初中数学专题辅导1

初中数学专题辅导

一． 应用方程处理问题

在进入了二十一世纪的今天，世界的高科技迅猛发展，带动了各学科的发展，数学也是一样，特别是计算机的应用，给数的发展助以强大的动力。在这种情况下，数学教育更加重视提高人的素质，强调了加强应用意识，发展创造能力，这是教育中带有方向性的问题。

在中学数学里加强了问题解决的培养和训练，由一般性问题解决向开放性问题解决发展，因此列方程解应用题被人们更加重视起来。列方程解应用题的内容很丰富，列方程解应用题不仅要求能熟练地解方程，而且要求具有从实际问题中抽象出数量关系，并用代数式和方程将这种关系表达出来的能力。这就需要有较强的分析能力和综合能力。 【考点解析】

例. 张清是运输公司的经理，他接受了这样的运输任务：把第一仓库的50吨面粉和第二仓库的70吨面粉运往甲、乙两个面包加工厂，其中甲厂接收40吨面粉，乙厂接收80吨面粉。显然，张清是可以安排出很多运输方案的，考虑到厂家的利益，要使总的运费最省，如果1吨面粉的运输费用如表一所示，那么，张清应该怎样安排运输任务才能使总的运费最低？

工厂

运价 甲 乙 仓库

第一仓库 6元 8元 第二仓库 4元 5元

表一

分析：这是一个生产实际问题，在我们的日常生活中经常遇到，首先应把这个实际问题转化为数学问题。

工厂

运货量 甲 乙 仓库 （40） （80） 第一仓库（50） x 1 x 2 第二仓库（70）

x 3

x 4

表二

解：假设张清安排的运输方案如表二，那么x x x x 1234

、、、应满足下面的数量关系： x x x x x x x x x x x x 123413

2412345

017

024*********+=+=+=+=???????+-()()()()()()()()()其中、、、非负其中式可以由得到

也就是说我们得到了有四个未知量，三个独立方程组成的四元一次方程组，因此，可以把x x x 234、、分别

用x 1表示出来。

如果设总运费为N ，那么有

N x x x x x x x x x x x =+++=+-+-++=-≤≤

6845685044053071030401234

1111

1

11()()()()由和非负可得：

所以，只要x 1取最大值40，总运费N 取最小值670，也就是说，由第一仓库给甲厂运40吨面粉，给乙厂运10吨面粉，再由第二仓库给乙厂运70吨面粉，即完成了给定任务，还使总运费最省，共计670元。

点评：本题是2001年北京市海淀区数学中考说明当中的一道题，是一道数学应用问题。本题充分运用了方程的思想，用消元的方法把x x x 234、、分别用x 1表示出来，然后由x 1的取值范围确定运费N 的最小值。 【例题分析】

例1 一件工作，由甲单独作需要24个小时，由乙单独做需要18个小时，现在先由甲单独作6个小时，剩下的部分由甲、乙合作，完成这件工作需要几小时？

分析：若直接设元，则设完成这件工作需要x 个小时，列方程解出x 即可。若间接选元则可以设甲、乙合作用了x 个小时，则x ＋6就是问题要求的未知量。

解法1：(直接设元)设完成这件工作共需x 个小时，由已知甲先工作了6个小时，则甲、乙合作了(x －6)个小时。设全部工作量为1，则甲的工作效率为

124

，乙的工作效率为

1

18

，根据题意列方程： 612461241

1811467

72

1

135

7

?

+-?+=+-?==()()()()

x x x 即：解得：小时 答：共需13

5

7

小时完成全部工作。 解法2：(间接设元)设甲先工作6小时后，甲、乙又合作x 个小时，由题意，得：

12461241

18

1

?++=x () 整理得：7723

4x =

∴

=x 757

()小时 答：完成这件工作需135

7

小时。

小结：本题解法1和解法2表示了两种选元方法，一般地说，当直接选元比较难解时，可以采用间接选元的方法。

例2 一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍大1，个位上的数比十位上的数的3倍小1。如果这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数大99。求原来的三位数。 分析：这个问题如果直接选元，很难列出方程，所以适合间接选元。因为百位上的数和个位上的数都和十位上的数直接发生联系，故可选十位上的数为元。

解：设原来的三位数的十位上的数为x ，则它的百位上的数为2x ＋1，个位上的数为3x －1，这个三位数表

示为：

100(2x ＋1)＋10x ＋(3x －1)

把这个三位数百位上的数字和个位上的数字对调后得到： 100(3x －1)＋10x ＋(2x ＋1) 根据题意，得方程：

100(3x －1)＋10x ＋(2x ＋1)＝100(2x ＋1)＋10x ＋(3x －1)＋99 解这个方程，得： 99x ＝198＋99

∴=+=-=x x x 3

217318

则，

答：原来这个三位数是738。

例3 一轮船从一号桥逆水开往二号桥，开过2号桥20分钟以后到达A 处，发现在二号桥处失落一根圆木，船即返回追圆木，结果在一号桥追上。已知两桥相距2公里，求水流速度。

分析：这个题需要设辅助未知数来解决。因为题目只给了开过二号桥20分钟和两桥间相距2公里。如果只设水流速度为每分钟x 公里是列不出方程的。这就需要设船速为辅助未知数，以建立等量关系列出方程。 解：设船速为每分钟a 公里，水流速度为每分钟x 公里，依题意列方程：

2202022202020222020202120

005x a x a x a x x a x a x

x a x x a x x =+-+++-=-++∴-+=-+∴==()()()()

.(/)

即公里分 经检验知x =

1

20

是原方程的解，并且符合题意。 答：水流速度为每分钟0.05公里。

例4 已知盐水若干升，第一次加入一定量的水后，盐水的浓度变为3％；第二次又加入同样多的水后，盐水的浓度变为2％，求第三次加入同样多的水后盐水的浓度。

解：本题需设辅助未知数。设原有盐水a 升，每次加入水量是b 升，且设第三次加入水后，盐水浓度为x ％，依题意列方程组：

()()()()%a b a b a b a b x +?=+?+?=+????

3%22%22%3

化简得：32212232()()()()()()ab a b a b a bx +=++=+??

?

?

由(1)得：3324abab +=+

得a ＝b

代入(2)得：46a x a =()a ≠0 ∴=x 15.

答：第三次再加入同样多的水后，盐水浓度为1.5％。 小结：例3和例4都要把辅助未知数消去，简称消去参数。 【模拟试题】

1. 一件工作甲做9天可以完成，乙做6天可以完成，现在甲先做3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做

几天可以完成全部工作？

2. 甲乙两地相距12千米，小张从甲地到乙地，在乙地停留半小时后，又从乙地返回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地停留40分钟后，又从甲地返回乙地，已知两人同时分别从甲、乙两地出发，经过4小时后，他们在返回的途中相遇，如果小张速度比小王速度每小时多走1.5千米，求两人的速度。

3. 有某种农药一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升，再用水补满，于是测得桶中农药与水的比为18：7，求桶的容积。

4. 小船航行于内河的A 、B 两个码头之间逆流而上需要航行6小时，已知小船在静水中航行AB 这段路程比顺流而下要多用1小时，求小船顺流而下航行所需时间。

5. 甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发相向而行，甲走10米后两人第一次相遇，然后甲继续向前走到B 处立即返回，乙继续向前走到A 处立即返回，在距离B 点6米处二人第二次相遇，问A 、B 两地相距多少米？

6. 某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距100公里。团体中的一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，已知步行时速8公里，汽车时速40公里。问要使大家在下午4点钟同时到达乙地，必须在什么时候出发？

7. 某县农机厂金工车间共86个工人，已知每个工人平均可加工甲种部件15个，或乙种部件12个，或丙种部件9个，问应安排加工甲种部件、乙种部件和丙种部件各多少人，才能使加工后的3个甲种部件、2个乙种部件和1个丙种部件恰好配套。

8. 一支队伍以a 公里/小时的速度前进，一名通讯员要传送命令，从排头走到排尾，再回到排头，此时队伍进行的路程正好等于队伍的长度，求通讯员的速度。 【疑难解答】

A. 教师自己设计问题：

1. 解答题的第6小题的问题实质是什么？

2. 解答题的第7小题能不能用两种方法来解？

3. 解答题的第8小题怎样设辅助未知数？ B. 对问题的解答：

1. 答：这个问题实质上要求的是如果按题设的行走方式，至少需要多少个小时。注意到先坐车的人和先步行后坐车的人所用的时间总量是相等的，利用这个等量关系可以列方程。

解：设先坐车的一部分人下车地点距甲地x 公里，这一部分人下车地点距另一部分人的上车地点相距y 公里。如图所示：(从甲地到乙地100公里)

x 公里

甲 下车点 乙 上车点 y 公里

汽车走(x ＋y)公里的时间与先步行后乘车的那一部分人从甲地走到上车点所用的时间相等，列出方程为：

x y x y

-=+840

1() 先乘车后步行的一部分人从下车点到终点步行所用的时间等于汽车从下车点返回接另一部分人到终点所用的时间，得出方程为：

10084010040

2-=++-x y y x

() 解方程组x y x y

x y y x -=+-=++-???????840

1008

4010040

得从甲地到乙地共用小时。

x y x x ==?

