2012考前冲刺数学第三部分
【高考预测】
1.二次函数的图象和性质的应用
2.指数函数与对数函数的图象和性质的应用
3.函数的应用
4.二次函数闭区间上的最值的问题
5.三个“二次”的综合问题
6.含参数的对数函数与不等式的综合问题 【易错点点睛】
易错点1 二次函数的图象和性质的应用
1．(2012模拟题精选)已知向量a=(x 2
，x+1)，b=(1-x ，t)若函数f(x)=ab 在区间(-1，1)上是增函数，求t 的取值范围．
【错误答案】 依定义f(x)=x 2
(1-x)+t(x+1)=-x 3
+x 2
+tx+t ，则f′(x)=-3x 2
-2x+t. 若f(x)在(-1，1)上是增函数，则在(-1，1)上恒有f′≥0?t ＞3x 2
-2x 在区间(-1，1)上恒成立．设g(x)= 3x 2
-2x=3(x-3
1
)2
-31，∴当x=31时，[g(x)]min =-3
1
∴t≥-31即t 的取值范围是[-3
1,+∞].
【错解分析】 上面解答由t≥3x 2
-2x 在区间(-1，1)上恒成立得t 大于或等于3x 2
-2x 的最小值是错误的．因为若t≥[g(x)]min 只能说存在一个x 的值能使t≥3x 2
-2x 成立，但不能保证x 在(-1，1)上的每一个值都能使t≥3x 2
-2x 成立．因而t 应大于或等于g(x)在(-1，1)上的最大值．
【正确解答】 解法1：依定义f(x)=x 2
(1-x)+t(x+1)=-x 3
+x 2
+tx+t.则f′(x)=-3x 2
+2x+t(-1,1)上是增函数，则f′(x)=-3x 2
+2x+t≥0在 (-1，1)上恒成立，即t≥3x 2
-2x 在(-1，1)上恒成立．
设g(x)=3x 2
-2x=3(x-3
1)2
-31．∵对称轴为x=3
1．∴g(x) 解法2：依定义f(x)=x 2 (1-x)+t(x+1)=-x 3 +x2+tx+t,f′(x)=-3x 2 +2x+t ， 若f(x)在(-1，1)上是增函数，则在(-1，1)上恒有 f′(x)≥0，∵f′(x)的图像是开口向下的抛物线． ∴当且仅当?? ? ?≥-=-'≥-='05)1(0 1)1(t f t f t≥5时，f′(x)在(-1，1)上满足f′(x)>0．即f(x)在 (-1，1)上是增函数． 故t 的取值范围是[5，+∞]． 2．(2012模拟题精选)已知函数f(x)=ax-23x 2 的最大值不大于61，又当x∈?? ? ???21 ,41时，f(x)≥8 1. (1)求a 的值; (2)设0 1，a n+1=f(a n )，n ∈N * ，证明：a n ＜ 11 +n . 【错误答案】 第(1)问，∵f(x)=ax -2 3 x 2 =-2 3 (x-3 1a)2 +6 2 a ． ∴ 6 2a ≤61，即a 2 ≤1?-1≤a≤1 ① 又当x∈??????21,41时,f(x)≥81，即f(x) ≥81在??????21,41上恒成立?81≤f(x)在?? ? ???21 ,41上的最小值为f(4 1 ) ∴f(4 1)≥8 1．即a a ?≥- 813234 ≥8 7 . ② 综合，①，②知8 7 ≤a≤1． 【错解分析】 上面解答错在f(x)在?? ? ???21 ,41的最小值的计算上，由①得-1≤a≤1．∴3a ∈(-31 ,31 )， ∴对称轴x= 3a 离端点21较远，因此,f(x)的最小值应是f(21).而不是f(4 1 ). (ⅱ)假设n=k(k≥2)时，不等式0＜a k ＜11+k 成立，因为f(x)=x-23x 2的对称轴x=3 1 知f(x)在[0，3 1 ]上为增函数，所以0 11+k ≤3 1 得0 1 1 +k )于是有0 11+k -23·2 1)2()1(24212121)1(122++++-+=+-+++k k k k k k k k . 所以当n=k+1时，不等式也成立. 根据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任何n∈N * ，不等式a n ＜ 1 1 +n 成立. 3．已知函数f(x)的二项式系数为a ，且不等式f(x)>-2x 的解集为(1，3)． (1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解 (2)若f(x)的最大值为正数，求a 的取值范围． 【错误答案】 (1)设f(x)=ax 2 +bx+c(a≠0)． 解得0<-2-3或-2+3 故当f(x)的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(-∞，-2-3)∪(-2+3，0)． 【错解分析】 上面解答由f(x)+2x ＞0的解集为(1，3)．忽视了隐含条件a ＜0．所以 (1)应舍去a=1．另外第(2)问若没有a ＜0这个条件，也不能说f(x)的最大值是-a a a 1 42++，从而很不容易求得a 的范围． 【正确解答】 (1)∵f(x)+2x＞0的解集为(1，3),∴f(x)+2=a(x -1)(x-3)且a<0，因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax 2 -(2+4a)x+3a ① 由方程f(x)+6a=0得ax 2-(2+4a)x+9a=0 ② 因为方程②有两个相等的根，∴△=[-(2+4a)]2 -4a·9a=0．即5a 2 -4a-1=0，解得a=1或 a=-5 1. 由于a ＜0，舍去a=1．将a=-51 代入①得f(x)的解析式为f(x)=- 5 1x 2 -56x-5 3. (2)由f(x)=ax 2 -2(1+2a)x+3a=a(x-221a +)2-a a a 1 42++及a ＜0，可得f(x)的最大值为 -a a a 142++.由?? ???++-. 001 42 a a a a ， 解得a ＜-2-3或-2+3＜a<0． 【特别提醒】 利用二次函数图像可以求解一元二次不等式和讨论一元二次方程的实根分布情况，还可以讨论二次函数在闭区间上的最值．对于根的分布问题，一般需从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴x=-a b 2与区间端点的关系．另外，对于二次函数在闭区间上的最值要抓住顶点的横坐标与闭区间的相对位置确定二次函数的单调性进行求解. 【变式探究】 1 若函数f(x)=x 2 +bx+c 对任意实数f(1+x)=f(-x)，则下面不等关系成立的是 ( ) A ．f(2)>f(0)>f(-2) B ．f(-2)＞f(2)＞(0) C ．f(0)＞f(-2)＞f(2) D. f(-2)＞f(0)>f(2) 答案：B 解析：由 f(1+x)=f(-x)得 f(x)的对称轴 x= 2 1 ∵b=-1. ∴f(2)=2+c,f(-2)=6+c,f(0)=c. ∴f(-2)>f(2)>f(0). 2 若函数y=x 2 -2x+3在闭区间[0，m]上有最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围是__________. 答案：[1,2]解析：y=(x+1)2 +2是以直线x=1为对称轴开口向上、其最小值为2的抛物线，又∵f(0)3.结合图象易得，2≥m≥1. ∴m 的取值范围是[1，2]. 3 设函数f(x)=ax 2 +bx+1(1，b∈R)． (1)若f(-1)=0，则对任意实数均有f(x)≥0成立，求f(x)的表达式． 答案：解析：（1）∵f(-1)=0?a-b+1=0?b=a+1,又∵对任意实数均有f(x) ≥0成立， ???==??? ???≤-+>??????≤-=?>∴.2104)1(004022b a a a a a b a ∴f(x)=x 2 +2x+1. (2)在(1)的条件下，当x∈[-2，2]时，g(x)=xf(x)-kx 是单调递增，求实数k 的取值范围． 答案： g(x)=xf(x)-kx=x(x 2+2x+1)-kx=x 3+2x 2+(1-k)x,g′(x)=3x 2 +4x+1-k≥0在[-2，2]上恒成立?g′(x)在[-2，2]上的最小值g′(x)(-.3 1,0)32-≤∴≥k ) 4 已知二次函数f(x)=(lga)x 2 +2x+4lga 的最大值为3，求a 的值． 答案：解析：原函数式可化为f(x)=lga a a a x lg 4lg 1)lg 1(2+-+由已知，f(x)有最大值3，∴lga<0并且.3lg 4lg 1 =+- a a 整理得4（lga ）2 -3lga-1=0解得lga=1,lga=.10 1000 410.41lg .0lg .4141 = =∴-=<-a a a 故取 易错点2 指数函数与对数函数的图象和性质的应用 1．