上课时间：2016. 第次课
学员姓名：学校：授课人：老师性别：年级：科目：数学
课题：相似三角形
教学
目标
重点难点重点：难点：
作业课前检测
作业完成情况：优□良□中□差□建议_____________________________
教学过程一、相似三角形与全等三角形的区别和联系
全等三角形相似三角形定义能够完全重合的两个三角形对应角相等，对应边成比例的两个三角形
图形
性质
形状、大小完全一样形状一样、大小未必一样表示
方法
△ABC≌△A，B，C，△ABC∽△A，B，C，
性质对应角相等，对应边相等对应角相等，对应边的比相等
相似
比
1
AB BC AC
A B B C A C
===
''''''
()
AB BC AC
k k
A B B C A C
===
''''''
为正实数区别
与联
系
（1）找对应元素的方法一样
（2）全等三角形是相似比为1的相似三角形，但相似三角形不一定全等
二、相似三角形的判定方法
判
定
方
法
1
∵___________
∴△ABC∽△ADE
判
定
方
法
2
∵________________
∴△ABC∽△A，B，C，
判
定
方
法
3
∵_____________，∠B=∠B，
∴△ABC∽△A，B，C，
教学过程
判
定
方
法
4
∵___________，__________
∴△ABC∽△A，B，C，
三、3个基本图形
新课标第一网
∵_______________
∴△APC∽△DPB
则PA?PB=PC?PD
∵_________________
∴△APD∽△CPB
则PA?PB=PC?PD
△ACD∽△CBD∽△ABC
2
2
2
_________
_________
_________
AC
CD
BC
=
=
=
题型一相似三角形的性质
【基础巩固】
1．如图∠CAB＝∠BCD，AD＝2，BD＝4，则BC＝__________．
2．如图，l1∥l2∥l3，BC＝3，
EF
DE
＝2，则AB＝___________．
第2题 第3题 第4题 第5题 3．如图，已知DE ∥BC ，且BF ：EF ＝4︰3，则AC ︰AE ＝__________．
4.如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 中点，且DE ⊥AC ，则CD ︰AD ＝__________．
5.如图，H 为
ABCD 中AD 边上一点，且DH AH 2
1
=
，AC 和BH 交于点K ， 则=KC AK :( ) A ．2:1 B ．1:1 C ．3:1 D ．3:2
【能力提升】
例1 如图，已知⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，AP=6，BP=2，CP=4，则PD 的长是_________。
【变式】如图，已知⊙O 的两条弦AB 、CD 相交与AB 的中点E ，且AB=4，DE=CE+3，求CD 的长。
例2如图，A 、B 、D 、E 四点在⊙O 上，AE 、BD 的延长线相交于点C ，直径AE 为8，OC=12，∠EDC=∠BAO 。 （1）求证：
CD CE
AC CB
=； （2）计算CD ?CB 的值，并指出CB 的取值范围。
例3 已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为边向外作正方形BEDC ，连结AE 交BC 于F ，作FG ∥BE 交AB 于G ．求证：FG ＝FC ．
【变式1】如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC 与BD 相交于O 点，过点B 作BE CD ∥交CA 的延长线于点E ．求证：OE OA OC ?=2
．
B A
D
O C ·
P
【变式2】如图在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，M 为 BD 上任一点，ME ⊥AB 于E ，MF ⊥CD 于F ，那么
=+AD
ME
BC MF
题型二 相似三角形的周长和面积 【基础练习】
1、已知：△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，则A ′B ′= 、BC= ．
2、如图，在□ABCD 中，E 是AB 上一点，AC 与DE 相交于F ，若AE:EB=1:2，求?AEF 与?CDF 的相似比。若?AEF 的面积为5平方厘米，则?CDF 的面积= 平方厘米。
O
E
D C
B
A
第2题 第3题
3、如图，DE ∥BC ，CD 和BE 相交于点O ，S △DOE ：S △COB =4：9， 那么AE ：EC 的值是（ ）. A 5：4 B 4：9 C 2：3 D 2：1
4、如图，ΔABC 中，DE ∥FG ∥BC ，AD ∶DF ∶FB ＝1∶2∶3，则S 四边形DFGE ∶S 四边形FBCG ＝_________． 【能力提升】
例 1 某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个难题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB 的长由原来的30米缩短成18米.施工需要计算 出被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？请能帮助施工队计算.
