第一章 矢量分析
1.1 矢量代数
一、矢量的表示
矢量的代数表示：
矢量的单位矢量：
矢量用坐标分量表示：
二、矢量的运算 （1）矢量的加减法
（2）标量乘矢量
（3）矢量的标积（点积）
（4）矢量的矢积（叉积）
1.3 标量场的梯度
标量场的梯度
直角坐标系：
1.4 矢量场的通量与散度
通量的概念
矢量场的散度
A
e A e A A A ==A A
e A =
z z y y x x A e A e A e A ++=γ
βαcos cos cos z y x A e e e e ++=)()()(z z z y y y x x x B A e B A e B A e B A ±+±+±=± z z y y x x kA e kA e kA e A k ++=θcos AB B A =? z z y y x x B A B A B A B A ++=? θsin AB e B A n =?)()()(x y y x z z x x z y y z z y x B A B A e B A B A e B A B A e B A -+-+-=? z
y x z
y x z
y x B B B A A A e e e B A =?z
u
e y u e x u e u z y x
??+??+??=? grad u u ?n d d d S S
F S F e S
ψψ==?=????
F
??F div V
S z y x F z y x F F div S
V ??=??=?
→?
d ),,(lim ),,(0
直角坐标系：
散度定理（高斯定理）
1.5 矢量场的环流与旋度
矢量场的旋度
直角坐标系
斯托克斯定理
两个恒等式
1.6 拉普拉斯运算
标量拉普拉斯运算 直角坐标系
矢量拉普拉斯运算 直角坐标系
1.7 亥姆霍兹定理
在有限区域内的任一矢量场，由它的散度，旋度和边界条件唯一确定，这就是Helmholxz 定理。 z F y F x F F z
y x ??+
??+??=?? ?
??=??=?V
V
S V
F div V F S F d d d
F ??F
rot ?
??=→?C
S l F S F d 1lim rot 0n max
n n ]rot [F e F
=?????? ????-??+??? ????-??+???? ????-??=??y F x F e x F z F e z F y F e F x y z z x y y z x z
y x z y x F F F z y x e e e ??????=
?
????=?S
C S F l F
d d 0)(≡????F
)(≡???u u u 2)(?=???2222
222
u u u u x y z ????=++???)()(2F F F
????-???=?2222x x y y z z F e F e F e F ?=?+?+?
第二章 电磁场的基本规律
2.1 电荷守恒定律
电荷是产生电场的源，电流是产生磁场的源。
2.1.1 电荷密度
1. 电荷体密度：C/m3 (库/米3 )
2. 电荷面密度：C/m2 (库/米2)
3. 电荷线密度：C / m (库/米)
2.1.2 电流密度
电流
1. 体电流：A / m2 （安/米2）
2. 面电流：A/m （安/米）
3. 线电流密度
2.1.3 电荷守恒定律（电流连续性方程） 电流连续性方程
积分形式 微分形式
恒定电流的连续性方程
V
r q V r q r V d )(d Δ)(Δlim )(0Δ
=
=→ρS
r q S r q r S S d )(d Δ)(Δlim )(0Δ
==→ρl r q l r q r l l d )(d Δ)(Δ)(lim
0Δ =
=→ρ0
lim ()d d t i q t q t
?→=??=0d lim d n n
S i i J e e S S
?→?==?0d lim d S t t l i i J e e l l
?→?==?di e J l l
=?
?-=-=?V S V t t q S J d d d d d d ρ t
J ??-=??ρ 0t
ρ?=?、0=??J
0d ?
=?S S J )d (n l e J i l
S
??=?