(2012模拟题精选)函数y=e ｜lnx ｜ -|x-1|的图像大致是 ( ) 【错误答案】 选A 或B 或C 【错解分析】 选A ，主要是化简函数y=e ｜lnx ｜ -|x-1|不注意分x≥1和x<1两种情况讨 论 ， 数，认为y=log 2x 和y=cos2x 在(0，1)上是凸函数．其实y=cos2x 在(0，4 π )是凸函数，在( 4 π ，1)是凹函数. 【正确解答】 B 根据条件，当0 ? ??+2 2 1x x >2) ()(21x f x f +恒成立知f(x)在(0，1)上是凸函数，因此只有y=log 2x 适合．y=2x 和y=x 2 在(0，1)上是函数．y=cos2x 在(0， 4π)是凸函数，但在(4 π ，1)是凹函数，故选B ． 3．(2012模拟题精选)若函数f(x)=log a (2x 2 +x)(a>0且a≠1)在区间(0, 21 )内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为 ( ) A.(-∞，-41 ) B ．(-4 1，+∞) C ．(0，+∞) D．(-∞，-2 1 ) 【错误答案】 选A 或C 【错误答案】 (1) 由 y=f(x)=ln(e x +a) 得x=ln(e y -a) ．∴f -1(x)=ln(e x -a)(x>lna) ， f′(x)=[ln(e x +a)]′= . a e e x x + (2)由｜m-f -1 (x)｜+ln[f′(x)]<0得-ln . a e e x x ++ln(e x -a) -a)+ln . a e e x x +在 (ln(3a)，ln(4a))上恒成立．设h(x)=ln(e x -a)+ln . a e e x x +. S(x)=-ln . a e e x x ++ln （e x -a)．即 m ＜[h(x)]mni .且m ＞[S(x)]max ∵S(x)，h(x)=ln(e x -a)+ln(1+ x e a )在[ln(3a)，ln(4a)]上是增函 数．∴[h(x)]min =ln(2a)+ln 3 4=ln(3 8a)． [S(x)]max =ln(3a)-ln 4 5 =ln(5 12 a) ∴ln( 512a) 8 a)． 【错解分析】 错在第(2)问h(x),S(x)在(ln(3a)，ln(4a))上是增函数没有根据．应用定义法或导数法判定后才能用这一结论． 【正确解答】 (1)由y=f(x)=ln(e x +a)得x=ln(e y -a)∴y=f -1 (x)=ln(e x -a)(x>lna)， f′(x)= . a e e x x +. 即 512a a ，于是，得ln 512a 8a)． 解法2 由｜m-f -1 (x)｜+ln(f′(x))<0得 ln(e x -a)-ln(e x +a)+x -a)+ln(e x +a)-x ． 设?(x)=ln(e x -a)-ln(e x +a)+x ， r(x)=ln(e x -a)+ln(e x +a)-x ， 于是原不等式对于x∈[ln(3a)，ln(4a)]恒成立等价于? (x) a e e a e e x x x x +- -+1,a e e a e e x r x x x x ++ -= ')(-1． 注意到0 +a ，故有?′(x)>0，r′(x)>0，从而可知? (x)与r(x)均在[ln(3a)，h(4a)]上单调递增，因此不等式③成立，当且仅当 ?(ln(4a)) 512a)＜m 8 a)． 【特别提醒】 论由指数函数和对数函数构成的复合函数的单调性时，首先要弄清复合函数的构成，然后转转化为基本初等函数的单调性加以解决，注意不可忽视定义域，忽视指数和对数的底数对它们的图像和性质起的作用. 【变式探究】 1 已知函数f(x)= e 21(e x +e 2-x )(x<1)(其中e 为自然对数的底数)，则 ( ) A ．f -1 (21) (23 ) C.f -1 (23) )＞f -1 (2) 答案： D 解析： f(x)= . ).2()2 3 (.],1[)(,,)1,(1)(,),0(,)1)((211112 D f f x f x f e t t e x e e e e x x x 选上是减函数在性相同在各自的定义域上单调由于反函数的两个函数上是减函数且在则上是减函数则令--->∴+∞∴-∞≥∈=<+ 2 已知f(x)=a x +log a (x+1)在[0，1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为 ( ) A.41 B. 2 1 C ．2 D ．4 已知函数f(x)=log a [( a 1 -2)x+1]在区间[1，2]上恒为正，求实数a 的取值范围． 答案：在区间[1，2]上使f(x)>0恒成立。 解析：（1）当a>1时，只要.11)21(>+-x a 即2 1 ,021],2,1[.0)21(< ∴>-∴∈>-a a x x a 与1矛盾. (2)当0 (+-x a 只要0 1时，g(x)=1f(x)=0不能使f(x)恒为正。 当0 0121,1 ()0)1(,)(,021矛盾与解得只要是增函数<<<>-a a g g x g a 当 .3 221:.3221, 1)1(0)2(,)(.0)21 (,121<<<<-< 易错点 3 函数的应用 1．(2012模拟题精选)某公司在甲，乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为 x=10时，获得最大利润L=-0．15×102+3．06×10+30=45．6万元．选B．2．甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系x=2000t，若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元(以下称S为赔付价格)． (1)将乙方的年利润W(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量． (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失余额y=0．002t2.在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少? 【错误答案】 (1)因为赔付价格为S元／吨，所以乙方的实际利润为： W=2000t-St=(2000-S t)=S(2000-t)≤S· 2 2 2000 ? ? ? ? ? ?- +t t=10003S．当且仅当 t=2000-t.即t=106(吨)时．W取得最大值． (2)设甲方净收入为v元，则 v=St-0.002t2,将t=106代入上式 v=106S-1012×0.002=106(S-2×103). ∵v 在(0，+∞)上是增函数．即S 越大，v 越大，故甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S 是任意大的数字． 【错解分析】 上面解答主要在第(1)问求w 的最值时，变形出了错误，即由w=2000t -St=S t (2000-t )正确的变形为w=2000t -St=S t (S 2000 -t )．这一步出错导致后面结果都是错误的． 由w′= t 1000-S= t t S -1000,令w′=0得t=t 0=( S 1000)2 ．当t S 1000)2 吨． 设甲方净收入为v 元，则 v=St-0．002t 2 ． 将t=( S 1000)2 代入上式，得到甲方净收入v 与赔付价格S 之间的函数关系式 v=S 21000-4 310002S ?. 又v′=- 5 325 3 2 3) 8000(1000100081000S S S S -= ?+ -令v′=0得S=20，当S<20时，v′>0；当S>20 时，v′<0， ∴S=20时，v 取得最大值． 因此甲方向乙方要求赔付价格S=20(元／吨)时，获得最大净收入． 3．(2012模拟题精选)某段城铁线路上依次有A ，B ，C 三站，AB=5km ，BC=3km 在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A 站发车，8时07分到达B 站并停车1分钟，8时12分到达C 站，在实际运行时，假设列车从A 站正点发车，在B 站停留1分钟，并在行驶时以同一速度vkm ／h ，匀速行驶，列车从A 站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差． (1)分别写出列车在B 、C 两站的运行误差； (2)若要求列车在B ，C 两站的运行误差之和不超过2分钟，求v 的取值范围． 【错解分析】 上述解答错在单位不统一，应将速度v(km ／h)化为v(60km ／分)．由于 一开始出现错误，导致后面结果全是错误的． 