?

?∴+-=7550401008

5

答：要使大家下午4点钟同时到达目的地，必须在中午11点出发。

2. 答：本题若用方程组解，设安排加工甲种部件需x 人，乙种部件需y 人，丙种部件需z 人能使加工的三种部件按要求配套。根据等量关系列方程组：

x y z x z y z x y z ++==?=???????===??

??

?8615391229363020解得 设加工后的丙种部件有x 个，那么甲种部件有3x 个，乙种部件有2x 个。根据题意列方程：

31521298618031536212309

20x x x x x x x ++=?====解得人，人，人。

以上两种解法，第一种方法直接设元，第二种方法是间接设元。

3. 答：分析：本题的已知量仅有a 公里/小时，未知量仅有通讯员的速度，必须设辅助未知量，设队伍的长度为l 公里，通讯员的速度为x 公里/小时。 根据题意得方程：

l x a l x a l

a

++-= 解得：x a =+()/21公里小时

试题答案

1. 设整个工作量是1，乙还需x 天完成。 列方程

1936

14

?+=?=x

x 2. 设小张速度是x 千米/小时，小王速度是y 千米/小时。

列方程组：()()..4124233615645-+-=-=?

??

?

??==??

?x y x y x y 解之得 3. 设桶的容积为x 升。

列方程

x x x

--

-

=()

1232

1232187 答：x ＝40升。

4. 小船顺流而下需航行x 小时，小船在静水中速度为a 千米/小时，水流速度为b 千米/小时。

列方程组ba b a b x a bx ax ()()()()-=+?+=+?

??

1

x x 123==或 5. 设两地相距为x 米

则v v x x x x 甲

乙

＝解得米10104424-=-+?=。 6、7、8题见疑难解答。

二． 用辩证思维解题

数学世界丰富多彩，又充满矛盾，渗透着辩证法。解题时不妨进行辩证思维，这样可以激活求知的欲望，培养思维的品质，给解题带来耳目一新的感觉。 一、顺向与逆向

例1. 求2222222222

2345678910

--------+的值。 解析：顺向与逆向是对立的，囿于顺向思维有时会给解题平添难度。 原式=-----+()222222

109

87

2

=----+=----+=-+=+=()()()2222222222

222226

987287623

2

2

二、常量与变量

例2. 如图，已知正比例函数y x =2和y a x a =>()

0的图像与反比例函数y k

x

k =>()0的图像在第一象限内分别交于A 、B 两点，过A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D 。设?A O C 和?B O D 的面积分别为S 1和S 2，则S 1与S 2的大小关系是（ ）

A S S

B S S

C S S D

....121212>=<不确定的 y

A

O C D x

B

解析：由y k x =

可得x y k =。很显然，若点Px y ()00

，是函数y k

x

k =>()0图像上的任意一点，过P 作P Q x ⊥轴于Q ，则?O P Q 的面积是一个常量，都等于k 2，与点P 在图像上的位置无关。所以S S k

122

==，选

B 答案。

三、直接与间接

例3. 有一片牧场，假设草每天都在匀速生长（草每天增长量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；若放牧21头牛，则8天吃完牧草，如果每头牛每天吃草的量是相等的。问： （1）要使牧草永远吃不完，最多放牧几头牛？ （2）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？ 解析：草生长与牛吃草是一组反向的量，我们可把草生长的速度和牛吃草的速度分别看作是水流速度和船速。

由v v v 逆静水

=-，可得草减少的速度。 （1）设草的总量为S ，每天生长的速度为v 1，每头牛每天吃草量为v 2，则

6241

82122121?-=?-=??

??

?()()()()

v v S v v S

由(1)(2)得v v 1212=，即草的生长量等于12头牛每天的吃草量，所以最多放牧12头牛，使牧草永远吃不完。 （2）由（1）知S v =722，则

721612182

22

v v v -=

故放牧16头牛18天可以吃完草。

四、整体与局部

例4. 若a b ≠1，且有42004902

a a ++=及9200440

2

b b ++=，则a b b

+1

的值是_______。 解析：若按常规方法，先求出a 、b 的值，再求出a b b +1的值，则十分繁琐，而将a b b

+1

化为a b +1，利用

所给的两个方程，此题就迎刃而解了。 4200490

12

a a ++=()

9200440

2

b b ++=（显然b =0不是方程的解） ??+?+=4120041

9022b

b ()

故a 与1b 都是方程4200490

2

x x ++=的根，但a b ≠1，由?>0，得a 与1b 是此方程的两相异实根，从而a b +=-=-120044

501，即此题应填-501

。 五、一般与特殊 例5. 在?A B C 中，A D B C ⊥于D ，C FA B ⊥于F ，AD 与CF 相交于G ，且C GA B =，则∠=A C B ________度。

解析：本题看起来似乎无所下手，若将∠A B C “特殊”为R t ∠，则D 、F 与B 重合，这样问题就简单化了，可得∠=?A C B 45 六、正面与反面

例6. 老师在黑板上写下这样一道题：“已知?A B C 的面积S =18

，周长l =12，求它的内切圆半径”。很多同学很快求出内切圆的半径为3，惟独小明认为该题的已知条件不合时，压根就不存在符合条件的?A B C ，你认为小明的想法正确吗？

解析：当正面证明命题结论比较困难时，可从反面提出与题目结论相反的假设，得出矛盾，从而肯定原来结论成立。

假设存在符合条件的?A B C

，其内切圆半径为r ，则S lr =1

2

∴

==?=r S l 2218

12

3 S r S A B C 内切圆

==>=ππ

2

918?，这是不可能的。因此小明的想法是正确的。 综上六例，灵活进行辩证思维，可以收到化繁为简，化难为易，缜密思维的奇效。让人萌生“横看成岭侧成

峰，远近高低各不同”的感悟。

三．一元二次方程的整数根

一元二次方程的整数根问题难度较大，是中考特别是竞赛中的爬坡题型。本文举例说明与一元二次方程整数根有关问题的解法。

例1. 已知方程x a x a a 2

600+-+=≠()()

的两根都是整数，试求整数a 的值。 思路分析：当a 取值不同时，方程的系数就随之不同，方程的根的情况也就发生变化。究意什么情况下，方程的两根都是整数呢？还是从根与系数的关系入手比较好。 解：设方程的两整数根为x 1、x 2，根据根与系数关系得：

x x a x x a 1212

612+=-?=???()()

（1）＋（2）得：x x x x 12126++= 所以()()x x 12

117++= x x 121117+=+=???或x x 12

1117+=-+=-???

或x x 121711+=+=??

?或x x 12

17

11+=-+=-???

所以x x 1206==???或x x 1228=-=-???或x x 1260==???或x x 12

8

2=-=-???

因为a ≠0，所以xx 120≠

只有x x 1228=-=-???或x x 12

8

2=-=-???符合题意，代入（2）得：

a x x ==-?-=12

2816()() 例2. 已知方程()()a x a x 2

2

1251240

--++=有两个不等的负整数根，则a 的值是______。 思路分析：本题的条件在“整数根”的基础上更进一步，变为“负整数根”，这对系数a 有了更多的限制。

另外，本题的a 没有说它是整数，难度更大了。应当抓住“负整数根”做文章。

解：?=+-?-=+451424145222

()()()a a a 所以x a a a a 1

2

25125216

1=+++-=-()()()

x a a a a a a

2

22

251252144141=+-+-=--=+()()() 依题意有：

61a -、4

1

a +均为负整数，符合此条件的仅有a =-2。 例3. 设m 为自然数，且440<

2

22341480--+-+=()的两根均为整数，则m

＝______。

思路分析：题目已给出m 的范围，再加上判别式应满足的条件，可进一步对m 加以限制，就不难求出符合条件的m 值了。

解：?=---+=+4234414842122

()()()

m m m m 因为原方程的两根均为整数，所以21m +必为完全平方数，且必为奇数的平方。于是由440

<

<+

、24均符合题意。 误区点拨：本题解法的最后一步检验虽一语带过，但却是一个必不可少的步骤。因为整系数一元二次方程的判别式是完全平方数只是该方程有整数根的必要条件，但不是充分条件。也就是说，?为完全平方数，并不能保证方程一定有整数根，所以说，必须进行检验。

四．例谈求一次函数解析式的常见题型

一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对同学们的学习有所帮助。 一. 定义型

例1. 已知函数y m x

m =-+-()33

2

8

是一次函数，求其解析式。 解：由一次函数定义知m m 281

30

-=-≠???

