具有多输入时滞的预测反馈控制线性系统的Lyapunov-Krasovskii 函数
关键字：渐进稳定性、李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数、预测反馈、时滞系统
摘要：本文是关于带时滞多输入线性系统的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数的构造。通过把预测反馈控制系统转化为带外部输入的无时滞线性系统，在一系列线性矩阵不等式的条件下构造李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数。一系列线性矩阵不等式的可解性等价于从预测反馈控制系统导出的无时滞线性系统的渐进稳定性。提出的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数也被证实为预测反馈控制系统的输入状态稳定（ISS）的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数。通过计算一个实例来证实所提方法的有效性。
1.简介
具有时滞的动态系统得到越来越多的关注，因为时滞系统在实践工程中有许多的应用，例如网络控制系统，化学过程控制，人口模型举例（可见，参考，[3,24,31,34]及其内部参考）。因为时滞系统的的稳定性和稳定性实现在理论和实践中非常重要，相当多的研究工作在其上展开并且在文献中许多相关的成果已经取得（可见[5,6,11,15,21,23,28,40]及其内部参考）。然而在时滞系统的稳定性分析与稳定性实现中仍有许多未解决的问题由于其无限空间的特性。
在现有关于时滞系统的稳定性和稳定性实现的成果中，大部分是关于状态延迟的线性系统（可见，参考，[10,19,30,38]）,然而相对少的成果适用于输入时滞的线性系统控制问题（参考[33,42]）。为了处理输入时滞的控制系统的稳定性实现，基本上有两种有效的设计方法，也就是预测反馈的记忆控制器设计和采用无时滞系统的无记忆控制器设计。无记忆控制器已经许多研究者所使用，例如，[4,12]。这种方法的优点就是它们很容易实现。然而，这种方法在延迟很大的情况下就不适用了。相反，由梅恩发现的预测反馈可以允许任意大的输入延迟。这种方法的基本思想是把时滞系统转换为等价的非时滞系统且任何常规设计方法对此都是适用的。这种方法在文献中已被广泛研究且在近几年又得到了广泛关注（可见，参考，[1,25,41]）。
在时滞系统的稳定性分析中，李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数是最重要的方法之一。许多关于时滞系统稳定性和稳定性实现的成果都可以运用李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数推出（可见[22,39]及其内部参考）。为分析单输入时变时滞线性预测反馈控制系统的指数函数稳定性，一个时变李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数被构建出来了基于偏微分方程的反演法在文献[13]中。通过运用激励状态的变形，带有分散输入延迟的线性预测反馈控制系统的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数在[2]中被得出。带有逐点的，分散的输入延迟线性系统在[27]中被考虑并且由Pepe和Jiang[29]定义的输入状态稳定的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数被构建出来了针对带有逐点的，分散的输入延迟线性系统。提出的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数在闭环时滞系统输入状态稳定的性质分析很有帮助。在最近几年，许多高级的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数已经被构建出来了，用于分析和设计许多带时滞的复杂动态系统，例如，带时变延迟的神经网络耗散分析[18]，带有间隔性时变延迟的静态神经网络稳定性分析[17], 关于重叠区域带有两个延迟的线性系统稳定性分析[14]，和带有时变延迟的神经网络稳定性分析。关于更多相关的文章，可见[7,8,20,35-37]及其内部参考。
在这篇文章中，我们将通过构造合适的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数来研究带有多输入延迟的线性系统指数函数稳定性。为了达到这个目的，首先我们将带有预测反馈的闭环时滞系统转变为等价的无时滞系统。然后，基于无时滞线性系统，在一系列线性矩阵不等式的求解后保证原时滞系统指数函数稳定性的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数被提出来了。同时也证明假若时滞线性系统渐进稳定则一系列线性矩阵不等式是可解的。同时，我们也证实得到的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数也是对于预测反馈控制系统的输入状态稳定（ISS）李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数。一个数值例子被解出来证实所提方法的有效性。所提方法的优点就是构造李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数不需要像文献[13]中那样运用偏微分方程的反演
