考点05 函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）
【高考再现】
热点一 函数的单调性
1.（2012年高考（天津文））下列函数中,既是偶函数,又在
区间(1,2)内是增函数的为（ ）
A ．cos 2y x =
B ．2log ||y x =
C ．2x x e e y --=
D ．31y x =+
2.（2012年高考（陕西文））下列函数中,既是奇函数又
是增函数的为
A ．1y x =+
B ．2y x =-
C ．1y x =
D ．||y x x =
【答案】D
【解析】该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握
基本函数的性质是关键.A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都
不是定义域内的增函数，排除，只有D 正确，因此选D.
3.（2012年高考（安徽文））若函数()|2|f x x a =+的单调递增区
间是[3,)+∞,则_____a =
【方法总结】
1.对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：
(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．
(2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行.
2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．
(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.
3.函数单调性的应用：f(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f(x1) 热点二函数的奇偶性 4.（2012年高考（广东文））(函数)下列函数为偶函数的是 （ ） A ． sin y x = B ．3y x = C ．x y e = D ．y = 5.（2012年高考（重庆文））函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数, 则实数a =________ 【答案】4 【解析】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶 函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切a 都有()()f a f a =-成立.由函数()f x 为偶函数得()()f a f a =-即 ()(4)()(4)a a a a a a +-=-+-- 4a ?=. 6.（2012年高考（上海文））已知)(x f y =是奇函数. 若 2)()(+=x f x g 且1)1(=g .则=-)1(g _______ . 7.（2012年高考（课标文））设函数()f x 22(+1)sin = 1x x x ++的最大值 为M ,最小值为m ,则=M m +____ 【答案】 2 【解析】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归 思想,是难题. 222(1)sin 2sin ()1,11x x x x f x x x +++==+++设22sin (),()(),() 1x x g x g x g x g x x +=-=-∴+ 为奇函数，由奇函数图像的对称性知 max min max min max min ()()0,[()1][()1]2()() 2.g x g x M m g x g x g x g x +=∴+=+++=++= 【方法总结】 热点三 函数的周期性 8.（2012年高考（浙江文））设函数()f x 是定义在R 上的周 期为2的偶函数,当x ∈[0,1]时, ()f x =+1x ,则3()2f =_______. 【答案】32 【解析】本题主要考查了函数的周期性和奇偶性. 331113()(2)()()1222222f f f f =-=-==+=. 9.（2012年高考（江苏））设()f x 是定义在R 上且周期为2的 函数,在区间[11]-， 上, 0111()201x x ax f x bx x <+-??=+??+?≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，.若1322f f ????= ? ?????,则3a b +的值为 ____. 【方法总结】 求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形 如y ＝A sin(ωx ＋φ)，用公式T ＝2π|ω| 计算．递推法：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝f (x )，所 以周期T ＝2a .换元法：若f (x ＋a )＝f (x －a )，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f (t )＝f (t ＋2a )，所以周期T ＝2a . 热点四 函数性质的综合应用 10.（2012年高考（重庆理））已知()f x 是定义在R 上的偶函 数,且以2为周期,则“()f x 为[0,1]上的增函数”是“()f x 为 [3,4]上的减函数”的（ ） A ．既不充分也不必要的条件 B ．充分而不必 要的条件 C ．必要而不充分的条件 D ．充要条件 11.（2012年高考（山东理））定义在R 上的函数()f x 满 足(6)()f x f x += .当31x -≤<- 时,2()(2)f x x =-+,当13x -≤<时,()f x x =. 则 (1)(2)(3)(2012)f f f f +++???= A ． 335 B ．338 C ．1678 D ．2012 【方法总结】 在解决函数性质有关的问题中，如果结合函数的性质画 出函数的简图，根据简图进一步研究函数的性质，就可以把 抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了，对问题的 解决有很大的帮助. （1）一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小 数变大，然后利用函数的奇偶性调整正负号，最后利用函数 的单调性判断大小； （2）画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置， 然后利用单调性确定一段区间的图象，再利用奇偶性确定对称区间的图象，最后利用周期性确定整个定义域内的图象. 【考点剖析】 二．命题方向 1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点． 2.函数的奇偶性是高考考查的热点． 3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点． 3.题型以选择题和填空题为主，函数性质其他知识点交汇命题. 三．规律总结 一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称． 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 三种方法 判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法； (3)性质法． 