∴=±≠??

?

m m 3

3

∴=-m 3

，故一次函数的解析式为y x =-+33 注意：利用定义求一次函数y k x b

=+解析式时，要保证k ≠0。如本例中应保证m -≠30 二. 点斜型

例2. 已知一次函数y k x =-3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 解： 一次函数y k x =-3

的图像过点（2，－1） ∴-=-123k ，即k =1

故这个一次函数的解析式为y x =-3

变式问法：已知一次函数y k x =-3，当x =2时，y ＝－1，求这个函数的解析式。

三. 两点型

已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。

解：设一次函数解析式为y k x b =+

由题意得024=-+=??

?

k b b

∴==??

?k b 2

4

故这个一次函数的解析式为y x =+24

四. 图像型

例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。

y

2

O 1 x

解：设一次函数解析式为y k x b

=+ 由图可知一次函数y k x b

=+的图像过点（1，0）、（0，2） ∴有020=+=+???

k b b

∴=-=??

?

k b 2

2

故这个一次函数的解析式为y x =-+22 五. 斜截型

例5. 已知直线y k x b =+与直线y x =-2平行，且在y 轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。 解析：两条直线l 1：y k x b =+11；l 2：y k x b =+22。当k k 12=，b b 12≠时，l l 12// 直线y k x b =+与直线y x =-2平行，∴=-k 2。 又 直线y k x b =+在y 轴上的截距为2，∴=b 2 故直线的解析式为y x =-+22

六. 平移型

例6. 把直线y x =+21

向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 解析：设函数解析式为y k x b =+， 直线y x =+21向下平移2个单位得到的直线y k

x b =+与直线y x =+21平行 ∴=k 2

直线y k x b =+在y 轴上的截距为b =-=-121，故图像解析式为y x =-21

七. 实际应用型

例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q （升）与流出时间t （分钟）的函数关系式为___________。

解：由题意得Q t =-2002.，即Q t =-+0220. Q t ≥∴≤0100

， 故所求函数的解析式为Q t =-+0220.（0100≤≤t ）

注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 八. 面积型

例8. 已知直线y k x =-4

与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。 解：易求得直线与x 轴交点为（

4k ，0），所以441

2

=4??||k ，所以||k =2，即k =±2 故直线解析式为y x =-24或y x =--24 九. 对称型

若直线l 与直线y k x b

=+关于 （1）x 轴对称，则直线l 的解析式为y kx b =-- （2）y 轴对称，则直线l 的解析式为y kx b =-+

（3）直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为y k x b

k =-1 （4）直线y x

=-对称，则直线l 的解析式为y k x b

k

=+1 （5）原点对称，则直线l 的解析式为y k x b

=- 例9. 若直线l 与直线y x =-21

关于y 轴对称，则直线l 的解析式为____________。 解：由（2）得直线l 的解析式为y x =--21

十. 开放型

例10. 已知函数的图像过点A （1，4），B （2，2）两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。 解：（1）若经过A 、B 两点的函数图像是直线，由两点式易得y x =-+26 （2）由于A 、B 两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A 、B 两点的函数图像还可以是双曲线，解析式为y x

=

4

（3）其它（略） 十一. 几何型

例11. 如图，在平面直角坐标系中，A 、B 是x 轴上的两点，∠=ACB 90

，∠=CAB 30

，以AO 、BO 为直径的半圆分别交AC 、BC 于E 、F 两点，若C 点的坐标为（0，3）。（1）求图像过A 、B 、C 三点的二次函数的解析式，并求其对称轴；（2）求图像过点E 、F 的一次函数的解析式。

解：（1）由直角三角形的知识易得点A （-33，0）、B （3，0），由待定系数法可求得二次函数解析式为y x x =--

+1

3

23

3

32

，对称轴是x =-3 （2）连结OE 、OF ，则O EA C ⊥、O FB C ⊥。过E 、F 分别作x 、y 轴的垂线，垂足为M 、N 、P 、G ，易求

得E （-

334，94）、F （334，3

4

）由待定系数法可求得一次函数解析式为y x =-+3332 十二. 方程型

例12. 若方程x x 2

310+-=的两根分别为αβ、，求经过点P （αβ22

+，1

1αβ+）和Q （βααβ

+，αβ22+）的一次函数图像的解析式

解：由根与系数的关系得αβ+=-3，αβ=-1 ∴+=+-=+=αβαβαβ

2

2

2

29211

()，11

3

1

3αβ

αβαβ+=

+=--= βααβαβαβαβ+=+-=-=-()2

2111

11

∴点P （11，3）、Q （－11，11）

设过点P 、Q 的一次函数的解析式为y k x b

=+ 则有1131111

k b k b +=-+=?

?

?

解得k b =-

=?

????4117

故这个一次函数的解析式为y x =-+4

11

7 十三. 综合型

例13. 已知抛物线y m x m x m =---+()()92332

2

的顶点D 在双曲线y x

=

-5

上，直线y k x c =+经过点D 和点C （a 、b ）且使y 随x 的增大而减小，a 、b 满足方程组a b a a b b --=---=?

??

3024100，求这条直线的解析式。

解：由抛物线y m x m x m =---+()()92332

2

的顶点D （-++-+133103

3

2

m m m m ，）在双曲线上，可求得抛物线的解析式为：

y x x 1271412=-+-，顶点D 1（1，－5）及y x x 2

2

271818=-+- 顶点D 2（

1

3

，－15） 解方程组得a b 11

14=-=-??

?，a b 222

1==-???

即C 1（－1，－4），C 2（2，－1）

由题意知C 点就是C 1（－1，－4），所以过C 1、D 1的直线是y x =--1

2

92

；过C 1、D 2的直线是y x =--334494

五．应用非负性质解题

在初中代数中出现的非负数主要有三类：

1. 绝对值：任何一个实数的绝对值都是非负数，即a ≥0。

2. 平方：任何一个实数的平方都是非负数，即a 20≥。

3. 算术平方根：任何一个非负数的算术平方根都是一个非负数，即a a ≥≥00()。 解题过程中巧用以上三个非负性质可以简捷地处理许多问题。现举例说明如下。 例1. 已知a 、b 为实数，且满足a b b =-+-+21121

，求ab 的值。 分析：解决本题只需从已知等式中求出a 、b 值即可。应用a 中a ≥0的非负性质可以立即求出b 的值，从而进一步得到a 的值。 解：由题意可知210b -≥且120

-≥b ∴=

b 1

2

，此时a =1 ∴=?=a b 1121

2

例2. 若a 、b 、c 满足a b c a b c -++?

? ???

+-+=312402

，求a c a b -+的值。 解：由非负数的性质可知a -=30，且1202

b c +?? ?

?