法且仅仅基于用现有软件包求解一些线性矩阵不等式就可有效的解出来。
文章的余下部分组织如下。问题的陈述及一些基本的结果，包括指数函数稳定性的定义，预测反馈控制系统的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数及一些有用的引理，在第2部分给出。第3部分包含了这篇文章的主要结果。一个数值例子被计算出在第4部分中用来指出如何计算预测反馈控制系统的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数。最后，第5部分总结这篇文章。 注释：对于任意给定的矩阵
，我们分别用T
A 和)(A λ来表示它的转置和特
征值集（当A 是方阵的时候）。对一个正定矩阵P ，标记)(min P λ和
分别表
示它的最小特征值和最大特征值。对于两个正整数p 和q ，我们用I [p ，q]表示集合{p ，p+1，...q}。标记
代表欧几里得范数。让
是给定的一个实数。
代表巴拿赫空间关于连续函数从区间[]0,τ-到n R 的一致收
敛性拓扑结构。 2.问题的陈述与准备
在这篇文章中，我们考虑如下的带有多输入延迟的线性系统
（1）
在这里
是常数矩阵并且是常数。不失一
般性，我们假设
并且
是满列秩的。对于系统（1）的稳定化，
预测反馈可以设计如下[43]:
（2）
正是如下的闭环系统
（3）
拥有特征方程
且方程有有限的零点。在这里
（4）
因此闭环系统（3）的稳定性被保证了如果（A,B ）是稳定的并且F 被很好的设计。
众所周知李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数在控制系统的分析和设计中有着重要作用，尤其是在稳定性分析中。对于（3）中的闭环系统，虽然其稳定性可以由其特征方程确定，但李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数是不适合的。在这篇文章中我们感兴趣的是对这种延时系统的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数的构造。问题的难点在于闭环系统的状态应该被认为是
而不是[13]。为了让其变得清晰，我们给出下面的定义和引理。
定义1 [13].闭环系统（3）是指数方式稳定的如果存在正常数G和g使得
（5）
在这里
（6）
引理1.如果存在常数这样的函数
满足如下的两个条件：
然后状态满足（5）对于某些常数G和g。在这种条件下，V就叫做闭环系统（3）的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数。
论证. 明显，如下的不等式
（7）
正确由式1推出。由此及式2我们可以得到：
（8）因此，可以得到如下不等式
（9）
也就是，闭环系统（3）是指数稳定的在定义1的条件下。
所以在这篇文章中我们将构建一个李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数其满足引理1。为了达到这个目的，首先我们先引进一个新的状态变量即
（10）
由此原始的时滞系统（1）可以表示为
（11）
这是一个无时滞的线性系统，因此反馈（2）变为了
（12）
并且闭环系统（3）表示为
（13）
因此我们只需要找到系统（13）的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数。
在这部分的最后，我们引入了一些科学的引理且将会在下一部分中使用。
引理2（[44]）.对任何的常数矩阵整数
且，向量函数存在下面的算式即
（14）引理3（[9,32]）给定对于一个向量值函数和一个确定维数矩阵，有下式成立
（15）
3. 主要结果
在给出我们的主要结果前，根据上面部分的讨论，我们引入下面的假设对于闭环系统（3）。
假设1.矩阵是赫尔维茨矩阵，也就是，矩阵H的特征值有负实部。然后我们有如下的结论根据闭环系统（3）或（13）李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数的构造。
定理1.让假设1成立并且为某一常数让
（16）
由此下面两条陈述成立。
1.存在一个正定矩阵且
和一个正定矩阵由此下面的线性矩阵不等式
成立，在这里
2.如果且满足（16）-（18），则下面的函数
（25）是以引理1为条件的闭环系统（3）的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数。
证明.证明陈述1。首先我们选择两个正定矩阵由此
（26）
然后（18）中的不等式变为
（27）
在其中且通过运用矩阵Schur补引理。我们知道在（27）中的不等式可以等价为：
（28）
对所有的明显存在一个矩阵使得成立基于（16）中的条
件。通过再次应用矩阵Schur补引理，在（28）中的不等式可以进一步等价为
并且
（29）对所有的从假设1我们知道，对任何的和，等式
（30）
有一个解让然后我们可以得到
（31）很明显，对所有的如果我们让充分小，最后3项在（31）中由第一项所决定。因此，存在一个，由此在（29）中的线性矩阵不等式对所有的
成立。最后，对于在（26）中给定的和，（17）中的不等式可以被重写为
（32）
这明显是成立的考虑到（30）。陈述1的证明完成。
陈述2的证明。很容易可以看到
（33）
其中
（34）
因此对某一成立。由引理2和3可推断出
