实系数一元二次方程实根的分布情况
引言：一元二次方程的实根分布与方程系数有密切关系，现将常见问题结论归纳如下： ）之外呢？
、两根在（）之间呢？
、两根在（）之间呢？
在（、两根中有且只有一根呢？
，一根小于、一根大于呢？
、若两根都大于的范围是，则实数两根都小于的方程引例：若关于对应的二次函数为设一元二次方程,216,215,21422322______.
20)3()0()()0(0222a a x a x x a c bx ax x f a c bx ax =+-+>++=>=++?????><-
>?-∞=0
)(20),(0)(1k f k a
b k x f 要条件是：内有两个不等实根的充在区间：方程结论 条件。
有两个不同负根的充要时为特别地，要条件：内有两个不等实根的充在区间：方程结论0)(00
)(20),(0)(2==?????>>->?+∞=x f k k f k a b k x f 结论3：方程f(x)=0有一根大于k ，另一根小于k 的充要条件是f(k)<0
0)()(),(0)(42121
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????<-<>>>?=21212120)(0)(0:),(0)(5k a b k k f k f k k x f 要条件是内有两个不等实根的充在区间：方程结论
???<<=0
)(0)(),(0)(62121k f k f k k x f 要条件是：外有两个不等实根的充在区间：方程结论 方法总结：数形结合
考虑方面：判别式、对称轴、特殊的函数值、根与系数的关系、开口方向等。
)
,22[222
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21332223222212
0)1(01)2;
30)1(11)111022+∞∈≥∴-≤??????≥-->-≥?-+∞∈≥∴=-<≤??????><-≤≥????????-<->-≥?->∴<----=++a a a f a a a a a a a a a a f a f a ax x 即时，两根都大于或等于：（从反面考虑）：当解即，则，另一个根为）当一个根等于时，当两根都小于，有时，，另一个实根大于于当原方程有一个实根小：（从正面考虑）解的取值范围。，求实数至少有一个实根小于例：方程.
1141323
10101)1(22，一根小于）一根大于；
）两根都大于）方程有一正一负根；
或）方程有一根；为何值时，
，求的方程例：关于-===-++-a a a a x a ax x 00)1(00)1(0)40
)1(1
2)1(2000)1(12)1(200)31001)
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a 或无解或解：
课题解实系数一元二次方程 教学目标: 1．掌握在复数集内解一元二次方程和解二项方程的方法；使学生掌握含有未知数 的解法． 2．教学过程中，渗透数学转化思想及方程的思想，提高学生灵活运用数学知识解题的能力；培养学生严谨的逻辑思维． 3．通过对实系数一元二次方程在实数范围内求解和在复数范围内求解的比较，认识到任何事物都是相对的，而不是绝对的这一辩证唯物主义的观点． 教学重点与难点: 个复数相等的充分必要条件的运用． 教学过程: 一、引入新课 问题一：方程x2+1=0在复数范围内有没有解，解集是什么？ 因为-1=i2，则原方程化为x2-i2=0，即（x+i）（x-i）=0．所以原方程解集为{i，-i}．问题二：方程ax2＋bx＋c=0（a，b，c是实数）在复数范围内解集是什么？ 当Δ=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，解集为 二、讲授新课 引导思考：方程x2＋1=0中，Δ=-4＜0，上述结论对吗？ 解为： 无意义．此时方程的解集为 1、实系数一元二次方程ax2＋bx＋c=0在复数范围内解的情况为： 当Δ≥0时有实根； 当Δ＜0时，有一对共轭的虚根． 例1 、在复数集上解方程x2-4x+5=0
i i x ac b ±=±=<-=-2244,0442所以 解： 例2 已知实系数一元二次方程2x 2＋ax ＋b=0的一个根为2i-3，求a ，b 的值． 解：2x 2＋ax ＋b=0一根为2i-3，另一根为-3-2i ．由韦达定理知： b=（2i-3）（-2i-3）=9＋16=25， a=2i-3+（-2i-3）=-6． 我们上面解决了实系数一元二次方程求解问题．对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程应该如何解？ 例3 求方程x 2-2ix-5=0的解． 解：将方程左端配方，得（x-i ）2-4=0，即（x-i ）2=4．解得x-i=±2，即x 1=2+i ，x 2=-2+i ． 练习P22 1、2、3 2、二项方程：形如),0,,,0(N n a C b a b ax n ∈≠∈=+的方程，任何一个二项方程都可以化为)(C c c x n ∈=的形式，都可以用复数的开方来求根. 例4、在复数集上解方程x 5=32. ??? ??+=+===+=+=54sin 54cos 2)5 2sin 52(cos 22 4,3,2,1,0),5 2sin 52(cos 2) 0sin 0(cos 323215ππππππi x i x x k k i k x i x 即：所以解：原方程就是 ??? ??+=+=58sin 58cos 2)56sin 56(cos 254ππππi x i x 这个方程的根的几何意义是复平面内的五个点，这些点均匀分布在以原点为圆心，以2为半径的圆上.