思维延伸1：.过E 作EF//AB 交BC 于F,其他条件不变，则ΔEFC 的面积等于多少？□BDEF 面积为多少？
第4题
C
D A
O
B
E A E B
C
F D
M
20题
D E
3018B
C A
D E
3018B
C A
思维延伸2： △ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，已知△ADE 和△EFC 的面积分别为4和9，求△ABC 的面积。
F
E
D
C
B
A
例2 如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
例3 如图，点A 1、A 2，B 1、B 2，C 1、C 2分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的三等分点，且ABC 的周长为l ，则六边形A 1A 2B 1B 2C 1C 2的周长为 （ ）
（A ）
3
1l （B ）3l （C ）2l （D ）32l
例4 如图，将△ABC 的高AD 四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1︰S 2︰S 3︰S 4等于……………………………（ ）
（A ）1︰2︰3︰4 （B ）2︰3︰4︰5 （C ）1︰3︰5︰7 （D ）3︰5︰7︰9 例5 在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AB ′E ，求△AB ′E 与四边形AECD 重叠(阴影)部分的面积．
题型三 相似三角形与证明 【基础巩固】
1．如图，□ABCD 中，E 是AD 延长线上一点，BE 交AC 于点F ，交DC 于点G ，则下列结论中错误的是 （ ）
（A ）△ABE ∽△DGE （B ）△CGB ∽△DGE （C ）△BCF ∽△EAF （D ）△ACD ∽△GCF
2．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，∠DBC ＝∠A ，BC ＝6，AC ＝3，则CD 的长为（ ） （A ）1 （B ）
23 （C ）2 （D ）2
5
第1题 第2题 第3题 第4题
3．如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，在条件（1）∠ACD ＝∠B ，（2）AC 2＝AD ·AB ，（3）AB 边上与点C 距离相等的点D 有两个，（4）∠B ＝∠ACB 中，一定使△ABC ∽△ACD 的个数是 （ ）
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
4．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，且AD ︰BD ＝9︰4，则AC ︰BC 的值为（ ）
（A ）9︰4 （B ）9︰2 （C ）3︰4 （D ）3︰2
5.已知：如图，AB ∥A’B’,BC ∥B’C’，求证：△OAC ∽△OA’C’。
A
B
C O
A'
C '
B'
B
C A
O B'
A'
C'
【变式】已知：如图，AB ∥A’B’,BC ∥B’C’，求证：△OAC ∽△OA’C’。
【能力提升】
一、两个三角形相似的六种图形：
方法一 “三点定形法”
例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC.求证:BA
AC AF AE
例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的
平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？
说明理由。
例3、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延
长线于F。求证：CD2=DE·DF。
方法二过渡法（或叫代换法）
有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分
情况说明．
1、等量过渡法（等线段代换法）
例1、如图，正方形ABCD中，E、F分别在AB、BC边上，且AE=CF、BG⊥CE于G。试证明DG⊥FG。
例2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．
例3、已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP2＝PE·PF．
方法三等比过渡法（等比代换法）
例4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED 交AB的延长线于点F．
求证：AB DF AC AF
．
2、方法四等积过渡法（等积代换法）
例5、如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE⊥AG，垂足为E，交CD于点F．
求证：CD2＝DF·DG．
【练习】
1、如图，在△ABC中，AB＝15 cm，AC＝12 cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点
E，那么CE＝__________cm．
2.如图，平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点，∠D=∠ECA.
求证：AD·EC=AC·EB.
3.如图，E 是平行四边形的边DA 延长线上一点，EC 交AB 于点G,交BD 于点F, 求证：FC 2=FG ·EF.
4．如图，∠ABC=90°,AD=DB,DE ⊥AB,求证：DF DE DC ?=2
.
5．如图，ABCD 为直角梯形，AB ∥CD,AB ⊥BC,AC ⊥BD 。AD= BD ，过E 作EF ∥AB 交AD 于F. 是说明：（1）AF=BE;(2)AF 2=AE ·EC.
题型四 证比例式和等积式
对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”(必要时需添辅助线)，使其分别构成两个相似三角形来证明．
1、说明：证明线段成比例或等积式，通常是借证三角形相似．找相似三角形用三点定形法(在比例式中，或横着找三点，或竖着找三点)，若不能找到相似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接找等比代换
例1、如图，在△ABC 中，AD 、BE 分别是BC 、AC 边上的高，DF ⊥AB 于F ，交AC 的延长线于H ，交BE
于G ，求证：(1)FG / FA ＝FB / FH (2)FD 是FG 与FH 的比例中项．
2、说明：线段BF 、FD 三点共线应用平截比定理．由平行四边形得出两线段平行且相等，再由“平截比定理”得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面积比等于相似比的平方，求出三角形的面积．
例2、如图，□ABCD 中，E 是BC 上的一点，AE 交BD 于点F ，已知BE ：EC ＝3：1， 18=?FBE S ，求：(1)BF ：FD (2)FDA S ?