（35）所以我们得到
（36）对某一成立。为完成证明，我们仅仅需要证明
对某一成立。从（10）我们知道
（38）由此我们可以计算出
（39）基于这个定理的陈述1，我们知道
（40）
是正确的。另外，通过应用延森不等式我们可以得到
（41）由此，通过应用（41），（17）和（40），我们可以进一步得到
（42）记
（43）
然后（42）可以重写为
（44）
通过运用（18）中的不等式我们知道存在一个足够小的数由此对所有的我们可以进一步得到
（45）
在这里是某一常数，证明完成。
备注1. 在[27]，给出了对于耦合微分方程和泛函微分方程的输入状态稳定（ISS）李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数的定义。在此我们也证明也是一个ISS李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数满足所有条件在[27]中如果我们定义
（46）
在此条件下，很明显从（36）可得
（47）除此之外，从（12）可以推断出并且我们可以计算
（48）在此F不应该是个0矩阵并且
（49）
进一步，从（36）和（45）可以推断出
（50）
从不等式（47），（48）和（50）我们知道也是一个ISS李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数[27]。
4.一个数值例子
在这部分，一个数值例子被给出来证实所提方法的有效性。我们考虑系统（1）带有参数
并且我们指出在此没有必要假设。如果我们选择
然后可得假设1成立因为注意到
通过取并且解定理1中的一系列线性矩阵不等式我们可以得到
（52）
（53）
因此，一个以式（25）为形式的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数，P和R由上给定，带有参数（51）可相应的构造出来。
5.结论
这篇文章考虑带有多输入延迟的预测反馈控制系统的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数。由预测反馈控制的带多输入延迟的线性系统，基于等价的无延时系统，一个李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数可以通过解一系列线性矩阵不等式构造，只要闭环系统是渐进稳定的它就是可解的。除此之外，所得到的李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数也是闭环系统的ISS李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数。
1 李雅普诺夫稳定性 系统的李雅普诺夫稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动时，经过“足够长”的时间以后，系统恢复到平衡状态的能力。因此，系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的。 自治系统的静止状态就是系统的平衡状态。无外部输入作用时的系统称为自治系统。 设系统状态方程为),(t x f x = ，若对所有t ，状态x 满足0=x ，则称该状态x 为平衡状态，记为e x 。故有下式成立0),(=t x f e 。由此式在状态空间中所确定 的点，称为平衡点。 线性定常系统的平衡点：将方程),(t x f x = 化成Ax x = ，其平衡状态e x 应满足代数方程0=Ax 。解此方程，当A 是非奇异时，则系统存在惟一的一个平衡点0=e x 。当A 是奇异时，则系统的平衡点可能不止一个。 如果A 的行列式值为0，则A 为奇异矩阵；行列式值不为0，则A 为非奇异矩阵。换言之，能求逆的矩阵为非奇异矩阵。 大范围渐近稳定性的理解： 系统不管在什么样的初始状态下，经过足够长的时间总能回到平衡点附近且不断的向平衡点靠拢，则系统就是大范围渐近稳定。 对于线性系统，由于其满足叠加原理，所以系统若是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。在此验证了线性系统稳定性与初始条件大小无关的特性。 对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上一定趋向于无穷远。 2. 李雅普诺夫稳定性理论 李雅普诺夫第一法又称间接法。它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性。对于线性定常系统，只需解出特征方程的根即可作出稳定性判断。对于非线性不很严重的系统，则可通过线性化处理，取其一次近似得到线性化方程，然后再根据其特征根来判断系统的稳定性。 线性定常系统Ax x ≡ ，渐近稳定的充要条件是系统矩阵A 的特征值λ均具有负实部，即()n i i ,2,1,0Re =<λ 李雅普诺夫第二法又称直接法。运用此法可以在不求出状态方程解的条件下，直接确定系统的稳定性。 之间要用到二次型函数。 李氏第二法是从能量观点出发得来的，它的基本思想是建立在古典力学振动系统中一个直观的物理事实上。如果系统的总能量（含动能和势能）随时间按增长而连读的衰减，直到平衡状态为止，那么振动系统是稳定的。
