多个 a 和3,使 sin( )sin cos co s ，sin ； 其中假命题是 ( ) A.①② B.②③ C. ③④ D. ②③④ 2 .函数 y 2sin x(sin x cosx)的最大值是 ( ) A. 1 . 2 B. .. 2 1 C. 、2 D. 2 ①对于任意的实数a 和3,等式cos( )cos cos sin sin 恒成立； tan 2 2ta n a 1 tan 2 a 2 (2)cos a= 1 + cos 2a 2 sin 2 a= 1 — COS 2a 2 - 2 (3)1 + sin 2 a= (sin a+ cos c), 1 — sin 2 a= (sin a — cos a )2 , sin a±cos a= 2sin a±4t . 两角和差的正弦余弦正切公式练习题 知 识 梳 理 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(αβ)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝tan α±tan β 1tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α. cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α 1－tan 2α . 3．有关公式的逆用、变形等 (1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝ 1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2 . (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝ 2sin ? ?? ?? α±π4. 4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中tan φ＝b a 一、选择题 1．给出如下四个命题 ①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβ αβαtan tan 1tan ?-+an 成立的条件是)(2 Z k k ∈+≠ππα且)(2 Z k k ∈+≠ππβ； ④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是 （ ） A ．21+ B ．12- C ．2 D ． 2 《两角和与差的余弦公式》教学设计 一、教材地位和作用分析： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。 二、教学目标： 1、知识目标： ①、使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式； ②、使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导； ③、使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 2、能力目标： ①、培养学生逆向思维的意识和习惯； ②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； ③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标： ①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； ②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。 三、教学重点和难点： 教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。 教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。 四、教学方法： 创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生思维的层次，反而能够提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的 和谐统一。 由此我决定采用以下的教学方法：创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题。 学法指导： 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。(体现学习过程中循序渐进，温故知新的认知规律。) 2、让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系，培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。 五、教学过程 正弦余弦公式总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2π-a)=cos(a) cos(2π-a)=sin(a) sin(2π+a)=cos(a) cos(2π+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)tan(b)] tan(a-b)=[tan(a)-tan(b)]/[1+tan(a)tan(b)] 3.和差化积公式 sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4.积化和差公式 (上面公式反过来就得到了) sin(a)sin(b)=-1/2* [cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2* [cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2* [sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b)=1/2* [sin(a+b)-sin(a-b)] 5.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 6.半角公式 2sin2(a/2)=1-cos(a) 2cos2(a/2)=1+cos(a) tan(a/2)=[1-cos(a)]/sin(a)=sina/[1+cos(a)] tan2(a/2)= [1-cos(a)]/[1+cos(a)] 7.万能公式 sin(a)=2tan(a/2)/[1+tan2(a/2)] cos(a)=[1-tan2(a/2)]/[1+tan2(a/2)] tan(a)=2tan(a/2)/[1-tan2(a/2)] 8.其它公式(推导出来的) a*sin(a)+b*cos(a)=2+b2其中 tan(c)=b/a a*sin(a)-b*cos(a)= √a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=a/b 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式 ①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β)) ⑤tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β(T (α－β)) ⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β(T (α＋β)) (2)公式变形 ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式 ①sin 2α＝2sin_αcos_α， ②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， ③tan 2α＝ 2tan α 1－tan 2α . (2)公式变形 ①cos 2 α＝1＋cos 2α2，sin 2 α＝1－cos 2α2 ； ②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(π α±. 