第56讲 解析法证 几何题
解析法是利用代数方法解决几何问题的一种常用方法．其一般的顺序是：建立坐标系，设出各点坐标及各线的方程，然后根据求解或求证要求进行代数推算．它的优点是具有一般性与程序性，几何所有的平面几何问题都可以用解析法获解，但对于有些题目演算太繁．
此外，如果建立坐标系或设点坐标时处理不当，也可能增加计算量．建系设点坐标的一般原则是使各点坐标出现尽量多的0，但也不可死搬教条，对于一些“地位平等”的点、线，建系设点坐标时，要保持其原有的“对称性”．
A 类例题例1．如图，以直角三角形ABC 的斜边A
B 及直角边B
C 为边向三角形两侧作正方形ABDE 、CBFG ． 求证：DC ⊥FA ． 分析 只要证k C
D ·k AF ＝－1，故只要求点D 的坐标．
证明 以C 为原点，CB 为x 轴正方向建立直角坐标系．设A (0，a )，B (b ，0)，D (x ，y )． 则直线AB 的方程为ax ＋by －ab ＝0． 故直线BD 的方程为bx －ay －(b ·b －a ·0)＝0， 即bx －ay －b 2＝0．
ED 方程设为ax ＋by ＋C ＝0． 由AB 、ED 距离等于|AB |，得
|C ＋ab |
a 2＋b
2＝a 2＋b 2， 解得C ＝±(a 2＋b 2)－ab ． 如图，应舍去负号．
所以直线ED 方程为ax ＋by ＋a 2＋b 2－ab ＝0．
解得x ＝b －a ，y ＝－b ．(只要作DH ⊥x 轴，由△DBH ≌△BAC 就可得到这个结果)． 即D (b －a ，－b )．
因为k AF ＝b －a b ，k CD ＝－b
b －a
，而k AF ·k CD ＝－1．所以DC ⊥FA ．
例2．自ΔABC 的顶点A 引BC 的垂线，垂足为D ，在AD 上任取一点H ，直线BH 交AC 于E ，CH 交AB 于F ．
试证：AD 平分ED 与DF 所成的角．
证明 建立直角坐标系，设A (0，a )，B (b ，0)，C (c ，0)，H (0，h )，于是
BH ：x b ＋y h ＝1
AC ：x c ＋y a ＝1
过BH 、AC 的交点E 的直线系为：
λ(x b ＋y h －1)＋μ(x c ＋y
a －1)＝0． 以(0，0)代入，得λ＋μ＝0．
y x
H
F E
D C
B A y x O A B
C D
E
F G
分别取λ＝1，μ＝－1，有x (1b －1c )＋y (1h －1
a )＝0． 所以，上述直线过原点，这是直线DE ． 同理，直线DF 为x (1c －1
b )＋y (1h －1
a
)＝0．
显然直线DE 与直线DF 的斜率互为相反数，故AD 平分ED 与DF 所成的角．
说明 写出直线系方程要求其中满足某性质的直线，就利用此性质确定待定系数，这实际上并不失为一种通法．
例3．证明：任意四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和再加上对角线中点连线的平方的4倍．
证明 在直角坐标系中，设四边形四个顶点的坐标为A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，A 3(x 3，y 3)，A 4(x 4，y 4)．由中点公式知对角中点的坐标为B (x 1＋x 32，y 1＋y 32)，C (x 2＋x 42，y 2＋y 4
2
)．
则 4(
x 1＋x 32－x 2＋x 42)2
＋(x 1－x 3)2＋(x 2－x 4)2 ＝(x 1＋x 3－x 2－x 4)2＋(x 1－x 3)2＋(x 2－x 4)2 ＝2(x 2
1＋x 2
2＋x 2
3＋x 2
4－x 1x 2－x 2x 3－x 3x 4－x 4x 1) ＝(x 1－x 2)2＋(x 2－x 3)2＋(x 3－x 4)2＋(x 4－x 1)2， 同理有4(y 1＋y 32－y 2＋y 4
2)2＋(y 1－y 3)2＋(y 2－y 4)2
＝(y 1－y 2)2＋(y 2－y 3)2＋(y 3－y 4)2＋(y 4－y 1)2， 两式相加得：
|A 1A 2|2＋|A 2A 3|2＋|A 3A 4|2＋|A 4A 1|2＝4|BC |2＋|A 1A 3|2＋|A 2A 4|2．
说明 本题纯几何证法并不容易，而采用解析法，只需要简单的计算便达到目的．另外本例中巧妙地抓住了各点的“对称性”，设了最为一般的形式，简化了计算．
情景再现
1．如图，⊙O 的弦CD 平行于直径AB ，过C 、D 的圆的切线交于点P ，直线AC 、BC 分别交直线OP 于Q 、R ．
求证：|PQ |＝|PR |．
2．自圆M 外一点E 作圆的切线，切点为F ，又作一条割线EAB ，交圆M 于A 、B ，连结EF 的中点O 与B ，交圆M 于D ，ED 交圆M 于C ．
求证：AC ∥EF ．
3．CH 是ΔABC 中边AB 上的高，H 为垂足，点K 、P 分别是H 关于边AC 和BC 的对称点．
证明：线段KP 与AC ，BC (或它们的延长线)的交点是ΔABC 高线的垂足．
B 类例题
例4．P 、Q 在ΔABC 的AB 边上，R 在AC 边上，并且P ，Q ，R 将ΔABC 的周长分为三等分．
求证：S ΔPQR S ΔABC
＞29．
M O
D C B A
R
Q
P
C
B
A
x
y
证明 如图，以A 为原点，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系． 设AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，Q (q ，0)，P (p ，0)． 则q －p ＝1
3(a ＋b ＋c )，AR ＝PQ －AP ＝q －2p ，
从而y R y C
＝AR AC ＝q －2p b ．
由于2S ΔPQR ＝y R (q －p )，2S ΔABC ＝x B y C ， 所以S ΔPQR S ΔABC ＝y R (q －p )y C x B ＝(q －p )(q －2p )bC ． 注意到p ＝q －13(a ＋b ＋c )＜c －1
3
(a ＋b ＋c )，
所以q －2p ＞23(a ＋b ＋c )－c ＞23(a ＋b ＋c )－12(a ＋b ＋c )＝1
6(a ＋b ＋c )，
S ΔPQR S ΔABC ＞29·(a ＋b ＋c )24bc ＞29·(b ＋c )24bc ＞2
9
． 说明 本题中29是不可改进的，取b ＝c ，Q 与B 重合，则当a 趋向于0时，p 趋向于13q ，面积比趋向于2
9
．
例5．设H 是锐角三角形ABC 的垂心，由A 向以BC 为直径的圆作切线AP 、AQ ，切点分别为P 、Q ．
证明：P 、H 、Q 三点共线．(1996年中国数学奥林匹克)
证明 如图以BC 为x 轴BC 中点O 为原点建立直角坐标系． 设B (－1，0)，C (1，0)，A (x 0，y 0)， 则PQ 方程为x 0x ＋y 0y ＝1．
点H 的坐标为H (x 0，y )，满足y x 0＋1·y 0
x 0－1＝－1，
即 y ＝1－x 20
y 0
，
显然H 满足PQ 方程，即H 在PQ 上． 从而P 、H 、Q 三点共线．
例6．设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC 、BD 为直径的两圆相交于X 和Y ，直线XY 交BC 于Z ．若P 为直线XY 上异于Z 的一点，直线CP 与以AC 为直径的圆相交于C 和M ，直线BP 与以BD 为直径的圆相交于B 和N ．
