第1章误差分析与数值计算 (3)
§1.1 引言 (3)
§1.2 绝对误差与相对误差、有效数字 (9)
§1.3 近似数的简单算术运算 (12)
§1.4数值计算中误差分析的一些原则 .. 14 第2章非线性方程（组）的近似解法 (16)
§2.1 引言 (16)
§2.2 根的隔离 (17)
§2.3 对分法 (18)
§2.4 迭代法 (20)
§2.6 弦截法 (23)
§2.6 弦截法 (24)
§1.7 用牛顿法解方程组 (25)
本章小结 (27)
第3章线性方程组的解法 (28)
§3.1 引言 (28)
§3.2 高斯消去法 (30)
§3.3 矩阵的LU分解 (34)
§3.4 对称矩阵的LDL T分解 (35)
§3.5 线性方程组解的可靠性 (36)
§3.6 简单迭代法 (39)
本章小结.................................................. 45 第4章矩阵特征值与特征向量的计算 (46)
§4.1 引言 (46)
§4.2幂法和反幂法 (47)
§4.3 雅可比方法 (48)
§4.4 QR方法* (50)
本章小结 (51)
第5章插值与拟合 (52)
§5.1 引言 (52)
§5.2 插值多项式的存在和唯一性 (53)
§5.3 拉格朗日插值多项式 (54)
§5.4 均差插值公式 (56)
§5.5 差分等距结点插值公式 (58)
§5.6 爱尔米特插值公式 (60)
§5.7 分段低次插值 (61)
§5.8 三次样条函数 (62)
§5.9 曲线拟合的最小二乘法 (66)
本章小结 (69)
第6章数值积分和数值微分 (70)
§6.1 引言 (70)
§6.2 牛顿一科特斯型积分公式 (71)
§6.3 复合求积公式 (73)
§6.4 龙贝格求积公式 (77)
§6.5 高斯求积公式 (78)
§6.6 二重积分的数值积分法 (82)
§6.7 数值微分 (83)
本章小结 (85)
第7章常微分方程的数值解法 (86)
§7.1 引言 (86)
§7.2 欧拉法和改进的欧拉法 ................. 87 §7.3 龙格-库塔方法 .. (88)
§7.4 线性多步法 (93)
§7.5 算法的稳定性与收敛性 (95)
§7.6 微分方程组和高阶微分方程解法.. 96 本章小结 (98)
第1章误差分析与数值计算
§1.1 引言
1、课程任务和目的：
在第七届国际软件工程学术会议上，“计算方法”被列入应用方法学的研究领域，强调了计算方法的研究应用与软件方法学的研究密切结合。这就说明了计算方法与软件之间的联系以及在应用软件研制中的地位与作用，计算方法是研究各种数学问题求解的数值计算方法。在计算机成为数值计算的主要工具的今天，则要求研究适合于计算机使用的数值计算方法。计算方法就是研究用计算机解决数学问题的数值方法及其理论，它的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程值解、线性方程组数值解、常微和偏微数值解等，即都是以数学问题为研究对象的。因此，计算方法是数学的一个分支，只是它不象纯数学那样只研究数学本身的理论，是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论，计算方法是计算机应用和软件研制开发的重要组成部分，通过本课程的学习和上机实习，使学生掌握利用计算机进行科学计算的基本理论和基本方法，并且学会将基本理论和基本方法应用于软件开发以及软件研制。
（1）掌握方法的基本原理和思想。
（2）掌握方法处理的技巧及与计算机的结合。
（3）掌握误差分析，收敛性及稳定性的基本理论。
（4）学会进行可靠的理论分析，对近似计算要确保精度要求，要进行误差分析。
（5）通过例子，学习使用各种计算方法解决实际计算问题。
（6）通过上机实践，能编写算法和实现算法。
（7）掌握数值计算中一些最基本、最常用的计算方法和算法。
3、本课程与各课程的关系：
由于本课内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法，学生必须掌握这几门课的基本内容才能学好这一课程，同时，学习此课程还必须具备计算机系统的初步知识，掌握一门常用的高级语言，如：BASIC、PASCAL、C语言等，并须具备一定的编程能力。
（1）面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法。即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的。
（2）有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析，而且都是建立在相应数学理论基础上的。
（3）有好的计算复杂性。时间复杂性好是指节省时间；空间复杂性好是指节省存储量。这也是建立算法时要研究的问题，因为它关系到算法能否在计算机上完成。
（4）要有数值实验。即任何一种算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。
计算方法最基本的立足点是容许误差，在误差容许的范围内对某一数学问题进行近似计算，得到能满足要求的近似结果。
现实世界中误差是普遍存在的，由于世界上没有绝对精确的量具（绝对精确的量具是没有刻度的），因此人类通过量具采集的数据都是近似值，另一方面，我们的生产、实验工具都不是绝对精确的，这就使得人类在生产和科学实验中必需容许误差。
计算机的应用可以分为二个方面，即数值计算和非数值计算。利用计算机进行数值计算的过程如下图所示：
在上图中，计算方法的任务是：由建立的数学模型给出可编程并由计算机能完成的计算方法，然后编程和上机求解。
由于计算方法是编程后可由计算机求解的近似计算方法，如何确保近似解的精度显得尤为重要，必须深入讨论有关误差的基本概念和基本理论，为近似计算的精度分析打下基础。
1、误差的来源（种类）
误差的来源主要有以下四种
（1）模型误差：建立数学模型时的误差。
例如：在求重量的数学模型G=m*g 中，重量G不是仅与质量和重力加速度有关，它还与温度、测量地点的海拔、地层结构等众多因素有关，为了使模型较为简单和实用，采用抓住主要矛盾的方法，去掉了大量对重量影响不大的次要因素，建立了上述重量的近似模型，由此产生了模型误差。
（2）观测误差：采集数据时的误差。
采集数据时，通常是依靠仪器和量具，由于没有绝对精确的仪器和量具，因此采集的数据有误差，此误差称为观测误差。
（3）舍入误差：由于计算机字长有限而产生的误差。
硬件再发展，计算机的字长总是有限的，在计算过程中，当数据的长度超过了计算机的字长时，计算机就会进行四舍五入，由此产生的误差称为舍入误差。
（4）截断误差：无限形式的有限化而产生的误差。
在计算中有时会运用无限形式的计算公式，例如台劳公式：
+-++-+=n 00)n (00)1(0)x x (!