2.2 真空中静电场的基本规律
1. 库仑定律
2. 电场强度
静电场的散度（微分形式） 静电场的高斯定理（积分形式）
静电场的旋度（微分形式） 静电场的环路定理（积分形式）
2.3 真空中恒定磁场的基本规律
1. 安培力定律
2. 磁感应强度
恒定场的散度（微分形式） 磁通连续性原理（积分形式）
恒定磁场的旋度（微分形式） 安培环路定理（积分形式）
2.4 媒质的电磁特性
媒质对电磁场的响应可分为三种情况：极化、磁化和传导。 描述媒质电磁特性的参数为：介电常数 、磁导率 和电导率 。 2.4.1 电介质的极化 电位移矢量 1.极化强度C/m2： —— 分子的平均电偶极矩
2.极化电荷 ( 1 ) 极化电荷体密度 ( 2 ) 极化电荷面密度
3.电位移矢量（单位：C/m2 )
3
12
012
2121202112π4π4R R q q R q q e F R εε ==3
0π4)(R R
q r E ε =0
)()(ερr r E =???
?=?V S V r S r E )d (1d )(0
ρε()0
E r ??=0d )(=??
C l r E
????=213
121211220
12)d (d π4C C R R l I l I F
μ?
?=13
1212
110
21d π4)(C R R l I r B
μ0
)(=??r B 0d )(=??
S S r B )()(0r J r B
μ=??I S r J l r B S C 00d )(d )(μμ=?=??
? εμσ0lim i
V p P np
V ??→==∑
p ql =P P ?-?=ρn SP P e ρ=?P
E D +=ε
4.静电场是有源无旋场，电介质中的基本方程为 （微分形式） （积分形式）
5.电介质的本构关系
称为介质的介电常数。 称为介质的相对介电常数（无量纲）。 2.4.2 磁介质的磁化 磁场强度 1.磁化强度A/m ： —— 分子磁矩
2.磁化电流
（1） 磁化电流体密度 （2） 磁化电流面密度 3.磁场强度（单位：A/m2)
4.恒定磁场是有旋无源场，磁介质中的基本方程为 （微分形式） （积分形式）
5.磁介质的本构关系
称为介质的磁导率， 称为介质的相对磁导率（无量纲）。 2.4.3 媒质的传导特性
称为媒质的电导率，单位是S/m （西/米）
。
2.5 电磁感应定律和位移电流
2.5.1 电磁感应定律
1.法拉第电磁感应定律的表述
推广
2.引起回路中磁通变化的几种情况 （1）回路不变，磁场随时间变化
微分形式
0D E ρ???=????=??d d ()d 0S V
C
D S V
E r l ρ??=???=????
?
E E E D 0r e 0)1(εεεχε==+=0r e 0)1(εεχεε=+=e r 1χε+=m
m
Δ0lim ΔV p M np V →==∑
m p i S =?M J M =??M n S J M e =?M B H -=0
μ??
???=??=??0)()()(r B r J r H ??
???=??=??
?
?0d )(d )(d )(S S C
S r B S r J l r H H H B μχμ=+=)1(m 00r m 0)1(μμχμμ=+=m r 1χμ+=E J
σ=σl d E S d B dt d S C in in ?=?-=??ε?
??-=?S C S d B dt
d l d E
?
????-=?=S C in S d t B l d E εB E t ???=-
?
（3）回路在时变磁场中运动
2.5.2 位移电流 1. 全电流定律
—— 微分形式
—— 积分形式
2. 位移电流密度
2.6 麦克斯韦方程组
2.6.1 麦克斯韦方程组的微分形式
表明传导电流和变化的电场都能产生磁场 表明变化的磁场产生电场 表明磁场是无源场，磁感线总是闭合曲线
表明电荷产生电场
????=?=C
C in l
d B v l d E
)(ε?
?????-??=?=S C C in S
d t B l d B v l d E
)(εt
D
J H ??+=?? S t
D
J l H C s d )(d ???+=???
d t D J ?=???????????
?
=??=????-=????+=??ρD B t B E t D J H
2.6.2 麦克斯韦方程组的积分形式
2.6.3 媒质的本构关系
====
2.7 电磁场的边界条件
2.7.1 边界条件一般表达式 ====
2.7.2 两种常见的情况
1.两种理想介质分界面上的边界条件
2.理想导体表面上的边界条件
???????????=?=????-=????+=??
?
???
??
S V S C
S C S ρdV S D S B S t B l E S t D J l H
d 0d d d d )(d ()()()0()H E E t E H t H E σεμμερ????=+???