基于正定二次型的 李雅普诺夫稳定性分析 张俊超 （控制科学与工程、控制理论与控制工程、2010010215） 摘要：李雅普诺夫稳定性理论以状态向量描述为基础，不仅适用于单变量、 线性、定常系统，而且适用于多变量、非线性、时变系统。但要应用李氏判据判断系统稳定性，就要涉及到系统矩阵A特征值的求解以及根据系统状态方程构造正定二次型的李雅普诺夫函数来判断系统稳定性。 1.问题的提出 我们在处理实际工程问题时，经常需要判断系统稳定性，一般稳定性判据都有一定局限性，李雅普诺夫稳定性理论是确定系统稳定性的一般的理论，不仅适用于单变量、线性、定常系统，而且适用于多变量、非线性、时变系统，它以状态向量描述为基础，结合正定二次型的相关知识对系统稳定性进行判断。 2.问题的求解 李雅普诺夫稳定性理论分析系统稳定性的两种方法： （1）利用线性系统微分方程的解来判断系统的稳定性 ——李雅普诺夫第一法（间接法） 李雅普诺夫第一法的主要内容 1）用一次近似式表示状态方程，即：X=AX+B(x) 如果A的全部特征值都具有负实部，则系统在平衡点xe=0处是稳定的， 且系统的稳定性与高阶项B(x)无关。 2）如果X=AX+B(x)的A的特征值中至少有一个具有正实部，则无论B(x)如何，系统在平衡点xe=0处为不稳定的。 3）如果X=AX+B(x)的A的含有等于零的特征值，则系统的稳定性由B(x)决定。李雅普诺夫第一法是根据系统矩阵A的特征值来判断系统的稳定性的。 （2）构造李雅普诺夫函数，利用构造的李氏函数判断系统稳定性 ——李雅普诺夫第二法（直接法） 观察振动现象，若系统能量(含动能和位能)随时间推移而衰减，则系统迟早会达到平衡状态。基本思想：若系统内部能量随时间↑而↓,最终到达静止状态，系统稳定。虚构一个能量函数（李雅普诺夫函数) V(x，t)=f（x 1，x 2 ， (x) n ，t） V(x)=f（x 1，x 2 ， (x) n ） V(x,t)或V(x)是一个标量函数。能量总大于零，故为正定函数。能量随随时间增加而衰减，即：V(x，t)或V(x)的导数小于零。
李雅普诺夫稳定性方法 李雅普诺夫第一方法又称间接法，它是通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性。如果其解随时间而收敛，则系统稳定；如果其解随时间而发散，则系统不稳定。 李雅普诺夫第二方法又称直接法，它不通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性，而是借助李雅普诺夫函数对稳定性作出判断，是从广义能量的观点进行稳定性分析的。例如有阻尼的振动系统能量连续减小（总能量对时间的导数是负定的），系统会逐渐停止在平衡状态，系统是稳定的。由于李雅普诺夫第一方法求解通常很烦琐，因此李雅普诺夫第二方法获得更广泛的应用。李雅普诺夫第二方法的难点在于寻找李雅普诺夫函数。迄今为止，尚没有通用于一切系统的构造李雅普诺夫函数的方法。 对于系统[]t ,f x x = ，平衡状态为,0e =x 满足()0f e =x 。如果存在一个标量函数()x V ,它满足()x V 对所有x 都具有连续的 一阶偏导数；同时满足()x V 是正定的；则 （1）若()x V 沿状态轨迹方向计算的时间导数()dt /)(dV V x x = 为半负定，则平衡状态稳定； （2） 若()x V 为负定，或虽然()x V 为半负定，但对任意初始状 态不恒为零，则平衡状态渐近稳定。进而当∞→∞→)(V x x 时，，则系统大范围渐近稳定； （3） 若()x V 为正定，则平衡状态不稳定。 判断二次型 x x x P )(V τ=的正定性可由赛尔维斯特
（Sylvester ）准则来确定，即正定（记作V(x)>0）的充要条件为P 的所有主子行列式为正。如果P 的所有主子行列式为非负，为正半定（记作V(x)≥0）；如果-V(x)为正定,则V(x)为负定（记作V(x)<0）；如果-V(x)为正半定,则V(x)为负半定（记作V(x)≤0）。 例： []正定。 则)(V 0 1121412110 ,0411 10,010x x x 1121412110x x x )(V 321321x x >---->>----=??? ????????????? 例： )x x (x x x ) x x (x x x 2 2212122221121+--=+-= (0,0）是唯一的平衡状态。设正定的标量函数为 ∞→∞→<+-=+--++-=+=??+??=+=)V(,且当0 )x 2(x )]x (x x x [2x )]x (x x [x 2x x 2x x 2x dt dx x V dt dx x V )(V x x )V(2222122212122221121221122112 2 21x x x x 故系统在坐标原点处为大范围渐近稳定。
第六章 李雅普诺夫稳定性分析 在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。因为它关系到系统是否能正常工作。 经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。 1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。 §6-1 外部稳定性和内部稳定性 系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。 一、外部稳定性 1、定义（外部稳定性）： 若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。 (外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明： （1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实 常数k ，使得对于所有的[]∞∈0 t ，恒有∞<≤k t h )(成立。 （2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。 2、系统外部稳定性判据 线性定常连续系统 ∑),,(C B A 的传递函数矩阵为 Cx y Bu Ax x =+= BU A sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+= B A sI C s G 1 )()(--= 当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。 【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为
§6.4 李雅普诺夫第二方法上一节我们介绍了稳定性概念,但是据此来判明系统解的稳定性,其应用范围是极其有限的. 李雅普诺夫创立了处理稳定性问题的两种方法:第一方法要利用微分方程的级数解,在他之后没有得到大的发展;第二方法是在不求方程解的情况下,借助一个所谓的李雅普诺夫函数)(x V 和通过微分方程所计算出来的导数 dt x dV )(的符号性质, 就能直接推断出解的稳定性,因此又称为直接法.本节主要介绍李雅普诺夫第二方法. 为了便于理解,我们只考虑自治系统 ) (x F d t d x =n R x ∈ (6.11) 假设T n x F x F x F ))(,),(()(1 =在{}K x R x G n ≤∈=上连续,满足局部利普希茨条件,且 O O F =)(. 为介绍李雅普诺夫基本定理,先引入李雅普诺夫函数概念. 定义6.3 若函数 R G x V →:)( 满足0)(=O V ,)(x V 和 i x V ??) ,,2,1(n i =都连续,且若存在K H ≤<0,使在 {}H x x D ≤=上)0(0)(≤≥x V ,则称)(x V 是常正(负)的;若在D 上除O x ≠外总有 )0(0)(<>x V ,则称)(x V 是正(负)定的;既不是常正又不是常负的函数称为变号函数. 通常我们称函数)(x V 为李雅普诺夫函数.易知: 函数2 22 1x x V +=在),(21x x 平面上为正定的; 函数 )(2 22 1x x V +-=在),(21x x 平面上为负定的; 函数222 1x x V -=在),(21x x 平面上为变号函数;
函数 21x V =在),(21x x 平面上为常正函数. 李雅普诺夫函数有明显的几何意义. 首先看正定函数),(21x x V V =. 在三维空间),,(21V x x 中, ),(21x x V V =是一个位于坐标面21Ox x 即0=V 上方的曲面.它与坐标面21Ox x 只在一个点,即原点)0,0,0(O 接触(图6-1(a)).如果用水平面 C V =(正常数)与),(21x x V V =相交,并将截口垂直投影到21Ox x 平面上,就得到一组一 个套一个的闭曲线族C x x V =),(21 (图6-1(b)),由于),(21x x V V =连续可微,且 0)0,0(=V ,故在021==x x 的充分小的邻域中, ) ,(21x x V 可以任意小.即在这些邻域中 存在C 值可任意小的闭曲线C V =. 对于负定函数),(21x x V V =可作类似的几何解释,只是曲面),(21x x V V =将在坐标面21Ox x 的下方. 对于变号函数),(21x x V V =,自然应对应于这样的曲面,在原点O 的任意邻域,它既有在21Ox x 平面上方的点,又有在其下方的点. 定理6.1 对系统(6.11),若在区域D 上存在李雅普诺夫函数)(x V 满足 (1) 正定; (2) )(1 ) 11.5(x F x V dt dV i n i i ∑=??= 常负, (a) (b)
第六章李雅普诺夫稳定性分析 在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。因为它关系到系统是否能正常工作。 经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。 1892 年俄国学者李雅普诺夫( Lyapunov )提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。 §6-1 外部稳定性和内部稳定性系统的数学模型有输入输出描述(即外部描述)和状态空间描述(即内部描述) ，相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。 一、外部稳定性 1、定义(外部稳定性) ：若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定 的。 ( 外部稳定性也称为BIBO( Bounded Input Bounded Output )稳定性) 说明： (1)所谓有界是指如果一个函数h(t) ，在时间区间[0, ]中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实 常数k ，使得对于所有的t 0 ，恒有h(t) k 成立。 (2)所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。 2、系统外部稳定性判据 线性定常连续系统(A,B,C) 的传递函数矩阵为 x Ax Bu y Cx sX AX BU Y CX (sI A)X BU X (sI A) 1BU G(s) C(sI A) 1 B 当且仅当G(s) 极点都在s的左半平面内时，系统才是外部稳定(或BIBO稳定)的。 例6.1.1 】已知受控系统状态空间表达式为