n )
x (f )x x (!1)x (f )x (f )x (f
显然此公式无法进行计算，因此必需根据实际需要，从某一项起将后面的各项截断，即
n 00)n (00)1(0)x x (!
n )
x (f )x x (!1)x (f )x (f )x (f -++-+≈
由此产生的误差称为截断误差。
§1.2 绝对误差与相对误差、有效数字
为描述方便，首先约定x*是精确值x的近似值。引入误差的概念，其目的是为了衡量近似值x*的好坏。（1）绝对误差：x*-x
由于精确值x通常无法确定，因此绝对误差无法计算，由此引入绝对误差限的概念。
绝对误差限：绝对误差的一个上界。即：若| x*-x | ≤ e，则称e为x*的绝对误差限。
绝对误差限的性质是：A.不唯一这是因为| x*-x | 的上界是不唯一的。B.可确定只要我们对x*的实际背景有一定的了解，就不难确定| x*-x |的上界。例如，x*表示身高，则| x*-x |的上界可为3米。当x*是你求出的，那么为了说明你的工作认真，你一定会将| x*-x | 的上界估计得尽量小，因此在这种意义上绝对误差限可用来衡量x*的好坏。
由于绝对误差限没有考虑问题的规模，因此有时它也不能衡量x*的好坏。例如：x是地球与太阳的距离，y是分子中二个原子间的距离，若| x*-x | ≤ 1公里，| y*-y | ≤ 1厘米，则并不能说y*比x*精确。由此引入相对误差和相对误差限的概念。
（2）相对误差：(x*-x ) / x* 相对误差限：相对误差绝对值的一个上界。
3、有效数字
这里我们必须搞清楚什么是有效数字以及如何确定x*有几位有效数字。
（1）有效数字的定义
若|x*-x| 此定义实际上定义了什么叫精确到某一位和什么叫有效数字。例如：若x*精确到小数点后第3位，即指| x*-x | ≤ 0.5 ?10-3。 （2）有效数字的判定方法 方法一：四舍五入 此方法首先确定x*是由x的哪一位四舍五入产生的，然后从这一位的前一位开始一直到前面第一个不为零的数都是x*的有效数字。 例1 若x=0.872596, x*=0.87，求x*的有效位数。 解： x*是由x的小数点后第三位四舍五入产生的，所以x*有二位有效数字。 注意，方法一判定有效数字很简单，但有时会失效。例如，若x=0.272987 x*=0.273102，此时无法用方法一确定x*的有效位数，原因是x*不是由x四舍五入产生的，在这种情况下，必须用有效数字的定义来确 定x*的有效位数。即 方法二：用定义 此方法首先计算| x*-x |，再判断它小于等于x*的哪一位的半个单位，然后从近一位开始，一直到第一个不为零的数都是有效数字。 例2 若x=0.62073，x*=0.6207，确定x*的有效位数。 解：因为| x*-x | ≤ 0.0003 ≤ 0.5?10- 4，x*精确到小数点后第4位，所以x*有四位有效数字。 例3 若x=0.080199，x*=0.802，确定x*的有效位数。 解：因为| x*-x |=0.00001≤0.5?10- 5，所以≤0.5?10- 3，推出x*有三位有效数字。 例4 若x=6.28936，x*=7.3132，确定x*的有效位数。 解：| x*-x |=0.02357≤0.5?10- 1，所以x*有二位有效数字。 §1.3 近似数的简单算术运算 1.3.1近似数的加法 设有n 的近似数x k *>0 (k=1,2,…n),其准确值为x k >0,(k=1,2,…n) * * 1n k k x x ==∑的绝对误差限E(x*) * * ** 11 1 1 ** 1 ()()() ()() n n n n k k k k k k k k k n k k E x x x x x E x E x E x ======-=-=≤∑∑∑∑∑ (1)和的绝对误差等于各项绝对误差之和。 (2) 和的绝对误差限不超过各项绝对误差限之和。 类似的可以得到：和的相对误差限介于各项相对误差限的最小者与最大者之间。 1.3.2近似数的乘法 结论：乘积的相对误差限不超过各项相对误差限之和。 1.3.3近似数的除法 结论：商的相对误差限不超过被除数与除数相对误差限之和。 1.3.4近似数的幂和根（见教材p9） 1.3.5近似数的对数（见教材p9） 1.3.6近似数的减法 结论：差的绝对误差等于各项绝对误差之和。 注意两个几乎相等的近似数相减会使结果的有效数字损失，影响整个计算工作的准确性，应尽量避免。 21 12 2 1cos()2sin()ln()ln()ln() 2 x x x x x x =-=-= （当|x|很小时，x1与x2很接近时） §1.4数值计算中误差分析的一些原则 为保证计算结果的高精度，在进行数值计算时应遵循下述几个原则。 （1）在进行除法时，要避免除数的绝对值<<被除数的绝对值。 ①为什么要“避免”？ 若不“避免”，则除出的结果很大，由于计算机字长有限，它装不下，因此会进行四舍五入，一个很大的数进行四舍五入时舍去的部分也会很大，这会使舍入误差变大。 ②怎样“避免”？ 因为用户只关心最后的计算结果，当中间计算过程中出现了除数的绝对值<<被除数的绝对值时，就应该换一种计算方法，以避免这种情况的发生，以后我们将会针对具体的计算问题来讨论“避免”的方法。（2）在进行减法时，要避免二个相近的数相减。 ①为什么要“避免”？ 若不“避免”，就可能失去大量的有效数字， 例如：若a=30001和b=30000都有五位有效数字，因为a-b=1，所以结果至多有1位有效数字。 ②怎么“避免”？ “避免”的思路与第1个原则中“避免”的思路相同，须针对具体计算问题来讨论。 （3）要防止“大数吃小数” ①什么是“大数吃小数”？我们用一个例子为说明。 计算8756294874∑=+ n 1 i i a ，其中n=10 20 ，0< a i <10-6。 此题是一个很大的数与很多很小的数相加，若采用将大数依次与a 1,a 2,?,a n 相加，由于计算机字长有限，因此在与a i 相加时会进行四舍五入将a i 舍去，这样，最后的结果仍是大数，这就是大数将a 1,a 2,?,a n 吃掉了。 ②为什么要“避免”？ 尽管每个小数都很小，但它们很多，可能它们的和比大数还大，而最后计算工结果为大数，显然误差可能很大。 ③怎样“避免”？ 有的同学提出先将小数相加，然后再与大数相加，这个思路是对的，但有一个漏洞，因为小数相加到一定程度也会变成大数，它也开始吃小数了。可以采取分部相加的方法解决。 第2章非线性方程（组）的近似解法 §2.1 引言 方程f(x)=0的解称为方程的根。也叫做函数f(x)的零点。 方程求根大致包括三个问题 （1）方程有没有根？如果有根，有几个根？ （2）哪里有根？求有根的区间，区间内的任意一点作为根的近似值。 （3）根的精确化，已知一个根的近似值后设法逐步把根精确化，直到足够精确为止。