一元二次方程根的情况练习题（含答案） 一．选择题 1．一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 2．一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．两个相等的实数根D．两个不相等的实数根 3．一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 4．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．无实数根D．无法确定 5．a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．无实数根D．有一根为0 6．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 7．一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（）
C．只有一个实数根D．没有实数根 8．y=x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根 9．一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（） A．有一个实数根B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根D．没有实数根 10．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 11．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 12．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根 13．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 14．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）
一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 一元二次方程根的分布教学设计 大庆一中高中部孙庆夺 一、教学分析 （一）教学内容分析 本节课所讲的内容是高中数学必修一第三章第一节《函数与方程》之后的一个专题内容，是中学数学的重要内容之一。这段内容与一元二次不等式，二次函数等内容有着紧密的联系。它是在前面学习了函数与方程，二次方程，二次不等式基础上对函数与方程内容的深化和拓展，通过根的分布的不同情况，充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。从而提升学生对数学知识的应用能力。通过学习一元二次方程根的分布，有助于学生进一步理解二次方程，二次函数，加深函数与方程思想，数形结合思想在数学学习中的应用的认识，同时也为以后数学的学习打下扎实的基础。 （二）教学对象分析 高中一年级的学生已经有了一定的观察识图能力及分析判断能力，有利用已有知识解决新问题的愿望。学生学习了函数与方程，二次方程，二次函数的知识， 已经具有用数学知识解决实际问题的能力。学生抽象逻辑思维很大程度上还属于经验型，需要感性经验的直接支持。通过学习，抽象逻辑思维逐步成熟，能够用理论作为指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。 （三）教学环境分析 由于本节课涉及到根的分布情况较多，对老师的的作图提出了很高的要求。采用传统的板式教学，根本就无法向学生演示动态过程，很难满足学生的求知欲，达不到教学的最佳效果。多媒体网络教学，是现代高中数学教学全新的教育技术， 使传统的教学方式得到补充。在计算机的帮助下，利用制作好的几何画板课件，操作演示，感受根的分布的不同情况，加深学生的认识和理解，同时也符合学生认识事物从感性认识到理想认识的认知过程。 （四）教学手段 采用多媒体网络教学。《普通高中数学课程标准》指出：“现代信息技术的广泛应用真正对数学教学、数学学习方面产生深刻的影响，数学课程的设计应重视运用现代信息技术，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，提倡实现信息技术与课程内容的有机结合。”本节课涉及到的图象信息较多，利用多媒体网络教学可以实现最大容量地向学生提供图象信息，并让学生整理归纳信息，增强学生的动手能力、思考能力和自主学习能力，也能实现数学课堂中学生的高参与度，从而实现资源、时间、效率的最优化。 （五）教学方式 自主式探究，学案式导学。自主探究，学案导学的教学方式，能够激发学生的学习兴趣、突出学生的主题地位，培养学生的数学应用意识、合作精神，这与《新课标》的要求是吻合的。 二、教学目标 １.知识与能力 加深对一元二次方程，二次函数图象与性质的认识；会利用函数知识，方法重新审视一元二次方程． ２.过程与方法 体验“观察-猜想-验证”探究问题的方法，领会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，加深对函数与方程，数形结合思想的理解。 一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式 法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算， 复数范围内实系数一元二次方程（19题）（答案） 1 、若实系数一元二次方程的一个根是13+，则这个方程可以是 228039 x x -+= ． 2、复数集内分解221x x ++= 2(x x - 3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根，则下列等式成立的是（ C ） (A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ?