高考数学公式（精华版）
1．子集个数：n 元集合有2n
个子集，有21n -个真子集，21n -个非空子集，22n
-个非空真子集；
2．常见数集：
自然数集：N 正整数集：*N N 、+ 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 3．集合间的基本运算： （1）交集：公共元素；B A
（2）并集：全部元素（不能重复）；B A （3）补集：除去公共元素而剩余的元素；A C U
4．二次函数：2()(0)f x ax bx c a =++≠：判别式ac b 42
-=?； （1）0>?时，图像与x 轴有两个交点； （2）0=?时，图像与x 轴有一个交点； （3）0
若21x x 、是一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的两个根，则：a b x x -
=+21，a
c x x =21. 6．单调性：设1x ，2[,]x a b ∈，且12x x ≠，那么： （1）[]1212()()()0x x f x f x -->?
[]1212()()
0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数；
（2）[]1212()()()0x x f x f x --
[]1212
()()
0(),f x f x f x a b x x -
（3）如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；0)(<'x f ，则)(x f 为减函数； （4）增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数； 增函数-减函数=增函数；减函数-增函数=减函数； 7．奇偶性：
（1）()()f x f x -=-?()f x 是奇函数?()f x 的图像关于原点对称?(0)0f =（若在0x =有定义） （2）()()f x f x -=?()f x 是奇函数?()f x 的图像关于y 轴对称；
（3）奇函数±奇函数=奇函数；偶函数±偶函数=偶函数
奇函数?奇函数=偶函数?偶函数=偶函数；奇函数?偶函数=奇函数 8．对称性：
（1）函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=. （2）函数()y f x =的图象关于直线2
a b
x +=对称()()f a mx f b mx ?+=- 9．周期性：
（1）()()f x f x a =-+或1
()()
f x f x a =
+?()f x 是2T a =的周期函数；
（2）()()f x f x a b ++=或()()f x f x a b ?+=（0b ≠）?()f x 是2T a =的周期函数； 10．分数指数幂：
n m n
m a a
=（0,,a m n N *
>∈，且1n >）.1m n
m n
a
a
-
=
（0,,a m n N *>∈，且1n >）.
11．对数运算规律：
（1）指数与对数互换标准：log b a N b a N =?= （2）常用两个对数等式：②01log =a ③1log =a a （3）对数运算法则：log ()log log a a a MN M N =+；log log log a a a M
M N N
=-；log log n a a M n M = （4）对数的换底公式：log log log m a m N N a
=（log log m n
a a n
b b m =）
12．常见函数的导函数：
（1）0='C （C 为常数）；（2）'
1
()()n n x nx n Q -=∈； （3）x x cos )(sin ='；
（4）x x sin )(cos -='； （5）x x 1)(ln =
'；e a x x
a log 1)(log ='； （6）x x e e =')(； a a a x
x ln )(='； （7）[]'
''()()()()f x g x f x g x ±=±； （8）[]'
''
()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=±
（9）[]
'
''2
()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠????； （10）())()()]([x g x f x g f '?'='
（11） []'
'()()cf x cf x =（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）；
13．曲线的切线方程：函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率为
)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.
14．角度制与弧度制互化标准：3602rad π?
=，180rad π?
=，10.01745rad ?
≈，'
157.35718rad ?
?
≈= 15．扇形面积公式：1
=
2
S rl 扇（其中r 为半径，l 为扇形的弧长） 16．同角三角函数基本关系式：（1）平方关系：1cos sin 2
2
=+αα；（2）商数关系：αα
α
tan cos sin =； 17．诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）
212(1)sin ,(sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-?-?+=??-?为偶数）（为奇数），21
2(1)s ,cos()2(1)sin ,n
n co n n n απαα+?
-?+=??-?
（
为偶数）（为奇数） eg ：ααπcos )2sin(=- ααπ
s i n
)2
c o s (=- ααπs i n )s i n (=- ααπc o s )c o s
(-=- ααπ
c o s )2
s i n (=+ 18．两角和与差的正余弦，正切公式：
cos()cos cos sin sin cos()cos cos sin sin αβαβαβ
αβαβαβ
+=-??