试证：AM 、DN 、XY 三线共点．
分析 只要证明AM 与XY 的交点也是DN 与XY 的交点即可，为此只要建立坐标系，计算AM 与XY 的交点坐标．
证明 如图，以XY 为弦的任意圆O ，只需证明当
P 确定时，S 也确定．
以Z 为原点，XY 为y 轴建立平面直角坐标系，设X (0，m )，P (0，y 0)，∠PCA ＝α，其中m 、y 0S
X
P
N M
Q H P C
A
x
O
y
为定值．
于是有x C ＝y 0cot α．
但是－x A ·x C ＝y X
2，则
x A ＝－m 2
y 0
tan α．
因此，直线AM 的方程为：
y ＝cot α(x ＋m 2
y 0
tan α)．
令x ＝0，得y S ＝m 2y 0，即点S 的坐标为(0，m 2
y 0)．
同理，可得DN 与XY 的交点坐标为(0，m 2
y 0)．
所以AM 、DN 、XY 三线共点．
情景再现
4．在Rt ΔABC 中，AD 是斜边上的高，M ，N 分别是ΔABD 与ΔACD 的内心，连接MN 并延长分别交AB 、AC 于K 、L 两点．
求证：S ΔABC ≥2S ΔAKL ．
5．已知△ABC 中，∠A ＝α，且1|AB |＋1
|AC |
＝m ．
求证：BC 边过定点．
6．设△ABC 的重心为G ，AG 、BG 、CG 的延长线交△ABC 的外接圆于P 、Q 、R ． 求证：AG GP ＋BG GQ ＋CG GR
＝3．
C 类例题
例7．以ΔABC 的边BC 为直径作半圆，与AB 、AC 分别交于D 和E ．过D 、E 作BC 的垂线，垂足分别为F 、G ．线段DG 、EF 交于点M ．
求证：AM ⊥BC ．(1996年国家队选拔题)
分析 建立以BC 为x 轴的坐标系，则只要证明点A 、M 的横坐标相等即可．
证明 以BC 所在的直线为x 轴，半圆圆心O 为原点建立直角坐标系．设圆的半径为1，则B (－1，0)，C (1，0)．
令∠EBC ＝α，∠DCB ＝β， 则直线BD 的方程为y ＝cot β·(x ＋1)．
同样，直线CE 的方程为y ＝－cot α·(x －1)， 联立这两个方程，解得A 点的横坐标
x A ＝cot α－cot βcot α＋cot β＝sin(α－β)
sin(α＋β)
．
因为∠EOC ＝2∠EBC ＝2α，∠DOB ＝2β， 故E (cos2α，sin2α)，D (－cos2β，sin2β)，G (cos2α，0)，F (－cos2β，0)．
于是直线DG 的方程为y ＝sin2β
－(cos2α＋cos2β)·(x －cos2α)，
直线EF 的方程为y ＝sin2α
－(cos2α＋cos2β)
·(x ＋cos2β)．
x
联立这两个方程，解得M 点的横坐标
x M ＝sin2α·cos2β－cos2α·sin2β
sin2α＋sin2β
＝sin2(α－β)
sin(α＋β)cos(α－β)
＝
sin(α－β)
sin(α＋β)＝x A
．
故AM ⊥BC ．
例8．如图，一条直线l 与圆心为O 的圆不相交，E 是l 上一点，OE ⊥l ，M 是l 上任意异于E 的点，从M 作圆O 的两条切线分别切圆于A 和B ，C 是MA 上的点，使得EC ⊥MA ，D 是MB 上的点，使得ED ⊥MB ，直线CD 交OE 于F ．
求证：点F 的位置不依赖于M 的位置(1994年IMO 预选题)
分析 若以l 为x 轴，OE 为y 轴建立坐标系，则只要证明F 点的纵坐标与点M 的坐标无关即可．
证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设圆O 的半径为r ，OE ＝a ，∠OME ＝α，∠OMA ＝θ，显然有sin θsin α＝r a ．
y C ＝MC ·sin (α－θ)＝ME ·sin (α－θ)cos (α－θ) ＝a cot α·sin (α－θ)cos (α－θ)， x C ＝－y C ·tan (α－θ)＝－a cot αsin 2(α－θ)． 同理，y D ＝a cot α·sin (α＋θ)cos (α＋θ)，
x D ＝－a cot αsin 2(α＋θ)． 所以，k CD ＝sin2(α＋θ)－sin2(α－θ)
2[sin 2(α－θ)－sin 2(α＋θ)]
＝－cot2α．
则直线CD 的方程为
y －a cot α·sin (α＋θ)cos (α＋θ)＝－cot2α[x ＋a cot αsin 2(α＋θ)]． 令x ＝0，得
y F ＝a cot α·sin (α＋θ)[cos (α＋θ)－cot2αsin (α＋θ)]
＝
a cot α·sin(α＋θ)sin(α－θ)
sin2α
＝a ·－cos2α＋cos2θ4sin 2θ ＝a 2(1－sin 2θsin 2α) ＝a 2－r 22a ．
由于a 2－r 2
2a
是定值，这就表明F 的位置不依赖于点M 的位置．
情景再现
7．在筝形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝CD ，经AC 、BD 交点O 作二直线分别交AD 、BC 、AB 、CD 于点E 、F 、G 、H ，GF 、EH 分别交BD 于点I 、J ．
求证：IO ＝OJ ．（1990年冬令营选拔赛题）
x
l
8．水平直线m 通过圆O 的中心，直线l ⊥m ，l 与m 相交于M ，点M 在圆心的右侧，直线l 上不同的三点A 、B 、C 在圆外，且位于直线m 上方，A 点离M 点最远，C 点离M 点最近，AP 、BQ 、,CR 为圆O 的三条切线，P 、Q,、R 为切点．
试证：(1)l 与圆O 相切时，AB ?CR ＋BC ?AP ＝AC ?BQ ；
(2)l 与圆O 相交时，AB ?CR ＋BC ?AP ＜AC ?BQ ； (3)l 与圆O 相离时，AB ?CR ＋BC ?AP ＞AC ?BQ ．(1993年全国高中数学联合竞赛)
习题56
1．已知AM 是?ABC 的一条中线，任一条直线交AB 于P ，交AC 于Q ，交AM 于N ． 求证：AB AP ，AM AN ，AC
AQ
成等差数列．
2．在四边形ABCD 中，AB 与CD 的垂直平分线相交于P ，BC 和AD 的垂直平分线相交于Q ，M 、N 分别为对角线AC 、BD 中点．
求证：PQ ⊥MN ．
3．证明，如一个凸八边形的各个角都相等，而所有各邻边边长之比都是有理数，则这个八边形的每组对边一定相等．(1973年奥地利数学竞赛题)
4．设△ABC 是锐角三角形，在△ABC 外分别作等腰直角三角形BCD 、ABE 、CAF ，在此三个三角形中，∠BDC 、∠BAE 、∠CFA 是直角．又在四边形BCFE 外作等腰直角三角形EFG ，∠EFG 是直角．
求证：⑴GA ＝2AD ；
⑵∠GAD ＝135°；(上海市1994年高中数学竞赛) 5．如图△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角
形，现固定△ABC ，而将△ADE 绕A 点在平面上旋转．
试证：不论△ADE 旋转到什么位置，线段EC 上必存在点M ，使△BMD 为等腰直角三角形．(1987年全国高中数学联赛)
6．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 的内接四边形，H 1、H 2、H 3、H 4依次为ΔA 2A 3A 4、ΔA 3A 4A 1、ΔA 4A 1A 2、ΔA 1A 2A 3的垂心．