=-≥ (C)1212,b c x x x x a a +=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假，并说明理由； (1)在复数范围内，方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ，且0)a ≠总 有两个根．（ √ ） ） (2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根，则这个方程的另 一个根是12i -．（ ? ） (3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根，则p 、q 均为实数．（ √） 5、已知复数z ，解方程3i 13i z z -?=+． 解：设i()z x y x y =+∈R ，，则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+． 由复数相等，有3133x y y x -=??-=?，，解得543.4 x y ?=-????=-??，． ∴53i 44z =--． 6、适合方程20z z i --=的复数z 12 i 7、适合方程2560z z -+=的复数z ； | 若z R ∈，则25602,32,3z z z z z z -+=?==?=±=± 若z 为虚数， 设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠ ，则2()60a bi +-= 222226026020a b a b abi ab ??--=-+-=??=?? 2222606056010a b b b b b a ??--=??--=?+-=?=±?=?? 所以，方程的解为2,2,3,3,,i i ---。 8、解方程210x ix i -+-= （1）x R ∈ （2）x C ∈ 解：（1）1x = （2）11x orx i ==- 一元二次方程及根的定 义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及 的值. 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可. 解：将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口. 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式 的值. 思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题. 解：因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以. . 总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解：(1)由， 得， ， ， 所以， 故. (2)由， 得， ， ， 所以 故 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)这里 并且 所以， 所以，. (2)将原方程变形为， 则 ， 所以， 所以. (3)将原方程展开并整理得， 这里， 并且， 所以. 所以. 总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)； (3). 解：(1)将原方程变形为， 提取公因式，得， 因为，所以 所以或， 故 (2)直接提取公因式，得 所以或，(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得 12.4一元二次方程的根与系数的关系 中考考点 1．理解一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）。 2．会运用根与系数的关系，由已知的一元二次方程的一个根求出另一个根与未知系数。 3．会求一元二次方程两个根的倒数和与平方和。 考点讲解 1．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2，则 x1+x2=-， x1·x2=。 2．以x1,x2为根的一元二次方程是(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程ax2+bx+c=0 (a≠0)。 3．对二次项系数为1的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2时，那么x1+x2=-p，x1·x2=q。反之，以x1,x2为根的一元二次方程是：(x-x1)(x-x2)=0，展开代入两根和与两根积，仍得到方程： x2+px+q=0。 4．一元二次方程的根与系数关系的应用主要有以下几方面： （1）已知一元二次方程的一个根，求另一个根，可用两根和或两根积的关系求另一个根。 （2）已知含有字母系数的一元二次方程的一个根，求另一个根及字母系数的值。可用根与系数关系式，一个关系式求得另一个根，再用另一个关系式求得字母系数的值。 （3）已知一元二次方程，不解方程，可求与所给方程两根和、两根积的某些代数式的值。如，方程2x2-3x+1=0的两根为x1,x2，不解方程，求x12+x22的值。 [∵x1+x2=， x1·x2=，∴ x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=()2-2× = ] （4）验根、求根、确定根的符号。 （5）已知两根，求作一元二次方程（注意最后结果要化为整系数方程）。 一元二次方程的根的判别式 1、方程2x 2+3x －k=0根的判别式是 ；当k 时，方程有实根。 2、关于x 的方程kx 2+(2k+1)x －k+1=0的实根的情况是 。 3、方程x 2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。 4、关于x 的方程(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0的根的情况是 。 5、当m 时，关于x 的方程3x 2－2(3m+1)x+3m 2－1=0有两个不相等的实数根。 