本课程主要研究问题（2）和（3）。 -5 0 5 10 §2.2 根的隔离 求方程f(x)=0的解的近似值时，首先要确定若干个区间，使每个区间内只有的一个根，这个步骤称为根的隔离。 对一般的方程，根的隔离有两种方法 （1）试值法。求出f(x)在若干点上的函数值，观察函数值符号变化的情况，从而确定隔根区间。 （2）作图法。画出y=f(x)的草图，观察曲线y=f(x)与x 轴交点的大致位置，从而确定隔根区间。 例1.2.1讨论方程f(x)=2x 3-4x 2+4x+2= 0 的根的位置。 f1=inline('2*x^3-4*x^2+4*x+2'),fplot(f1,[-1,1]), f2=inline('log(x)-1/x'), fplot(f2,[1,2]) 例1.2.2将方程xlog(x) = 1 的根进行隔离。 -0.5 0.5 §2.3 对分法 设有方程f(x)=0在（a b）内有且仅有一个根α，这时有f(a) f(b)<0可用对分法求α的近似值，方法如下（1）准备：计算区间（a b）两个端点的函数值f(a)，f(b) （2）对分：取c=(a+b)/2为（a b）的中点，计算f(c) （3）判断：如果f(c)=0，则c为f(x)=0的根，否则检验： 若f(c)f(a)<0，则方程的根位于[a c]内，用c代替b， 若f(c)f(b)<0，则方程的根位于[c b]内，用c代替a。 （4）检验：若|b-a| 例2.3.1用对分法求方程f(x)=x3+2x-5= 0 在[1 2] 内的根，[e=10-3]。 有根区间 1.0000 2.0000 1.0000 1.5000 1.2500 1.5000 1.2500 1.3750 1.3125 1.3750 1.3125 1.3438 1.3281 1.3438 1.3281 1.3359 1.3281 1.3320 1.3281 1.3301 1.3281 1.3291 方程的解 x= 1.3286 §2.4 迭代法 设有方程f(x)=0在[a b]上有且仅有一个根α，可用迭代法求α的近似值，方法如下 （1）将方程f(x)=0写成迭代形式x=?(x) （2）在[a b]上任取一个初始值x 0。 （3）计算x 1=?(x 0) （4）若| x 1-x 0| (2)当x ∈[a b]时，| ?'(x)|≤m<1,m 为一个常数。 则以下结论成立： (1) 在[a b]上?(x)有且仅有一个根α。 (2) 对任意x 0∈[a b],由迭代公式x n+1=?(x n )，n=0,1,2,…产生的数列|x n |∈[a b],且有x n →α(n →∞)。 (3) 成立误差估计式101||||||||11n n n n n m m x x x x x x m m αα--≤ --≤--- 《数值计算方法》教学大纲 课程编号：MI3321048 课程名称：数值计算方法英文名称：Numerical and Computational Methods 学时： 30 学分：2 课程类型：任选课程性质：任选课 适用专业：微电子学先修课程：高等数学,线性代数 集成电路设计与集成系统 开课学期：Y3开课院系：微电子学院 一、课程的教学目标与任务 目标：学习数值计算的基本理论和方法，掌握求解工程或物理中数学问题的数值计算基本方法。 任务：掌握数值计算的基本概念和基本原理，基本算法，培养数值计算能力。 二、本课程与其它课程的联系和分工 本课程以高等数学，线性代数，高级语言编程作为先修课程，为求解复杂数学方程的数值解打下良好基础。 三、课程内容及基本要求 (一) 引论（2学时） 具体内容：数值计算方法的内容和意义，误差产生的原因和误差的传播，误差的基本概念，算法的稳定性与收敛性。 1.基本要求 （1）了解算法基本概念。 （2）了解误差基本概念，了解误差分析基本意义。 2.重点、难点 重点：误差产生的原因和误差的传播。 难点：算法的稳定性与收敛性。 3.说明：使学生建立工程中和计算中的数值误差概念。 (二) 函数插值与最小二乘拟合（8学时） 具体内容：插值概念，拉格朗日插值，牛顿插值，分段插值，曲线拟合的最小二乘法。 1.基本要求 （1）了解插值概念。 （2）熟练掌握拉格朗日插值公式，会用余项估计误差。 （3）掌握牛顿插值公式。 （4）掌握分段低次插值的意义及方法。 （5）掌握曲线拟合的最小二乘法。 2.重点、难点 重点：拉格朗日插值, 余项，最小二乘法。 难点：拉格朗日插值, 余项。 3.说明：插值与拟合是数值计算中的常用方法，也是后续学习内容的基础。 (三) 第三章数值积分与微分（5学时） 具体内容：数值求积的基本思想，代数精度的概念，划分节点求积公式（梯形辛普生及其复化求积公式），高斯求积公式，数值微分。 1.基本要求 （1）了解数值求积的基本思想，代数精度的概念。 （2）熟练掌握梯形，辛普生及其复化求积公式。 （3）掌握高斯求积公式的用法。 （4）掌握几个数值微分计算公式。 2.重点、难点 重点：数值求积基本思想，等距节点求积公式，梯形法，辛普生法，数值微分。 难点：数值求积和数值微分。 3.说明：积分和微分的数值计算，是进一步的各种数值计算的基础。 (四) 常微分方程数值解法（5学时） 具体内容：尤拉法与改进尤拉法，梯形方法，龙格—库塔法，收敛性与稳定性。 1.基本要求 （1）掌握数值求解一阶方程的尤拉法，改进尤拉法，梯形法及龙格—库塔法。 （2）了解局部截断误差，方法阶等基本概念。 （3）了解收敛性与稳定性问题及其影响因素。 2.重点、难点 重点：尤拉法,龙格－库塔法，收敛性与稳定性。 难点：收敛性与稳定性问题。 3.说明：该内容是常用的几种常微分方程数值计算方法，是工程计算的重要基础。 (五) 方程求根的迭代法（4学时） 具体内容：二分法，解一元方程的迭代法，牛顿法，弦截法。 1.基本要求 （1）了解方程求根的对分法和迭代法的求解过程。 （2）熟练掌握牛顿法。 （3）掌握弦截法。 2.重点、难点 重点：迭代法，牛顿法。 Word表格数据计算——求和 【教学目标】： 1.掌握在word中单元格的概念 2.学会使用函数、运算符在word表格中求和。 【教学重点】: 1. 单元格地址 2. 表格中利用函数求和的方法 【教学难点】：运用公式对话框进行数值运算和函数运算 突破难点的方法：1演示强调公式以“＝”开头； 2师生共同分析如何表示函数运算范围。 【教学方法】：启发式教学，讲练结合，问题式教学，自主探索，合作学习。 【教学用具】：多媒体、课件、Word素材文件、教材、粉笔。 【教学时数】：1课时（45分钟） 【教学过程】： 一、复习并导入新课 1、复习：展示效果图，请学生上台演示：学生成绩统计表 2、激情引趣，导入新课（激发学生的学习兴趣和积极性） 提问：如对每个同学的总分进行统计？——引入WORD表格公式计算 二、WORD表格计算——求和 （一）单元格 word表格的每一个单元格以A1、A2、B1、B2的形式表示。