求证：H 1、H 2、H 3、H 4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置．(1992年全国高中数学联赛)
7．证明：ΔABC 的重心G ，外心O ，垂心H 三点共线，且OG ：GH ＝1：2．
8．已知MN 是圆O 的一条弦，R 是MN 的中点，过R 作两弦AB 和CD ，过A 、B 、C 、D 四点的二次曲线交MN 于P 、Q ．
求证：R 是PQ 的中点．
本节“情景再现”解答：
1．以圆心O 为原点，BA 为y 轴建立坐标系，设点C 的坐标x R ＝x 0
1－y 0，Q
为(x 0，y 0)，且⊙O 的半径等于1．可得R 点横坐标点横坐标x Q ＝x 01＋y 0，P 点横坐标x P ＝1x 0
．所以x R
＋x q ＝
x 01－y 0
A
B
C D
P
Q R y
x
O
D E
C B
A
N
M
L
K
D C B
x
y O
A
B
C
G
P
Q
R
y x
O
＋
x 01＋y 0＝x 01－y 20＝2
x 0
＝2x P ．即点P 为QR 的中点，所以|PQ |＝|PR |． 2．以O 为原点，EF 为x 轴，建立直角坐标系．设E (－x 0，0)，F (x 0，0)．圆M 的半径
设为r ，则圆M 的方程为x 2＋y 2－2xx 0－2yr ＋x 02＝0 (1)．过E 的两直线AB 、CD 的方程可设为h 1y ＝x ＋x 0，h 2y ＝x ＋x 0，合为(x －h 1y ＋x 0)(x －h 2y ＋x 0)＝0 (2)．直线BD 、AC 的方程又可设为y ＝kx ，ax ＋by ＋c ＝0．合为(y －kx )(ax ＋by ＋c )＝0 (3)．(1)与(2)所成的曲线系过交点A 、B 、C 、D ，又曲线(3)过点A 、B 、C 、D ，故为该曲线系中的一条．比较(1)与(2)所成的曲线系与(3)中常数项即可知(3)能由(1)、(2)相减得到，此时项中无x 2项．所以(3)中a ＝0，即AC ∥EF ．
3．建立如图所示的平面直角坐标系，设A 、B 、C 三点的坐标依次为A (a ，0)，B (b ，0)，C (0，c )．则P 点和K 点的坐标分别为：P (2bc 2b 2＋c 2，2b 2c
b 2＋
c 2)，
K (2ac 2
a 2＋c
2，2a 2c
a 2＋c 2
)．于是KP 所在的直线方程是c (a ＋b )x ＋(ab －c 2)y －2abc ＝0 ①，另一方面，BC 所在直线的方程是cx ＋by －bc ＝0 ②，BC 边上的高所在的直线方程是bx －cy －ab ＝0 ③，由于②×a ＋③×c ＝①，于是KP 经过BC 边上高线的垂足，同理，KP 与经过AC 边上高线的垂足．
4．分别以AC 、AB 所在直线为x 轴和y 轴建立直
角坐标系，
并设|AC |＝a ，|AB |＝b ，|OD |＝c ，则c ＝ab
a 2＋
b 2
．设ΔACD
、
ΔABD 的内切圆半径分别为r 1，r 2，则N ，M 的坐标分别为N (c －c －r 2－r 1
r 2－c ＋r 1＝
r 1，r 1)，M (r 2，c －r 2)．于是直线MN 的斜率为k MN ＝
－1．这说明ΔAKL 为等腰直角三角形，直线MN 的方程为y －r 1＝
－(x －c ＋r 1)，其横、纵截距均为c ，所以
2S ΔAKL ＝c 2
＝a 2b 2a 2＋b 2≤a 2b 22ab ＝ab 2
＝S ΔABC ．
5．以A 为原点，AB 为x 轴正方向建立直角坐标系．设|AB |＝p ，|AC |＝q ．则1p ＋1
q ＝m ，q ＝p mp －1，点B (p ，0)，C (q cos α，q sin α)．直线BC 的方程为y
q sin α＝x －p q cos α－p ．整理得
p (my －sin α)＋[x sin α－(1＋cos α)y ]＝0，即无论p 为何值时，直线BC 经过两条定直线my －sin ＝0与x sin α－(1＋cos α)y ＝0的交点．(两条直线斜率不等，故必有交点)，即直线BC 过定点．
6．以外接⊙O 的圆心O 为原点，平行于BC 的直线为x 轴建立坐标系．设A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，则
C (－x 2，y 2)，
G (x 13，y 1＋2y 2
3)．设外接圆半径为r ．则x 12＋y 12 ＝x 22＋y 22＝r 2．由相交弦定理，知AG
GP ＝|AG |2
|AG |·|GP | ＝|AG |2r 2－|OG |2，同理BG GQ ＝|BG |2r 2－|OG |2，CG GR ＝|CG |2r 2－|OG |2
； |AG |2＋|BG |2＋|CG |2＝(x 1－x 13)2＋(x 2－x 13)2＋(x 2＋x 13)2＋(y 1－y 1＋2y 23)2＋2(y 2－y 1＋2y 23)2＝23
H
P
x
C
A
[x 12＋(y 1－y 2)2]＋2x 22＝43(r 2
＋x 22－y 1y 2)，r 2－|OG |2＝r 2－[x 209＋(y 1＋2y 2)29]＝49
(2r 2－y 22－
y 1y 2)．注意到
x 22＋y 22＝r 2，就得
AG GP ＋BG GQ ＋CG GR ＝|AG |2＋|BG |2＋|CG |2
r 2－|OG |2
＝3． 7．如图，以O 为原点，OD 为x 轴正方向建立直角坐标系，设A (0，a )，D (d ，0)，C (0，c )，则B (－d ，0)．直线AB 方程为：x －d ＋y
a －1＝＝0． (因为求I 点坐标时要取y ＝0，故把系数k 置 于y 前)．于是GF 方程为x －d ＋y
a －1＋λ(ky
－x )＝0 ①，BC 方程为
x －d
＋y
c －1＝0， 设EF 方程为hy －x ＝0．于是GF 方程又可表 示为x －d
＋y c －1＋μ(hy －x )＝0 ②．
①与②是同一个方程，比较系数得λ＝μ，1a ＋λk ＝1c ＋μh ．则λ＝1h －k (1a －1
c )．在①中，令y
＝0得I 点的横坐标x I ＝d 1＋d λ；同理，点J 的横坐标为x J ＝－d 1－d λ'，其中λ'＝1k －h (1a －1
c )，
于是x I ＝－x j ．即IO ＝OJ ．从而得证．
8．证略．
本节“习题56”解答：
1．以BC 所在直线为x 轴，高AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系．设A (0，a )，B (m －b ，0)，C (m ＋b ，0)，直线PQ 方程：y ＝kx ＋q ．设AB AP ＝λ，则AP +PB AP ＝λ，BP
PA ＝λ－1．所以P 点坐标为x ＝m －b λ，y ＝(λ－1)a λ，故(λ－1)a ＝k (m －b )＋q λ，则λ＝k (m －b )+a a －q ，即AB
AP ＝
k (m －b )+a a －q ，同理，AM AN ＝km +a a －q ，AC AQ ＝k (m +b )+a a －q ．则AB AP ＋AC AQ ＝2AM AN ．这说明AB AP ，AM AN ，AC
AQ
成等差数列．
2．提示：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，利用式子的对称性即可证得结论．