????=-?????=????=?0/E H E t H E t H E σεμρε
????=+????????=-???
???=???=?????????????=?=????-=????+=??
?
???
??
S
V S C S C S ρdV S D S B S t B l E S t D J l H
d 0
d d d d )(d ???????=-?=-?=-?=-?S n n n S n D D
e B B e E E e J H H e ρ)(0)(0)()(21212121 n 12n 12n 12n 12()0()0
()0
()0e e e e ??-=?
?-=???-=??
?-=?D D B B E E H H e D ρ??=
第三章 静态电磁场及其边值问题的解
3.1 静电场分析
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
1. 基本方程 微分形式： 积分形式：
2. 边界条件
或
3.1.2 电位函数 1.电位函数的定义
2.电位的表达式
体电荷电位 面电荷电位
线电荷电位
点电荷电位 3.电位差
4.电位参考点
点电荷电位 参考点在无穷远 一般表达式
线电荷电位 参考点在1处 一般表达式
面电荷电位 参考点在原点 一般表达式 5.电位的微分方程
均匀介质中（有电荷分布的区域）
标量泊松方程 在无源区（无电荷分布的区域） 拉普拉斯方程 6.静电位的边界条件
介质分界面上无自由电荷 ?????=??=??0E D
ρ?????=?=??
?0d d l E S D
C S q ?????=-?=-?0)()(21n 21n E E
D D e e S
ρ???=-=-02t 1t n 2n 1E E D D S ρ0)(≡???u ?-?=E 1()
()d V r r V C ρ?''=
+?
)()(d d Q P l E Q
P
Q P ???-=-=??
? ()d 4πl C r l C R
?ε'=
+?
()4πq
r C R
?ε=
+θ?cos 0r E -=ερ?-=?202=??
21??=S
n
n ρ?ε?ε=??-??1122n
n ??=??1122
?
ε?ε2222222
x y z φφφφ????=++???
导体表面上电位的边界条件 空间电场分布 1、场源积分法
2、应用高斯定理求解
3、间接求解法，先求解空间电位分布
3.1.3 导体系统的电容与部分电容
孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（±q ）的导体组成的电容器
电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质的特性参数有关。 计算电容的步骤：
(1) 假定两导体上分别带电荷+q 和－q ； (2) 计算两导体间的电场强度E ；
(3) 由 ，求出两导体间的电位差；
(4) 求比值 ，即得出所求电容。
3.1.4 静电场的能量 1.静电场的能量
2.电场能量密度及总能量
电场能量密度
电场的总能量
3.1.5 静电力
1. 各带电导体的电位不变
2. 各带电导体的电荷不变 S n
ρ?
ε-=???
q
C =
12
q q
C U ??==-?
q W 21e =E D w ?=21e e 1d 2
V W D E V =??
2e 111222
w D E E E E εε=?=?=2e 111d d d 222V V V
W D E V E E V E V εε=?=?=???
e 11
d d 22
V V W V D V ρ??==????
e
i i W F g ?=
?e
W F ?=-??=21
d l E
U U q C =
3.2 导电媒质中的恒定电场分析
3.2.1 恒定电场的基本方程和边界条件
1.基本方程 微分形式 积分形式
2.恒定电场的边界条件
3.恒定电场的位函数
3.2.2 恒定电场与静电场的比拟
3.2.3 漏电导
三种计算方法：参见幻灯P61. (1) 假定两电极间的电流为I ；
?????=??=??00E J ?????=?=??
?0d 0d l E S J
C S 0
)(21n =-?J J e 0)(21n =-?E E e 2n n 1J J =2t 1t E E =n n ??=??=2
21121,?σ?σ??n
2
211)(J S σε
σερ-=02=??U
I G =
(3) 由J = σ E 得到 E ; (4) 由 ，求出两导体间的电位差；
(5) 求比值 ，即得出所求电导。
3.3 恒定磁场分析
3.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件
1. 基本方程 微分形式: 积分形式:
2. 边界条件 JS ＝0
3.3.2 恒定磁场的矢量磁位 1.恒定磁场的矢量磁位
恒定磁场中规定
2.磁场矢位的微分方程
有源区域（有电流存在） 无源区域（无电流存在）
3.磁场矢位的表达式
体分布电流
面分布电流： 细线电流
4.利用磁矢位计算磁通量
5.磁矢位的边界条件
0H J
B ???=????=???????=??=??