3、说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中的平行线，找等比过渡．当已知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡．
例3、如图在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 的中点，CM 的延长线交AB 于N ．求：AN ：AB 的值；
4、说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用“三点定形法”确定要证明的两个三角形相似．
例4 如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 交AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G ．求证：AG 2＝AF ×FC
5、说明：要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个三角形相似．再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长．
例5 如图在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，交AB 于点E ，EC 交AD 于点F ．
C A
D
B E
F
B
E
A
C
D
M
N
A B
C
E
D
G
F
(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若
FCD S ?＝5，BC ＝10，求DE 的长．
6、说明：由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到两线段的比．注意平截比定理的应用．
例6、如图10过△ABC 的顶点C 任作一直线与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ．过点D 作DM ∥FC 交AB 于点M ．(1)若AEF S ?：S 四边形MDEF ＝2：3，求AE ：ED ； (2)求证：AE ×FB ＝2AF ×ED
例7、己知如图，在正方形ABCD 的边长为1，P 是CD 边的中点，Q 在线段BC 上，当BQ 为何值时，△ADP 与△QCP 相似？
例8、己知如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝900，AB ＝7，AD ＝2，BC ＝3．试在边AB 上确定点P 的位置，使得以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P 、B 、C 为顶点的三角形相似．
A E
B D M
C F 图
C
E
D
A
F
M B
P
A D
B Q
C A
D P 1
例9、如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。求证：BP2=PE·PF。
例10、如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。
求证：。
题型五相似三角形与动点
【基础巩固】
1、如图, Rt△ABC, 斜边AC上有一点D(不与点A、C重合), 过D点作直线截△ABC,
使截得的三角形与△ABC相似, 则满足这样条件的直线共有________条。
2、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形．
（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？
（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数．
3、如图，在ABC △中，90BAC ∠=
，AD 是BC 边上的高，E 是BC 边上的一个动点（不与B C ，重合），
EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F G ，．
（1）求证：
EG CG
AD CD
=； （2）FD 与DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； （3）当AB AC =时，FDG △为等腰直角三角形吗？并说明理由．
【能力提升】
例1 如图，在ΔABC 中，BA=BC=20cm ，AC=30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x. （1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？ （2）当
ABC
BCQ S S ??，求
ABC
APQ S S ??的值；
例2 在Rt △ABC 中，∠C=90O ，AC=6，BC=12，在AC 上有一动点D （不与A 、C 重合），作DE ∥BC 交AB 于点E ，作EF ∥AC 交BC 于点F ，问当点D 在什么位置时，四边形CDEF 的面积最大？
例3 如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿
B A →，B
C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，C
D 于P Q ，．当点N
F
A G
C
E
D B
到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒． （1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；
（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；
（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．
例4 如图，已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ，BC=6cm ．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的？
（2）是否存在时刻t ，使以A ，M ，N 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．
D Q
C
P
N B
M
A
D
Q C P N B
M
A
例5如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q．
（1）求四边形AQMP的周长；
（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；
（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．
例6如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．
（1）求梯形ABCD的面积S；
（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B?A?D?C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C?D?A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：
①当点P在B?A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有
符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；
③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
例6如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．
例7如图①，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别在AB 、CD 上，且EF ∥BC ，EF 分别交BD 、AC 于M 、N ．(1)求证：ME ＝NF ；(2)当EF 向上平移至②③④各个位置时，其他条件不变，(1)的结论是否还成立？请分别证明你的判断．
例8 如图，在矩形ABCD 中，12=AB 厘米，6=BC 厘米，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2厘米/秒的速度移动；点Q 沿DA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动，如果P ，Q 同时出发，用t (秒)表示移动的时间(60≤≤t )，那么：
(1)当t 为何值时，QAP ?为等腰直角三角形？ (2)试说明四边形QAPC 的面积始终保持不变．
(3)当t 为何值时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与ABC ?相似？
M
M
N
E M
B
C
F
D
A
N
E
B C
F
D A N
E B
C
F
D
A
(N )
M E
B C
F
D
A
例9 如图，AB 是等腰直角ABC ?的斜边，P 是AB 上不与A ，B 重合的一个动点，S 是线段CP 上的一个点，MN 过S 且CP MN ⊥，MN 分别与AC ，BC 相交于点M ，N ．
(1)观察与填空：如图(2)，当P 点运动到AB 的中点位置时，AP 与BP 的大小关系是______；CP 与AB 的位置关系是_______；MN 与AB 的位置关系是______；CM 与CN 的大小关系是______．于是，当P 是AB 的中点时，
CN
CM
PB PA =． (2)探索证明：如图(1)、(3)所示，当P 不是AB 的中点时，CN CM PB PA ::=是否仍然成立？请加以证明．
题型五 相似三角形与函数
例1 如图，已知矩形ABCD 的边长AB=2，BC=3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ），Q 是BC 边上的任意一点. 连AQ 、DQ ，过P 作PE ∥DQ 交AQ 于E ，作PF ∥AQ 交DQ 于F.
（1）求证：△APE ∽△ADQ ；
（2）设AP 的长为x ，试求△PEF 的面积S △PEF 关于x 的函数关系式，并求当P 在何处时，S △PEF 取得最大值？最大值为多少？
（3）当Q 在何处时，△ADQ 的周长最小？（须给出确定Q 在何处的过程或方法，不必给出证明）
A
B
C
D
P E
F
Q
例2 如图,要在底边BC=160cm,高AD=120cm 的△ABC 铁皮余料上截取一个矩形EFGH,使点H 在AB 上,点G 在AC 上,点E,F 在BC 上,AD 交HG 于点M,此时有
BC
HG
AD AM = (1)设矩形EFGH 的长HG=y,宽HE=x ,确定y 与x 的函数关系式. (2)当x 为何值时,矩形EFGH 的面积S 最大?
例3 如图, △ABC 中,AB=6,BC=4,AC=3,点P 在BC 上运动,过P 点作∠DPB=∠A,PD 交AB 于D,设PB=x,AD=y. (1)求y 关于x 的函数关系式和x 的取值范围. (2)当x 取何值时,y 最小,最小值是多少?