?=，且40

a b c -+=

()∴===-∴-+=--

+=a b c a c a b 384

3438711

，， 例3. 已知(

)

x y x y ++-=12，求x y +的值。

解：已知等式可化为()x y x

y +-+-=2

20

(

)(

)

∴+++-=+≥∴++>∴+-=∴

+=∴+=x y x y x y x y x y x y x y 120

10202

4

六．一些数学思想在解题中的应用

在直线，射线，线段这一部分内容中，渗透了许多重要的数学思想和方法，下面举例说明。 一. 数形结合思想

例1. 同学们去公路旁植树，每隔3m 植一棵树，问在21m 长的公路旁最多可植几棵树？你可能会不假思索地在回答，三七二十一，可植树7棵，那就错了，结合图形观察后就知道了。 解：从图1看，显然可植8棵。

图1

说明：对于这类题目要注意考虑线段的端点，否定容易出错。 二. 方程思想

例2. 点D 、E 在线段AB 上，且都在AB 中点的同侧，点D 分AB 为2：5两部分，点E 分AB 为4：5两部分，若DE=5cm ，则AB 的长为（ ）。

图2

解：由题意，得如图2所示，设AB=x ，则A D x A E x ==2

749，，由A E A D D E

-=，得492

7

5x x -=，解得x =315.，即A B c m

=315.。 三. 整体思想

例3. 已知：如图3所示，C 是线段AB 上一点，点D 、E 分别是AC 、CB 的中点，若A B c m =10

，求线段DE 的长。

图3

解：∵D 、E 分别是AC 、BC 的中点

∴=

=∴=+=+=+==?=DC AC CE CB DE DC CE AC CB AC CB AB 1212

121212121

2

105

，()

说明：解答本题的关键是逆用分配律得出待求线段和已知线段这个整体的关系。

四. 分类讨论思想

例4. 已知线段AB=8cm ，在直线AB 上画线段BC 使它等于

3cm ，求线段AC 的长。

图4

分析：由于点C 可能在线段AB 上，也可能在线段AB 外，因此需要分类讨论。

解：当点C 在线段AB 上时，如图4所示，A C A B B C c m =-=5。

当点C 在线段AB 外时，如图5所示，A C A B B C c m

=+=11。

图5

因此线段AC 长为5cm 或11cm 。 五. 归纳猜想思想

例5. （2001年江苏无锡中考题）

根据题意，完成下列填空：如图6所示，l 1与l 2是同一平面内的两条相交直线，它们有一个交点，如果在这个平面内，再画第3条直线l 3，那么这3条直线最多可有（ ）个交点；如果在这个平面内再画第4条直线l 4，那么这4条直线最多可有（ ）个交点；由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有（ ）个交点。n （n 为大于1的整数）条直线最多可有（ ）个交点（用含n 的代数式表示）。 解：（1）画图观察

图6

（2）列表归纳

直线条数n 2 3 4 5 6 … n 增加点数 1 2 3 4 5 …

n -1 点的个数a n 1

3

6

10

15

…

？

（3）猜想：

a a a a a a a 23243541212312341234==+=+=+=++=+=+++，，，，…… 于是，可猜想n 条直线最多可有交点个数为：

()a a n n n n n n =+-=+++++-=--11123411

2

1()()… 于是，当n =6时，12

115n n ()-=个交点。

初中数学分式方程的增根与无解专题辅导

分式方程的增根与无解 周奕生 甲：增根是什么？ 乙：增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值，比如解方程、： 2 x x 222x 3x 1-=-+。① 为了去分母，方程两边乘以()2x x -，得()2x 32x -=+-② 由②解得0x =。 甲：原方程的解是0x =。 乙：可是当0x =时，原方程两边的值相等吗？ 甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。哟！当0x =时，原方程有的项的分母为0，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦？ 乙：求解过程完全正确，没有任何的差错。 甲：那为什么会出现这种情况呢？ 乙：因为原来方程①中未知数x 的取值范围是0x ≠且2x ≠，而去分母化为整式方程②后，未知数x 的取值范围扩大为全体实数。这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。 甲：如此说来，从方程①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么，如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢？ 乙：很简单，两个字：检验。可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母，看是否使公分母等于0，如果公分母为0，则说明这个值是增根，否则就是原方程的解。 甲：那么，这个题中0x =就是增根了，可原方程的解又是什么呢？ 乙：原方程无解。 甲：啊？！为什么会无解呢？ 乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等，如上题中，不论x 取何值，都不能使方程①两边的值相等，因此原方程无解，又如对于方程 0x 2=，不论x 取何值也不能使它成立，因此，这个方程也无解。 甲：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？ 乙：不是！有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根，你看，方程x 1x x x 21x x 22+=+-+，去分母后化为()()01x 3x =+-，解得3x =或1x -=，此时，1x -=是增根，但原方程并不是无解，而是有一个解3x =，而方程1x 2x =+，去分母后化为2x 0-=?，原方程虽然无解，但原方程也没有增根。 甲：看起来增根并不是什么“好东西”，有没有办法可以避免增根？ 乙：有是有，不过解起来比较费劲，有时划不来，还不如解后再检验。比如解方程x 1x x x 21x x 22+=+-+，可先把右边化为0，得0x 1x x x 21x x 22=+-+-+。左边通分计算，

(专题精选)初中数学圆的易错题汇编及答案

（专题精选）初中数学圆的易错题汇编及答案 一、选择题 1．“直角”在几何学中无处不在，下列作图作出的AOB ∠不一定．．． 是直角的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据作图痕迹，分别探究各选项所做的几何图形问题可解. 【详解】 解：选项A 中，做出了点A 关于直线BC 的对称点，则AOB ∠是直角. 选项B 中，AO 为BC 边上的高，则AOB ∠是直角. 选项D 中，AOB ∠是直径AB 作对的圆周角，故AOB ∠是直角. 故应选C 【点睛】 本题考查了尺规作图的相关知识，根据基本作图得到的结论，应用于几何证明是解题关键． 2．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，以BD 为直径作圆，交于AB 于E ，交CD 于F ，若BD=12，AD ：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．3 B ．36ππ C ．312π D ．48336ππ 【答案】C 【解析】 【分析】 易得AD 长，利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数，进而求得∠EOD 的度数，那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ，算出后乘2即可．

【详解】 连接OE ，OF ． ∵BD=12，AD ：AB=1：2， ∴AD=43 ，AB=83，∠ABD=30°， ∴S △ABD =×43×12=243,S 扇形= 603616,633933602OEB S ππ?==??=V ∵两个阴影的面积相等， ∴阴影面积=() 224369330312ππ?--=- . 故选：C 【点睛】 本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，点P 是以C （﹣2，7）为圆心，1为半径的⊙C 上的一个动点，已知A （﹣1，0），B （1，0），连接PA ，PB ，则PA 2+PB 2的最小值是（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 【答案】C 【解析】 【分析】 设点P （x ，y ），表示出PA 2+PB 2的值，从而转化为求OP 的最值，画出图形后可直观得出OP 的最值，代入求解即可． 【详解】 设P （x ，y ）， ∵PA 2＝（x +1）2+y 2，PB 2＝（x ﹣1）2+y 2， ∴PA 2+PB 2＝2x 2+2y 2+2＝2（x 2+y 2）+2， ∵OP 2＝x 2+y 2， ∴PA 2+PB 2＝2OP 2+2， 当点P 处于OC 与圆的交点上时，OP 取得最值，

初中数学专题辅导系列

初中数学专题辅导系列 1．数学新课程“活动型”中考题评析 “活动型”中考试题已成为一大亮点，充分体现了新课标的数学学习理念：数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。本文以数学新课程中考试题为例，分类评析，供备考的师生参考，并与们交流。 一、游戏型 游戏蕴涵了许多数学理论，做游戏本身就是对思维的一种挑战，也是一个非常有趣的过程。这有助于培养学生对数学的积极情感体验。 例1、扑克牌游戏：小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两，且各堆牌的 数相同； 第二步：从左边一堆拿出两，放入中间一堆； 第三步：从右边一堆拿出一，放入中间一堆； 第四步：左边一堆有几牌，就从中间一堆拿几牌放入左边一堆。 这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的数，你认为中间一堆牌现有的数是 （省课程改革实验区初中毕业生学业考试15试题） 评析：这是一道有趣的情景题， 小明象魔术师般神奇地说出了准确 数,这其中的奥秘是什么？激起学 生的思维，把具体问题数学化，用 字母a 表示各堆牌相同的数， 列表分析：如右表，得中间牌数为 5。在这一过程中学生经历“从具体 事物 学生个性化的符号表示 学会数学地表示”这一逐步化、形式化的过程，从而发展学生的“符号感”。 例2、小明和小刚用如图的两个转盘做游戏，，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为 奇数时，小明得2分；当所转到的数字之积为偶数时，小刚 得1分。这个游戏对双方公平吗？若公平，说明理由。若不 公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？ 甲 乙 （省市初级中学学业水平考试16试题） 评析：游戏本身就是一种随机事件，每次游戏就是一次实验。对游戏规则公平性的研究，实际上是事件发生可能性的一种应用。一种游戏规则公平与否直接与这个游戏的方式有关。在很大程度上，游戏将有助于学生对随机事件的理解。另一方面，对游戏公平性的研究，将有利于培养学生公平、公正的态度，有助于学生形成正确的世界观。本题要求学生先将两个转盘所转到的数字求积（如右表），从表中可以得到： P 积为奇数 =62, P 积为偶数 =64. ∴ 小明的积分为64262=?， 小刚的积分为6 4 164=?。因此，游戏对双方公平。