其中字母A、B、C、D等表示列号，数字1、2、3、4等表示行号。 （二）使用WORD公式命令求和 选择【表格】----【公式】菜单命令，弹出【公式】对话框进行输入公式。且公式必需以“=”开始 1、SUM函数--SUM( ) SUM是一个表示求和的函数，括号中是运算的范围。 (1)SUM（Above)：对光标上方的连续数值单元格中的数据求和 SUM（Below)：对光标下方的连续数值单元格中的数据求和。 SUM（left)、SUM（right) 以“学生成绩统计表”为例演示使用上述方法求和。 (2)SUM（单元格范围) 连续区域范围----以:隔开 SUM(A1:B2) 表示求A1+A2+B1+B2的和。 ◆不连续单元格范围----以,隔开 SUM(A1,C2) 表示求A1+C2的和。 ◆一整行或一整列 SUM(c:c) 表示求第c列的和。 以“学生成绩统计表”为例演示使用上述方法求和。 2、运算符“+”计算 =A2+B2+C4 表示求A2、B2、C4三个单元格的和 以“学生成绩统计表”为例演示运算符的使用。 （三）“表格和边框”工具栏上的“自动求和” 步骤： (1)选择【表格】----【绘制表格】菜单命令，弹出【表格和边框】对话框 (2)光标定位至求和的单元格，单击自动求和按钮，可快速求出表格中 某一行或某一列中的数据之和。（使用此方法时最好从下至上求和。） (3)例：宁达电器公司2009年销售统计 三、小结： 本节课介绍了如何在表格中进行计算，同学们应多加练习，灵活应用。 四、课堂延伸 1、小技巧：在输入公式后，可按下F4以复制公式。 2、思考：在word中如何进行数据的减法、乘法以及除法运算？ 五、作业布置： 1、请写出word表格中计算B1:E4的和的几种方法。 2、实训课完成P113 第6题计算“合计”。 六、板书设计 1、单元格：以 A1、A 2、B1、B2的形式表示 2、【表格】——【公式】 （1）SUM函数--=SUM( )：SUM（left）、SUM（A1:C3）、SUM（A1，C3）（2）运算符“+”计算：=A1+B1+C2 3、“自动求和” 数值实验课试题 本次数值实验课结课作业，请按题目要求内容写一篇文章。按题目要求 人数自由组合，每组所选题目不得相同(有特别注明的题目除外)。试题如下： 1）解线性方程组的Gauss 消去法和列主元Gauss 消去法(2人)/*张思珍，巩艳华*/ 用C 语言将不选主元和列主元Gauss 消去法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解下列84阶的方程组 ???? ?????? ? ??=??????????? ????????????? ? ?1415151515768 168 168 168 1681684 8382321 x x x x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编 3.《数值分析简明教程》，王能超编 2）解线性方程组的平方根法(4人)/*朱春成、黄锐奇、张重威、章杰*/ 用C 语言将平方根法和改进的平方根法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解对称正定方程组b Ax =，其中 (1)b 随机的选取，系数矩阵为100阶矩阵 ?????? ???? ? ? ?101 1101 1101 1101 1101110 ； (2)系数矩阵为40阶的Hilbert 矩阵，即系数矩阵A 的第i 行第j 列元素为 1 1-+= j i a ij ，向量b 的第i 个分量为∑=-+ = n j i j i b 1 1 1. 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编 3.《数值分析简明教程》，王能超编 3）三对角线方程组的追赶法(3人)/*黄佳礼、唐伟、韦锡倍*/ 用C 语言将三对角线方程组的追赶法法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解如下84阶三对角线方程组 ???? ?????? ? ??=??????????? ????????????? ? ?1415151515768 168 168 168 16816 84 8382321 x x x x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值分析简明教程》，王能超编 4）线性方程组的Jacobi 迭代法(3人)/*周桂宇、杨飞、李文军*/ 用C 语言将Jacobi 迭代法编写成独立的子程序，并用此求解下列方程组， 精确到小数点后5位 ???? ? ??=????? ??????? ? ?-149012 2111221 3 2 1 x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编 3.《数值分析简明教程》，王能超编 5）线性方程组的Gauss-Seidel 迭代法(3人)/*张玉超、范守平、周红春*/ 用C 语言将Gauss-Seidel 迭代法编写成独立的子程序，并用此求解下列方程组，精确到小数点后5位 ???? ? ??=????? ??????? ? ?--39721 1111112 3 2 1 x x x 参考书目： 1.《计算机数值方法》，施吉林、刘淑珍、陈桂芝编 2.《数值线性代数》，徐树方、高立、张平文编 3.《数值分析简明教程》，王能超编 6）解线性方程组的最速下降法法(2人)/*赵育辉、阿热孜古丽*/ 用C 语言将最速下降法编写成通用的子程序，然后用你编写的程序求解对称 实验一误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 其中ε（1.1）和（1.221,,,a a 的输出b ”和“poly ε。 （1（2 （3）写成展 关于α solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程： 程序： a=poly(1:20); rr=roots(a); forn=2:21 n form=1:9 ess=10^(-6-m); ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n 很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动，对其多项式的根会有一定的扰动的，所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。 