例4 如图，抛物线2
812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ACB 为直角，且恰使△OCA ∽△OBC ． (1)求线段OC 的长． (2)求该抛物线的函数关系式．
A
G
H
C
B
D
E
M
F
P
A
B C
D
(3)在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
图9
B C
O
y
x
A
例5如图，平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于A (3，0)，B (0，3)两点，点C 为线段AB 上的一动点，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ． (1)求直线AB 的解析式； (2)若S 梯形OBCD ＝
43
3
，求点C 的坐标； (3)在第一象限内是否存在点P ，使得以P ，O ，B 为顶点的三角形与△OBA 相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
相似三角形压轴经典大题解析 1.如图，已知一个三角形纸片ABC ，BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B ∠和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A B 、不重合），过点M 作MN BC ∥，交AC 于点N ，在AMN △中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ． （1）请你用含x 的代数式表示h ． （2）将AMN △沿MN 折叠，使AMN △落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ， 1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？ 【答案】解：（1） MN BC ∥ AMN ABC ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= （2）1AMN A MN △≌△ 1A MN ∴△的边MN 上的高为h ， ①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时， 1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··（04x <≤） ②当1A 落在四边形BCNM 外时，如下图(48)x <<， 设1A EF △的边EF 上的高为1h ， 则13 2662 h h x =-= - 11EF MN A EF A MN ∴∥△∽△ 11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△
12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 1 68242 ABC S =??=△ 2 2 363224122 462EF x S x x ??- ?∴==?=-+ ? ? ?? 1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ?? =-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224(48)8 y x x x =- +-<< 综上所述：当04x <≤时，2 38 y x =，取4x =，6y =最大 当48x <<时，2 912248 y x x =-+-， 取16 3x = ，8y =最大 86> ∴当16 3 x =时，y 最大，8y =最大 2．如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式； （2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； M N C B E F A A 1
第27章 相似三角形测试题 一、选择题:（每小题3分共30分） 1、下列命题中正确的是 （ ） ①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A 、①③ B 、①④ C 、①②④ D 、①③④ 2、如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ） A AC AE AB AD = B FB EA CF CE = C BD AD BC DE = D CB CF AB EF = 3、如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中 不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是 （ ） A. ∠B=∠C B. ∠ADC=∠AEB C. BE=CD ，AB=AC D. AD ∶AC=AE ∶AB 4、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点， 连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形 （ ） A 1对 B 2对 C 3对 D 4对 5、在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点， 若∠AEF=90°，则一定有 （ ） A ΔADE ∽ΔAEF B ΔECF ∽ΔAEF C ΔADE ∽ΔECF D ΔAEF ∽ΔABF 6、如图1，ADE ?∽ABC ?，若4,2==BD AD ， 则ADE ?与ABC ?的相似比是（ ） A ．1：2 B ．1：3 C ．2：3 D ．3：2 7、一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（ ） A ．19 B ．17 C ．24 D ．21 8、在比例尺为1:5000的地图上,量得甲,乙两地的距离25cm,则甲,乙的实际距离是( ) A.1250km B.125km C. 12.5km D.1.25km 9、在相同时刻，物高与影长成正比。如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么影长为30
初二竞赛专题：相似三角形 1.如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F ．证明： 111 AB CD EF += ． 2.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长． 3.如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，396AD BC AB ===，，，4CD =，若EF BC ∥，且 梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，求EF 的长． 两个常见模型：如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点， 则 BD EG DC FG = ． O F E D C B A F E D C B A F E D C B A G F E D C B A B D A E G F C
4.一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)．求证： 5.如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d． 6.如图，边长为1的等边ABC △，BC边上有一点D，1 3 BD=，AC上有一点E ，60 ADE ∠=o，求EC的长．7.已知，B是AC中点，D、E在AC的同侧，且ADB EBC ∠=∠，DAB BCE ∠=∠，证明：BDE ADB ∠=∠． E D C B A D E B C A
8.如图，在ABC △中，60BAC ∠=o ，点P 是ABC △内一点，且APB BPC CPA ∠=∠=∠，若8PA =，6PC =，求PB 的长． 9.如图，在锐角ABC △中，AD 、CE 分别为BC 、AB 边上的高，ABC △和BDE △的面积分别等于18和2， 22DE =，求点B 到AC 的距离． 10.如图所示，已知3个边长相等的正方形相邻并排，求EBF EBG ∠+∠． 11.如图，在ABC △中，AD 平分BAC ∠，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证： 2FD FB FC =?． E D C A B P C B A H G B A