一对一辅导方案_初中数学

初中数学一对一辅导方案 一、学生情况概括 由于每个学生的特点、学习能力和对课本知识掌握程度等各个方面都不尽相同，所以针对不同的学生要根据具体情况设计不同的辅导方案。可以通过谈话交流的方式了解学生是不是能够主动学习、学习态度等方面的问题；可以通过让其做一套综合测试试卷的方式了解其对课本知识掌握情况以及各个章节的掌握情况，以便在制定具体的辅导计划中做到查缺补漏、区别对待，节约时间。 二、按课程标准达到相应的程度（包括了解、理解、掌握、学会、形成等等） 课本中的知识点对学生的学习要求是不同的，我们在做辅导时要根据具体的要求使学生做到理解并掌握课本中所涉及的相关知识点，形成自己的学习方式和习惯，激发学习兴趣，提升学习自信心，形成良好的解题思路和解题技巧，变被动学习为主动学习。 三、具体辅导过程中采用的方法 初中数学是一个环环相扣的整体，，每一次的课程学习不好都有可能会影响到接下来的学习。根据“初一的基础知识点多，初二的难点多，初三的考点多”的情况以及学生具体的特点，先从基础知识开始学习，让学生感觉到学习数学不是那么的困难，从而对数学感兴趣，进而能够使其成绩得到提升。主要分为以下三个阶段： 第一阶段，复习初一知识点，在此过程中构建学生的学习框架，激发学习兴趣，提升学习的主动性和积极性，培养解题思路和解题技巧，熟悉中考难度的题型，进行强化训练等。 第二阶段，对初二知识进行详细认真的复习指导，掌握解题规律和技巧，各个击破知识点，达到举一反三的效果，从而对学习数学充满信心。 第三阶段，由于初三知识中考考点较多，对初三内容要进行重点辅导，使其能够全面把握所考知识点。全部学习完之后对其进行大规模的中考模拟测试，中考内容难易分明，重点突出，最后的大题讲究数行结合，是难点中的难点。通过模拟测试再一次做到查缺补漏。 教学过程中遵循循序渐进的规律，并适时灵活改变教学思路，结合以点带面的方法，进行系统性和总结性的复习指导。 四、学目标与课时分配 章节内容 （包括阶段检测）课时 数 教学目标 1、有理数的运算1、数轴； 2、相反数、倒数、绝对值； 3、有理数的加减乘除； 4、有理数的乘方； 5、有理数的混合运算； 6、科学计数法、有效数字。 １、理解有理数的意义； 2、能用数轴上的点表示有理数； 3、借助数轴理解相反数和绝对值的意 义； 4、掌握有理数的运算法则； 5、理解有理数的运算律，并能灵活使 用运算律简化运算。 2、整式的运算1、认识整式，单项式，多项式 2、弄清楚整式中次数的概念 3、同类项的运算规律 4、整式的加减； 1、了解单项式、多项式、同类项和整 式的概念； 2、会确定单项式的系数和次数； 3、 会确定多项式的项数和次数． 4、能够熟练地对整式进去运算； 5、能有举一反三的能力去对付较难的 变式题。

初一数学上册课外辅导全套教案精品

七年级（上）数学目录： 第一章有理数 1.1 有理数的概念 1.2 有理数的运算 1.3 近似数与科学计数法 1.4 单元测试 第二章整式加减 2.1 整式的加减 2.2 单元测试 第三章一元一次方程 3.1 解一元一次方程 3.2 列方程解应用题（一） 3.3 列方程解应用题（二） 3.4 单元测试 第四章图形认识初步 4.1 多姿多彩的图形 4.2 平面图形 4.3 单元测试 期末模拟试卷（一） 期末模拟试卷（二） 期末模拟试卷（三） 期末模拟试卷（四） 期末模拟试卷（五）

第一章 有理数 一、全章知识结构 二、回顾正数、负数的意义及表示方法 1、正数的表示方法：a>0 2、负数的表示方法：a<0 3、非负数表示方法：a ≥0 4、非正数表示方法：a ≤0 三、有理数的分类 定义：整数和分数统称为有理数 有限小数和无限循环小数都是有理数，而无限不循环小数却不是有理数 1、按整数分数分类 2、按数的正负性分类 ????? ? ? ?? ? ????? ??????负分数负整数负数零 正分数正整数正数有理数. 3、在数轴上分类 数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。 数轴的作用： （1）用数轴上的点表示有理数； （2）在数轴上比较有理数的大小； （3）可用数轴揭示一个数的绝对值和互为相反数的几何意义； ??? ? ?????????????负分数正分数 分数负整数零正整数整数有理数..

四、有理数中具有特殊意义的数：相反数、倒数、绝对值、非负数 1、相反数： （1）代数意义：只有符号不同的两个数。 （2）几何意义：在数轴上表示一对相反数的两个点与原点的距离相等。 （3）互为相反数的特性：a+b=0，0的相反数是0。 （4）会求一个数的相反数： 3的相反数是 a 的相反数是 a-b 的相反数是 2、倒数: （1）乘积是1的两个数互为倒数 （2）互为倒数的特性: ab=1, （3）0没有倒数 （4）互为负倒数: 乘积是－1的两个数互为负倒数; ab=－1，例如3的负倒数是 3、非负数： （1）就是大于或等于0的数：a ≥0 （2）数轴上，在原点的右边包括原点的点表示的数 （3）任何数的平方数都是非负数 （4）非正数：就是小于或等于0的数：a ≤0 （5）数轴上，在原点的左边包括原点的点表示的数 4、绝对值： （1）几何意义：一个数的绝对值就是它到原点的距离。 （2）代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。 突破点: 一个数绝对值就是它离开原点的距离。 特性： a 、互为相反数的两个数的绝对值是相等的 b 、如果一个数的绝对值是正数，那么这个数一定有两个且互为相反数 c 、绝对值一定为正数或0即非负数 d 、正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。 5、我们所学过的非负数有： 应用举例： ? ?? ??=-=<=====>= 3- 3 0 - 0 0 0 0 3 3 0 时，当时，当时，当a a a a a a a a a 0≥a 02≥a

初中数学竞赛辅导资料

初中数学竞赛专题选讲 识图 一、内容提要 1.几何学是研究物体形状、大小、位置的学科。 2.几何图形就是点，线，面，体的集合。点是组成几何图形的基本元素。《平面几何学》只研究在同一平面内的图形的形状、大小和相互位置。 3.几何里的点、线、面、体实际上是不能脱离物体而单独存在的。因此单独研究点、线、面、体，要靠正确的想像 点：只表示位置，没有大小，不可再分。 线：只有长短，没有粗细。线是由无数多点组成的，即“点动成线”。面：只有长、宽，没有厚薄。面是由无数多线组成的，“线动成面”。4.因为任何复杂的图形，都是由若干基本图形组合而成的，所以识别图形的组合关系是学好几何的重要基础。 识别图形包括静止状态的数一数，量一量，比一比，算一算；运动状态中的位置、数量的变化，图形的旋转，摺叠，割补，并合，比较等。还要注意一般图形和特殊图形的差别。 二、例题 例1.数一数甲图中有几个角（小于平角）？乙图中有几个等腰三角形？丙图中有几全等三角形？丁图中有几对等边三角形？ E 解：甲图中有10个角：∠AOB, ∠AOC,∠BOC,∠BOD,∠COD, ∠COE,∠DOE,∠DOA,∠EOA,∠EOB.如果OA和OC成一直线，则少一个∠AOC，余类推。 乙图中有5个等腰三角形：△ABC，△ABD，△BDC，△BDE，△DEC 丙图中有全等三角形4对：(设AC和DB相交于O) △AOB≌△COD，△AOD≌△BOC，△ABC≌△CDA，△BCD≌△DAB。