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×) (4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β 1－tan αtan β 可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意 二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础) 【学习目标】 1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系. 2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用． 3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用. 【要点梳理】 要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin 22sin cos ()S αααα=? 22222cos 2cos sin () 2cos 112sin C αααααα =-=-=- 22 2tan tan 2()1tan T αα αα = - 要点诠释： (1)公式成立的条件是：在公式22,S C αα中，角α可以为任意角，但公式2T α中，只有当 2 k π απ≠ +及()4 2 k k Z π π α≠ + ∈时才成立； (2)倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其它如4α是2α的二倍、 2α是4 α 的二倍、3α是 32 α 的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：2 cos 2 sin 2sin α α α=； 1 1 sin 2sin cos ()2 2 2 n n n n Z α α α ++=∈ 2．和角公式、倍角公式之间的内在联系 在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下： 正余弦定理及面积公式 一，,知识点回顾： 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin === 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21 sin 21sin 21 ===? 三角形内角和 π=++C B A ) tan(tan )sin(sin ) cos()cos(cos C B A C B A C B C B A +-=+=+-=--=π 二，基础训练： 1,在?ABC 中，已知23=a ，62=+c ， 45=∠B ，求b 及A ； 2,在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 3,在?ABC 中,53 cos ,135 cos =-=B A , （1）求C sin 的值;（2）设BC=5，求?ABC 的面积 4，设锐角?ABC 的内角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c, 且A b a sin 2= （1）求B ∠的大小 （2）若b c a 求,5,33== 5，在?ABC 中，已知54 cos ,3,2-===A a b （1）求B sin 的值 （2）求)62sin(π +B 的值 6，在?ABC 中，53 tan ,41 tan ==B A （1）求C ∠的大小 （2）若AB 的边长为17，求BC 边的长 7，设?ABC 的内角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若 3,3,1π =∠==c c a ，则A ∠ 的值 8，设?ABC 的周长为12+，且C B A sin 2sin sin =+ （1）求边长AB 的长 （2）若?ABC 的面积为C sin 61 ，求角C 9，在?ABC 中，Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若 55 22cos ,4,2==∠=B C a π，求?ABC 的面积。 二倍角的正弦、余弦、正切 王业奇 α 1tan tan 二、提出问题：若β = α 让学生板演得下述二倍角公式： 一、例题： 例一、（公式巩固性练习）求值： 1．sin22 30’cos22 30’=4 2 45sin 21= 2．=-π 18 cos 22 224cos = π 3．=π -π8 cos 8sin 22 224cos - =π- 4．=ππππ12 cos 24cos 48 cos 48 sin 8 2 16sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 例二、 1．5555(sin cos )(sin cos )12121212ππππ +- 2 25553 sin cos cos 121262 πππ=-=-= 2．=α-α2sin 2cos 44 α=α -αα+αcos )2 sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 3． =α+-α-tan 11tan 11α=α -α 2tan tan 1tan 22 4．=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+ 例三、若tan = 3，求sin2 cos2 的值。 解：sin2 cos2 = 57 tan 11tan tan 2cos sin cos sin cos sin 22 22222=θ +-θ+θ=θ+θθ-θ+θ 例四、 条件甲：a =θ+sin 1，条件乙：a =θ +θ2 cos 2sin ， 那么甲是乙的什么条件？ 解：= θ+sin 1a =θ +θ2)2 cos 2(sin 即a =θ +θ|2 cos 2sin | 当 在第三象限时，甲 乙；当a > 0时，乙 甲 ∴甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件。 例五、（P43 例一） 已知),2 (,135sin ππ ∈α= α，求sin2，cos2，tan2的值。 解：∵),2 (,135sin ππ ∈α=α ∴1312 sin 1cos 2-=α--=α ∴sin2 = 2sin cos = 169 120 - 一、知识回顾 1、填表:(表一） 角α ?0 ?30 ?45 ?60 ?90 ?120 ?135 ?150 ?180 角α的弧度制 αsin αcos 2、两角和与差的正余弦公式 （ 1 ） 差 角 的 正 余 弦 : ｓ ｉ ｎ ( = ;)cos(βα-= ; (２）和角的正余弦 ：s ｉn(（ = ；ｃｏs ( = ; 3、牛刀小试(不查表求下列式子的值) (1）sin15; (２)cos 75； (3)sin 75 问题１:你能由两角差的余弦公式推出两角和的余弦公式吗? [] cos()cos ()cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ +=--=-+-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴+=- C αβ+ 问题2 ：你能由两角和与差的余弦公式推出两角和与差的正弦公式吗？ sin()cos ()cos ()22cos( )cos sin()sin 22sin cos cos sin ππαβαβαβππ αβαβ αβαβ ???? +=-+=-+???? ???? =-+-=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴+=+ S αβ+ []sin()sin ()sin cos()cos sin()sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=- sin()sin cos cos sin αβαβαβ∴-=- S αβ- 二、知识应用 1． 已知3cos 5α=-，(,)2παπ∈,求cos()4 π α-的值。 2. 已知sin α=＼f(2,3)，α∈(错误!,π)，cos β=－错误!，β∈(π，错误!)．求si ｎ(α－β），cos(α＋β），t ａn(α＋β）. ３． 已知 4π<α<4π3，0＜β<4π，cos(4π+α)＝-53,s ｉn （4π3+β）=13 5， 求si ｎ(α+β）的值． ４． 已知2π<α<β＜4π3，cos(α－β)=1312，si ｎ（α+β）＝-5 3,求sin2α的值. §3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式 一、教学目标 以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式， ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ++=-． （二）公式推导： ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα =+=+=； ()22cos 2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-； 22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-． ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+= =--． 升降幂公式 2 )cos (sin 2sin 1ααα±=± αα2cos 22cos 1=+αα2sin 22cos 1=-2 2cos 1cos 2α α+=22cos 1sin 2α α-=}}升幂降角公式 降幂升角公式 1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2π-a)=cos(a) cos(2π-a)=sin(a) sin(2π+a)=cos(a) cos(2π+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b) tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b) 3.和差化积公式 sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2) sin(a)?sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2) cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2) cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2) 4.积化和差公式(上面公式反过来就得到了) sin(a)sin(b)=-12?[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=12?[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=12?[sin(a+b)+sin(a-b)] 5.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1 -2sin2(a) 6.半角公式 sin2(a2)=1-cos(a)2 cos2(a2)=1+cos(a)2 tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a) 7.万能公式 sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2) cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2) tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2) 8.其它公式(推导出来的) a?sin(a)+b?cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中tan(c)=ba 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》复习学案 自主梳理1．(1)两角和与差的余弦 cos(α＋β)＝_____________________________________________， cos(α－β)＝_____________________________________________. (2)两角和与差的正弦 sin(α＋β)＝_____________________________________________， sin(α－β)＝_____________________________________________. (3)两角和与差的正切(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π 2，k∈Z) tan(α＋β)＝_____________________________________________， tan(α－β)＝_____________________________________________. 其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中 ?? ? ??cos φ＝， sin φ＝， tan φ＝ b a， 角φ称为辅助角（考试只要求特殊角）． 【基础自测】 1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于 () A. 1 2 B. 3 3 C. 2 2 D. 3 2 2．已知cos???? α－ π 6＋sin α＝ 43 5，则sin? ? ? ? α＋ 7π 6的值是 () A．－ 23 5 B. 23 5C．－ 4 5 D. 4 5 3．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的最小正周期是 () A. π 2B．πC．2πD．4π4．设0≤α<2π，若sin α>3cos α，则α的取值范围是 () A.???? π 3， π 2 B.? ? ? ? π 3，π C.???? π 3， 4π 3 D.? ? ? ? π 3， 3π 2 5．已知向量a r ＝(sin x，cos x)，向量b r ＝(1，3)，则|a r ＋b r |的最大值为() A．1 B. 3 C．3 D．