3．此八边形的每个内角都等于135?．不妨设每边的长都是有理数．依次设其八边长为有理数a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ．把这个八边形放入坐标系中，使长为a 的边的一个顶点为原点，这边在x 轴上，于是a ＋b cos45?＋d cos135?－e ＋f cos225?＋h cos315?＝0，整理得a ＋e ＋2
2(b －d －f ＋h )＝0；b cos45?＋c ＋d cos(－45?)＋f cos135?－g ＋h cos225?＝0，整理得c ＋g ＋2
2(b ＋d －f －h )＝0．所以a ＝e ，b －d －f ＋h ＝0；c ＝g ，b ＋d －f －h ＝0．则b －f ＝0，g －h ＝0．从而凸八边形的每组对边相等．
4．以A 为原点建立直角坐标系，设B 、C 对应的复数为z B ，z C ．则点E 对应复数z E ＝
G
E
－iz B ，点D 对应复数z D ＝12(1＋i )(z B －z C )＋z C ＝12[(1＋i )z B ＋(1－i )z C ]，点F 对应复数z F ＝1
2(1＋i )z C ．向量→FE ＝z E －z F ＝－iz B －12(1＋i )z C ．z G ＝z F －i →FE ＝1
2(1＋i )z C －i [－iz B －12(1＋i )z C ]＝
－z B ＋1
2(1＋i )2z C ＝－z B ＋iz C ．则z G ＝(－1＋i )z D ＝2(cos135?＋i sin135?)z D ．则GA ＝2AD ；
∠GAD ＝135°．
5．以A 为原点，AC 为x 轴正方向建立复平面．设C 表示复数c ，点E 表示复数e (c 、e ∈R )．则点B 表示复数b ＝12c ＋1
2ci ，点D 表示复数
d ＝12
e －
12ei ．把△ADE 绕点A 旋转角θ得到△AD 'E '，则点E '表示复数e '＝e (cos θ＋i sin θ)．点D '表示复数d '＝d (cos θ＋i sin θ)表示E 'C 中点M 的复数m ＝1
2(c ＋e ')．则表示向量→MB 的
复数：z 1＝b －12(c ＋e ')＝12c ＋12ci －12c －12e (cos θ＋i sin θ)＝－12
e cos θ＋12(c
－e sin θ)i ．表示向量→MD '的复数：z 2＝d '－m ＝(12e －12ei )(cos θ＋i sin θ)－12c －1
2e (cos θ＋i sin θ)
＝12(e sin θ－c )－1
2ie cos θ．显然：z 2＝z 1i ．于是|MB |＝|MD '|，且∠BMD '＝90°．即△BMD '为等腰直角三角形．故证．
6．以O 为坐标原点，⊙O 的半径为长度单位建立直角坐标系，设OA 1、OA 2、OA 3、OA 4
与OX 正方向所成的角分别为α、β、γ、δ，则点A 1、A 2、A 3、A 4的坐标依次是(cos α，sin α)、(cos β，sin β)、(cos γ，sin γ)、(cos δ，sin δ)．显然，⊿A 2A 3A 4、⊿A 3A 4A 1、⊿A 4A 1A 2、⊿A 1A 2A 3的外心都是点O ，而它们的重心依次是(13(cos β＋cos γ＋cos δ)，13(sin β＋sin γ＋sin δ))、(1
3(cos γ＋cos δ＋cos α)，13(sin α＋sin δ＋sin γ))、(13(cos δ＋cos α＋cos β)，13(sin δ＋sin α＋sin β))、(1
3(cos α＋cos β＋cos γ)，1
3(sin α＋sin β＋sin γ))．从而，⊿A 2A 3A 4、⊿A 3A 4A 1、⊿A 4A 1A 2、⊿A 1A 2A 3的垂心依次是H 1(cos β＋cos γ＋cos δ，sin β＋sin γ＋sin δ)、H 2(cos γ＋cos δ＋cos α，sin α＋sin δ＋sin γ)、H 3(cos δ＋cos α＋cos β，sin δ＋sin α＋sin β)、H 4(cos α＋cos β＋cos γ，sin α＋sin β＋sin γ)．而H 1、H 2、H 3、H 4点与点O 1(cos α＋cos β＋cos γ＋cos δ，sin α＋sin β＋sin γ＋sin δ)的距离都等于1，即H 1、H 2、H 3、H 4四点在以O 1为圆心，1为半径的圆上．证毕．
7．以ΔABC 的外心O 为坐标原点，不妨设ΔABC 的外接圆半径为1，设A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，C (cos γ，sin γ)，则重心G 的坐标为G (cos α＋cos β＋cos γ3，sin α＋sin β＋sin γ
3)．设H '(cos α＋cos β＋cos γ，sin α＋sin β＋sin γ)．则k AH '＝sin β＋sin γcos β＋cos γ＝tan β－γ2，k BC ＝
sin β－sin γcos β－cos γ＝－cot β－γ
2．则可得k AH '·k BC ＝－1，则AH '⊥BC ．同理，BH '⊥CA ，CH '⊥AB ．因此，H '(cos α＋cos β＋cos γ，sin α＋sin β＋sin γ)为ΔABC 的垂心H ．观察O 、G 、H 的坐标可知，G 、O 、H 三点共线，且OG ：GH ＝1：2．
8．以R 为原点，MN 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐M
E'
E
B
D N
M
y
C A
标系．设圆心O的坐标为(0，a)，圆半径为r，则圆的方程为x2＋(y－a)2＝r2①，设AB、CD的方程分别为y＝k1x和y＝k2x．将它们合成为(y－k1x)(y－k2x)＝0 ②，于是过①与②的四个交点A、B、C、D的曲线系方程为(y－k1x)(y－k2x)＋λ[x2＋(y－a)2－r2]＝0 ③，令③中y＝0，得(λ＋k1k2)x2＋λ(a2－r2)＝0 ④．
④的两个根是二次曲线与MN交点P、Q的横坐标，因为x P＋x Q＝0，即R是PQ的中点．从而得证．
说明：本例实质上是平面几何中蝴蝶定理得推广．平面几何中许多命题都可以通过解析法获证．
27同余 1．设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模同余，记作，否则，就说a 与b 对模m 不同余，记作，显然，； 每一个整数a 恰与1，2，……，m ，这m 个数中的某一个同余； 2.同余的性质： 1).反身性：； 2).对称性：； 3).若，则; 4).若，，则 特别是； 5).若，，则； 特别是 ； 6).； 7).若 ； 8).若， ……………… ，且 例题讲解 1．证明：完全平方数模4同余于0或1； 2．证明对于任何整数,能被7整除； )(mod m b a ≡)(mod m b a ≡)(|)(,)(mod b a m Z k b km a m b a -?∈+=?≡)(mod m a a ≡)(mod )(mod m a b m b a ≡?≡)(mod m b a ≡)(mod m c b ≡)(mod m c a ≡)(m od 11m b a ≡)(m od 22m b a ≡)(m od 2121m b b a a ±≡±)(mod )(mod m k b k a m b a ±≡±?≡)(m od 11m b a ≡)(m od 22m b a ≡)(m od 2121m b b a a ≡)(m od ),(m od m bk ak Z k m b a ≡?∈≡则)(m od ),(m od m b a N n m b a n n ≡?∈≡则)(mod )(m ac ab c b a +≡+)(m od 1),(),(m od m b a m c m bc ac ≡=≡时，则当)(mod )(mod ).(mod ),(m b a mc bc ac d m b a d m c ≡?≡≡=特别地，时，当)(m od 1m b a ≡)(m od 2m b a ≡)(mod 3m b a ≡)(mod n m b a ≡)(m od ],,[21M b a m m m M n ≡??=，则0≥k 153261616+++++k k k