丁图中共有等边三角形48个： 边长1个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＋5＝15 顶点在下▼的个数有 1＋2＋3＋4＝10 边长2个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＋4＝10 顶点在下▼的个数有 1＋2＝3 边长3个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＋3＝6 边长4个单位：顶点在上▲的个数有 1＋2＝3 边长5个单位：顶点在上▲的个数有 1 以上要注意数一数的规律 例2.设平面内有6个点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，其中任意3个点都不在同 一直线上，如果每两点都连成一条线，那么共有线段几条？如果要使图形不 出现有4个点的两两连线，那么最多可连成几条线段？试画出图形。 （1989年全国初中数学联赛题） 解：从点A 1与其他5点连线有5条，从点A 2与其他4点（A 1除外）连线 有4条，从A 3与其他3点连线有3条（A 1，A 2除外）……以此类推，6个 点两两连线共有线段1＋2＋3＋4＋5＝15（条），或用每点都与其他5点 连线共5×6再除以2（因重复计算）。 要使图形不出现有4个点的两两连线，那么每点只能与其他4个点连线， 共有（6×4）÷2＝12（条）如下图：其中有3对点不连线：A 1A 4，A 2A 5， A 3A 6 A 3 1 2 例3.如图水平线与铅垂线相交于O ，某甲沿水平线，某乙铅垂线同时匀速 前进，当甲在O 点时，乙离点O 为500米，2分钟后，甲、乙离点O 相 等；又过8分钟，甲、乙再次离点O 相等。求甲和乙的速度比。 解：如图设甲0，乙0为开始位置，甲1，乙1为前进2分钟后位置，甲2，乙2 乙2 为再前进8分钟的位置。再设甲，乙的速度分别为每分钟x,y 米，根据题意得 ? ??-=-=500101025002y x y x 甲 O 甲1 甲2 解得12x=8y 乙1 ∴x ∶y=2∶3

初中数学一对一学习辅导方法

青岛初中中考数学考前一对一辅导，是有很多的口诀的，能够掌握好这些口诀，运用得当，能让我们的效率事半功倍，希望博思给出的一些口诀能够对靠前的同学有所帮助 有理数的加法运算 同号两数来相加，绝对值加不变号。异号相加大减小，大数决定和符号。互为相反数求和，结果是零须记好。注：“大”减“小”是指绝对值的大小。 合并同类项 说起合并同类项，法则千万不能忘。只求系数代数和，字母指数留原样。 去、添括号法则 去括号或添括号，关键要看连接号。扩号前面是正号，去添括号不变号。括号前面是负号，去添括号都变号。 整式的运算 单项式，多项式，二者统称为整式;单项式，求几次，字母指数和即是;多项式，是几次，项中老大它就是;同底幂，做乘法，幂的指数要相加;同底幂，做除法，指数相减别忘啦;幂乘方，积乘方，牢记法则不要慌，前者指数要相乘，后者因数各得方，计算后，想一想，幂的底数不变样;零指数，负指数，指数为零结果1，指数为负变倒数;性质法则容易混，用心领会用心悟。巧运用，勤记勤练十日功。 完全平方公式 二数和或差平方，展开式它共三项。首平方与末平方，首末二倍中间放。

学生进入八年级后，“因式分解”、“分式方程的解法”及“解一元一次不等式”又是一个难点，教学时我们可结合一下口诀进行记忆。 因式分解 一提二套三分组，十字相乘也上数。四种方法都不行，拆项添项去重组。重组无 望试求根，换元或者算余数。多种方法灵活选，连乘结果是基础。同式相乘若出现， 乘方表示要记住。 注:一提(提公因式)二套(套公式) 解分式方程 先约后乘公分母，整式方程转化出。特殊情况可换元，去掉分母是出路。求得解 后要验根，原留增舍别含糊。 解一元一次不等式 先去分母再括号，移项合并同类项。系数化“1”有讲究，同乘除负要变向。先 去分母再括号，移项别忘要变号。同类各项去合并，系数化”1”注意了。同乘除正 无防碍，同乘除负要变号。 学生进入九年级后，“一元二次方程的解法”及“圆”又是一个难点，我们可结 合一下口诀进行记忆。 解一元二次方程

初三数学圆知识点复习专题经典

《圆》 一、圆的概念 概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r +； 外切（图2）?有一个交点?d R r =+； 相交（图3）?有两个交点?R r d R r -<<+； 内切（图4）?有一个交点?d R r =-； 内含（图5）?无交点?d R r <-； A

r R d 图3 r R d 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 例题1、 基本概念 1．下面四个命题中正确的一个是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大 深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. r R d 图4 r R d 图5 r R d O E D C A O C D A B

八年级初中数学教师课外辅导总结

八年级初中数学教师课外辅导总结 篇一：数学课外辅导工作总结 三年级数学后进生转化工作总结在一学期的努力帮扶和学生自己的不解努力之下，我班几位学困生的成绩有了不同程度的提高。我特别的坚信，只要努力了，就一定会有收获！转化后进生是教育工作中的一个难题。工作中以素质教育为指导，以新课程改革中“面向全体学生”，“必须使学生全体都获得基本的数学知识素养”为目标，树立“不让一个学生掉队，不放弃任何一个学生”的理念。关注每一个学生的发展，尤其对班级内的学困生要特别重视，使他们得到逐步提高。一学期来，我针对班级的实际情况，结合学期初制定的学困生辅导计划，扎实有序开展工作。使我班的学困生转化工作步入了一个新的台阶。 一、是端正其学习态度 我班的一些学困生存在学习态度不端正的现象。他们学习时目标不明确，对于作业，马虎应付，字迹潦草。我针对其具体情况，加强教育,主要是教育学生树立正确的学习观。因此，在这个学期里，我经常与孩子谈话，及时了解他的思想动向，并加强与家长的沟通，齐抓共管，逐步改变他学习懒散的现象,但是他学习态度的转变还是存在着反复。

二、是教给他们学习的方法 这几位学困生成绩不好，除了是因为学习态度不正确之外，还因为学习方法未掌握，针对这个情况，我在进行辅导时，还是继续以提高学生课文朗读能力为突破口，要求他们数学学习最基础一点，一定要把所学的基础知识正确、熟练地运用。因此，在辅导时，我从抓概 念、公式入手，通过多种形式的练习帮助他们掌握所学知识，在此基础上，辅导这位学困生做些有针对性的练习，达到提高数学学习能力的目的。 三、是加强课外辅导 当然，学困生的辅导是一项复杂而又艰巨的工作，要有效地提高他们的学习成绩，还要加强课外辅导（学习、心理），除了要在学习上辅导外，对于他的心理变化，教师也要及时了解，才能更好地对症下药，取得事半功倍的作用。 通过自己的努力,这学期在我帮助和学生自己的努力之下，几位学困生的成绩有了不同程度的提高，但也还存在着一些问题，如个别学生的习惯仍然较差、学习中缺乏动力和信心，不过我坚信只要为师者能晓之以理，持之以恒，教学得法，自己不丧失信心，相信学困生会越来越好，人数会越来越少。在以后的教学当中，我一定会继续做好学困生的

初中数学竞赛专题辅导--函数图像

初中数学竞赛专题选讲 函数的图象 一、内容提要 1. 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x 为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵 坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象. 例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数，k ≠0)的图象是一条直线 ① l 上的任一点p 0(x 0,y 0) 的坐标，适合等式y=kx+b, 即y 0=kx ② 若y 1=kx 1+b ，则点p 1(x 1,y 1) 在直线l 上. 2. 方程的图象：我们把y=kx+b 看作是关于x, y 的 二元 一次方程kx －y+b=0, 那么直线l 就是以这个方程的解为坐标 的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象. 二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c 是常数，a ≠0,b ≠0) 叫做 直线方程. 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的 点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象. 例如： 二元二次方程y=ax 2+bx+c(a ≠0) (即二次函数)的图象是抛物线； 二元分式方程y= x k (k ≠0) (即反比例函数)的图象是双曲线. 3. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律. 例如： ① 由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值； ② 由图象的上升，下降反映函数 y 是随x 的增大而增大(或减小)； ③ 函数y=f(x)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示y>0,y<0,y=0. 图象所对应 的横坐标就是不等式f(x)>0,f(x)<0 的解集和方程f(x)=0的解. ④ 两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公 共解.等等 4. 画函数图象一般是： ①应先确定自变量的取值范围. 要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界. ②一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点). ③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式. 二、例题 例1. 右图是二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)， 试决定a, b, c 及b 2－4ac 的符号. 解：∵抛物线开口向下， ∴a<0. ∵对称轴在原点右边，∴x=－ a b 2>0且a<0, ∴b>0. ∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上， ∴截距c>0. ∵抛物线与横轴有两个交点， ∴b 2－4ac>0. 例2. 已知：抛物线f ：y=－(x －2)2+5. 试写出把f 向左平行移动2个单位后，所得的曲线f 1的方程；以及f 关于x 轴对称的曲线f 2 的方程. 画出f 1和f 2的略图，并求：