相似三角形中考压轴试题 、选择题 1. （2014 年江苏宿迁 3 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，AD // BC , / ABC=90 °, AB=8 , AD=3 , BC=4 , 、填空题 1. (2015贺州)如图，在△ ABC 中，AB =AC =15，点D 是BC 边上的一动点(不与 B 、C 重合)，/ ADE = / B = Za, DE 交 AB 于点 E ,且 tan Za = 3 ?有以下的结论：①△ ADEACD ;②当CD =9时，△ ACD 4 与厶DBE 全等；③厶BDE 为直角三角形时， 21 24 BD 为12或 ：④0 v BE < ，其中正确的结论是 (填 4 5 入正确结论的序号) 三、解答题 1. (2014年福建三明14分)如图，在平面直角坐标系中， 抛物线y=ax 2+bx+4与x 轴的一个交点为 A ( 2 , 0)，与y 轴的交点为C ,对称轴是x=3，对称轴与x 轴交于点B . (1) 求抛物线的函数表达式； (2) 经过B , C 的直线I 平移后与抛物线交于点 M ,与x 轴交于点 N ，当以B , C , M , N 为顶点的四边形 是平行四边形时，求出点 M 的坐标； (3) 若点D 在x 轴上，在抛物线上是否存在点 P ,使得△ PBD ◎△ PBC ?若存在，直接写出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由. 点P 为AB 边上一动点，若△ PA ^ PBC 是相似三角形，则满足条件的点 P 的个数是【 A. 1个 B. 2个 D. 4个 C. 3个 C
2 2. (2014年湖北十堰12分)已知抛物线C i: y=a(x+1)—2的顶点为A，且经过点B (- 2 , - 1). (1 )求A点的坐标和抛物线C i的解析式； (2)如图1,将抛物线 6向下平移2个单位后得到抛物线C2,且抛物线C2与直线AB相交于C , D两点，求S A OAC : S A OAD 的值； (3)如图2，若过P (-4 , 0), Q (0 , 2 )的直线为I,点E在(2)中抛物线C?对称轴右侧部分(含顶 点)运动，直线m过点C和点E.问：是否存在直线m，使直线I, m与x轴围成的三角形和直线I, m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由. 3. (2014 年湖南郴州10 分)如图，在Rt △ ABC中，/ BAC=90。，/ B=60 °C=16cm , AD 是斜边 BC上的高，垂足为D, BE=1cm .点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH .点M到达点D时停止运动，点N到达点C时停止运动.设运动时间为t (s). (1 )当t为何值时，点G刚好落在线段AD 上? (2)设 正方形MNGH与Rt △ ABC重叠部分的图形的面积为S,当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围. (3)设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P,连接DP，当t为何值时，△CPD等腰
相似三角形练习题,提高 一、填空题： 1、若a?3m,m?2b，则a:b?_____。 xyz ??，且3y?2z?6，则x?____,y?______。56 3、在Rt△ABC中，斜边长为c，斜边上的中线长为m，则m:c?______。 1 4、反向延长线段AB至C，使AC＝AB，那么BC：AB＝ 2 2、已知 5、如图，已知△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，则图中相似三角形共有对． 5题题 6、如图2，E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连结AE，交边CD于点F．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：．、如右图，添上条件：_______，则△ABC∽△ADE。D B A2 E C
8题题 8、如图，?1??2，添加一个条件使得?ADE∽?ACB .、如图，在?ABC中，D是AB边上一点，连接CD，要使?ADC与 ?ABC相似，应添加的条件是。 10、如图所示，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，?AE?交BD于点F，如果 BE2BF =，那么=______． BC3FD 11、已知三个边长为2，3，5的正方形按图4排列，则图中阴影部分的面积为_______． 10题 11题12题 12、将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC ＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是． 二、选择题： 1、等边三角形的中线与中位线长的比值是 A、:1 B、:C、1: 2 2 D、1：3 2、已知直角三角形三边分别为
a,a?b,a?2b，?a?0,b?0?，则a:b? A、1： B、1： C、2：1 D、3：1 3、△ABC中，AB＝12，BC＝18，CA＝24，另一个和它相似的三角形最长的一边是36，则最短的一边是 A、B、1C、18D、20 4、已知a,b,c是△ABC的三条边，对应高分别为ha,hb,hc，且a:b:c?4:5:6，那么 ha:hb:hc等于 A、4：5： B、6：5： C、15：12：10 D、10：12：15、下列判断正确的是 A、不全等的三角形一定不是相似三角形 B、不相似的三角形一定不是全等三角形 C、相似三角形一定不是全等三角形 D、全等三角形不一定是相似三角形、如图，用放大镜将图形放大，应该属于Ａ．相似Ｂ．平移Ｃ．对称Ｄ．旋转 8、CD是Rt△ABC斜边上的高，则图中相似三角形的对数有 A.0对 B.1对 C.对 D.3对 9、下列各组图形有可能不相似的是. A．各有一个角是50°的两个等腰三角形 B．各有一个角是100°的两个等腰三角形 C．各有一个角是50°的两个直角三角形 D．两个等腰直角三角形 10、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与△ABC
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
初三相似三角形压轴题 一．选择题（共1小题） 1．（2013?江干区一模）如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离都相等，如果直角梯形ABCD的三个顶点A、B、D分别在平行直线l1、l5、l2上，∠ABC=90°且AB=3AD，则tanα=（） A．B．C．D． 二．填空题（共3小题） 2．（2013?宁波模拟）如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA，OC分别在x 轴，y轴的正半轴上．OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E， F分别是线段OA，AB上的两个动点，且始终保持∠DEF=45°．设OE=x，AF=y，则y与x 的函数关系式为． 3．（2012?南岗区一模）在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，点E在边AD上，且AE：DE=1：3，连接BE，BE与AC相交于点M，若AC=6，则M0的长是． 4．（2004?深圳）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂 足为E，连接DE交AC于点P，过P作PF⊥BC，垂足为F，则的值是．