1 第三章 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x 1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义7 函数的性质。 （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1)
高中数学竞赛讲义（十六） ──平面几何 一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成） 梅涅劳斯定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三点共线，则 梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若 则三点共线。 塞瓦定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三线平行或共点， 则 塞瓦定理的逆定理设分别是ΔABC的三边 BC，CA，AB或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理分别是ΔABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则平行或共点 的充要条件是 广义托勒密定理设ABCD为任意凸四边形，则AB?CD+BC?AD≥AC?BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。
斯特瓦特定理设P为ΔABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有 AP2=AB2?+AC2?-BP?PC. 西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。 蒙日定理三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且 二、方法与例题 1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC中，∠ABC=700，∠ACB=300，P，Q为ΔABC内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求证：A，P，Q三点共线。 [证明] 设直线CP交AQ于P1，直线BP交AQ于P2，因为∠ACP= ∠PCQ=100，所以，①在ΔABP，ΔBPQ，ΔABC中由正弦定理有
§23抽屉原理 在数学问题中有一类与“存在性”有关的问题，例如：“13个人中至少有两个人出生在相同月份”；“某校400名学生中，一定存在两名学生，他们在同一天过生日”；“2003个人任意分成200个小组，一定存在一组，其成员数不少于11”；“把[0，1]内的全部有理数放到100个集合中，一定存在一个集合，它里面有无限多个有理数”。这类存在性问题中，“存在”的含义是“至少有一个”。在解决这类问题时，只要求指明存在，一般并不需要指出哪一个，也不需要确定通过什么方式把这个存在的东西找出来。这类问题相对来说涉及到的运算较少，依据的理论也不复杂，我们把这些理论称之为“抽屉原理”。 “抽屉原理”最先是由19世纪的德国数学家迪里赫莱（Dirichlet）运用于解决数学问题的，所以又称“迪里赫莱原理”，也有称“鸽巢原理”的。这个原理可以简单地叙述为“把10个苹果，任意分放在9个抽屉里，则至少有一个抽屉里含有两个或两个以上的苹果”。这个道理是非常明显的，但应用它却可以解决许多有趣的问题，并且常常得到一些令人惊异的结果。抽屉原理是国际国内各级各类数学竞赛中的重要内容，本讲就来学习它的有关知识及其应用。 （一）抽屉原理的基本形式 定理1、如果把n+1个元素分成n个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。 证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个集合至多1个元素，从而n 个集合至多有n个元素，此与共有n+1个元素矛盾，故命题成立。 在定理1的叙述中，可以把“元素”改为“物件”，把“集合”改成“抽屉”，抽屉原理正是由此得名。 同样，可以把“元素”改成“鸽子”，把“分成n个集合”改成“飞进n个鸽笼中”。“鸽笼原理”由此得名。 例题讲解 1．已知在边长为1的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图1）。证明：至少有两个点之间的距离不大于 2．从1-100的自然数中，任意取出51个数，证明其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的整数倍。
三角函数 一、基础知识 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=r L ,其中r 是圆的半径。 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正 弦函数s in α= r y ,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=x r ,余割函数c s c α=.y r 定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=α sec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =；乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α；平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α. 定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α; （Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α; （Ⅳ）s in ??? ??-απ2=co s α, co s ??? ??-απ2=s in α, tan ?? ? ??-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。 