【正确解答】 (1)列车在B 、C 两站的运行误差(单位：分钟)分别是[v 300-7]和[v 480 -11] (2)由于列车在B 、C 两站的误差之和不超过2分钟，∴|v 300-7|+|v 480 -11|≤2(*) 当0 7300时，(*)式变形为v 300-7+v 480 -11≤2， 解得39≤v≤7 300 . 当 7300＜v≤11480，(*)式变形为7-v 300+v 480 -11≤2， 解得 7300 480 当v> 11480时，(*)式变形为7-v 300+11-v 480 ≤2， 解得 11480 195 ， 综上所述，v 的取值范围是[39, 4 195 ] 4．(2012模拟题精选)某人在一山坡P 处观看对面山崖顶上的一座铁塔．如图所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖直线OC ，塔高BC=80(米)，山高OB=220(米)，OA=200(米)，图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为α，tan α=2 1．试问 ， 设此人距山崖的水平距离为x ，则P(x ， 2 200 -x )(x ＞200)，由经过两点的直线的斜率公式 k PC =x x 300 2200 --=,2800x x -k PB =x x 2640-. 由直线PC 到直线PB 的角的公式得： tan ∠BPC= 640160288642640280012160 12?+-=-? -+=+-x x x x x x x x k k k k PC PB PC PB 设u= ).200.(640 160288642 x x x x ?+- ∴ux 2 -(288u-64)x+160×640u=0 ① ∵u≠0 ∵x∈R.△=(288u -64)2 -4×160×640u 2 ≥0. 解得 u≤2． 当u=2时，x=320．即此人距山崖320米时，观看铁塔的视角∠BPC 最大． 【错解分析】 上述解答过程中利用x∈R 由判别式法求u 的最大值是错误的，因为x ＞200，即由判别式求得u 的最大值，还必须检验方程①的根在(200，+∞)内． 设此人距山崖的水平距离为x ，则P(x ，2 200 -x )(x ＞200)．由经过两点的直线的斜率公式 k PC =x x x x 2800300 2200 -= --, k PB =x x x x 2640220 2200 -= --. 由直线PC 到直线PB 的角的公式得 tan∠BPC= x x x x x k k k k PC PB PC PB 26402800121-?-+= ?+-=).200(288 64016064 640160288642 x x x x x x -?+=?+- 要使tan∠BPC 达到最大，只须x+288640 160-?x 达到最小．由均值不等式 x+ 288640 160-?x ≥2288640160-?, 当且仅当x= x 640 160?时上式取得等号．故当x=320时tan∠BPC 最大． 由此实际问题知，0<∠BPC< 2 π ，所以tan∠BPC 最大时，∠BPC 最大，故当此人距山崖 水平距离为320米时，观看铁塔的视角∠BPC 最大． 5．(2012模拟题精选)某公司生产一种产品的固定成本(即固定投入)为0．5万元，但每生产100件需要增加投入0．25万元，市场对此产品的需要量为500件，销售收入为函数为R(x)=5x-2 2 x (0≤x≤5)，其中x 是产品售出的数量(单位：百件)． (1)把利润表示为年产量的函数f(x)． (2)年产量是多少时，当年公司所得利润最大? (3)年产量是多少时，当年公司不亏本?(取5625.21=4．65)． 【错误答案】 (1)设年产量为x(百件)，所以 f(x)=5x-2 2 x (0．5+0．25x) (2)f(x)=- 2 1 (x-4．75)2+25625.21 ∴当x=4．75(百件)时 [f(x)]max =2 1×21．5625=10．78125(万元) (3)∵f(x)≥0，∴2 1 (x-4．75)2 +2 5625 .21≥0，解得0．1≤x≤9．4 ∴年产量10件到940件之间不亏本． 【错解分析】 上述解答忽视了“市场对产品的需要量为500件”条件，事实上，当产 品生产量超过500件时，市场销售最多只能是500件，事实上，因此，这时不能用 R(x)=5x-2 2 x 表示收入，而是R(5)． 【正确解答】 (1)设年产量x(百件)，所以 f(x)=?? ???-≤≤+--)1(,25.012) 50(),25.05.0(2 52 x x x x x x (2)当0≤x≤5时,f(x)=-5x-2 2x (0．5+0．25x)=-21(x-4．75)2+25625 .21 ∴当x=4.75(百件)时，[f(x)]max =2 1×21．5625(万元) 当x>5时，f(x)=12-0．25x<12-1．25<2 1×21．5625 ∴x=4．75时，[f(x)]max =2 1×21．5625 即年产量是475件时，当年公司所得利润最大． (3)当0≤x≤5时，由f(x)≥0， -2 1 (x-4.75)2 + 25625 .21≥0? ??≤≤≤≤?504.91.0x x ∴0．1≤x≤5． (ⅱ)当x>5时，12-0．25x≥0?5 即生产量在10件到4800件不亏本． 【特别提醒】 与函数有关的应用题经常涉及到物价、路程、产值、环保、税收、市场信息等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题，解答这类问题的关键是建立相关函数的解析式，然后应用函数知识加以解决.在求得数学模型的解后应回到实际问题中去，看是否符合实际问题. 【变式探究】 1 把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是 ( ) A ． 32 3cm 2 B.4cm 2 C ．32cm 2 D.23cm 2 答案： D 解析： S= .323618 3,6],36)6[(183)7212(363260sin )312(2160sin )3(21min 22.2.2=?==∴+-=+-=-+S x x x x x x 时 2 将一张2mx6m 的硬钢板按图纸的要求进行操作，沿线裁去阴影部分，把剩余部分按要求焊接成一个有盖的长方体水箱(其中①与③、②与④分别是全等的矩形，且⑤+⑥=⑦)，设水箱的高为xm ，容积为ym 3 )． (1)求y 关于x 的函数关系式； 答案：依题意，长方体水箱长 ..)22(.)3(2 26xm m x m x x 高为宽为--=- 故水箱容积y=(3-x)(2-2x)·x, 又?? ???><->-0.10022,03x x x x ∴y 关于x 的函数关系式为 y=2x(1-x)(3-x),(0 (2)如何设计x 的大小，可使得水箱装的水最多? 答案： y=2x 3 -8x 2 +6x,y ′ =6x 2 -16x+6, 令y′=0得).,1(3 7 4),1,10(374.374+∞∈+--±= x y x ,3740时当-< <∴′>0;当,1374时<<-x y′.,3 7 4,0取最大值时当y x -=∴< 因此把水箱的高设计成 m 3 7 4-时，水箱装的水最多。 4 某车间有工人30人，现有生产任务：加工A 型零件100个，B 型零件50个．在单位时间内，每个工人若加工A 型零件能完成 10个，若加工B 型零件能完成7个．问这30名工人应如何分组，才能使任务完成得最快? 答案：解：设加工A 型零件的一组工人数为x ，则加工B 型零件的另一组工人数为30-x 。由题意加工100个A 型零件所需的时间为p(x)= .10100 x 加工50个B 型零件所需的时间为 .) 30(750 )(x x q -= 令p （x ）=q(x); ()2 1 173075010100=-=x x x 解得. 当x ＞()()x p x q >时2 1； 当0 1 时，p(x)>q(x). 当0 1时，p(x)>q(x). ?????? ?≤≤-≤≤=∴.3018) 30(750.17110 )(x x x x x y 考虑到人数必须是整数，分别考虑p(17)和 q(18),p(17)= ,595.012 750 )18(,588.01710100≈?=≈?q 即p(17) 他所用的时间 t=f(x)=).20(2222a x u x a u x a o o <<-+ + (Ⅱ)若 2 a ≤x≤a，请问该学生选择哪种上学方式更加节约时间，并说明理由．(取2=1．414，5=2．236) 答案：若该学生选择先乘船渡河到达公路上的车站p(x,0),再乘公交车去学校，则他所用的时间为 .)432(22222)(02 2 2 2 o o o o u a u a a u a a u x a u x a x f t +=- ++<-++= = 直接乘船渡河到达公路上B(2a,0)处的学校所用的时间 .5)2()(22o o u a u a a a f t =+= = 因为o o u a u a 5 ) 432(<+，所以该学生选择先乘船再坐公交车上学更加节约时间. 