初二数学一对一辅导方法 (2).doc

初二数学一对一辅导计划 学员：年级：八年级下预计课时：10 学校：辅导科目：数学难易度：基础 学生基本情况：基础知识基本掌握，但一次函数、一元一次方程、几何三者综合的题目解答存在困难，而综合性题目恰是期末考试，各种大型考试中常见的一类题型，只有将这种在考试中出现的重点，难点一类题型给学生深度解析后，才能在数学成绩上显著提高。 授课出发点工作目标指导思想 详细描述 认真落实工作计划，做好参加对象的辅导工作和思想教育工作，加强对学生课时工作的常规管理和检查，让学生树立起学习的信心和勇气，克服自卑的心理。使学生学有所长、学有 所用。 通过数学课的教学，使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科学技术所必需 的数学基本知识和基本技能；努力培养学生的运算能力、逻辑思维能力，以及分析问题和解 决问题的能力。 1. 阐述学习数学重要性，激发学习动机，形成学习数学动力。学习动机是直接推动学生学好

数学达到学习目的的内在动力，直接影响学习 效果。 2.培养学生积极健康的思想情感 工作措施3. 通过对学生进行恰如其文的分析，深入观 察，查漏补缺，因材施教，耐心教育，晓之以 理，动之以情，促使他们把外部动机转化为内 部动机，把“你要我学” 变为“我自己要学” ， 只有这样，才能真正促使学困生发生根本性的 转化。 4.表扬鼓励为主，建立良好的师生关系。 课时计划 辅导内容预计课时备注 一次函数，反比例函摸清学生薄弱环节，对学生基本情数，全等三角形，一课时 1 况进行了解，做好对学生针对性辅元一次方程组导的计划 掌握一次函数与几何的相互联系， 一次函数与几何深课时 2 了解一次函数的求解，以及各种三度解析课时 3 角形，四边形，菱形的规则和定理 的掌握 探索多项式各项公因式的过程，依实数，因式分解课时 4 据数学化归思想方法进行因式分 解，探索利用完全平方公式进行因

初中数学圆专题训练

初中数学圆专题训练 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.

初中数学圆专题训练（一） （一）选择题 1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）（A）4个（B）3个（C）2个 （D）1个 2．下列判断中正确的是（） （A）平分弦的直线垂直于弦（B）平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 （C）弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧（D）平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB＝∠A′OB′＝60°，则（）（A）＝（B）＞ （C）的度数＝的度数 （D）的长度＝的长度 4．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点E，的度数为60°，的度数为100°，则∠AEC等于（）

（A ）60° （B ）100° （C ）80° （D ）130° 5．圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2︰3︰6，则∠D 的度数是 （ ） （A ）67.5° （B ）135° （C ）112.5° （D ）110° 6．OA 平分∠BOC ，P 是OA 上任一点，C 不与点O 重合，且以P 为圆心的圆与OC 相离，那 么圆P 与OB 的位置关系是 （ ） （A ）相离 （B ）相切 （C ）相交 （D ）不确定 7．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为（ ） （A ）21（a ＋b ＋c ）r （B ）2（a ＋b ＋c ） （C ）3 1（a ＋b ＋c ）r （D ）（a ＋b ＋c ）r 8．如图，已知四边形ABCD 为圆内接四边形，AD 为圆的直径，直线MN 切圆于点B ，DC 的延长线交MN 于G ，且cos ∠ABM ＝2 3，则tan ∠BCG 的值为……（ ） （A ）33 （B ）2 3 （C ）1 （D ）3

初三下学期数学课外辅导计划

初三下学期数学培优辅差计划 一、指导思想 “希望每一个学生都成为优生”是每一个教师的共同愿望，本着“没有教不好的学生，确保教好每一个学生”、“没有差生，只有差异”的原则，从后进生抓起，课内探究与课外辅导相结合，让学生克服自卑的心理，树立起学习的信心和勇气。在学生中形成“赶、帮、超”的浓厚氛围，使每个学生学有所长，学有所用，提高数学学习成绩，全面提高教学质量。 二、工作目标 1、认真落实“培优转差”工作计划，做好参加对象的辅导工作和思想教育工作，培优和转差同步进行。 2、加强对培优补差工作的常规管理和检查。 3、让学生树立起学习的信心和勇气，克服自卑的心理。 4、在学生中形成“赶、帮、超”浓厚的学习氛围，使每个学生学有所长、学有所用。 5、做好学生的思想工作，经常和学生谈心，关心他们，关爱他们，让学生觉得老师是重视他们的，激发他们学习的积极性。了解学生们的学习态度、学习习惯、学习方法等。从而根据学生的思想心态进行相应的辅导。 6、定期与学生家长、班主任联系，进一步了解学生的家庭、生活、思想、课堂 三、培辅对象： 培优：易梅惠、邵新跃、李硕、徐佳佳 辅差：每次质量检测后20%学生 四、“培优补差”工作措施 1、教师了解和正确对待学生中客观存在的个别差异，其实并不是以消灭差异为目的，而是推动有差异的发展。在“吃透两头”的基础上，通过分层教学目标的设计和实施，使快者快学，慢者慢学，先慢后快，全面提升。 2、教师坚持做到每节课“层级化”训练分明，练习由浅入深，体现层次性，既有“双基”知识，也有拓展训练，保证后进生学有所获，优等生能进一步提高自己的思维水平。 3、平时对学习有困难的学生努力做到多鼓励，多宽容。耐心细致地帮助，上课时多留意，多体贴，督促他们及时完成相关作业以及练习。

初中教师资格证考试《数学学科知识与教学能力》专项复习

初中教师资格证考试《数学学科知识与教学能力》专项复习 一、考试目标 1．学科知识的掌握和运用。掌握大学专科数学专业基础课程的知识、中学数学的知识。具有在初中数学教学实践中综合而有效地运用这些知识的能力。 2．初中数学课程知识的掌握和运用。理解初中数学课程的性质、基本理念和目标，熟悉《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）规定的教学内容和要求。 3. 数学教学知识的掌握和应用。理解有关的数学教学知识，具有教学设计、教学实施和教学评价的能力。 二、考试内容模块与要求 1.学科知识 数学学科知识包括大学专科数学专业基础课程、高中数学课程中的必修内容和部分选修内容以及初中数学课程中的内容知识。 大学专科数学专业基础课程知识是指：数学分析、高等代数、解析几何、概率论与数理统计等大学专科数学课程中与中学数学密切相关的内容。 其内容要求是：准确掌握基本概念，熟练进行运算，并能够利用这些知识去解决中学数学的问题。 高中数学课程中的必修内容和部分选修内容以及初中数学课程知识是指高中数学课程中的必修内容、选修课中的系列1、2的内容以及选修3—1（数学史选讲），选修4—1（几何证明选讲）、选修4—2（矩阵与变换）、选修4—4（坐标系与参数方程）、选修4—5（不等式选讲）以及初中课程中的全部数学知识。 其内容要求是：理解中学数学中的重要概念，掌握中学数学中的重要公式、定理、法则等知识，掌握中学常见的数学思想方法，具有空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力以及综合运用能力。 2．课程知识 了解初中数学课程的性质、基本理念和目标。 熟悉《课标》所规定的教学内容的知识体系，掌握《课标》对教学内容的要求。 能运用《课标》指导自己的数学教学实践。 3．教学知识 掌握讲授法、讨论法、自学辅导法、发现法等常见的数学教学方法。 掌握概念教学、命题教学等数学教学知识的基本内容。 了解包括备课、课堂教学、作业批改与考试、数学课外活动、数学教学评价等基本环节的教学过程。 掌握合作学习、探究学习、自主学习等中学数学学习方式。 掌握数学教学评价的基本知识和方法。 4．教学技能

2017中考数学专题复习圆(最新整理)