-=+? ； s i n ()s i n
c o s
c o s s
s i n ()s i n c o s c o s s i n
α
βαβαβα
βαβαβ+=+??
-=-? βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+； β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-
19．二倍角公式：
αααcos sin 22sin = α
αα2
tan 1tan 22tan -=
ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=
20．降次（幂）公式：
2
1c o s 2s i n 2αα-=
2
1cos 2cos 2αα+= 1sin
cos sin 22
ααα= 21．辅助角公式：sin cos )a x b x x ?±=
±，其中tan b
a
?=
特别的，有：sin cos )
4x x x π+=
+， sin cos
)4
x x x π
-=-
cos
2sin()6x x x π+=+cos 2sin(
)6x x x π-=-
sin
2sin()3x x x π
+=+，sin 2sin()3
x x x π
=-
22．三角函数的图像与性质：
23．三角函数图像的变换：（1）左右平移：左加右减；（2）周期变换：伸长缩短；
24．正弦定理：在ABC ?中，
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===. 25．余弦定理：
2
2
2
2cos a b c bc A =+-，222
b c cos 2a A bc
+-=；
2
2
2
2cos b a c ac B =+-，222
cos 2a c b B ac
+-=；
2
2
2
2cos c a b ab C =+-，222
cos 2a b c C ab
+-=；
26．三角形中的恒等式：
（1）sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=-，（π=++C B A ，即三角形内角和为?180） （2）若ABC ?是锐角三角形，则sin cos A B >
27．面积公式：111
sin ()222
ABC S ah ab C a b c r ?=
==++（r 为ABC ?内切圆半径） 28．平面向量的基本运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =；
（1）1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--；1212a b x x y y ?=+ （2）若a ∥b ?01221=-y x y x ，若a b ⊥?12120a b x x y y ?=+= （3）cos ,cos ,a b a
b a b a b a b a b
??=<>?<>=
2121y x +=
29．平面向量的基本定理：已知OP xOA yOB =+，若A 、P 、B 三点共线1x y ?+= 30．若G 为ABC ?的重心，则0GA GB GC ++=，且(,)33
A B C A B C
x x x y y y G ++++
31．数列中n a 与n S 的关系：2
111
≥=-???=-n n S S S a n n n
32．等差数列及其性质：
（1）通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+-； （2）前n 项和：1()2n n n a a S +=
1(1)
2
n n na d -=+； （3）若c b a 、、依次成等差数列，则有：b c a 2=+；
（4）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；特别地，若2m n t +=，则2m n t a a a +=；
（5）n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列，且公差为2
n d ；
33．等比数列及其性质：
（1）通项公式：11n n m n m a a q a q --==；
（2）前n 项和：11
(1)
,11,1n n a q q S q na q ?-≠?
=-??=?