三．解答题（共12小题） 5．（2012?重庆模拟）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG． （1）试求△ABC的面积； （2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长； （3）设AD=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （4）当△BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长． 6．（2012?亭湖区一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，M是边AC的中点，CH⊥BM于H． （1）试求sin∠MCH的值； （2）求证：∠ABM=∠CAH； （3）若D是边AB上的点，且使△AHD为等腰三角形，请直接写出AD的长为． 7．（2011?莆田）已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F． （1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心； （2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P． ①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证：△ADE ∽△EFC ． 2．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ． （1）求证：△CDF ∽△BGF ； （2）当点F 是BC 的中点时，过F 作EF ∥CD 交AD 于点E ，若AB=6cm ，EF=4cm ，求CD 的长． 3．如图，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，FE ∥AC ． 求证：△ABC ∽△FDE ． 4．如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF ⊥AE 于F ，试说明：△ABF ∽△EAD ． 5．已知：如图①所示，在△ABC 和△ADE 中，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ，且点B ，A ，D 在一条直线上，连接BE ，CD ，M ，N 分别为BE ，CD 的中点． （1）求证：①BE=CD ；②△AMN 是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED 交线段BC 于点P ．求证：△PBD ∽△AMN ． 6．如图，E 是?ABCD 的边BA 延长线上一点，连接EC ，交AD 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC 与△DEC 是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD 的边长AB=3cm ，BC=6cm ． 某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm/s 的速度向A 点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN 的面积等于矩形ABCD 面积的？ （2）是否存在时刻t ，使以A ，M ，N 为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD 中，若AB ∥DC ，AD=BC ，对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形． （1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例） （2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 10．如图△ABC 中，D 为AC 上一点，CD=2DA ，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE ⊥BD 于E ，连接AE ． （1）写出图中所有相等的线段，并加以证明； （2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对； 若没有，请说明理由； （3）求△BEC 与△BEA 的面积之比．
第四章相似图形1 1.等边三角形的一边与这边上的高的比是___________ 2.已知a 、b 、c 为△ABC 的三条边，且a ：b ：c=2：3：4，则△ABC?各边上的高之比为______． 3.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________. 4.已知四条线段a 、b 、c 、d 成比例，若a=2,b=3,c=33,则 d=________. 5.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是( ) A.a ∶d=c ∶b B.a ∶b=c ∶d C.d ∶a=b ∶c D.a ∶c=d ∶b 6.如果b a =43,那么b b a 2+=____;b b a 2-=____; a b a 3-=____;a b b a 3-2+=____ 7.如果53=-b b a ,那么b a =________b b a 2+=____;b b a 2-=____;a b b a 3-2+=____ 8.若d c b a ==3（b+d ≠0），则d b c a ++=_______,d b c a 3-23-2=_______ 9.若3x －4y = 0，则y y x +的值是____________ 10.若8 75c b a ==,且3a －2b+c=3,则2a+4b －3c 的值是____________ 11.若6 54 3 2+==+c b a ,且2a －b+3c=21. ,则2a+4b －3c 的值是___________ 12.x ：y ：z=3：5：7，3x ＋2y －4z ＝9则x ＋y ＋z 的值为___________ 13.如果 k c b a d d b a c d c a b d c b a =++=++=++=++，则k 的值是___________。 14.在长度为10的线段上找到两个黄金分割点Ｐ、Ｑ.则ＰＱ=_________ 15.当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165cm ，下半身 长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 cm 16.顶角为360 的等腰三角形称为黄金三角形.如右图，△ABC, △BDC, △DEC 都是黄金三角形.若AB=1则DE=＿ 17.如图以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上， （1）求AM 、DM 的长. （2）求证：AM 2 =AD ·DM. （3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？ 18.以下五个命题：①所有的正方形都相似 ②所有的矩形都相似 ③所有的三角形都相似 ④所有的等腰直角三角形都相似 ⑤所有的正五边形⑥所有的菱形⑦所有的平行四边形都相似.,其中正确的命题有_______ 19.下列判断中，正确的是（ ） （A ）各有一个角是67°的两个等腰三角形相似（B ）邻边之比都为2：1的两个等腰三角形相似 （C ）各有一个角是45°的两个等腰三角形相似（D ）邻边之比都为2：3的两个等腰三角形相似 20.如图在一矩形ABCD 的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等。花坛AB ＝20米，AD ＝30米，试问小路的宽x 与y 的比值为________时，能使小路四周所围成的矩形A`B`C`D`能与矩形ABCD 相似？请说明理由。 21.把矩形对折后，和原来的矩形相似，那么这个矩形的长、宽之比为______ 22.如图所示相片框（长和宽不等，阴影宽度相等），内外两个矩形是否相似？ 23.把一个矩形剪去一个正方形，若剩余的矩形和原矩形相似，则原矩形的宽与长的比为______． 17题 20题 22题 24题 25题 24.如图已知DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ，则 AB AD =________=________.
相似三角形6大证明技巧 相似三角形证明方法 相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A”型与“反X”型.
“旋转相似”与“一线三等角” 反A 型与反X 型 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB O F E C B A 类射影 如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =?