【基础知识回顾】 第六章圆 第二十三讲圆的有关概念及性质 一、圆的定义及性质： 1、圆的定义： ⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫线段OA 叫做 ⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于的点的集合 2、弦与弧： 弦：连接圆上任意两点的叫做弦 弧：圆上任意两点间的叫做弧，弧可分为、、三类 3、圆的对称性： ⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有条对称轴，的直线都是它的 对称轴 ⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是 【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的半径决定圆的 2、直径是圆中的弦，弦不一定是直径； 3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋 转性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】 二、垂径定理及推论： 1、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分弦所对的。 2、推论：平分弦（）的直径，并且平分弦所对的。 【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分 弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注 意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的线（即弦心距）。3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d 和弓高h 中已知其中两个量可求另外两个量。】 三、圆心角、弧、弦之间的关系： 1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角 2、定理：在中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量它们所对 应的其余各组量也分别 【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】 四、圆周角定理及其推论： 1、圆周角定义：顶点在并且两边都和圆的角叫圆周角 2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的 圆心角的 推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角那么它们所对的弧 推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是，900 的圆周角所对的弦是 【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角 有个，是类，它们的关系是，2、作直径所对的圆周角是圆中常作的 辅助线】 五、圆内接四边形： 定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。

初中数学培优方案

2017年秋期七（6）班数学学科培优补差方案 一、培优补差意义： 初中数学“新课标”要求“数学教育面向全体学生”，通过数学学习使学生“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”，数学教学要“关注学生的个体差异，有效地实现有差异的教学，使学生都得到充分的发展”。但是由于诸多原因，学生在数学学习基础、学习能力、兴越爱好等方面均存在较大差异，数学学业发展参差不齐，因此培优补差工作就显得尤其重要。 数学培优补差以课堂教学为主要途径，课外辅导为有效补充，对成绩突出、学有余力的学生，通过针对性指导，让他们成绩更优秀，专长得发展，对学习有困难、学习能力差的学生，激发学习兴趣，提高学习能力，使他们学业得以进步。重视培优补差不但能促使优生数学素养提升，差生学习兴趣、能力提高，还能促使教师不断研究改进教学，整体提高数学教学质量。 二、培优补差措施： 利用课余时间，“因材施教、对症下药”，根据学生的素质采取相应的方法辅导。具体方法如下： 1、课上后进生板演，中等生订正，优等生解决难题。 2、课堂练习分成三个层次：第一层“必做题”—基础题，第二层：“选做题”—中等题，第三层“思考题”--拓广题。满足不同层次学生的需要。 3、课外辅导，利用课余时间，组织学生加以辅导训练。 4、培优补差过程必须优化备课，功在课前，效在课上，成果巩固在课后培优补差。 5、每单元进行简单测评，了解学生情况，建立学生学习档案。 三、培优对象： 孙元奇、凌巧、李英凯、曾晴、查宇航、刚亚鹏、 刘xx、xx、xx、xx、xx

四、补差对象： xx、xx、xx航、xx、xx、xx彤、xx、xxxx、xx、xx淼

初中数学有趣的平行线专题辅导

初中数学有趣的平行线 在《平行线》这一章的学习中，我们会碰到这道经典的例题： 例题 如图所示，已知AB ∥CD ，分别探索下列四个图形中∠P 与∠A 、∠C 的关系，并说明理由。 解析 图1中，∠P+∠A+∠C=360°； 图2中∠P=∠A+∠C 。 证明 如图3，过点P 作PF ∥AB ， ∴∠A+∠APF=180°。 又AB ∥CD ，PF ∥AB ， ∴PF ∥CD ，∴∠FPC+∠C=180°。 ∴∠A+∠APC+∠C=∠A+∠APF+∠FPC+∠C=180°+180°=360°。 如图4，过点P 作PG ∥AB ，∴∠A=∠APG 。 又AB ∥CD ，PG ∥AB ，∴PG ∥CD ，∴∠GPC=∠C 。 ∴∠APC=∠APG+∠GPC=∠A+∠C 即∠APC=∠A+∠C ， 我们把这个例题加以拓展引申，可以得到许多有趣的问题： 例1 （1）如图（1），AB ∥CD ，则∠B+∠E 1+∠D= ； （2）如图（2），AB ∥CD ，则∠B+∠E 1+∠E 2+∠D= ； （3）如图（3），AB ∥CD ，则∠B+∠E 1+∠E 2+∠E 3+∠D= ； （4）按照上面的规律，如图（4），AB ∥CD ，则∠B+∠E 1+∠E 2+∠E 3+…+n E ∠ +D ∠= 。 解析 （1）由问题中的图1可过E 1作AB 的平行线，得∠B+∠E 1+∠D=360°； （2）根据图3，再过E 2作AB 的平行线，得 ∠B+∠E 1+∠E 2+∠D=360°+180°=540°；

（3）依次类推，得∠B+∠E1+∠E2+∠E3+∠D=540°+180°=720°； （4）∠B+∠E1+∠E2+∠E3+…+∠E n+∠D=（n+1）·180。 例2（1）如图（1），AB∥CD，则∠E1与∠B、∠D的关系是； （2）如图（2），AB∥CD，则∠E1+∠E2与∠B、∠D的关系是； （3）如图（3），AB∥CD，则∠E1+∠E2+∠E3与∠B、∠D的关系是； （4）按照上面的规律，如图（4），AB∥CD，则 ∠E1+∠E2+∠E3+…+∠E n与∠B、∠D的关系是。 解析（1）由问题中的图4可证得 ∠E1=∠B+∠D； （2）根据图4，再过E2作AB的平行线，得 ∠E1+∠E2=∠B+∠D+180°； （3）依次类推，得 ∠E1+∠E2+∠E3=∠B+∠D+360°； （4）∠E1+∠E2+∠E3+…+∠E n=∠B+∠D+（n－1）·180°。 例3（1）如图（1），AB∥CD，BE1平分∠ABE，DE1平分∠CDE，∠BED=150°。那么∠E1= ； （2）如图（2），AB∥CD，BE1平分∠ABE，DE1平分∠CDE，BE2平分∠ABE1，DE2平分∠CDE1，则∠E2= ； （3）如图（3），AB∥CD，BE1平分∠ABE，DE1平分∠CDE，BE2平分∠ABE1，DE2平分∠CDE1，BE3平分∠ABE2，DE3平分∠CDE2，则∠E3= ； （4）按照上面的规律，如图（4），AB∥CD，BE1平分∠ABE，DE1平分∠CDE，BE2平分∠ABE1，DE2平分∠CDE1，BE3平分∠ABE2，DE3平分∠CDE2，BE3平分∠ABE2，DE3平分∠CDE2…，则∠E n= 。 解析（1）由问题中的图2可得∠E=∠ABE+∠EDC，∠BED=150°，

初中数学一对一辅导

初中数学相比小学数学难度提高了很多，很多刚升入初中的学生，由于不适应这种难度的跨越，数学成绩直线下滑，家长们对此十分苦恼，毕竟数学是一门可以将成绩差距拉开很大的学科。针对很多学生数学成绩不能提高的情况，笔者来告诉您家有学霸一对一辅导是怎么辅导学生突破高分瓶颈的。主要方法有以下五点： 一、针对性教学思路。比如讲：老师以朋友的身份，做学生的学习小伙伴；采用3+x教学策略，针对性帮助学生解决思维障碍等。 二、成功上好第一次课。利用：3+x教学、思维导图等方法成功上好第一次课。 三、制定教学计划并严格执行 1、分阶段制定辅导计划 第一阶段，辅导计划是与学校同步巩固为主，以基础为主，提高学生的学习自信心。第二阶段，继续巩固基础，专题训练，适当拓展提高。 2、坚持执行计划，培养学习习惯

每次坚持课前诊查，课中精准导学，课末限时训练，全面展示，最后用思维导图梳理知识结构图，课后完成作业。 3、定期检测 在学习中，及时对学生的学习情况进行检测。是一个很重要的过程。同时还能避免学生边学边忘的弊端。 四、总结分析 对于如何提高一个学生的数学成绩，家有学霸一对一老师觉得离不开以下几点： 1、教师的充分备课。备课除了备知识点、备内容外，还要备学生，根据不同学生的学习特点，做到有针对性地备课。 2、双方地位的平等性。在一对一教学模式中，师生关系的融洽非常重要。如果让学生喜欢上你的课，那么学生的成绩自然会提升得很明显。 3、持之以恒，培养学习习惯。在一对一的课堂中，培养学生的良好习惯很重要，但是习惯的养成是离不开老师持之以恒的监督的。

家有学霸是一款真人1对1在线学习辅导软件，它支持老师用手机给学生上课，类似于一个超级中小学在线课堂，学生可以通过手机找到家有学霸上的老师对自己进行1对1线上辅导；老师通过家有学霸给学生上课，可以极大地提高上课的效率，更好地保证学生的学习效果，为孩子辅导作业，解决各种课业难题。