答：该同这选择先乘船再坐公交车上学更加节约时间。 【知识导学】 难点 1 二次函数闭区间上的最值的问题 1．已知函数f(x)=ax 2 +(2a-1)x+1在[-2 3,2]上的最大值为3，求实数a 的值． 综上：a=-23 或a=2 1. 2．已知f(x)是定义域为R 的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x-x 2 ． (1)求f(x)的解析式； (2)是否存在实数a 、b(a≠b)使f(x)在[a ，b]上的值域为[a b 1,1],若存在，求a 和b ，若不存在，说明理由． 【解析】 (1)运用奇函数性质可求出f(x)在x≤0上的解析式； (2)利用已知[a ，b]，[a b 1,1]得a 、b 的符号，再运用二次函数在区间上的单调性列出a 、b 的方程组可解得a 、b 的值． 【答案】 (1)设x ＜0，则-x ＞0，由当x≥0时，f(x)＝2x-x 2且f(x)为奇函数，得f(-x)=-2x-x 2 ， ∴f(x)=-f(-x)=-(-2x-x 2 )=2x+x 2 ∴f(x)?????+≥-) 0(,2) 0(,22 2 x x x x x x (2).0001111 ab ab a b b a b a b a a b b a ??? ???-???? ??-?????? ① 由0＜a ＜b,∵(f)=2x -x 2=-(x-1)2 +1≤1, 又∵f(x)在[a ，b]上值域为[a b 1 ,1]，∴ a 1 ≤1，即a≥1， 即1≤a＜b,而f(x)=-(x-1)2+1在[1,b] 上为减函数.因此：???? ????=-=-???? ?? ? ==b b b a a a b b f a a f 121 21)(1)(2 2由可知a 、b 为方程2x-x 2 = x 1 的两根，将此方程化为 b- 2 5 1+. 3.已知二次函数f(x)=ax 2 +bx+c 和一次函数g(x)=-bx,其中a 、b 、c∈R，且满足a ＞b ＞c,f(1)=0. (1)证明：函数f(x)与g(x)的图像交于不同的两点A 、B; (2)若函数F(x)=f(x)-g(x)在[2，3]上的最小值为9，最大值为21，试求a 、b 的值. (3)求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围. 【解析】(1)证△＞0；(2)利用二次函数的单调性求解；(3)将|A 1B 1|的长度表示为a c 的函数，利用二次函数数闭区间上的最值求解． 【答案】 (1)由g(x)=-bx 与f(x)=ax 2 +bx+c 得ax 2 +2bx+c=0．∵f(1)=a+b+c=0，a>b>c∴a>0，c ＜0，从而△=b 2 -4ac>0，即函数f(x)与g(x)的图像交于不同的两点． 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y = （2）x )2 1 (y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 【指数函数性质应用经典例题】 例1．设a 是实数， 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+，试证明：对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 证明：设1212,,x x R x x ∈<，则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数， 且12x x <， 所以1222x x < 即1 2220x x -<， 又由20x >， 得1 1 20x +>，2120x +>， ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <， 所以，对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >， 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根． 绝密★启用前 2014年高考全国2卷文科数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题（题型注释） 1．设集合2 {2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A B =I （ ） A ．? B ．{}2 C ．{0} D ．{2}- 2． 131i i +=-（ ） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i -- 3．函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =；0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件 B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 4．设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρ ρ，则=?b a ρρ（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 5．等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．(1)n n + B ．(1)n n - C ． (1)2n n + D ．(1) 2 n n - 6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件 由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积和原来毛坯体积的比值为（ ） A ． 2717 B ．95 C ．2710 D ．3 1 7．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为23，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为 （A ）3 （B ） 3 2 （C ）1 （D 3 D 1 1 A B 1 8．执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ） 数 学 N 单元 选修4系列 N1 选修4-1 几何证明选讲 15．[2014·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图1-1所示，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的周长△AEF 的周长 ＝________． 图1-1 15．3 [解析] 本题考查相似三角形的性质定理，周长比等于相似比．∵EB ＝2AE ，∴AE ＝13AB ＝13CD .又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴△AEF ～△CDF ，∴△CDF 的周长△AEF 的周长＝CD AE ＝3. 21．[2014·江苏卷] A ．[选修4-1：几何证明选讲] 如图1-7所示，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点． 证明：∠OCB ＝∠D . 图1-7 证明：因为B ，C 是圆O 上的两点，所以OB ＝OC ， 所以∠OCB ＝∠B . 又因为C ，D 是圆O 上位于AB 异侧的两点， 所以∠B ，∠D 为同弧所对的两个圆周角， 所以∠B ＝∠D ，因此∠OCB ＝∠D . [2014·江苏卷] B ．[选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵A ＝??????－1 21 x ，B ＝???? ??1 12 －1，向量α＝??????2y ，x ，y 为实数．若＝，求x ＋y 的值． 解：由已知得，＝???? ??－1 2 1 x 错误!＝错误!)， B α＝错误! ))错误!)＝错误!)． 因为＝，所以??????－2＋2y 2＋xy )＝???? ??2＋y 4－y )． 故?????－2＋2y ＝2＋y ，2＋xy ＝4－y ，解得?????x ＝－12，y ＝4， 2.9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 1.