（3）若c b a 、、依次成等比数列，则有：2
b c a =?；
（4）若m n p q +=+，则m n p q a a a a ?=?；特别地，若2m n t +=，则2
m n t a a a ?=；
（5）n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，且公比为n
q ；
34．均值不等式：22
2a b ab +≥（当且仅当a b =时等号成立）
ab b a 2≥+（当且仅当a b =时等号成立） “一正、二定、三相等” 35．常见几何体表面积公式：
（1）圆柱：222S rl r ππ=+ （2）圆锥：2S rl r ππ=+ （3）圆台：'22'()S r r r l rl π=+++ （4）球：24S R π= 36．常见几何体体积公式：
（1）柱体的体积公式V Sh =（其中S 为底面面积，h 为高）
（2）锥体的体积公式1
3V Sh =（其中S 为底面面积，h 为高）
（3）台体的体积公式'
1()3V S S h =+（其中'S ，S 分别为上、下底面面积，h 为高）
（4）球的体积公式3
43
V R π=（其中R 为球半径）
37：空间线面关系证明思路：
（1）线线平行：①三角形中位线平行于第三边（且等于第三边的一半）；②平行四边形对边平行；③两平行平面的垂线平行；
（2）线面平行：①（平面外）直线与平面内一直线平行，则这条直线与平面平行；②两平面平行，其中一平面内一直线平行于另一平面；
（3）面面平行：其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，这两个平面平行；
（4）线线垂直：①等腰三角形底边的中线垂直于底边（即是高线）；②矩形的邻边垂直、菱形的对角线垂直；③直线垂直于平面则垂直于平面内的任意直线；④三垂线定理：平面内一直线与该平面的一条斜线在平面内的射影垂直，则这条直线与这条斜线垂直；三垂线逆定理也成立；
（5）线面垂直：①一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则垂直于这个平面；②两个平面垂直，其中一个平面内一直线垂直于两个平面的相交直线，则这条直线垂直于另一个平面； （6）面面垂直：其中一个平面内一直线垂直于另一个平面，则两平面垂直。 38．（理科）空间向量中的夹角和距离公式：
（1）空间中两点A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z 的距离AB d =
（2）异面直线夹角：(0,
]2
π
θ∈，且1212
cos l l l l θ?=
?（1l ，2l 为异面直线的方向向量）
（3）线面角：[0,
]2
π
θ∈，且sin l n l n
θ?=
?（l ，n 为直线的方向向量与平面的法向量）
（4）二面角：[0,]θπ∈，且1212
cos n n n n θ?=±
?（1n ，2n 为两个半平面的法向量）
（5）点P 到平面α距离：PQ n d n
?=
（n 为平面α的法向量，Q 为平面α上任意一点）
39．直线的斜率：21
21
tan y y k x x θ-==-（θ为直线的倾斜角，11(,)A x y 、22(,)B x y 为直线上的两点）
40．距离公式：
（1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP
=
（2）点
00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d =
；
（3）平行线间的距离：
10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：d =；
41．直线的位置关系：
（1）11y k x b =+与22y k x b =+，①平行：1212,k k b b =≠；②垂直：121k k ?=-； （2）1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=，则： ①平行：1221A B A B =且1221AC A C ≠，1212B C C B ≠； ②垂直：121k k ?=-； 42．两条直线的夹角公式：12
12
tan 1k k k k θ-=
+（其中1k 、2k 为两条直线的斜率）
43．直线与圆的位置关系：判断圆心到直线的距离d 与半径R 的大小关系 （1）当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； （2）当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； （3）当d R <时，直线和圆相离（无交点）；
44．圆与圆的位置关系：判断圆心距d 与两圆半径和12R R +，半径差12R R -（12R R >）的大小关系：
（1）当12d R R >+时，两圆相离，有4条公切线； （2）当12d R R =+时，两圆外切，有3条公切线；
（3）当1212R R d R R -<<+时，两圆相交，有2条公切线； （4）当12d R R =-时，两圆内切，有1条公切线； （5）当120d R R ≤<-时，两圆内含，没有公切线； 45．椭圆的定义：
（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离和等于常数)2(221F F a a >的点的轨迹叫椭圆.这两个 定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距.（2
2
2
c b a +=）
（2）第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （点F 不在l 上）的距离的比是常数)]1,0([∈e e 的 动点的轨迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的一个焦点，定直线是椭圆的一条准线.
（3）标准方程：焦点在x 轴上：)0(12222>>=+b a b y a x ；焦点在y 轴上：)0(122
22>>=+b a b
x a y .
46．双曲线的定义：
（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之差的绝对值等于常数)2(221F F a a <的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.（2
2
2
a b c +=）
（2）第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （点F 不在l 上）的距离的比是常数)],1([+∞∈e e 的动点的轨迹叫做双曲线.这个定点是双曲线的一个焦点，定直线是双曲线一条准线.
（3）标准方程：焦点在x 轴上：)0,0(12222>>=-b a b y a x ；焦点在y 轴上：)0,0(122
22>>=-b a b
x a y .