学号：06450210 姓名：万轩 实验二插值法 数值分析教案土建学院 工程力学系 2014年2月 一、课程基本信息 1、课程英文名称：Numerical Analysis 1 2、课程类别：专业基础课程 3、课程学时：总学时32 4、学分：2 5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《C 语言》 6、适用专业：工程力学 二、课程的目的与任务： 数值分析是工程力学专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 三、课程的基本要求： 1．掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法 2．掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理 3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力 4．了解科学计算的发展方向和应用前景 四、教学内容、要求及学时分配： (一) 理论教学： 引论（2学时） 第一讲（1-2节） 1．教学内容： 数值分析(计算方法)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2．重点难点： 算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3．教学目标： 了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。 2 A 算法 B误差 典型例题 《使用公式计算数据》教学设计 一、案例背景信息 1．模块4：用计算机处理数据 2．年级：八年级下 3．所用教材版本：宁夏教育厅教研室电子工业出版社 4．学时数：1学时 教材分析： 本节课教学内容是选自电子工业出版社出版，宁夏教育厅教研室编著的，初中信息技术教材八年下册第4单元第1课时使用公式计算数据的教学内容，本节课是在学生学习了工作表的编辑和美化的基础上，主要介绍利用Excel所提供的各种公式，完成对工作表中数据统计分析，提高学生处理信息的能力。 学情分析: 教学对象是八年级学生，从学生的特点来看，思维活跃，想象力丰富，好奇心强，同时又有了一定的自学能力和动手能力。但多数情况下还比较肤浅和不够成熟，尤其对于一些知识和技能的掌握还处于一知半解的状态。通过前面的学习，学生已基本掌握了在工作表输入数据、编辑、修饰工作表的基本操作，在此基础上进一步学会如何在Excel中进行数据计算，使学生对数据处理有个感性认识。因此，根据学生心理特点，以帮助老师计算学生考试总分入手，激发学生学习兴趣，利用课本资源，从单纯学习信息技术处理技能转为更加注重对学生信息素养提高教育，使学生在独自处理信息的过程中，既满足对新知的渴求，又体验信息技术教学的魅力。 教学目标: 1、情感、态度与价值观： 让学生亲身体验EXCEL中公式运算的功能，培养学生合作学习、善于思考、敢于动手、细心认真、自主探究的能力，能够应用所学知识解决生活中所遇到的问题。 2、过程与方法： 教师讲解和学生尝试操作探究相结合；体验Excel中的数据计算的方法和过程。 3、知识与技能： 了解公式的概念及输入公式的基本操作步骤，学会创建、修改公式，正，能结合数学内容理解公式的概念并能灵活使用，培养学生的动手操作能力和探究新知的能力。 教学重点及解决措施： 创建和编辑公式、掌握利用公式进行数据计算的方法是本课的教学重点，通过教材中的“做一做”和“试试看”练习体会掌握使用公式计算数据的方法。 教学难点及解决措施 公式的应用是本节课的难点。通过观察操作提示及同学间的交流与协作互助，让学生在遇到学习困难时，懂得寻求协助，从而突破难点。 教学设计思路 本节课的知识，在电子表格使用公式计算数据中是本册书的难点之一，教师应改变传统的简单地向学生介绍如何操作，以及对知识点枯燥地讲解，而是安排学生实际操作，自己动手做，从中观察、体会、理解、掌握使用公式计算数据中对单元格的引用，在学生上机操作过程，善于抓住典型问题，然后引导学生运用教材中的“金钥匙”和“小博士”中的知识来解决问题，让学生在教师引导下分析任务、完成任务。 教学方法： 曲线拟合的数值计算方法实验 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过 实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i ，Y i )（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或 拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c 1，c 2 ，…c n )是一些待定参 数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在 本科实验报告 课程名称：计算机数值方法 实验项目：方程求根、线性方程组的直接解 法、线性方程组的迭代解法、代数插值和最 小二乘拟合多项式 实验地点：行勉楼 专业班级： ******** 学号： ********* 学生姓名： ******** 指导教师：李誌，崔冬华 2016年 4 月 8 日 y = x*x*x + 4 * x*x - 10; return y; } float Calculate(float a,float b) { c = (a + b) / 2; n++; if (GetY(c) == 0 || ((b - a) / 2) < 0.000005) { cout << c <<"为方程的解"<< endl; return 0; } if (GetY(a)*GetY(c) < 0) { return Calculate(a,c); } if (GetY(c)*GetY(b)< 0) { return Calculate(c,b); } } }; int main() { cout << "方程组为：f(x)=x^3+4x^2-10=0" << endl; float a, b; Text text; text.Getab(); a = text.a; b = text.b; text.Calculate(a, b); return 0; } 2.割线法： // 方程求根（割线法）.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。// #include "stdafx.h" #include"iostream" 心得体会 使用不同的方法，可以不同程度的求得方程的解，通过二分法计算的程序实现更加了解二分法的特点，二分法过程简单，程序容易实现，但该方法收敛比较慢一般用于求根的初始近似值，不同的方法速度不同。