2018届广西梧州市高三3月适应性测试（二模）
数学理试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{1,2,3,4}A =，2{|40}B x x x =-<，则A B 中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2.设复数z 满足(1)1z i i +=-，则z =（ ）
A ．2i --
B ．1i --
C ．2i -+
D ．1i -+
3.若6名男生和9名女生身高（单位：cm ）的茎叶图如图，则男生的平均身高与女生身高的中位数分别为（ ）
A ．181 166
B ．181 168
C ．180 166
D ． 180 168
4.设等差数列{}n a 的前10项和为20，且51a =，则{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C. 3 D ．4
5.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点为M ，离心率为3，过点M 与点(0,2)-的直线与双曲
线的一条渐近线平行，则双曲线的方程为（ ）
A ．22142x y -=
B ．22143x y -= C. 22124x y -= D ．2212
x y -=
6.将函数()sin()f x x ω?=+(0,||)2
π
ω?><的图像向右平移
6
π
个单位后，得到sin(2)6
y x π
=-
的图像，
则函数()f x 的单调增区间为（ ） A ．[,],36k k k Z ππππ-
+∈ B ．[,],63k k k Z ππ
ππ-+∈
C. [,],44k k k Z ππππ-+∈ D ．2[,],63
k k k Z ππ
ππ++∈
7.执行如图所示的程序框图，若输入a 的值为1，则输出S =（ ）
A ．
256 B ．318 C. 5710 D ．7112
8.一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（ ）
A ．233π+
B ．235π+ C. 24(31)π+- D ．24(51)π+-
9.在ABC ?中，2AB =，3AC =，13BC =，若向量m 满足|2|3m AB AC --= ，则||m
的最大值
与最小值的和为（ ）
A ． 7
B ．8 C. 9 D ．10
10.设抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于点,M N ，与y 轴交于点(0,3)，与l 交于点P ，点M 在线段PF 上，若||2||PM MF =，则||MN =（ ） A ．
94 B ．254 C. 83 D ．163
11.设函数3
()3f x x bx =-+，当[0,1]x ∈时，()f x 的值域为[0,1]，则b 的值是（ ）
A ．1
2
B ．22 C. 322 D ．3
42
12.已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，ABC ?是边长为2的等边三
角形，若球O 的体积为
82
3
π，则直线PC 与平面PAB 所成角的正切值为（ ） A ．
31111 B ．21111 C. 31010 D ．10
10
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 5(2)(2)x y x y -+的展开式中，24x y 的系数为 （用数字作答）． 14.已知tan()24
x π
+
=-，则2sin 22cos x x += ．
15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S a n +=-+，22a =，则n a = ．
16.已知函数()f x 是偶函数，且0x ≥时，2()x
f x e =，若函数()|1|y f x x kx =---有且只有1个零点，则实数k 的取值范围是 ．
三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos 23sin 3A B C
a b a
+=
. （1）求角B 的大小； （2）若ABC ?的面积为
3
2
，B 是钝角，求b 的最小值. 18. 某工厂生产的10000件产品的质量评分服从正态分布(115,25)N . 现从中随机抽取了50件产品的评分情况，结果这50件产品的评分全部介于80分到140分之间.现将结果按如下方式分为6组，第一组
[80,90)，第二组[90,100)， ，第六组[130,140]，得到如下图所示的频率分布直方图.
（1）试用样本估计该工厂产品评分的平均分（同一组中的数据用该区间的中间值作代表）；
（2）这50件产品中评分在120分（含120分）以上的产品中任意抽取3件，该3件在全部产品中评分为前13名的件数记为X ，求X 的分布列.
附：若2
(,)X N μσ ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，
(33)0.9974P X μσμσ-<<+=.
19. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AC ⊥平面111A B C ，AC BC =，点D 是AB 中点.
（1）求证：1CD BC ⊥；
（2）若5AC =，8AB =，16AC =，求二面角111C AA B --的余弦值.
20. 已知(2,0)A -，(2,0)B ，直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，且123
4
k k =-. （1）求点P 的轨迹C 的方程；
（2）设1(1,0)F -，2(1,0)F ，连接1PF 并延长，与轨迹C 交于另一点Q ，点R 是2PF 中点，O 是坐标原点，记1QFO ?与1PF R ?的面积之和为S ，求S 的最大值.
21. 已知函数2
()2ln(1)2
x f x x ax =+--.
（1）若2a =，求证：()0f x ≤；
（2）若存在00x >，当0(0,)x x ∈时，恒有()0f x >，求实数a 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C 的参数方程为1cos sin x y ?
?
=+??
=?，（?为参数），以原点O 为极点，x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin ρθ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程及曲线2C 的直角坐标方程；
（2）已知曲线12,C C 交于,O A 两点，过O 点且垂直于OA 的直线与曲线12,C C 交于,M N 两点，求||MM 的值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()|23|22|f x x x =-++. （1）解不等式()5f x x <+；
（2）对任意x R ∈，4
()f x a a
>+
成立，求实数a 的取值范围. 试卷答案
一、选择题
1-5: CABBC 6-10:ADDDD 11、12：CA
二、填空题
13. -70 14. 4
5 15. 2,122,1n n n a n =?=?->? 16. [1,3]-
三、解答题
17.解：（1）由已知得23
cos cos sin 3
b A a B b C +=
，
由正弦定理得23
sin cos cos sin sin sin 3
B A B A B
C +=
， ∴23
sin()sin sin 3
A B B C +=
， 又在ABC ?中，sin()sin 0A B C +=≠，∴3sin 2
B =， ∴3
B π
=
或
23
π. （2）由13sin 22ac B =
，3
sin 2
B =得2ac =， 又23
B π
=
，2222cos b a c ac B =+-222226a c ac =++≥+=， 当且仅当a c =时取等号，∴b 的最小值为6. 18.解：（1）由频率分布直方图可知[120,130)的频率为
1(0.01100.024100.0310-?+?+?0.016100.00810)10.880.12+?+?=-=.
所以估计该工厂产品的评分的平均分为
850.1950.241050.3?+?+?1150.161250.121350.08107+?+?+?=.
（2）由于
13
0.001310000
=，根据正态分布，因为(1153511535)0.9974P X -?<<+?=，
所以10.9974
(130)0.00132
P X -≥==，
即0.00131000013?=，所以前13名的成绩全部在130分以上. 根据频率分布直方图这50件产品评分的分数在130分以上（包括130分）的有0.08504?=件， 而在[120,140]的产品共有0.12500.085010?+?=，所以X 的取值为0,1,2,3.
所以363101
(0)6C P X C ===，12463
101(1)2C C P X C ===， 21463103(2)10C C P X C ===，343101
(3)30
C P X C ===.
所以X 的分布列为
19.（1）证明：∵AC BC =，D 是AB 中点，∴CD AB ⊥，