三条结论 (1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a ＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数． (3)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝ 1 f(x) 或f(x＋a)＝－ 1 f(x) ，那么 函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a； (3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|. 【基础练习】 1．（课本习题改编）下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是() A．y＝|x|B．y＝3－x C．y＝1 x D．y＝－x2＋4 【答案】A 【解析】y＝3－x在R上递减，y＝1 x 在(0，＋∞)上递减，y ＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减． 2.（经典习题）函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是 ( ) A.? ????－∞，32 B.??????32 C.? ????－1，32 D.??????324 3. （课本习题改编）若函数f (x )＝x (2x ＋1)(x －a ) 为奇函数，则a ＝( ) A.12 B.23 C.34 D ．1 【答案】A 【解析】∵f (x )＝ x (2x ＋1)(x －a ) 是奇函数，利用赋值法，∴f (－1)＝－f (1)． ∴－1(－2＋1)(－1－a )＝－1(2＋1)(1－a ) ，∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12 . 4. （经典习题）设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇 函数，则下列结论恒成立的是( )． A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数 B ．f (x )－|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数 D ．|f (x )|－g (x )是奇函数 【答案】A 【解析】由题意知f (x )与|g (x )|均为偶函数，A 项：偶＋偶＝ 偶；B 项：偶－偶＝偶，B 错；C 项与D 项：分别为偶＋奇 ＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A. 5.设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该 函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2 011)＋f (2 012)＝( ) A ．3 B ．2 6．（经典习题）已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4) ＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于________． 【答案】－2 【解析】由f (x ＋4)＝f (x )，得f (7)＝f (3)＝f (－1)，又f (x )为奇 函数，∴f (－1)＝－f (1)，f (1)＝2×12＝2.∴f (7)＝－2. 【名校模拟】 一．基础扎实 1. (北京市西城区2012届高三下学期二模试卷文)给定函数： ①3y x =；②21y x =-；③sin y x =；④2log y x =，其中奇函数是（ ） （A ）① ② （B ）③ ④（C ）① ③（D ）② ④ 【答案】C 【解析】利用函数图象关于原点对称可知① ③图像满足条 件. 2. (2012年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理) 已知.，若，则f(-a)的值为 A. -3 B. -2 C. -1 D. 0 3.(2012年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试(三）理)已知 函数.，则该函数是 (A)偶函数，且单调递增（B)偶函数，且单调递减 (C)奇函数，且单调递增（D)奇函数，且单调递减 【答案】C 【解析】 注意到当0x >时，0x -<， ()()()()2112 0x x f x f x ---+=-+-=；当0x <时，0x ->，()()()()12210x x f x f x -+=-+-=；()00f =.因此，对任意x R ∈，均有 ()()0f x f x -+=，即函数()f x 是奇函数.当0x >时，函数()f x 是增 函数，因此()f x 是增函数，选C. 4．(2012洛阳示范高中联考高三理)下列函数中，在(1, 1)- 内有零点且单调递增的是( ) A ．12 log y x = B ．21x y =- C ．212y x =- D ． 3y x =- 5. (浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理）若R x ∈、 + ∈N n ，定义：)2)(1(++=x x x M n x )1(-+n x ，例如：55-M =(-5)(-4)(-3)(-2)(-1) =-120,则函数199)(-=x xM x f 的奇偶 性为( ) A.是偶函数而不是奇函数 B. 是奇函数而不 是偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数 又不是偶函数 6.. (江西省2012届十所重点中学第二次联考文)已知 2()35f x ax bx a b =+-+是偶函数，且其定义域为[61,]a a -，则a b += （ ） A ． 1 7 B ．1- C ．1 D ．7 【答案】A 【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 1 610,7a a a -+==所以； 又()f x 为偶函数，所以22 3() 535a x bx a b ax bx a b ---+=+-+，得0b =，所以a b +=17，选A. 6 7.(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)函数) (x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+= x f y 的递增区间是 （ ） A ．]8,3[ B ． ]2,7[-- C ．]5,0[ D ．]3,2[- 8．(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)已知函 数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的 是 （ ） ①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=x ·f(x);④y=f(x)+x. A.①③ B.②③ C. ①④ D.②④ 9．（湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理）下列函 数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是 A ．x y cos = B ．1--=x y C ．x x y +-=22ln D ．