定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y =s inx （x ∈R ）的性质如下。单调区间：在区间 ?? ????+-22,22ππππk k 上为增函数，在区间??????++ππππ232,22k k 上为减函数，最小正周期为2π. 奇偶数. 有界性：当且仅当x =2kx +2π时，y 取最大值1，当且仅当x =3k π-2 π时, y 取最小值-1。对称性：直线x =k π+2 π均为其对称轴，点（k π, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y =co s x (x ∈R )的性质。单调区间：在区间[2k π, 2k π+π]上单调递减，在区间[2k π-π, 2k π]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x =k π均为其对称轴，点?? ? ?? +0,2ππk 均为其对称中心。有界性：当且仅当x =2k π时，y 取最大值1；当且仅当x =2k π-π时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k ∈Z . 定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y =tanx (x ≠k π+ 2π)在开区间(k π-2π, k π+2π)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（k π+2π ，0）均为其对称中心。 定理6 两角和与差的基本关系式：co s(α±β)=co s αco s β s in αs in β,s in (α±β)=s in αco s β±co s αs in β; tan (α±β)= .) tan tan 1()tan (tan βαβα ±
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007 联赛二试 类似九点圆 如图，在锐角?ABC 中，AB 数学竞赛训练题 1、函数()x x x x x f 44cos cos sin sin ++=的最大值是_______。 2、已知S n 、T n 分别是等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项的和，且2412-+=n n T S n n ，则=+++15 61118310b b a b b a _______。 3、若函数()?? ? ?? +=x a x x f a 4log 在区间上为增函数，则a 的取值范围是为_______。 4、在四面体ABCD 中，已知DA ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，则当二面角A-BD-C 的正切值为2时，四面体ABCD 的体积为_______。 5、已知定义在R 上的函数()x f 满足： （1）()11=f ； （2）当10< 数列 一、基础知识 定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，n ，…. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{a n }的一般形式通常记作a 1, a 2, a 3,…，a n 或a 1, a 2, a 3,…，a n …。其中a 1叫做数列的首项，a n 是关于n 的具体表达式，称为数列的通项。 定理1 若S n 表示{a n }的前n 项和，则S 1=a 1, 当n >1时，a n =S n -S n -1. 定义2 等差数列，如果对任意的正整数n ，都有a n +1-a n =d （常数），则{a n }称为等差数列，d 叫做公差。若三个数a , b , c 成等差数列，即2b =a +c ，则称b 为a 和c 的等差中项，若公差为d, 则a =b -d, c =b +d. 定理2 等差数列的性质：1）通项公式a n =a 1+(n -1)d ；2）前n 项和公式： S n =d n n na a a n n 2 )1(2)(11-+=+；3）a n -a m =(n -m)d ，其中n , m 为正整数；4）若n +m=p +q ，则a n +a m =a p +a q ；5）对任意正整数p , q ，恒有a p -a q =(p -q )(a 2-a 1)；6）若A ，B 至少有一个不为零，则{a n }是等差数列的充要条件是S n =An 2+Bn . 定义3 等比数列，若对任意的正整数n ，都有 q a a n n =+1，则{a n }称为等比数列，q 叫做公比。 定理3 等比数列的性质：1）a n =a 1q n -1 ；2）前n 项和S n ，当q ≠1时，S n =q q a n --1)1(1；当q =1时，S n =na 1；3）如果a , b , c 成等比数列，即b 2=ac (b ≠0)，则b 叫做a , c 的等比中项；4）若m+n =p +q ，则a m a n =a p a q 。 定义4 极限，给定数列{a n }和实数A ，若对任意的ε>0，存在M ，对任意的n >M(n ∈N ),都有|a n -A |<ε，则称A 为n →+∞时数列{a n }的极限，记作.lim A a n n =∞ → 定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{a n }的公比q 满足|q |<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n 项和S n 的极限（即其所有项的和）为q a -11（由极限的定义可得）。 定理3 第一数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )时n =k 成立时能推出p (n )对n =k +1成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 竞赛常用定理 定理4 第二数学归纳法：给定命题p (n )，若：（1）p (n 0)成立；（2）当p (n )对一切n ≤k 的自然数n 都成立时（k ≥n 0）可推出p (k +1)成立，则由（1），（2）可得命题p (n )对一切自然数n ≥n 0成立。 定理5 对于齐次二阶线性递归数列x n =ax n -1+bx n -2，设它的特征方程x 2=ax +b 的两个根为α,β:(1)若α≠β，则x n =c 1a n -1+c 2βn -1，其中c 1, c 2由初始条件x 1, x 2的值确定；(2)若α=β，则x n =(c 1n +c 2) αn -1，其中c 1, c 2的值由x 1, x 2的值确定。 二、方法与例题 1．不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。 例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，19，65，…；3）-1，0，3，8，15，…。 【解】1）a n =n 2-1；2）a n =3n -2n ；3）a n =n 2-2n . 