?
?0d d d S S C S B S J l H
?????=-?=-?S
J H H e B B e )(0)(21n 21n ?????=-?=-?0)(0)(21n 21n H H e B B e
0)(≡????F
B A =??J
A
μ-=?20A ??=02=?A
?
'
'=V V R r J r A d )
(π4)( μ?
'
'=S S S R
r J r A d )
(π4)( μ?
'=
C R l I r A d π4)(μ?
???=???=?=ΦC
S S l
A S A S B
d d d 12A A =1212
11
()n S e A A J μμ???-??=?
?=21d l
E U U I G /=
3.3.3 恒定磁场标量磁位 在没有传导电流的区域
3.3.3 电感
回路的自感
回路的互感
纽曼公式
3.3.4 恒定磁场的能量 多个电流回路的能量（源） m
H ?=-?I L ψ=
121
21I M ψ=2
1212I M ψ=??
?===122
101221d d π4C C R
l l M M M
μ2m 2
1d 21
21LI
l A I I W C ?
=?=ψ=
体分布电流的能量
能量密度 总能量
3.3.5 磁场力——虚位移法
电流维持不变
磁通不变
3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理
1.边值问题的类型
第一类边值问题：已知场域边界面上的位函数值
第二类边值问题：已知场域边界面上的位函数的法向导数值
第三类边值问题：已知场域一部分边界面上的位函数值，而另一部分边界面上则已知位函数的法向导数值
2.惟一性定理
在场域V 的边界面S 上给定φ 或 n
??φ
的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具有惟一值。
3.5 镜像法
3.5.1接地导体平面的镜像
1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像
3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像
q 1=－q (－d 1, d 2 )、
q 2=－q ( d 1, －d 2 )、
q 3 = q (－d 1, －d 2 ) ?
?=V
V A J W d 21
m m 12w B H =?m 1d 2
V W B H V =??
m
i
i W F g ?=?m i i W F g ?=-?,q q h h ''=-=,l l h h
ρρ''=-=11()04πq z R R ?ε=-≥'（）
ln (0)2πl R z R ρ?ε'=≥ 123
1111()4πq R R R R ?ε=--+
3.5.2导体球面的镜像
1. 点电荷对接地导体球面的镜像
点电荷对接地空心导体球壳的镜像 点电荷在球内
2 . 点电荷对不接地导体球的镜像
3.5.3 导体圆柱面的镜像
1. 线电荷对接地导体圆柱面的镜像
2. 两平行圆柱导体的电轴
3.5.4 点电荷与无限大电介质平面的镜像
无限长线电荷
3.5.5 线电流与无限大磁介质平面的镜像
2a d d ?'=0R a q q q R d
q q R R ''=-+'=-'?=01()4πq q R R ?ε'
=
+'
,a q q d
'=-
2
a
d d
'=
2
,a a q q d d d ''=-=
0a q q q d a '''''=-==，01()4πq q q R R r ?ε'''=++'2l l a d d ρρ'=-???'=?
?
ln 2πl ρ?ε=
b =12
121212q q q q
εεεεεεεε-?'=?+??-?''=-?+?12121212,l l l l εεεερρρρεεεε--'''==-++212121I I I I μμμμμμμμ-?'=?+??-?''=-?+?