面对一个复杂的问题，要学会简化处理步骤，分步骤一点一点的循序处理，只有这样，才能高效的解决一个复杂问题。 §3 最佳平方逼近 3．1法方程 设已知],[)(b a C x f ∈，且选择一函数类{ })(,),(),(10x x x Span S n ???Λ=，其中],[)(b a C x i ∈?且设{})(,),(0x x n ??Λ在],[b a 上线性无关（例如取n H S =或 {}nx nx x x S cos ,sin ,,cos ,sin ,1Λ=等）。 研究最佳平方逼近问题：寻求S x P n ∈)(* dx x P x f x dx x P x f x n b a b a S x P 2*2)())()(()())()(()(min -=-??∈ωω （3．1） 或写为 2 2* 22 )(min x p f p f n S P -=-∈ 这里我们主要研究],[)(b a C x f ∈最佳平方逼近函数)(*x P n 存在性，唯一性，计算等问题。 设有S x P n ∈)(* ，即∑== n j j j n x a x P 0 **)()(? 使（3．1）式成立，来考查{}*j a 应满足什么条件。 对于任一S x P ∈)(，即有∑== n j j j x a x P 0 )()(? ，于是 dx x P x f x P f b a 22 2))()(()(-=-?ω dx x a x f x n j j j b a 2 ))()(()(∑?=-= ?ω ),,,(10n a a a I Λ= (3.2) dx x P x f x P f n b a n 2*2 2 *))()(()(-=-?ω dx x a x f x n j j b a j 20 * ))()(()(∑?=-= ? ω ),,,(* **10n a a a I Λ= (3.2)式说明均方误差是),,(10n a a a Λ多元函数（为二次函数），由设存在)(* x P n 是极值问题 （3.1）解，即说明存在),,(* **10n a a a Λ使 ),,(),,,(min 1010***=n n a a a a I a a a I i ΛΛ实数 由多元函数取极值的必要条件，则有 excel 公式计算课题：Excel公式计算使用教材课程《大学计算机基础(二)》及出版社北京理工大学出版社名称教学理论课□实验课? 课型技能课□其它□教学目标教学课时 2 1：掌握Excel2010中数据的计算。 2：理解和掌握Excel2010中常用函数。教学重点 1：掌握Excel2010中数据的计算。 2：理解和掌握Excel2010中常用函数。教学难点 1：掌握Excel2010中数据的计算。 2：理解和掌握Excel2010中常用函数。学情分析学生的计算机基础较差，对于Excel的学习具有畏难情绪，学习比较吃力，并且学生的学习层次不同，差异性较大，所以在教学时应合理采用分层教学的方法。教学方法讲授法、演示法、对比学习法 1：浏览教材，了解各个知识点，标明什么是重难点。教学准备 2：搜集相关的教学资料，以及相关拓展知识。 3：做好相应的课件。 一、导入环节：通过前面的学习，同学们已经掌握了Excel的基本操作以及数据的输入。那么这节课开始我们就进入Excel的重难点，我们要来学习Excel中数据的计算以及常用函数的学习，跟以前小学学习数学计算一样，我们先来认识运算符，再开始学习简单的计算。二、学习新知： 1. Excel2010数据计算的认识公式语法=数据对象+运算符这里数据对象可以是常量、单元格、单元格区域，而运算符也有算术运算符、比较运算符、文本运算符、引用运算符，下面我们将具体的来认识各个运算符及其用法。注意：等号一定不能省略，如果省略掉等号计算机则无法判断进行的是运算，只会将输入的公示当字符串处理。 2. Excel2010中运算符的认识 1)算术运算符教学过程算术运算符跟我们以前学过的是一致的，只是需要注意的是计算机中乘和除的运算符号与平时我们学习和接触的有一些不一样，但是用法都是一致的。例如：如果要计算三乘以二直接在单元格中输入：=3*2回车即可。 2)比较运算符 比较运算符我们也是比较熟悉的，主要是用来比较两个数值的大小，这里需要注意的就是最后一个不等于符号的书写。比较运算符的计算结果是一个逻辑值，即：true或false。 3)文本运算符文本运算符以前没有接触过，它的作用是将两个文本值连接或串联起来产生一个连续的文本值。例如：“Love”&“China”代表的就是将LOVE与China 两个字符串组合起来形成一个新的字符串结果为：LOVEChina，字符串一定要用引号引起来。注意：文本运算符除了连接字符外还可以连接数字。 4)引用运算符引用运算符可以将单元格区域合并计算，它包括冒号，逗号和空格。其中冒号是基础，它代表引用两个单元格之间的区域。 3. Excel2010中单元格的引用 1)相对引用：是指当把一个含有单元格地址的公式填充到一个新的位置或者用一个公式填入一个区域时，公式中的单元格地址会随着改变。 2)绝对引用：是指在把公式复制或填入到新位置时，使其中的单元格地址保持不变。 3)混合引用：指在一个单元格地址中，既有绝对地址引用又有相对地址引用。相对引用和绝对引用之间是可以转换的，通过在单元格地址中插入”$“符号来实现，或者利用F4键来切换相对引用和绝对引用。 4. Excel2010中函数的理解和学习函数的基本语法：=函数名（参数列表）注意：语法中等号是必须的，这里主要讲解下图所示的8个基本函数，在学习的时候我们要学会如何查看函数的帮助文档，学会自学。 1) 求和函数 ? SUM直接求和函数：SUM(number1,number2,…) 表示求函数所有参数的和，其中参数可以是单元格、单元格区域或数字。例如：SUM(2,3,5)结果为10。? SUMIF单条件求和函数：SUMIF(range,criteria,wem_range) 即SUMIF(条件区域，条件，实际求和区域) 这个函数运用要比直接求和运用的更加广泛，它只求满足条件的某些单元格值的总和，下面我们通过一个实例来具体学习认识。 (此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 2012级6班###(学号)计算机数值方法 实验报告成绩册 姓名:宋元台 学号： 成绩： 数值计算方法与算法实验报告 学期： 2014 至 2015 第 1 学期 2014年 12月1日课程名称: 数值计算方法与算法专业:信息与计算科学班级 12级5班 实验编号： 1实验项目Neton插值多项式指导教师：孙峪怀 姓名：宋元台学号：实验成绩： 一、实验目的及要求 实验目的： 掌握Newton插值多项式的算法，理解Newton插值多项式构造过程中基函数的继承特点，掌握差商表的计算特点。 