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算； 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 1.幂的有关概念 (1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 48476Λ个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ (2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； (3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> (4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ 3.根式 （1）根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈，那么x 叫做a 的n 次方根，用 n a 表 示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 (2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4.指数函数： （1）定义：y=a x (a >0且a ≠1)，叫指数函数，x 是自变量，y 是x 的函数。 （2）图象： 1.（2014 北京理 5）设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a ”为递增数列的（ ）. A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.（2014 大纲理 10）等比数列{}n a 中，4525a a ==，，则数列{}lg n a 的前8项和等于（ ）. A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 3.（2014 福建理 3）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ). A.8 B.10 C.12 D.14 4.（2014 辽宁理 8）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}12 n a a 为递减数列，则（ ）. A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 5.（2014 重庆理 2）对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ）. A. 139,,a a a 成等比数列 B. 236,,a a a 成等比数列 C. 248,,a a a 成等比数列 D. 369,,a a a 成等比数列 二、 填空题 1.（2014 安徽理 12）数列{}n a 是等差数列，若11a +，33a +，55a +构成公比为q 的等比数列，则q = . 2.（2014 北京理 12）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时，{}n a 的前n 项和最大. 3.（2014 广东理 13）若等比数列{}n a 的各项均为正数，且5 10119122e a a a a +=， 则1220ln ln ln a a a +++= . 4.（2014 江苏理 7）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 ． 5.（2014 天津理 11）设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和.若 124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________. ２．9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 １.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算; 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 １.幂的有关概念 （1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ （2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； （3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> （4)0的正分数指数幂等于0，０的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ ３．根式 （1)根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈,那么x 叫做a 的n 次方根,用 n a 表示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 （2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4．指数函数： （1)定义：y=a x (a >0且a ≠１),叫指数函数,ｘ是自变量，ｙ 是x 的函数。 （2）图象: 绝密★启用前 2014 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 I 卷 ) 数 学(理科 ) 一．选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合 A={ x | x 2 2x 3 0 } ， － ≤＜＝，则A B = B={ x | 2 x 2 A .[-2,-1] B .[-1,2 ） C .[-1,1] D .[1,2） (1 i )3 2. (1 i ) 2 = A .1 i B .1 i C . 1 i D . 1 i 3.设函数 f ( x) ， g( x) 的定义域都为 R ，且 f ( x) 时奇函数， g (x) 是偶函数，则下列结论正确的 是 A . f (x) g( x) 是偶函数 B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数 C .f (x) | g( x) 是奇函数 D .|f ( x) g ( x) 是奇函数 | | 4.已知 F 是双曲线 C ： x 2 my 2 3m(m 0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 A . 3 B .3 C . 3m D . 3m 5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日 都有同学参加公益活动的概率 A . 1 B . 3 C . 5 D . 7 8 8 8 8 6.如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角 x 的始边 为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP 的距 离表示为 x 的函数 f ( x) ，则 y = f ( x) 在 [0, ]上的图像大致为 2014年高考理科数学试题分类汇编及答案解析 立体几何 一、选择题: 1、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为（ ） A ． 35003 cm π B ． 38663cm π C ．313723cm π D. 320483 cm π 2、设n m ,是两条不同的直线,βα，是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A ．若βα⊥,α?m ,β?n ,则n m ⊥ B ．若βα//,α?m ,β?n , 则n m // C ．若n m ⊥,α?m ,β?n ,则βα⊥ D ．若α⊥m ,n m //,β//n ,则βα⊥ 3、若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为（ ） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:16 4、已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A ．2 3 B ． 33 C ． 23 D ．