3.6 分离变量法
3.6.1 直角坐标系中的分离变量法
或
3.6.2 圆柱坐标系中的分离变量法
3.6.3 球坐标系中的分离变量法
3.7 有限差分方法
02222=??+??y x ??00001(,)()()[sin()cos()][sinh()cosh()]
n n n n n n n n n x y A x B C y D A k x B k x C k y D k y ?∞
==+++
++∑
00001
(,)()()[sinh(_cosh()][sin()cos()]n n n n n n n n n x y A x B C y D A k x B k x C k y D k y ?∞
==+++++∑
22211()0??ρρρρρφ???+=???0001
(,)(ln )[cos()sin()]()
n n n n n n n A C D A n B n C D ?ρφρφφρρ∞-==++++∑
2222222111()(sin )0
sin sin r r r r r r ???
θθθθθφ?????++=?????(1)0(,)[]P (cos )
n n n n n n r C r D r ?θθ∞
-+==+
∑
第四章 时变电磁场
4.1 波动方程
1. 无源空间中
2.波动方程解的一般形式，引入波速
4.2 电磁场的位函数
1.位函数的定义
2.位函数的不确定性
3.位函数的规范条件 洛伦兹条件 库伦条件
4.位函数的微分方程
222=??-?t E
E με0222=??-?t
H
H
μεv =
22
2221(,)(,)0E z t E z t z v t
??-=??A B
??=??-??-=t
A
E
0=??+??t
A ?
με 0=??A
J
t A A μεμ-=??-?222
ε
ρ?εμ?-=??-?222
t
4.3 电磁能量守恒定律
1.坡印廷定理
微分形式：
积分形式：
2.坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）
4. 4 惟一性定理
在以闭曲面S 为边界的有界区域V 内，如果给定t ＝0 时刻的电场强度和磁场强度的初始值，并且在 t ≥ 0 时，给定边界面S 上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在 t > 0 时，区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。
4. 5 时谐电磁场
4.5.1 时谐电磁场的复数表示
J
E B H D E H E ?+?+???=???-)2
121()(t ????+?+?=??-V V S V V t d d )2
121(d d d )(J E B H D E S H E
H
ΕS ?=0(,)cos[()]A r t A t r ωφ=+
4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程
4.5.3 复电容率和复磁导率
电介质的复介电常数εc= ε -j σ/ω
磁介质的复磁导率
4.5.4 亥姆霍兹方程
即用复矢量表示波动方程
4.5.5 时谐场的位函数
矢量位和标量位以及它们满足的方程都可以表示成复数形式。
j j 0
H J D
E B
D B ωωρ???=+???=-??
??=????=
?
4.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量
第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
5.1 理想介质中的均匀平面波
5.1.1 一维波动方程的均匀平面波解
均匀平面波的电场强度和磁场强度都垂直于波的传播方向 —— 横电磁波（TEM 波）
沿 +z 方向传播的波
沿 -z 方向传播的波
av 1
Re(),2
E H *=
?S j ()
0j ()0()e ()e
r r φφ?=??=??E r E H r H j ()j ()000011
Re[e e ]22
r r φφ-=?=?E H E H 1j j j 11m 1m 1(,)Re[e e e ]cos()x kz t x x x x E z t E E t kz φωωφ-==-+2j j j 22m 2m 2(,)Re[e e e ]cos()x kz t x x x x E z t E E t kz φωωφ==++
相伴的磁场
在理想介质中，均匀平面波的电场强度与磁场强度相互垂直，且同相位。
5.1.2 理想介质中均匀平面波的传播特点 1、均匀平面波的传播参数 （1）角频率、频率和周期
（rad /s ）
（2）波长和相位常数
（3）相速（波速）
2、能量密度与能流密度
3、沿任意方向传播的均匀平面波
11111
j 1
x y y x z x x z E k H e e E e e E e E z εωμωμμη?===?=??)(11Ω==εμηy
x H E 2π(s)
T ω
=2π
T ω=1(Hz)2π
f T ω==2π(m)
k λ==2π(rad/m)
k λ=)s m (1d d μεμεωωω====k t z v *
2av
m
11Re[()()]22z S E z H z e E η=?=2m av 12z e E w v ε==22
av m m
1122
w E H εμ==Ω≈===377120000πεμηηn x x y y z z k e k e k e k e k ==++n m 0e E ?=n 1()()
H r e E r η=?