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1．预备知识 (1) 1.1李雅普诺夫第一法 (5) 1.2李雅普诺夫第二法 (1) 1.3线性系统的特征 (2) 2．李雅普诺夫意义下的稳定性 (2) 2.1稳定与一致稳定 (2) 2.2 渐进稳定和一致渐近稳定 (3) 2.3 不稳定 (3) 3．李雅普诺夫稳定性定理 (3) 4．线性系统的李雅普诺夫稳定性分析 (4) 小结 (7)
参考文献 (7)
李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 摘要：在判定线性系统稳定性时，李雅普诺夫方法的优点在于无须求解系统方程的解，就能对系统的稳定性进行分析．文章介绍了李雅普诺夫稳定性分析在线性系统中的应用． 关键词：正定矩阵；标量函数；渐近稳定 Application of Lyapunov’s method in linear system Abstract:In determining the stability of linear systems,the advantages of the Lyapunov’s method is without solving the system equation,which can analyze the stability of the systems.we introduce the application in linear system analysis in Lyapunov stability in the paper. Keywords:positive definite matrix;Scalar function; asymptotic stability 前言 自动控制系统最重要的特性之一是稳定性．系统的稳定性，表示在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种“顽性”[]1．本文中，我们把研究对象集中到线性系统上，来讨论线性系统的稳定性问题．对于这个问题的讨论，都是建立在李雅普诺意义的稳定性的基本概念之上的．１．预备知识 1.1李雅普诺夫第一法 李雅普诺夫第一法又称间接法，它的基本思路是通过系统状态方程的解来判别系统的稳定性．对于线性定常系统，只需解出特征方程的解即可作出稳定性判断． 1.2李雅普诺夫第二法 李雅普诺夫第二法又称直接法，是通过构造一个类似于“能量”的李雅普诺夫函数，并分析它和其一次导数的定号性，直接对系统平衡状态的稳定性作出判断．
第二讲 §5.2 李雅普诺夫（Liapunov ）第二方法(5课时) 一、教学目的：了解Liapunov 在处理稳定性中的两种方法；了解 Liapunov 函数的特征与构造；理解Liapunov 第 二方法并学会运用它来判定自治系统的稳定性。 二、教学要求：了解Liapunov 函数的特征与构造；理解Liapunov 第二方法并学会运用它来判定自治系统解的稳定性。 三、教学重点：运用Liapunov 第二方法判定自治系统解的稳定性。 四、教学难点：如何构造Liapunov 函数。 五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。 六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。 七、教学过程： 1．相关概念 上一节我们介绍了稳定性概念，但是据此来判明系统解的稳定性，其可解范围是极其有限的. Liapunov 创立了处理稳定性问题的两种方法：第一方法要利 用微分方程的级数解，在他之后没有得到大的发展；第二方法是在不求方程解的情况下，借助一个所谓的Liapunov 函数V(x)和通过微分方程所计算出来的导数 ()dV X dt 的符号性质，就能直接推断出解的稳 定性，因此又称为直接法。本节主要介绍Liapunov 第二方法。
为了便于理解，我们只考虑自治系统 (),dx F x dt = n x R ∈ (5.11) 假设1 ()((),,()) T n F x F x F x = 在{}n G x R x K =∈≤上连续，满足局部李普 希兹条件，且F(0)＝0． 为介绍Liapunov 基本定理，先引入Liapunov 函数概念. 定义5.3 若函数 ():V x G R →满足V(0)＝0, ()V x 和 (1,2,,) i V i n x ?=? 都连续，且若存在0H K < ≤,使在 { }D x x H =≤上()0(0)V x ≥≤，则称()V x 是常正(负)的；若在 D 上除x=0 外总有()0(0)V x ><，则称()V x 是正(负)定的；既不是常正又不是常负的函数称为变号的. 通常我们称函数()V x 为Liapunov 函数. 易知：函数2 2 12 V x x =+在12(,)x x 平面上为正定的； 函数 2212()V x x =-+在12(,)x x 平面上为负定的； 函数 2 2 12()V x x =-在12(,)x x 平面上为变号函数； 函数 2 1 V x =在12(,)x x 平面上是常正函数. 李雅普诺夫函数有明显的几何意义.