通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算 【例1】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证： DC CF AE AD =． A B C F D E 【例2】 如图，ABC △中，90BAC ∠=?，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于 D ，交AB 于 E ．求证：2AM MD ME =? C B A E D M 【例3】 如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ， 交AD 于F ．求证： BF AB BE BC =． D B A C F E 技巧一：三点定型 比例式的证明方法
因动点产生的相似三角形 例1：如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值； （3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上． 图1 图2 思路点拨 1．△BPQ与△ABC有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程．2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ． 3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然． 满分解答 （1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10． △BPQ与△ABC相似，存在两种情况： ①如果BP BA BQ BC =，那么 510 848 t t = - ．解得t＝1． ②如果BP BC BQ BA =，那么 58 8410 t t = - ．解得 32 41 t=． 图3 图4 （2）作PD⊥BC，垂足为D． 在Rt△BPD中，BP＝5t，cos B＝4 5 ，所以BD＝BP cos B＝4t，PD＝3t． 当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP． 所以AC CD QC PD =，即 684 43 t t t - =．解得 7 8 t=．
图5 图6 （3）如图4，过PQ 的中点H 作BC 的垂线，垂足为F ，交AB 于E ． 由于H 是PQ 的中点，HF //PD ，所以F 是QD 的中点． 又因为BD ＝CQ ＝4t ，所以BF ＝CF ． 因此F 是BC 的中点，E 是AB 的中点． 所以PQ 的中点H 在△ABC 的中位线EF 上． 例2：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连结OM ，求∠AOM 的大小； （3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标． 图1 思路点拨 1．第（2）题把求∠AOM 的大小，转化为求∠BOM 的大小． 2．因为∠BOM ＝∠ABO ＝30°，因此点C 在点B 的右侧时，恰好有∠ABC ＝∠AOM ． 3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC 与△AOM 相似． 满分解答 （1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ． 在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°， 所以AH ＝1，OH ＝3．所以A (1,3)-． 因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点， 设y ＝ax (x －2)，代入点A (1,3)-，可得3 3 a = ．
经典练习题相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G． （1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． $ 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC． 求证：△ABC∽△FDE．
4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． ; 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．
6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． | 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC=_________°，BC=_________； （2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： ' （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
相似三角形 一、知识概述 1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形． 温馨提示： ①当且仅当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可； ②相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等； ③相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例，其应用广泛． 2、相似三角形对应边的比叫做相似比． 温馨提示： ①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 ．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例． ②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC 的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1． ③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出． 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形． 4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两条边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似．
①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言： ∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE； ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广 泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”； ③有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节“ 见平行，想比例” ，还要想到“ 见平行，想相似”． 1、相似三角形的判定： 判定定理（1）：两角对应相等，两三角形相似． 判定定理（2）：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 判定定理（3）：三边对应成比例，两三角形相似． 温馨提示： ①有平行线时，用上节学习的预备定理； ②已有一对对应角相等（包括隐含的公共角或对顶角）时，可考虑利用判定定理（1）或判 定定理（2）； ③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理 2 或判定定理 3 ．但是，在选择利用判定定理 2 时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等． 2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
相似三角形中考压轴试题 一、选择题 1.（2014年江苏宿迁3分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4， 点P 为AB 边上一动点，若△P 与A △DPBC 是相似三角形，则满足条件的点P 的个数是【】 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 1.（2015贺州）如图，在△ABC 中，AB=AC=15，点D 是BC 边上的一动点（不与B 、C 重合），∠ADE= ∠B=∠α，DE 交AB 于点E ，且tan ∠α= 3 4 ．有以下的结论：①△ADE ∽△ACD ；②当CD=9时，△ACD 与△DBE 全等；③△BDE 为直角三角形时，BD 为12或 21 4 ；④0＜BE ≤ 24 5 ，其中正确的结论是（填 入正确结论的序号）． 三、解答题 1.（2014年福建三明14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2 +bx+4与x 轴的一个交点为A （﹣ 2，0），与y 轴的交点为C ，对称轴是x=3，对称轴与x 轴交于点B ． （1）求抛物线的函数表达式； （2）经过B ，C 的直线l 平移后与抛物线交于点M ，与x 轴交于点N ，当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形 是平行四边形时，求出点M 的坐标； （3）若点D 在x 轴上，在抛物线上是否存在点P ，使得△PBD ≌△PBC ？若存在，直接写出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由．