1 3 5、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 6、一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有（ ） A ．1243V V V V <<< B.1324V V V V <<< C. 2134V V V V <<< D ．2314V V V V <<< 7、已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不．可能．． 等于 （ ） A ．1 B ．2 C ． 2-1 2 D ． 2+1 2 8、某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( ) 专题九 指数函数 【高频考点解读】 1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的函数模型． 【热点题型】 题型一 指数函数性质的考查 例1、求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝????23－|x ＋1|；(2)y ＝2 x 2x ＋1 ；(3)y ＝. 【提分秘籍】 解决与指数函数的性质问题时应注意 (1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断． (2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用． 【举一反三】 已知函数f (x )＝ . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． 【热点题型】 题型二指数函数的图象及应用 例2、(1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是() (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 【答案】(1)A(2)[－1,1] 【提分秘籍】 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． 2．y＝a x，y＝|a x|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系： y＝a x与y＝|a x|是同一函数的不同表现形式． 函数y＝a|x|与y＝a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同． 【举一反三】 当a≠0时,函数y=ax+b和y=b ax的图象只可能是下图中的( ) 【热点题型】 题型三分类讨论思想在指数函数中的应用 例3、设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷） 数学试题卷（文史类） 注意事项 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的、号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. （1）已知集合A={2-，0，2}，B={x |022 =--x x }，则A B= （A ）? （B ）{}2 （C ）{}0 （D ）{}2- （2） 131i i +=- （A ）12i + （B ）12i -+ （C ）12i - （D ）12i -- （3）函数()f x 在0x x =处导数存在．若p ：0'()0f x =；q ：0x x =是()f x 的极值点，则 （A ）p 是q 的充分必要条件 （B ）p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 （C ）p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 （D ）p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件 （4）设向量a ，b 满足||a b +=，||a b -= ，则a b = （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）5 （5）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S = （A ）()1n n + （B ）()1n n - （C ） ()12 n n + （D ） ()12 n n - （6）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个 底面半径为3cm ，高为6c m 的圆柱体毛坯切削得 到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 （A ） 1727 （B ）59 （C ）1027 （D ）1 3 1. 【2014江西高考理第8题】若1 2 ()2(),f x x f x dx =+? 则1 ()f x dx =?（ ） A. 1- B.13- C.1 3 D.1 2. 【2014江西高考理第14题】若曲线x y e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________. 3. 【2014辽宁高考理第11题】当[2,1]x ∈-时，不等式32 430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[5,3]-- B ．9 [6,]8 -- C ．[6,2]-- D ．[4,3]-- 4. 【2014全国1高考理第11题】已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．()1,+∞ C ．(),2-∞- D ．(),1-∞- 5. 【2014高考江苏卷第11题】在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2 b y ax x =+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += . 【答案】3- 6. 【2014高考广东卷理第10题】曲线25+=-x e y 在点()0,3处的切线方程为 . 7. 【2014全国2高考理第8题】设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 【2014全国2高考理第12题】设函数()x f x m π=.若存在()f x 的极值点0x 满足 ()2 22 00x f x m + 指数函数 一、选择题（共17小题；共85分） 1. 已知 a =(?12)?1 ，b =2?12 ，c =(12)?1 2 ，d =2?1，则此四数中最大的是 ( ) A. a B. b C. c D. d 2. 已知 a = √5?1 2 ，函数 f (x )=a x ，若实数 m ，n 满足 f (m )>f (n ) ，则 m ，n 的关系为 ( ) A. m +n <0 B. m +n >0 C. m >n D. m 数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页） 绝密★启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1） 理科数学 使用地区：河南、山西、河北 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合2{|230}A x x x =--≥,{|22}B x x =-<≤,则A B = ( ) A .[2,1]-- B .[1,2)- C .[1,1]- D .[1,2) 2. 3 2 (1i)(1i)+=- ( ) A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 3.设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ,且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,则下列结论中正确的是 ( ) A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()|f x ()g x 是奇函数 C .()f x |()|g x 是奇函数 D .|()()|f x g x 是奇函数 4.已知F 为双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为 ( ) A B .3 C D .3m 5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ( ) A .18 B .38 C . 