例2 已知数列{a n }满足a 1= 21,a 1+a 2+…+a n =n 2a n , n ≥1，求通项a n . 【解】 因为a 1= 2 1,又a 1+a 2=22·a 2, 高中数学竞赛标准讲义----排列组合与概率 一、基础知识 1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。 3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m n A =n(n-1)…(n-m+1)= )! (! m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n, 注：一般地0n A =1，0！=1，n n A =n!。 4．N 个不同元素的圆周排列数为n A n n =(n-1)!。 5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用m n C 表示： .)! (!! !)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--= 6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n n m n m n C C C ；（3）k n k n C C k n =--11；（4）n n k k n n n n n C C C C 20 10==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）k n m n m k k n C C C --=。 7．定理1：不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解的个数为11--n r C 。 [证明]将r 个相同的小球装入n 个不同的盒子的装法构成的集合为A ，不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的正整数解构成的集合为B ，A 的每个装法对应B 的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B 中每一个解(x 1,x 2,…,x n ),将x i 作为第i 个盒子中球的个数，i=1,2,…,n ，便得到A 的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r 个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n 份，共有11--n r C 种。故定理得证。 推论1 不定方程x 1+x 2+…+x n =r 的非负整数解的个数为.1r r n C -+ 高中数学竞赛标准教材 函数 一、基础知识 定义1 映射，对于任意两个集合A ，B ，依对应法则f ，若对A 中的任意一个元素x ，在B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f : A →B 为一个映射。 定义2 单射，若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。 定义3 满射，若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ，都有一个x ∈A 使得f (x )=y ，则称f : A →B 是A 到B 上的满射。 定义4 一一映射，若f : A →B 既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射，记作f -1: A →B 。 定义5 函数，映射f : A →B 中，若A ，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若x ∈A , y ∈B ，且f (x )=y （即x 对应B 中的y ），则y 叫做x 的象，x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}. 定义6 反函数，若函数f : A →B （通常记作y =f (x )）是一一映射，则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数，通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是：在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y )，然后将x , y 互换得y =f -1(x )，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y =x -11的反函数是y =1-x 1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义7 函数的性质。 （1）单调性：设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2，总有f (x 1) 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2 =-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ 表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形 式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 1 21z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）| || |||2121z z z z = ；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2 +|z 1-z 2|2 =2|z 1|2 +2|z 2|2 ；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1 212, 0r r z z z = ≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2) , .) (2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n π θπ θ+++= ， k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n π π2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1 1 21,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=， 高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。 4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。 4、函数 二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。 