x x e e y -+= 答案：D 解析：由()()x x f x e e f x --=+=，所以函数()x x f x e e -=+为偶函数； 又 ()21 1x x x x e f x e e e -'=-=，当[]1,0x ∈-时，()0f x '<，所以函数 为减函数， 故选D 。 10．(2012黄冈市模拟及答题适应性试理)已知函数 ,) 0(12)0(21)(???<-≥-=-x x x f x x 则该函数是 A 偶函数，且单调递增 B 偶函数，且单调递减 C 奇函数，且单调递增 D 奇函数，且单调递减 11. (东城区普通高中示范校高三综合练习(二) （文）) 已知0,0,a b >>函数2 ()(4)f x x ab a b x ab =+--+是偶函数， 则()f x 的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为 . 【答案】16 【解析】根据函数()f x 是偶函数可得40ab a b --=，函数()f x 的 图象与y 轴交点的纵坐标为ab 。由40ab a b --=，得 2ab a b =+≥16ab ≥。 12．(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)已知 (3)4,1()log ,1a a x a x f x x x -- ，是R 上的增函数，那么a 的取值范围是 。 13.(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)已知函 数???<+-≥-=) 0)(1()0)(1()(22x x x x x x x f ，判断它的奇偶性。 【解析】本试题主要考查了函数的奇偶性的判定。 【答案】f(x)的定义域为R,f(0)=0 设x>0则-x<0,又因为当x<0时f(x)=-x 2 (x+1) 故f(-x)=-x 2(-x+1)=x 2 (x-1)=f(x) 设x<0,则-x>0又因为当x>0时f(x)=-x 2 (x-1) 故f(-x)=-x 2(-x-1)=-x 2 (x+1)=f(x) 综上得，对任意x ∈R,有f(-x)=f(x) 故f(x)为偶函数 14．(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)设函 数)(x f y =是定义在R +上的减函数，并且满足)()()(y f x f xy f +=， 131=?? ? ??f ， （1）求)1(f 的值， （2）如果2)2()(<-+ x f x f ，求x 的取值范 围。（12分） 二．能力拔高 15．(湖北省八校2012届高三第一次联考理)定义在R上的函 数() f x满足：对于任意的 x f x 时有，设M、 >> ∈+=+- ,,()()()2011. x y R f x y f x f y 都有且当0,()2011 N分 别为() f x在[-2012，2012]的最大值与最小值，则M+N的值 为（） A．4022 B．4024 C．2011 D．2012 因此()()2011f x g x =+，则函数()f x 的最大值为2011m +，最小 值为2011m -+， 所以4022M N +=，故选A 。 16.(江西省2012届十所重点中学第二次联考文)设函数 3()3f x x x =+()x R ∈，若 02π θ≤≤时，(sin )(1)f m f m θ+-＞0恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．（0，1） B ．（-∞，0） C ．（-∞，0） D ．（- ∞，1） 17. (2012年长春市高中毕业班第二次调研测试理)数()f x 对 任意∈x R 都有(6)()2(3)f x f x f ++=，(1)y f x =-的图象关于点(1,0) 对称，且4)4(=f ，则(2012)f = A ．0 B ．－4 C ．－8 D ．－16 18. (湖北文科数学冲刺试卷（二）) 答案：B 解析：由题意得，设(]0,2x ∈，则[)2,0x -∈-， 又函数为奇数，所以()()2x f x f x -=--=-， 即()()551log (2()log (2x x g x x g x x --+=-?=-+， 利用函数的结论此函数在定义域上位单调递增函数， 所以函数()()max 324g x g ==，故答案选B ． 19. (中原六校联谊2012年高三第一次联考理)已知 ()(,())2f x x R x k k Z π π∈≠+∈且是周期为π的函数，当x∈（,22 ππ-）时，()2cos .f x x x =+设(1),(2),(3)a f b f c f =-=-=-则 A ．c B ．b C ．a D ．c 20.(山西省2012年高考考前适应性训练理)已知x x x f 2|12 | )(--= 的单调减区间为（ ） A ．)1 ,(--∞ B ．)0 ,1(- C ．)0 ,(-∞ D ．) ,1(∞+- 21. (长春市实验中学2012届高三模拟考试（文）)已知定 义在R 上的函数)(x f y = 是增函数，且为奇函数，若实数s,t 满足不等式)2()2(22t t f s s f --≥-，则当1≤s ≤4时，3t+s 的取 值范围是 A.]10,2[- B.]16,2[- C.[4,10] D.[4,16] 【答案】B 【解析】本题考查函数的性质、简单的线性规划问题，考查 数形结合的思想。 由所给函数性质有)2()2(22t t f s s f -≥-，于是t t s s 2222-≥-，再结 合41≤≤s ，由线性规划方法，可求得]16,2[3-∈+s t ，选B 22.(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)定义在 R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增 函数,则( ). A.(25)(11)(80)f f f -< < B. (80)(11)(25)f f f <<- C. (11)(80)(25)f f f <<- D. (25)(80)(11)f f f -<< 23. (浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理） 24.(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)已知 ()f x 是定义在R 上的函数，()()f x f x 2+=-2-，()()f x f x 1 +2=-。 （1）函数()f x 是不是周期函数，若是，求出周期。 （2）判断()f x 的奇偶性 【解析】本试题主要考查了函数的周期性以及函数的奇偶性 的运用。 【答案】因为函数函数满足1(4)[2(2)]()(2)f x f x f x f x += ++=-=+ 教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请想一下有哪些美？ 对于对称美，请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？ 生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？若给它适当地建立直角坐标系，那么会发现什么特点？ 数学中对称的形式也很多，这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数 二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用 三、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件． 