58 D . 78 6.如图,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ,则 ()y f x =在[0,π]的图象大致为 ( ) A . B . C . D . 7.执行如图的程序框图,若输入的a ,b ,k 分别为1,2,3.则输出的M = ( ) A . 203 B . 72 C .165 D .158 8.设π(0,)2α∈,π(0,)2 β∈,且1sin tan cos β αβ+=,则 ( ) A .π32αβ-= B .π 32αβ+= C .π22αβ-= D .π 22αβ+= 9.不等式组1, 24x y x y +??-?≥≤的解集记为D ,有下面四个命题： 1p ：(,)x y D ?∈,22x y +-≥； 2p ：(,)x y D ?∈,22x y +≥； 3p ：(,)x y D ?∈,23x y +≤； 4p ：(,)x y D ?∈,21x y +-≤. 其中的真命题是 ( ) A .2p ,3p B .1p ,2p C .1p ,4p D .1p ,3p 10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个 交点,若4FP FQ =,则||QF = ( ) A .72 B .3 C .52 D .2 11.已知函数32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围是 ( ) A .(2,)+∞ B .(1,)+∞ C .(,2)-∞- D .(,1)-∞- 12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为 ( ) A .B .6 C .D .4 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分. 13.8()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为 (用数字填写答案). 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ,B ,C 三个城市时, 甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 15.已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若1()2 AO AB AC =+,则AB 与AC 的夹角为 . 16.已知a ,b ,c 分别为ABC △三个内角A ,B ,C 的对边,2a =,且(2)(sin b A +- sin )()sin B c b C =-,则ABC △面积的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,0n a ≠,11n n n a a S λ+=-,其中λ为常数. （Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=； （Ⅱ）是否存在λ,使得{}n a 为等差数列？并说明理由. 姓名________________ 准考证号_____________ -------------在 --------------------此--------------------卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效 ---------------- 1. 【2014高考北京版理第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2. 【2014高考福建卷第3题】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ) .8A .10B .12C .14D 3. 【2014高考江苏卷第7题】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 . 4. 【2014辽宁高考理第8题】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d > 5. 【2014重庆高考理第2题】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( ) 139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列 6. 【2014天津高考理第11题】设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________． 7. 【2014大纲高考理第10题】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】C ． 8. 【2014高考广东卷理第13题】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= . 9. 【2014高考安徽卷理第12题】数列{}n a 是等差数列，若135 1,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数 列，则q =________. 10. 【2014高考北京版理第12题】若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大. 【答案】8 第二章 指数函数与对数函数及函数的应用 一、知识网络 二、课标要求和最新考纲要求 1、指数函数 （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14 C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2、对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； （2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3、知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。 4、函数与方程 （1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。 （2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. 5、函数模型及其应用 （1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 （2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 （3）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。 三、命题走向 函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势. 考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测2010年对本节的考查是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。 2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 理科数学 第Ⅰ卷 （选择题 共60分） 一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。 1.已知集合A={x |2 230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2.32 (1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i -- 3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是 A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()f x |()g x 是奇函数 C .()f x |()g x |是奇函数 D .|()f x ()g x |是奇函数 4.已知F 是双曲线C ：2 2 3(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B .3 C D .3m 5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 A .18 B .38 C .58 D . 