实验要求： 1. 给出Newton插值算法 2. 用C语言实现算法 二、实验内容 三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页) 1.算法分析： 下面用伪码描述Newton插值多项式的算法： Step1 输入插值节点数n，插值点序列{x(i),f(i)},i=1,2,……,n,要计算的插值点x. Step2 形成差商表 for i=0 to n for j=n to i f(j)=((f(j)-f(j-1)(x(j)-x(j-1-i)); Step3 置初始值temp=1,newton=f(0) Step4 for i=1 to n temp=(x-x(i-1))*temp*由temp(k)=(x-x(k-1))*temp(k-1)形成 (x-x(0).....(x-x(i-1)* Newton=newton+temp*f(i); Step5 输出f（x）的近似数值newton(x)=newton. 2.用C语言实现算法的程序代码 #include Excel利用函数进行数据计算（教案） ——制作歌手大奖赛成绩统计表 （执教人：信息技术教研组王荔虹） [课题] Excel利用函数进行数据计算 [教学内容] Excel数据的函数运算 [教学对象] 1、子江中学初一（1）班。 2、对Excel有了初步的认识。 [教学目标] 知识目标：1、了解函数的定义、组成和使用方法； 2、掌握SUM、A VERAGE、MAX、MIN等几种函数的使用方法； 3、了解设置单元格格式的基本方法； 4、学会利用函数进行简单的计算。 过程与方法：通过对Excel运用公式与函数运算的对比，能够在实际运用中正确选择和使用何种方法进行数据处理。 情感目标：体验应用公式和函数解决问题的优势。，感受计算机的优势，增强学生学习计算机的兴趣。[教学重点] 掌握SUM、A VERAGE、MAX、MIN等几种函数的使用方法。 [教学难点] 1、理解函数的参数和函数参数的格式。 2、函数中的选定数据范围（包括连续和不连续）。 [教学方法] 1、创设情境法：教师创设好Excel的故事导入情境，激发学生的学习兴趣。 2、游戏讲授法：通过有趣的游戏环节，讲解Excel中什么是函数，通过故事内容中的数据让学生区分公式运算与函数运算。 3、任务驱动法：根据布置任务的具体要求，利用习得的知识经验进行迁移学习，从而达到相应的教学目标。 4、自主探究法：分小组结合书本、教师提示，自主探究、合作学习相应的教学目标。 [教学准备] 1、教师准备：提供Excel运算的辅助材料，如练习、导入材料等。 2、学生准备：课前分好小组。 3、教学环境：多媒体网络教室。 [课时] 1课时 [教学过程] 实验一 误差分析 实验（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（）和（）根的差别，从而分析方程（）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b = 的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到（）的全部根，程序中的“ess ”即是（）中的ε。 实验要求： （1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。 如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（）和（）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何 （2）将方程（）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象 出现 （3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将 方程（）写成展开的形式， ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感 思考题一：（上述实验的改进） 在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 一、数学计算公式大全： 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、 1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1 、正方形 C周长 S面积 a边长周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 2 、正方体 V:体积 a:棱长表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3 、长方形： C周长 S面积 a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4 、长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 三角形 s面积 a底 h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6 平行四边形 s面积 a底 h高 面积=底×高 s=ah 7 梯形 s面积 a上底 b下底 h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形 S面积 C周长∏ d=直径 r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径 C=∏d=2∏r (2)面积=半径×半径×∏ 9 圆柱体 实验报告 学院（系）名称： 主程序部分列选主元部分 实验结果： 一．列主元消去法 输入各个数据，最终使用列选主元法，得到结果为：x1=x2=x3=1二．高斯-赛德尔迭代法 输入各个数据，输出每一步迭代数据，最终结果为：x1=0.285716，附录（源程序及运行结果） 一．列主元高斯消去法 #include Excel的基本操作——数据的简单运算 王西中学许贺琼 学情分析： 通过前面的学习，学生已经掌握了Excel中的相关概念，并能进行数据的录入与编辑，对于填充柄、单元格地址等都有了正确的认识与理解，所以在教学中应该以教师的引导启发为主。虽然是第一次接触电子表格软件，但是作为Office办系统成员之一的Excel，学生有了Word的操作基础，应该能够轻松的掌握相关的操作，也会通过迁移的操作完成。 