9 【考点巩固】 探究点1给角求值问题(三角函数式的化简、求值) 例 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 半角的正弦、余弦和正切 学习目标： 1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程； 2. 掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明恒等式. 学习重点： 掌握半角的正弦、余弦、正切公式的结构特点，灵活用公式． 学习难点：半角与倍角公式之间的内在联系及运用公式时正负号的选取． 知识链接： 1. 复习二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α= ； cos 2α= = = ； tan 2α= . 一、预习案： 问题1：若7cos 25α=，且α为锐角，则sin 2 α= ， cos 2α = ，tan 2α = . 1?在α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α即得2sin 2 α= 2?在1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α即得2cos 2 α= 3?以上结果相除得2tan 2α= 半角公式：sin 2 α= （1） cos 2α= （2） tan 2α = = = （3） 问题2：半角公式的特点及使用公式时应该注意什么问题？ 问题3：你能根据上面的公式解答下列问题吗？ 1、求值：（1）sin15 （2）cos15 （3）tan 8π 二、学习案： 例1：已知sin θ＝45，且5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2 的值． 跟踪训练：已知sin φcos φ＝60169，且π4＜φ＜π2 ，求sin φ，cos φ的值． 例2：化简： 1. (1＋sin α＋cos α)? ????sin α2－cos α22＋2cos α (180°＜α＜360°) 2.cot tan 1tan tan .222αααα????-+? ??????? 跟踪训练： 化简： 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin αααααααα +---+--+- “二倍角的正弦、余弦、正切”教学设计 设计理念：根据皮亚杰的认知发展理论，在个体从出生到成熟的发展过程中，智力发展可以分为具有不同的质的四个主要阶段：激活原有认知结构、构建新的认知结构、尝试新的认知结构、发展新的认知结构。发展的各个阶段顺序是一致的，前一阶段总是达到后一阶段的前提。阶段的发展不是间断性的跳跃，而是逐渐、持续的变化。皮亚杰的认知发展阶段论为发展性辅导中学生智力发展水平的评估和诊断，提供了重要的理论依据。 教学内容：《普通高中课程标准实验教科书（数学）》必修4（人教A版），第三章、第一节、第145－148页。 “二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式，它既是两角和的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简和证明提供了非常有用的理论工具，通过对二倍角公式的推导知道：二倍角公式的内涵是“揭示具有倍数关系的两个角的三角函数的运算规律”，通过推导还让学生了解高中数学中由“一般”到“特殊”的化归数学思想，因此这节课也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义。 教学目标：根据新课程标准的要求、本节教材的特点和学生对三角函数的认知特点，我们把本节课的教学目标确定为： 1、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。 2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。 3、通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。 学情分析：我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数的基础上。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。从能力上看，学生主动学习能力、探究的能力、较弱。 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 R c C R b B R a A C R c B R b A R a R R C c B b A a 2sin 2sin 2sin sin 2sin 2sin 2)(2sin sin sin = = = ======变形有：为外接圆的半径 三角形的面积公式： A bc B ac C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21=== ? 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 ab c b a C ac b c a B bc a c b A C ab b a c B ac c a b A bc c b a 2cos 2cos 2cos cos 2cos 2cos 22222 222 22222222222-+= -+= -+= -+=-+=-+=变形有： 判断三角形的形状： 为锐角三角形 ，为直角角三角形 为钝角三角形 ABC b a c c a b c b a ABC c b a ABC c b a ?+<+<+2222222222 222 22,, 三角形中有： 形为正三角形 成等比数列，则该三角、、成等差数列，、、）若（）（中c b a C B A C B A C B A C B A ABC 2tan )tan(cos )cos(sin )sin(1-=+-=+=+? 两角和差的正余弦公式及两角和差正切公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- ()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ()c o s c o s c o s s i n s i n αβα βαβ+=- ()βαβαβαt a n t a n 1t a n t a n t a n +-=- ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- 二倍角公式： α α ααβ β ααααα2 22 2 2t a n 1t a n 22t a n 1 c o s 2s i n 21s i n c o s 2c o s c o s s i n 22s i n -= -=-=-== 半角公式： 课时跟踪检测（二十四） 两角差的余弦函数两角和与差的正弦、 余弦函数 一、基本能力达标 1．已知α∈? ????0，π2，cos α＝3 3，则cos ? ????α＋π6＝( ) A.12－66 B ．1－66 C ．－12＋66 D ．－1＋6 6 解析：选A ∵α∈? ????0，π2，cos α＝33，∴sin α＝63， ∴cos ? ????α＋π6＝cos αcos π6－sin αsin π 6 ＝33×32－63×12＝12－66 . 2．满足cos αcos β＝3 2 －sin αsin β的一组α，β的值是 ( ) A ．α＝13π12，β＝3π4 B ．α＝π2，β＝π 3 C ．α＝π2，β＝π6 D ．α＝π3，β＝π 4 解析：选B ∵cos αcos β＝3 2 －sin αsin β， ∴cos αcos β＋sin αsin β＝32，即cos(α－β)＝3 2， 经验证可知选项B 正确． 3．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．