78 6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边 为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为 7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M = A . 203 B .165 C .72 D .158 数 学 K 单元 概率 K1 随事件的概率 13．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________． 13.1 3 [解析] 甲有3种选法，乙也有3种选法，所以他们共有9种不同的选法．若他们选择同一种颜色，则有3种选法，所以其对应的概率P ＝39＝1 3 . 13．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________． 13.2 3 [解析] 2本数学书记为数1，数2，3本书共有(数1数2语)，(数1语数2)，(数2数1语)，(数2语数1)，(语数1数2)，(语数2数1)6种不同的排法，其中2本数学书相邻的排法有4种，对应的概率为P ＝46＝2 3 . 14．[2014·浙江卷] 在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________． 14.1 3 [解析] 基本事件的总数为3×2＝6，甲、乙两人各抽取一张奖券，两人都中奖只有2种情况，所以两人都中奖的概率P ＝26＝1 3 . 19．[2014·陕西卷] 某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下： (1)若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率； (2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率． 19．解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3000元”，B 表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得 P (A )＝1501000＝0.15，P (B )＝120 1000 ＝0.12. 由于投保金额为2800元，所以赔付金额大于投保金额的概率为 P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27. (2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24 100＝0.24.由频率估计概 率得P (C )＝0.24. 指数与指数函数 一?填空题 1. 已知f(x)=(a2-1)x是减函数,则a的取值范围是________. 2. (-1.8)0+(1.5)-2× 2 3 3 3 8 ?? ? ?? -(0.01)-0.5+ 3 2 9=________. 3. 指数函数y=? ? ?? ?b a x的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx的顶点横坐 标的取值范围是________. 4. 已知0≤x≤2,则y= 1 2 4325 x x - -?+的最大值为________. 5. 已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,则g(x)=a x+b的图象是________. 6. (2011·新沂一中模拟)已知f(x)= ()1 1,0 2 ,0 x a x a x a x ? -++< ? ? ?≥ ? 是(-∞,+∞)上的减函数,那么实数a的取值范围是________. 7. 若函数f(x)?g(x)分别是R上的奇函数?偶函数,且满足f(x)-g(x)=e x,则有________. ①f(2) 二?解答题 10. 计算 ÷ 3a －73a 13; (2)2 3338-??- ??? +120.002--10(5-2)-1+(2-3)0; (3)已知1 1224m m -+=,求33221122m m m m -- -+的值. 11. 函数f (x )= 2－x x －1 的定义域为集合A ,关于x 的不等式22ax <2a +x (a ∈R )的解集为B , 求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围. 12. (2011·丹阳中学期中)设函数f (x )=ka x -a -x (a >0且a ≠1)是奇函数. (1)求k 的值; (2)若f (1)>0,试求不等式f (x 2+2x )+f (x -4)>0的解集; (3)若f (1)=32 ,且g (x )=a 2x +a -2x -2mf (x )在[1,+∞)上的最小值为-2,求m 的值 2014年全国高考数学试题分类汇编（数列） 1.【2014·陕西卷（理文4）】根据右边框图，对大于2的整数N ， 得出数列的通项公式是（ ） .2n Aa n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -= 2.【2014·安徽卷（文12）】如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，以此类推，设1BA a =，12AA a =， 123A A a =，…，567 A A a =，则7a =_____ ___. 3.【2014·江西卷（文13）】在等差数列{}n a 中，17a =，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8n =时n S 取最大值，则d 的取值范围_________. 4.【2014·全国卷Ⅰ（理17）】已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数. (Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=； （Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由. B A 1 C 第12题图 A A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 5.【2014·全国卷Ⅱ（理17）】已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{ } 12 n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：1231112 n a a a ++<…+. 6.【2014·山东卷（理19）】已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列。 （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）令n b =,4)1(1 1+--n n n a a n 求数列}{n b 的前n 项和n T 。 7.【2014·山东卷（文19）】在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项. （Ｉ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设(1)2 n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .高考数学-指数函数图像和性质及经典例题
2014年高考全国2卷文科数学试题(含解析)
2014年高考文科数学真题解析分类汇编：N单元 选修4系列(纯word可编辑)
高考数学指数指数函数
2014年高考数学真题分类汇编理科-数列(理科)
高考数学指数指数函数
2014年高考数学全国卷1(理科)
2014年高考理科数学试题分类汇编及答案解析
2015高考数学二轮复习热点题型专题九 指数函数
2014年高考新课标全国2卷数学(文)
2014年高考数学理科分类汇编专题03 导数与应用
高考数学：指数函数
2014年高考理科数学全国卷1有答案
2014年高考数学理科分类汇编专题06 数列
高三数学复习教案：指数与指数函数教案
2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案
2014年高考真题解析分类汇编纯word可编辑-数学文-K单元 概率
高考数学-指数与指数函数讲义.doc
2014年高考数学分类汇编(数列)学生版
相关主题
文本预览