6、如果关于x 的一元二次方程2x(ax －4)－x 2+6=0没有实数根，那么a 的最小整数值是 。 7、关于x 的一元二次方程mx 2+(2m －1)x －2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。 8、设方程(x －a)(x －b)－cx=0的两根是α、β，试求方程(x －α)(x －β)+cx=0的根。 9、不解方程，判断下列关于x 的方程根的情况： (1)(a+1)x 2－2a 2x+a 3=0(a>0) (2)(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0 10、m 、n 为何值时，方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2+2=0有实根? 11、求证：关于x 的方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。 12、已知关于x 的方程(m 2－1)x 2+2(m+1)x+1=0，试问：m 为何实数值时，方程有实数根? 13、 已知关于x 的方程x 2－2x －m=0无实根(m 为实数)，证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2－1)(x 2+1)=0 也无实根。 14、已知：a>0,b>a+c,判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0根的情况。 15、m 为何值时，方程2(m+1)x 2+4mx+2m －1=0。 (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个实数根； (3)有两个相等的实数根； (4)无实数根。 16、当一元二次方程(2k －1)x 2－4x －6=0无实根时，k 应取何值? 17、已知：关于x 的方程x 2+bx+4b=0有两个相等实根，y 1、y 2是关于y 的方程y 2+(2－b)y+4=0的两实根，求以1y 、2y 为根的一元二次方程。 18、若x 1、x 2是方程x 2+ p x+q=0的两个实根，且23x x x x 222121=++，25x 1x 12221=+求p 和q 的值。 19、设x 1、x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0(q ≠0)的两个根，且x 2 1+3x 1x 2+x 2 2=1， 0)x 1(x )x 1(x 2211=+++，求p 和q 的值。 20、已知x 1、x 2是关于x 的方程4x 2－(3m －5)x －6m 2=0的两个实数根，且23x x 21=，求常数m 的值。 21、已知α、β是关于x 的方程x 2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α3－α2β－αβ2+ β3=0，求证：p=0,q<0 22、已知方程(x －1)(x －2)=m 2(m 为已知实数，且m ≠0)，不解方程证明： (1)这个方程有两个不相等的实数根； 一元二次方程的根与系数的关系 一、目标认知 学习目标 1．掌握一元二次方程的根与系数的关系； 2．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求简单的关于根的对称式的值； 3．能够利用一元二次方程的根与系数的关系判断两个数是否是方程的根； 4．能够利用一元二次方程的根与系数的关系求出以两个已知数为根的一元二次方程． 重点 对一元二次方程的根与系数的关系的掌握，以及在各类问题中的运用． 难点 一元二次方程的根与系数的关系的运用． 二、知识要点梳理 一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实根是x1，x2，那么. 注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0. 三、规律方法指导 一元二次方程根与系数的关系的用法： ①不解方程，检验两个数是否为一元二次方程的根； ②已知方程的一个根，求另一个根及未知系数； ③不解方程，求已知一元二次方程的根的对称式的值； ④已知方程的两根，求这个一元二次方程； ⑤已知两个数的和与积，求这两数； ⑥已知方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值； ⑦讨论方程根的性质。 四、经典例题透析 1.已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值. 1.已知方程x2-6x+m2-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m的值. 思路点拨：本题通常有两种做法，一是根据方程根的定义，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通过解方程求另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及m的值. 解：法一：把x=2代入原方程，得 22-6×2+m2-2m+5=0 即m2-2m-3=0 解得m1=3，m2=-1 当m1=3，m2=-1时，原方程都化为 x2-6x+8=0 一元二次方程根与系数的关系（附答案） 评卷人得分 一．选择题（共6小题） 1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说确的是（） A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1 3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6 5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D． 6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（） A．﹣1 B．0 C．1 D．3 评卷人得分 二．