三者都有可能 解析：选C ∵sin A sin B ＜cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B ＞0，∴cos(A ＋B )＞0， ∴A ＋B ＜90°，∴C ＞90°，∴△ABC 是钝角三角形． 4．已知3cos x －sin x ＝－6 5，则sin ? ?? ??π3－x ＝ ( ) A.45 B ．－45 C.35 D ．－3 5 解析：选D 3cos x －sin x ＝2? ?? ??sin π3cos x －cos π 3sin x ＝2sin ? ????π3－x ＝－65，故sin ? ?? ??π3－x ＝－3 5. 5．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，sin(α＋β)＝3 5，则sin β 等于( ) A ．0 B ．0或2425 C.2425 D ．±24 25 解析：选C 由0<α<π2<β<π得，π2<α＋β<3π 2 ， 又sin α＝35，sin(α＋β)＝35，∴cos α＝45，cos(α＋β)＝－4 5， ∴sin β＝sin[(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35×45－? ????－45×35＝24 25. 6．sin 15°＋cos 165°的值是________． 解析：原式＝sin(45°－30°)＋cos(120°＋45°) ＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋cos 120°cos 45°－sin 120°sin 45° ＝22×32－22×12－12×22－32×22＝－22.答案：－22 7．设a ＝2cos 66°，b ＝cos 5°－3sin 5°，c ＝2(sin 47°sin 66° §3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式（1）教案 珠海市田家炳中学：温世明 一、知识与技能 1. 能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；理解化归思想在推导中的作用。 2. 能正确运用（顺向、逆向、变形运用）二倍角公式求值、化简、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力； 3.揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识，并培养学生综合分析能力. 4.结合三角函数值域求函数值域问题。 二、过程与方法 1.让学生自己由和角公式而导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识. 2.通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力；通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。 三、情感、态度与价值观 1.通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 2.引导学生发现数学规律,培养学生思维的严密性与科学性等思维品质. 四、教学重、难点 教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式； 教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 五、学法与教学用具 学法：研讨式教学，多媒体教学； 六、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和（差）的正弦、余弦和正切公式， ()βαβαβαsin sin cos cos cos =±；()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±； ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan ±= ±． (二) 复习练习： （三）公式推导： 我们由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可）， ()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+= ()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-； 思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢 ？ 《两角和与差的正弦、余弦函数》教学设计 商州区中学秦明伟 一、学情分析 本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角和与差的正弦、余弦公式建立了良好的知识基础。 二、教学内容分析 本节内容是北师大版教材必修4第三章《三角恒等变换》第二节，推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。 由于向量工具的引入，教材选择了两角差的余弦公式作为基础，这样处理使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。 从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。从知识的应用价值来看，重视数学知识的应用，是新教材的显著特点，课本中丰富的生活实例为学生用数学的眼光看待生活、体验生活即数学理念，体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生的数学应用意识。 基于上述分析，本节课的教学重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，进而推导得到其余的和差公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础。 三、教学三维目标 1、知识目标 通过两角差的余弦公式的探究，让学生探索、发现并推导其他和（差）角公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题。 2、能力目标 通过利用向量推导两角和与差的正弦、余弦公式及公式的具体运用，使学生深刻体会联系变化的观点，让学生自觉的利用联系的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力及学生逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标 使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。 四、教学重点、难点 重点：探索得到两角差的余弦公式，理解两角和与差的正弦、余弦公式的推导。 难点：探索过程的组织和适当引导，并能灵活运用公式。 五、教学过程 导入新课 正余弦转换公式文件编码（GHTU-UITID-GGBKT-POIU-WUUI-8968） 诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。） sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tan（α＋β）＝(tanα＋tanβ)/(1－tanα·tanβ) tanα－tanβ tan（α－β）＝——————正余弦转换公式
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