5、几何 三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。 6、逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法； 平面几何 一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成） 梅涅劳斯定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','C B A 三点共线，则 .1''''''=??B C AC A B CB C A BA 梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','C B A 三点共线。 塞瓦定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若',','CC BB AA 三线平行或共点，则.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 塞瓦定理的逆定理 设',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 或其延长线上的点，若.1''''''=??B C AC A B CB C A BA 则',','CC BB AA 三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理 ',','C B A 分别是ΔABC 的三边BC ，CA ，AB 所在直线上的点，则',','CC BB AA 平行或共点的充要条件是.1'sin 'sin 'sin 'sin 'sin 'sin =∠∠?∠∠?∠∠BA B CBB CB C ACC AC A BAA 广义托勒密定理 设ABC D 为任意凸四边形，则AB ?CD+BC ?AD ≥AC ?BD ，当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 设P 为ΔABC 的边BC 上任意一点，P 不同于B ，C ，则有 AP 2=AB 2?BC PC +AC 2?BC BP -BP ?PC. 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴） 欧拉定理 ΔABC 的外心O ，垂心H ，重心G 三点共线，且.2 1GH OG = 二、方法与例题 1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC 中，∠ABC=700，∠ACB=300，P ，Q 为ΔABC 内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠ PBQ=∠PCB=200，求证：A ，P ，Q 三点共线。 [证明] 设直线CP 交AQ 于P 1，直线BP 交AQ 于P 2，因为∠ACP=∠PCQ=100，所以 CQ AC QP AP =1 ，①在ΔABP ，ΔBPQ ，ΔABC 中由正弦定理有 高中数学竞赛试题 一选择题(每题5分,满分60分) 1. 如果a,b,c 都是实数，那么P ∶ac<0,是q ∶关于x 的方程ax 2 +bx+c=0有一个正根和一个 负根的（ ） （A ）必要而不充分条件 （B ）充要条件 （C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 2. 某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）。 （A ） 100 5 .03?克 （B ）(1－0.5%)3克 （C ）0.925克 （D ）100125.0克 3. 由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出，其中t >0，[t ]表示 大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ ）。 （A ）5.83元 （B ）5.25元 （C ）5.56元 （D ）5.04元 4. 已知函数 >0， 则 的值 A 、一定大于零 B 、一定小于零 C 、等于零 D 、正负都有可能 5. 已知数列3，7，11，15，…则113是它的（ ） （A ）第23项 （B ）第24项 （C ）第19项 （D ）第25项 6. 已知等差数列}{n a 的公差不为零，}{n a 中的部分项 ,,,,,321n k k k k a a a a 构成等比数 列，其中,17,5,1321===k k k 则n k k k k ++++ 321等于（ ） (A) 13--n n (B) 13-+n n (C) 13+-n n (D)都不对 7. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4 π = x 处取得最小 值，则函数)4 3( x f y -=π 是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 8. 如果 A A tan 1tan 1+-= 4+5，那么cot （A +4 π ）的值等于 ( ) A -4-5 B 4+5 C - 5 41+ D 5 41+ 9. 已知︱︱=1，︱︱=3,?=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设 =m +n (m 、n ∈R )，则 n m 等于 高中数学竞赛讲义（十五） ──复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z). r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用e iθ表示cosθ+isin θ，则z=re iθ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）； （3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8） |z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)， 则z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θθ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2e i(θ1+θ1- 2), 5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=r n(cosnθ+isinnθ). 6.开方：若r(cosθ+isinθ)，则 ，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Z nq+r=Z r；（2）对任意整数m，当n≥2时，有=特别1+Z1+Z2+…+Z n-1=0；（3）x n-1+x n-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Z n-1)=(x-Z1)(x-)…(x-).高中数学竞赛训练题(0530)
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