填空题（共1小题） 7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为． 评卷人得分 三．解答题（共8小题） 8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值围； （2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长． 9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）若该方程的一个根为1，求a的值； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程一个根为3，求m的值． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程； （2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值围； （3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值． 12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根． 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） a 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧 12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n 13.6（1）实系数一元二次方程 上海市新中高级中学 陶志诚 一、教学内容分析 本节内容是在前面学习了复数的运算后，对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善. 为了实际应用和数学自身发展的需要，数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数，解决了负数开平方的问题。那么实系数一元二次方程20a x b x c ++=，当240b ac ?=-<时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此，本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题. 二、教学目标设计 理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况；会在复数集中解实系数一元二次方程；会在复数范围内对二次三项式进行因式分解；理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系，并会进行简单应用. 三、教学重点及难点 在复数集中解实系数一元二次方程；在复数范围内对二次三项式进行因式分解. 四、教学用具准备 电脑、实物投影仪 五、教学流程设计 六、教学过程设计 （一）复习引入 1.初中学习了一元二次方程20ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠的求根公式，我 们回顾一下： 当240b ac ?=-≥ 时，方程有两个实数根：2b x a =-± 2.上一节课学习了“复数的平方根与立方根”，大家知道-1的平方根是:i ±. 设问①：一元二次方程210x +=在复数范围内有没有解？ 设问②：在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=？ [说明] 设问①学生可以根据“复数的平方根”知，x 即为-1的平方根：i ±；设问②是为了引出本节课的课题：实系数一元二次方程. （二）讲授新课 1、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况： 设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且. 因为0a ≠，所以原方程可变形为2b c x x a a +=-， 配方得 一元二次方程的实根分布问题 问题1. 试讨论方程02 =++c bx x 的根的情况。 （1） 根的个数：b 、c 满足什么条件时，方程有两个不等的实根？相等实根？无实根？ （2） 根的大小：b 、c 满足什么条件时，方程有两个正根？两个负根？一正根、一负根？ 一根为0？ （3） 根的范围：b 、c 满足什么条件时，方程两根都大于1？都小于1？一根小于1，一根 大于1？ 说明 对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的研究，主要分为四个方面（A ）有没有实数根；（B ）有实数根时，两根相等还是不等；（C ）根的正负；（D ）根的分布范围。 利用根的判别式，可以解决（A ），（B ），结合运用韦达定理，可以解决（C ）。而要解决（D ），需综合运用判别式、韦达定理及不等式的知识。 思路1 （方程思想）设c bx x x f ++=2)( （1） 方程0)(=x f 有两个大于1的实根的充要条件是： ?? ???->+-<≥-??????>-->+≥?12040)1)(1(2 022121c b b c b x x x x （2） 方程0)(=x f 有两个小于1的实根的充要条件是： ?? ???->+->≥-??????>--<+≥?12040)1)(1(2 022121c b b c b x x x x （3） 方程0)(=x f 有一根大于1，一根小于1的充要条件是.1,0)(-<+ 填空 11.已知一元二次方程有一个根是2，?那么这个方程可以是_______（填上你认为正确的一个方程即可）． 12.方程（x-2）（x-3）=6的解为______． 13.（2006年成都市）已知某工厂计划经过两年的时间，?把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分数约是________．按此年平均增长率，预计第4年该工厂的年产量应为_____万台． 14.若一个等腰三角形三边长均满足方程x 2-6x+8=0，则此三角形的周长为_____． 