2.（2014年湖北十堰12分）已知抛物线C1： 2 yax12的顶点为A，且经过点B（﹣2，﹣1）． （1）求A点的坐标和抛物线C1的解析式； （2）如图1，将抛物线C1向下平移2个单位后得到抛物线C2，且抛物线C2与直线AB相交于C，D两点， 求S△OAC：S△OAD的值； （3）如图2，若过P（﹣4，0），Q（0，2）的直线为l，点E在（2）中抛物线C2对称轴右侧部分（含顶点）运动，直线m过点C和点E．问：是否存在直线m，使直线l，m与x轴围成的三角形和直线l，m与 y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式；若不存在，说明理由． 3.（2014年湖南郴州10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°BC，=16cm，AD是斜边 BC上的高，垂足为D，BE=1cm．点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发， 与点M同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D时停止 运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？ （2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关 于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围． （3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，△CP是D等腰 三角形？
初中数学相似三角形专项练习题目
第18.1课时 相似三角形 一．填空题（基础） 1． 如图，ABC ?∽MNP ?，则它们的对应角分别是A ∠与∠___M__,∠B 与∠___N__， C ∠与∠___P__；对应边成比例的是 ________=_________=_________; 若 AB =2.7cm, cm MN 9.0=, cm MP 1=,则相似比 =_________,=BC _________cm . B A G F E D C B A N P M C （第2题） （第1题） 2． 如图,四边形ABCD 中,AD ∥EF ∥BC ,AC 交EF 于G .图中能相似的三角形共有_______对,它们分别是_________、___________,小明通过这两对相 似三角形推出了比例式：AB BE AD FG =，对不对，为什么？ 二．填空题 3． 如图，ABC ?和DEF ?的三边长分别为7、2、6和12、4、14，且两三角形相似，则A ∠与∠_____,∠B 与∠_____，C ∠与∠_____，)()()(AC DF AB ==。
（第5题） （第4题） （第3题） C G F E D C B A F E B A E F D C B A 4． 如图，ABC ?∽AEF ?，写出三对对应角：_________=_________,_________=________, ________=_________,并且) ()()( )()(==AF ,若ABC ?与 AEF ?的相似比是3：2，cm EF 8=，则________=BC 。 5． 如图，ABC ?中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB 、AC 、AD 于点E 、F 、G ，图中共有______对相似三角形，它们是 ______________________________________. 6． 如图，平行四边形 ABCD 中， ，上的一点，是4 3 =EC BE BC E ，于点交F BD AE =BF 的值。及，求 DF DA BE cm 6 F B
1文档收集于互联网，已整理，word 版本可编辑. 第四章相似图形1 1.等边三角形的一边与这边上的高的比是___________ 2.已知a 、b 、c 为△ABC 的三条边，且a ：b ：c=2：3：4，则△ABC?各边上的高之比为______． 3.在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________. 4.已知四条线段a 、b 、c 、d 成比例，若a=2,b=3,c=33,则 d=________. 5.已知线段a 、b 、c 、d 满足ab=cd ，把它改写成比例式，错误的是( ) A.a ∶d=c ∶b B.a ∶b=c ∶d C.d ∶a=b ∶c D.a ∶c=d ∶b 6.如果b a =43,那么b b a 2+=____;b b a 2-=____;a b a 3-=____;a b b a 3-2+=____ 7.如果53=-b b a ,那么b a =________b b a 2+=____;b b a 2-=____;a b b a 3-2+=____ 8.若d c b a ==3（b+ d ≠0），则d b c a ++=_______,d b c a 3-23-2=_______ 9.若3x －4y = 0，则y y x +的值是____________ 10.若8 75c b a ==,且3a －2b+c=3,则2a+4b －3c 的值是____________ 11.若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21. ,则2a+4b －3c 的值是___________ 12.x ：y ：z=3：5：7，3x ＋2y －4z ＝9则x ＋y ＋z 的值为___________ 13.如果k c b a d d b a c d c a b d c b a =++=++=++=++，则k 的值是___________。 14.在长度为10的线段上找到两个黄金分割点Ｐ、Ｑ.则ＰＱ=_________ 15.当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165cm ，下半身 长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为 cm 16.顶角为360的等腰三角形称为黄金三角形.如右图，△ABC, △BDC, △DEC 都是黄金三角形.若AB=1则DE=＿ 17.如图以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF=PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上， （1）求AM 、DM 的长. （2）求证：AM 2=AD ·DM. （3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？ 18.以下五个命题：①所有的正方形都相似 ②所有的矩形都相似 ③所有的三角形都相似 ④所有的等腰直角三角形都相似 ⑤所有的正五边形⑥所有的菱形⑦所有的平行四边形都相似.,其中正确的命题有_______ 19.下列判断中，正确的是（ ） （A ）各有一个角是67°的两个等腰三角形相似（B ）邻边之比都为2：1的两个等腰三角形相似 （C ）各有一个角是45°的两个等腰三角形相似（D ）邻边之比都为2：3的两个等腰三角形相似 20.如图在一矩形ABCD 的花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等。花坛AB ＝20米，AD ＝30米，试问小路的宽x 与y 的比值为________时，能使小路四周所围成的矩形A`B`C`D`能与矩形ABCD 相似？请说明理由。 21.把矩形对折后，和原来的矩形相似，那么这个矩形的长、宽之比为______ 22.如图所示相片框（长和宽不等，阴影宽度相等），内外两个矩形是否相似？ 23.把一个矩形剪去一个正方形，若剩余的矩形和原矩形相似，则原矩形的宽与长的比为______． 17题 20题 22题 24题 25题 24.如图已知DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ，则AB AD =________=________. 25.如图△AED ∽△ABC ，其中∠1＝∠B ，则AD ∶________＝________∶BC ＝________∶AB ． 26.△ABC ∽△A ′B ′C ′，如果∠A=55°，∠B=100°，则∠C ′的度数等于__________ 27.如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形________ 28.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB=2，BC=3，A ′B ′=1，则B ′C ′=_________ 29.若△ABC 的三条边长的比为3∶5∶6,与其相似的另一个△A ′B ′C ′的最小边长为12 cm ，那么△A ′B ′C ′的最大边长是________ 30.已知△ABC 的三条边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,△ABC ∽△A ′B ′C ′，那么 △A ′B ′C ′的形状是______，又知△A ′B ′C ′的最大边长为20 cm ，那么△A ′B ′C ′的面积为________. 31.△ABC 的三边长分别为2、10、2，△A ′B ′C ′的两边长分别为1和5，如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，那么△A ′B ′C ′的第三边的长应等于__________