2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？ 提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝x2＋1. 3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？ 提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个． 考点2 周期性 (1)周期函数： 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝lg 1－x 1＋x ；(2)f(x)＝ ? ? ?x2＋x(x>0)， x2－x(x<0)； (3)f(x)＝ lg(1－x2) |x2－2|－2 . 函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f （x ）的定义域为R ，若f (x +2)为偶函数，则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. －2 B.－1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-，则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是（） A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称，f(3)=3，则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 ． 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求函数值，根据函数奇偶性求参数值等． 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题． 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意： 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 2.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 1 2 3.奇函数的图象关于原点对称； 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同， 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2. 若f (x )是奇函数，且在x ＝0处有定义，则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数，则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点？ (1)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． (2)判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的 每一个x ， 均有f (－x )＝－f (x )、f (－x )＝f (x )， 而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)． (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0=f ． (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2．判断函数的奇偶性的方法 （1）定义法： 1)首先要研究函数的定义域， 高考数学专题练习--函数奇偶性 1. (·沈阳模拟)函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ? ?? ??52的值为 【答案】1 2 【解析】∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2.∴f ? ?? ??52＝f ? ????12＋2＝f ? ?? ??12＝2×12×? ????1－12＝12. 2. (·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝ ???? ? x ＋a ，－1≤x ＜0，???? ?? 25－x ，0≤x ＜1，其中a ∈R.若f ? ????－52＝f ? ?? ??92，则f (5a )的值是________． 【答案】－25 . 3. (·广州联考)已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2 ，则f (7)＝________. 【答案】－2 【解析】因为f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝4，又f (x )在R 上是奇函数，所以f (7)＝f (－1)＝－f (1)＝－2×12 ＝－2. 4. (·泰安模拟)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为________. 【答案】2 【解析】设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2 函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立） 考点五函数的性质——单调性、奇偶性、周期性 知识梳理 1．函数的单调性 (1) 单调函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1 函数的奇偶性与周期性考点和题型归纳 一、基础知 1．函数的奇偶性 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： (1)f (－x )＝f (x )?f (－x )－f (x )＝0?f (－x ) f (x )＝1?f (x )为偶函数； (2)f (－x )＝－f (x )?f (－x )＋f (x )＝0?f (－x ) f (x )＝－1?f (x )为奇函数． 2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 周期函数定义的实质 存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次． (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 二、常用结论 1．函数奇偶性常用结论 (1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)． (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝ 1 f (x ) ，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1 f (x )，则T ＝2a (a >0)． 3．函数图象的对称性 (1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称． 