教学设计： 一、教学目标： （一）知识与技能目标： 1、理解公式的作用、掌握常见算术运算符的表示 2、熟练掌握公式的编辑，并利用公式进行计算 3、掌握用函数法求和、平均值等简单运算 4、运用公式和函数解决一些实际问题，提高应用能力。 （二）过程与方法： 引导启发学生自主探究，让学生体验Excel数值计算的强大优势，通过任务驱动提高学生的学习兴趣与分析问题解决问题的能力。 （三）情感态度与价值观： 让学生体验EXCEL强大的运算功能，通过学习，培养学生科学、严谨的求学态度，和不断探究新知识的欲望。 二、教学重点、难点 重点：公式的编辑、常用函数的应用 难点：用公式计算实际问题 三、教法设计： 通过创设任务情境，让学生在完成任务的过程中体验成功的喜悦，学习Excel中数据计算的方法,掌握用计算处理数据的地般过程。 四、教学准备： 教学环境：多媒体教室 软件：Excel2003 五、教学过程 教学反思：本节课在教师的引导下，采用任务驱激励学生自主探究，并能过小组合作完成。整个教学过程中，学生积极思考，不断实践，一个个任务迎刃而解。在课堂中学生处于动脑、动手、交流的状态，学习氛围体现出了和谐高效。 1.7.2 三次样条插值的基本原理 三次样条插值也是一种分段插值方法，用分段的三次多项式构造成一个整体上具有函数、一阶和二阶导函数连续的函数，近似地替代已知函数)(x f ，“样条”一词源于过去绘图员使用的一种绘图工具样条，它是用于富于弹性、能弯曲的木条（或塑料）制成的软尺，把它弯折靠近所有的基点用画笔沿着样条就可以画出连续基点的光滑曲线。 假设已知函数)(x f 在区间],[b a 上的)1(+n 个节点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 及其对应的函数值 i i y x f =)(,),,2,1,0(n i =，即给出)1(+n 组样本点数据),(,),,(),,(1100n n y x y x y x ，可以构造一个定义在],[b a 上的函数)(x S ， 满足下述条件。 ① i i y x S =)(,),,2,1,0(n i = ② )(x S 在每个小区间],[1+i i x x )1,,2,1,0(-=n i 上，都是一个三次多项式： 3 32210)(x a x a x a a x S i i i i i +++= （1-42） ③ )(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续。 可见，)(x S 是一个光滑的分段函数，这样的函数称为三次样条（Spline ）插值函数。 构造的函数)(x S 是由n 个小区间上的分段函数组成，根据条件②，每个小区间上构造出一个三次多项式，第 i 个小区间上的三次多项式为 332210)(x a x a x a a x S i i i i i +++=，共有n 个多项式，每个多项式有4个待定系数。要确定这n 个多项式，就需要确定 4 n 个系数 小学信息技术《四则运算-用公式计算》教 案 小学信息技术《四则运算-用公式计算》教案 一、教学目标 1.学生能说出公式的含义和构成，能够在Excel中输入及修改公式。学生能够根据所学公式进行计算得到自己想要的结果。 2.学生通过自主探究学会使用公式，体会Excel的自动计算功能，并能够对Excel的公式活学活用。 3.学生自主学习意识得到提高，在任务的完成过程中体会到成功的喜悦，并在具体的任务中体会Excel公式的重要性及便捷性。 二、教学重难点 【重点】Excel公式的输入及修改，会用公式进行计算。 【难点】将数学公式转换为Excel公式。 三、教学过程 (一)导入新课 期末考试结束了，老师想利用Excel尽快将每名学生的总分计算出来，哪位同学们能利用学过的知识，帮助老师用简单的方法快速完成这项工作?通过多媒体展示“学生成绩表”。 学生：用计算器将各科成绩相加，计算出每名同学的总 成绩，再录入。 教师：同学们的方法很准确。其实利用Excel中提供的公式功能，可以帮助我们轻松地完成计算任务。 ——引入新课——四则运算-用公式计算。 (二)新知探究 教师先介绍公式是一种以“=”开头的数学算式，例如，“=B3+100”就是一个公式。Excel规定用+号表示加、用—号表示减、用*号表示乘、用/号表示除。公式中只可以使用小括号，Excel计算公式的值与数学中的运算顺序相同。将没有进行总成绩核算的成绩表发给学生，让大家来计算总分。 任务一：公式的输入 引导学生练习使用运算符将数学算式变换并输入到Excle中。首先将算式(34+56)×0.2+35÷56在Excel中表示出来。然后在选定单元格中输入公式：=(34+56)*0.2+35/56，再敲回车键。让学生观察单元格中显示的数据。根据学生的操作教师给出评价并进行总结输入公式两种方法： 1.在单元格中输入=(34+56)*0.2+35/56。 2.在编辑栏中输入=(34+56)*0.2+35/56。 输入完成，敲回车键得出结果。 任务二：用公式计算 1． 设?+=1 05dx x x I n n ， （1） 由递推公式n I I n n 1 51+-=-，从0I 的几个近似值出发，计算20I ； 解：易得：0I =ln6-ln5=0.1823, 程序为： I=0.182; for n=1:20 I=(-5)*I+1/n; end I 输出结果为：20I = -3.0666e+010 （2） 粗糙估计20I ，用n I I n n 51 5111+- =--，计算0I ； 因为 0095.05 6 0079.01020 201 020 ≈<<≈??dx x I dx x 所以取0087.0)0095.00079.0(2 1 20=+= I 程序为：I=0.0087; for n=1:20 I=(-1/5)*I+1/(5*n); end I 0I = 0.0083 （3） 分析结果的可靠性及产生此现象的原因(重点分析原因)。 首先分析两种递推式的误差；设第一递推式中开始时的误差为000I I E '-=，递推过程的舍入误差不计。并记n n n I I E '-=，则有01)5(5E E E n n n -==-=-Λ。因为=20E 20020)5(I E >>-，所此递推式不可靠。而在第二种递推式中n n E E E )5 1(5110-==-=Λ，误差在缩小， 所以此递推式是可靠的。出现以上运行结果的主要原因是在构造递推式过程中，考虑误差是否得到控制， 即算法是否数值稳定。 2． 求方程0210=-+x e x 的近似根，要求4 1105-+?<-k k x x ，并比较计算量。 （1） 在[0，1]上用二分法； 程序：a=0;b=1.0; while abs(b-a)>5*1e-4 c=(b+a)/2;数值计算方法教学大纲
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