47．抛物线的定义：
（1）平面内与一个定点F 和一条定直线l （点F 不在l 上）的距离的相等的点的轨迹叫做双曲线.这个定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线.
（2）标准方程：焦点在x 轴上：px y 22=；焦点在y 轴上：py x 22=.
48．准线方程：（焦点在x 轴上）
（1）椭圆：c a x 2±=； （2）双曲线：c
a x 2
±=； （3）抛物线：2p x -=；
49．离心率：c
e a
=
（椭圆的离心率01e <<，双曲线的离心率1e >，抛物线的离心率1=e ） 50．双曲线的渐近线：22221x y a b -=（0a >，0b >）的渐近线方程为b y x a =±，且与22
221x y a b
-=具有
相同渐近线的双曲线方程可设为22
22x y a b
λ-=.
51．过焦点直线：
倾斜角为θ的直线过抛物线22y px =的焦点F 且与抛物线交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点（10y >）：
（1）12p AF x =+
，22p
BF x =+，12AB x x p =++； （2）1cos p AF θ=-，1cos p BF θ=+，2
2sin p
AB θ
=； 52．焦点三角形的面积：（1）椭圆：122
tan
2
PF F S b θ
?=?；（2）双曲线：122tan
2
PF F b S θ
?=
（12F PF θ∠=）
53．几何距离：
（1）椭圆双曲线特有距离：①长轴（实轴）：a 2； （2）②短轴（虚轴）：b 2； ③两焦点间距离：c 2.
（2）焦准距：①椭圆、双曲线：2
c
b
；②抛物线：p .
（3）通径长：（1）①椭圆、双曲线：2
2b l a
=；②抛物线：2l p =.
54．直线被曲线所截得的弦长公式：21AB x =-=
55．分类（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）：. 分类：n m m m N +++= 21；分步：12n N m m m =???.
56．概率公式：
（1）古典概型：实验总的基本事件个数为N ，随机事件A 包含的基本事件个数为M ，则事件A 发生的概率为：N
M
A P =
)(. （2）几何概型：事件A 发生的概率：积）
的区域长度（面积或体实验的全部结果所构成积）
的区域长度（面积或体构成事件A A P =
)(
57．（理科）排列数公式：!12n n A n n ==?????????；(1)(2)(1)m
n A n n n n m =?-?-??????-+；
58．（理科）组合数公式：(1)(2)(1)123(1)m
n n n n n m C m m
?-?-??????-+=
????????-?（n ，m N *
∈，且m n ≤）；
59．（理科）二项式定理：n
n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(；
二项展开式的通项公式：r r
n r
n r b a
C T -+=1)210(n r ，，，
=. 60.（理科）n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1).k
k
n k
n n P k C P P -=-
61．离散型随机变量的分布列的两个性质：（1）0(1,2,)i P i ≥=；（2）121P P ++
=；
62．分布列与期望、方差： （1）分布列：
（2）期望1122n n E x P x P x P ξ=++
+；()()E a b aE
b ξξ+=+
（3）方差：()()()2
2
2
1122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-?+-?++-?；()2D a b a D ξξ+=
标准差：σξ=
63．（理科）二项分布：若ξ～(,)B n p ，则E np ξ=，(1)D np p ξ=-；
64．回归直线方程：y a bx =+，其中()()()
1
122211
n n
i i i i i i n
n i i i i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx
====?
---?
?==??--??=-??∑∑∑∑（不要求记忆） 65．（理科）正态分布：正态密度函数：
22
()2()x f x μσ--
=
特征：正态分布有两个参数，即均数μ和标准差σ，可记作(,)N μσ：均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的瘦高或扁平程度；σ越小，曲线越瘦高；σ越大，曲线越扁平。 66．复数的基本概念：z a bi =+（a ，b R ∈）
（1）实部：a ；虚部：b ；虚数单位：12
-=i （2
）模：
z a bi =+=
；
（3）共轭复数：bi a z -= （4）在复平面内对应的点为(,)a b