考点一 函数奇偶性的判断 [典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2 |x ＋3|－3； (2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2) |x －2|－2 ； (4)f (x )＝? ??? ? x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0. [解] (1)由f (x )＝36－x 2 |x ＋3|－3，可知????? 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0?????? －6≤x ≤6， x ≠0且x ≠－6， 故函数f (x )的定 义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数． 第三节函数的奇偶性与周期性 函数的奇偶性与周期性 结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义． 知识点一函数的奇偶性 奇偶性定义图象特点 偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)、f(－x0)＝f(x0)． 3．分段函数奇偶性判定时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的． 必记结论 1．函数奇偶性的几个重要结论： (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．有关对称性的结论： (1)若函数y＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)关于x＝a对称． 若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)关于点(a,0)对称． (2)若f(x)＝f(2a－x)，则函数f(x)关于x＝a对称． 若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称． [自测练习] 1．函数f(x)＝lg(x＋1)＋lg(x－1)的奇偶性是( ) A 级 课时对点练 (时间：40分钟 满分：70分) 一、填空题(每小题5分，共40分) 1．已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋m 2－7m ＋12为偶函数，则m 的值是________． 解析：解法一：∵f (x )为偶函数，则m －2＝0， ∴m ＝2，应填2. 解法二：∵f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )对x ∈R 恒成立，故有2(m －2)x ＝0对x ∈R 恒成立，故m －2＝0，∴m ＝2，应填2. 答案：2 2．已知函数f (x )＝1＋m e x －1 是奇函数，则m 的值为________． 解析：∵f (－x )＝－f (x )，即f (－x )＋f (x )＝0，∴1＋m e －x －1＋1＋m e x －1＝0，∴2－m e x e x －1 ＋m e x －1＝0，∴2＋m e x －1 ·(1－e x )＝0，∴2－m ＝0，∴m ＝2. 答案：2 3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝2x －3，则f (－2)＝________. 解析：解法一：设x <0，则－x >0，f (－x )＝2－x －3＝－f (x )，故f (x )＝3－2－ x ，所以f (－ 2)＝3－22＝－1. 解法二：f (2)＝22－3＝1，∵f (x )为奇函数，∴f (－2)＝－f (2)＝－1. 答案：－1 4．(2010·安徽改编)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3) －f (4)＝________. 解析：∵f (x ＋5)＝f (x )且f (－x )＝－f (x )， ∴f (3)＝f (3－5)＝f (－2)＝－f (2)＝－2， f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， 故f (3)－f (4)＝(－2)－(－1)＝－1. 答案：－1 5．(2010·山东改编)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常 数)，则f (－1)＝________. 解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， f (0)＝0，则b ＝－1，f (x )＝2x ＋2x －1， f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2－1)＝－3. 函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1．(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R ，且是奇函数的是( ) A ．f(x)＝x2＋x B ．f(x)＝tan x C ．f(x)＝x ＋sin x D ．f(x)＝lg 1－x 1＋x 2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f(x)g(x)是偶函数 B ．|f(x)|g(x)是奇函数 C ．f(x)|g(x)|是奇函数 D ．|f(x)g(x)|是奇函数 3．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1，若f(a)＝23 ，则f(－a)＝( ) A.23 B ．－23 C.43 D ．－43 4．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f(x)＝x －1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－1,1) C ．(－1,0)∪(1,3) D ．(－1,0)∪(0,1) 6．设奇函数f(x)的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f(1)≥1，f(2)＝2a －3a ＋1 ，则a 的取值范围是( ) A ．a<－1或a≥23 B ．a<－1 C ．－1 高考数学专题练习：函数奇偶性 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ (满分100分，测试时间50分钟) 一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 【江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当 01x <<时，()8x f x =，则193f ?? -= ??? __________． 【答案】－2 【解析】 试题分析：由题意1 31911 ()()()82333 f f f -=-=-=-=-． 2. 【江苏省苏州市高三暑假自主学习测试】定义在R 上的奇函数()f x ，当0x >时， ()22x f x x =-，则()(0)1f f +-＝ ▲ ． 【答案】1- 【解析】 3. 【江苏省泰州中学高三摸底考试】函数42 sin 11 x y x x =-++（x R ∈）的最大值与最小值之和为 ． 【答案】2 【解析】 试题分析：因为 42sin 1x y x x = ++为奇函数，其最大值与最小值之和为0，因此函数 42sin 11x y x x =- ++（x R ∈）的最大值与最小值之和为2 4. 