15、用______法解方程(x-2)2=4比较简便。 16、关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0有实数解的条件是__________。 17、已知α，β是方程0522 =-+x x 的两个实数根，则α2+β2+2α+2β的值为_________。 18、若a-b+c=0,a ≠0, 则方程ax 2+bx+c=0必有一个根是_______。 19、已知关于x 的方程x 2－（a ＋2）x ＋a －2b ＝0的判别式等于0，且x ＝ 12是方程的根，则a ＋b 的值为 ______________。 20、如果关于x 的一元二次方程2x(kx-4)-x 2+6=0没有实数根,那么k 的最小整数值是__________。 1、方程3x 2－5x=0的二次项系数是 2、5x 2+5=26 x 化成一元二次方程的一般形式为 3、一元二次方程ax 2+bx+c=0，若有一个根为﹣1，则a －b+c= ，如果a +b+c=0，则有一根为 4、一元二次方程ax 2+bx+c=0，若有一个根为0，则c= 5、关于x 的方程2x m2-1－3=0是一元二次方程，则m= 6、方程x 2－3x+4=0 和x 2+3x －4=0的公共根是 7、若x 2－3x+1=0，则x+x 1= 8、y= 时， y 2+5y 与6互为相反数。 9、若xy ≠0，且x 2－2x y －8y 2=0,则 y x = 一元二次方程的根的判别式（一） 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．重点：会用判别式判定根的情况． 2．难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．” 3．疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根． 三、教学步骤 （二）整体感知：在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用． （三）重点、难点的学习及目标完成过程 1．复习提问（1）平方根的性质是什么？（2）解下列方程： ①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0． 问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用． 2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将 （1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根． （3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根． 教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？答：b2-4ac． 3．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示． ②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． 当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根； 当△＜0时，没有实数根． 注意以下几个问题： （1）∵ a≠0，∴ 4a2＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应渗透转化和分类的思想方法．（2）当b2-4ac＜0，说“方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根”的意思．4．例1 不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；（3）5（x2＋1）-7x＝0． 解：（1）∵△＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）原方程可变形为16y2-24y＋9＝0．∵△＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，∴原方程有两个相等的实数根． （3）原方程可变形为5x2-7x+5=0．∵△＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0， ∴原方程没有实数根． 1 一元二次方程ax 2 ? bx ? c 二0 根的分布情况 2 2 设方程ax ? bx ? c = 0 a = 0的不等两根为X |,x 2且为：：：x 2，相应的二次函数为 f x 二ax bx 0， 方程的根 即为二次函数图象与 x 轴的交点的横坐标（也即是函数的零点），它们的分布情况见下面各表 表一：两根与0的大小比较即根的正负情况（a>0） 表二：（两根与k 的大小比较）（a>0） 表三：（根在区间上的分布）（a>0） 两根有且仅有一根在 m, n 内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在 m,n 内，另一根在 p,q 内，m ：： n ：： p ：： q . "■： 0 f m .0 f n 广0 b m … n 2a 大 致 图 象 分 布情 况 两个负根即两根都小于 0 X :: 0, x 2 :: 0 两个正根即两根都大于 0 x 1 0, x 2 0 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0 % ：：： 0 ：：： 大 致图 象 f 0 ::: 0 分 布情 况 两根都小于k 即 x 1 :: k, x 2 :: k 两根都大于k 即 x 1 k, x 2 k 一个根小于k ，一个大于k 即 捲：：k . x 2 大 致 图 象 f k ：： 0 分 布 情况 两根都在m, n 内 f m f n ：： 0 f n ：：:0 0 . "■： 0 f k .0 函数与方程思想： (1)方程f(x°)=O有根二y=f(x)与x轴有交点x°=函数y=f(x)有零点X。 (2)若y=f(x)与y = g( x)有交点(x o , y°)= f(x)=g(x)有解x。 根的分布练习题 例1、已知二次方程2m 1 x2-2mxrm-1 = 0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。 2 例2、已知二次函数y = m ? 2 x 7：2m - 4 x：「］3m - 3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1,求实数m的取值范围。 2 例3.已知关于x的二次方程x +2m)+2n+仁0. (1) 若方程有两根，其中一根在区间(一1, 0)内，另一根在区间(1 , 2)内，求m的范围. (2) 若方程两根均在区间(0 , 1)内，求m的范围 练习： 1.关于x的一元二次方程x2 -2ax ? a ? 2 = 0，当a为何实数时： (1)有一个根大于2，另一个根小于2 (2 )在1,3内有且只有一解 初三数学 一元二次方程根与系数的关系精讲精练 【典型例题】 例1. 已知方程的一个根是，求它的另一个根及b的值。 分析：含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。 解：（方法一）设方程的另一根为，则由方程的根与系数关系得： 解得： （方法二）由题意： 解得： 根据韦达定理设另一根为x，则 点拨：解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。 例2. 已知方程的两根为，求下列代数式的值： （1）；（2）；（3） 分析：若方程两根，则不解方程，可求出关于的对称式的值，只须将其配成含有、的形式。 解：由已知，根据韦达定理 （1） （2） （3） 点拨：体会配方思想，将代数式配成含有的形式，再代系数即可。 例3. 已知：是两个不相等的实数，且满足， 那么求的值。 分析：由两个条件可得出为方程的两不等实根，再对所求代数式配方变形。 解：由题意，为的两个不等实根 因而有 又 点拨：善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。 例4. 已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值。 解：（解法一）设方程两根α、β，方程的两根，则有： 由 当时，代入 当时，由 代入 则 代入 把代入<2>中， 或 （解法二）将与相减得： 此时方程根为0或，即题中两方程相同根为0或 （1）若是0则； （2）若是，则； 或 点拨：两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了“若方程与有公共根，则公共根必满足方程”的结论。 例5. 已知方程 （1）若方程两根之差为5，求k。 （2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。 分析：对含字母系数的一元二次方程，可根据题设中方程根与系数关系，确定方程系数字母的值。 解：（1）设方程两根与，由韦达定理知： 又 （2）设方程两根，由根系关系知： 点拨：已知两根的关系，应用韦达定理解决系数求值问题。 例6. 已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a、b的值。 分析：必用判别式，又韦达定理知，，显然可求a、b。 解：设已知方程的两根为m，3m 由韦达定理知： 即 把代入 得： 点拨：把判别式、韦达定理综合出题，更易贯通新旧知识。 例7. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根。 （1）用含m的代数式表示； （2）当时，求m的值。 分析：应注意，即可用根系关系。 第六讲 一元二次方程的实根分布 22.注意：（1）利用相应二次函数图象与x 轴交点位置写出相应的等价条件，一般考虑一下三个方面：①判别式Δ＝b 2－4ac 的符号；②对称轴x ＝－ b 2a 的位置分布；③二次函数在实根分布界点处函数值的符号.（2）对于一元二次方程根和解是有区别的. 一、一点同侧两根 【例1】若关于x的方程x2－（k＋2）x＋4＝0有两个不等的负根，求实数k的取值范围. 【练】若关于x的方程x2＋（m＋2）x＋m＋5＝0有两个正数根，求实数m的取值范围.【例2】若关于x的方程kx2－2kx＋（k－1）＝0有两个正实数根，求实数k的取值范围.【练】若关于x的方程2(k＋1)x2＋4kx＋3k－2＝0有两个负实根，求实数k的取值范围.【例3】若关于x的方程x2－mx＋（3＋m）＝0有两个大于1的根，求实数m的取值范围. 【练】若关于x的方程mx2＋（2m－1）x－m＋2＝0有两个小于1的根，求实数m的取值范围. 二、一点异侧两根 【例4】若关于x的方程4x2＋（m－2）x＋m－5＝0的一正根和一负根，求实数m的取值范围. 【练】若关于x的方程（2m＋1）x2－2mx＋m－1＝0有一正根和一个负根，求实数m的取值范围. 【例5】若关于x的方程mx2＋（m＋2）x＋9m＝0有两个实数根x1和x2，且x1＜1＜x2，求m的取值范围. 【练】若关于x的二次方程2mx2－2x－3m－2＝0的一个根大于1，另一个根小于1，求实数m的取值范围. 三、一点一侧有根 【例6】若关于x的方程x2－ax＋4＝0有正实根，则实数a的取值范围是 【练】若方程x2＋x＋a＝0至少有一根为非负实数，求实数a的取值范围. 【例7】若关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根，求实数a的取值范围. 【练】若关于x的一元二次方程mx2＋（m－3）x＋1＝0至少有一个正根，求m的取值范围. 四、两点中间两根 【例8】若关于x的方程x2－ax＋2＝0在区间（0，3）内有两个根，求实数a的取值范围. 【练】若关于x的方程x2－2ax＋a2－1＝0的两个不等根在区间（－2，4）上，求实数a 的取值范围.一元二次方程根的分布教学设计
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