【南京市高三年级学情调研】已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且 1()()()2x f x g x +=，若存在01 [,1]2 x ∈，使得等式00()(2)0af x g x +=成立，则实数a 的取 值范围是 . 【答案】5 [22,2]2 【解析】 5. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县高三10月联考】已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且(0,2)x ∈时2()1f x x =+，则(7)f 的值为 ▲ ． 【答案】2- 【解析】 试题分析：(4)()T 4f x f x +=?=,所以(7)(1)(1) 2.f f f =-=-=- 6. 【泰州中学第一学期第一次质量检测】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≤时 ()32x f x x m =-+（m R ∈，m 为常数），则(2)f = ． 【答案】28 9 - 【解析】 试 题 分 析 ： 由 题 意 得 (0)0101 f m m =?+=?=-，所以 (2)f =228(2)(341)9 f -=--=-+-=- 7.已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝? ?? ??12x ，则f (1)， g (0)， g (－1)之间的大小关系是______________． 【答案】f (1)>g (0)>g (－1) 函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 2.(1)周期函数 对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．(√) (6)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√) (7)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×) (8)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√) (9)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．(√) (10)若某函数的图象关于y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√) 考点一 判断函数的奇偶性 高考数学总复习之函数的奇偶性和周期性 一、知识梳理 1.奇函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ）〔或f （x ）+ f （－x ）=0〕，则称f （x ）为奇函数. 2.偶函数：对于函数f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ）〔或f （x ）－f （－x ）=0〕，则称f （x ）为偶函数. 3.奇、偶函数的性质 （1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）. （2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称. （3）若奇函数的定义域包含数0，则f （0）=0. （4）奇函数的反函数也为奇函数. （5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f （x ）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和. 4.函数的周期性 （1）周期函数的定义：对于函数)(x f 定义域内的每一个x ，若存在非零常数T ，使得)()(x f T x f =+恒成立，则称函数)(x f 具有周期性，T 叫做)(x f 的一个周期，则)0,(≠∈k Z k kT 也是)(x f 的周期，所有周期中的最小正数叫)(x f 得最小正周期。 （2）常用结论 ①若)(x f y =图象有两条对称轴a x =，b x =)(b a ≠，则)(x f y =是周期函数，且周期为||2b a T -=； ②若)(x f y =图象有两个对称中心A )0,(a ，B )0,(b )(b a ≠，则)(x f y =是周期函数，且周期为||2b a T -=； ③若)(x f y =图象有一个对称中心A )0,(a ，和一条对称轴b x =)(b a ≠，则)(x f y =是周期函数，且周期为||4b a T -=； ④若函数)(x f y =满足)()(x f x a f -=+，则)(x f y =是周期函数，且a T 2=； ⑤若函数)(x f y =满足)0() (1 )(≠± =+a x f a x f ，则)(x f y =是周期函数，且a T 2=； ⑥若函数)(x f y =满足)()(a x f x a f -=+，则)(x f y =是周期函数，且a T 2=； ⑦若函数)(x f y =满足) (1) (1)(x f x f x a f -+- =+，则)(x f y =是周期函数，且a T 4=； 二、点击双基 1.下面四个结论中，正确命题的个数是（ ） ①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称 ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：①不对；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f （x ）=0〔x ∈（－a ，a ）〕. 答案：A 2.已知函数f （x ）=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么g （x ）=ax 3＋bx 2＋cx 是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数 函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全 函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。需要WORD 电子文档的同学，可以入群领取。 1.奇偶函数： 设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-() ()()0, 1() f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。() ()-()0, 1() f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义： 对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。 《 分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:), (x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量 )()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。 [][]?? ?++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f 难点8 奇偶性与单调性(二) 函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识. ●难点磁场 (★★★★★)已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0,解不等式f ［log 2(x 2+5x +4)］≥0. ●案例探究 ［例1］已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2+3x －4(x ∈B )的最大值. 命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目. 知识依托：主要依据函数的性质去解决问题. 错解分析：题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域. 技巧与方法：借助奇偶性脱去“f ”号，转化为x cos 不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值. 解：由???<<-<3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2 函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 奇函数偶函数 定义 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做 偶函数 图象特征关于原点对称关于y轴对称 2. (1)周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√) (6)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√) (7)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×) (8)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√) (9)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√) (10)若某函数的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√) 考点一判断函数的奇偶性 高考数学专题练习-函数奇偶性 【考纲解读】 内 容 要 求 备注 A B C 函数概念与基 本初等函数Ⅰ 函数的基本性质 √ 1．了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定 义判断一些简单函数的奇偶性． 2．掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并能熟练地 利用对称性解决函数的综合问题． 【直击考点】 题组一 常识题 1．[教材改编] 函数f (x )＝x 2－1，f (x )＝x 3，f (x )＝x 2 ＋cos x ，f (x )＝1x ＋|x |中偶函数的个 数是________． 【答案】2 【解析】f (x )＝x 2 －1和f (x )＝x 2 ＋cos x 为偶函数． 2．[教材改编] 已知f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x －1，则f (－2)＝________． 【答案】1－ 2 【解析】f (－2)＝－f (2)＝－(2－1)＝1－ 2. 3．[教材改编] 已知函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，当x ∈(0，1]时，f (x )＝log 4(x 2 ＋3)，则 f (2017)＝________． 【答案】1 题组二 常错题 4．函数f (x )＝lg （1－x 2 ） |x ＋3|－3是________(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)函数． 【答案】奇 【解析】由? ????1－x 2 ＞0， |x ＋3|－3≠0，得－1＜x ＜1，且x ≠0，∴函数f (x )的定义域为(－1，0)∪(0， 1)． ∵f (x )＝lg （1－x 2 ）|x ＋3|－3＝lg （1－x 2 ）x ，∴f (－x )＝lg （1－x 2 ） －x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． 5．具有性质：f ? ?? ??1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数： ①f (x )＝x －1 x ；②f (x )＝x ＋1 x ；③f (x )＝?????x ，0 函数的奇偶性与周期性 提高精讲 1. 函数f (x )＝0，x ∈R 既是奇函数又是偶函数 2.奇偶函数常用结论 3.周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时， 都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 4.周期函数常见结论： (1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a . (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a. (3)若f(x+a)=() x f 1 (a>0),则函数的周期为2a. (4)若f (x ＋a )＝－() x f 1，则函数的周期为2a. 5.对称函数（引申知识点） 如果函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称. 【考法一 奇偶性与不等式】 1. 若函数f (x )＝ 2x ＋1 2x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C (0,1) D ．(1，＋∞) 【考法二 求解析式】 1. 若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －x B.1 2(e x ＋e －x ) C.12(e －x －e x ) D 1 2(e x －e －x ) 2. 若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 3. 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________． 4. 设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B {x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6} D ．{x |x <－2或x >2} 【考法三 奇偶性与周期性综合】 1. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，则f (2014)等于( ) A 0 B ．3 C ．4 D ．6 2. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1)上单调递增，记a ＝f ? ???? 12，b ＝f (2)， c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )《函数的奇偶性与周期性》教案
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