一、什么是多元统计分析
多元统计分析是运用数理统计的方法来研究多变量（多指标）问题的理论和方法，是一元统计学的推广。
多元统计分析是研究多个随机变量之间相互依赖关系以及内在统计规律的一门统计学科。
二、多元统计分析的内容和方法
1、简化数据结构（降维问题）
将具有错综复杂关系的多个变量综合成数量较少且互不相关的变量，使研究问题得到简化但损失的信息又不太多。
（1）主成分分析
（2）因子分析
（3）对应分析等
2、分类与判别（归类问题）
对所考察的变量按相似程度进行分类。
（1）聚类分析：根据分析样本的各研究变量，将性质相似的样本归为一类的方法。
（2）判别分析：判别样本应属何种类型的统计方法。
例5：根据信息基础设施的发展状况，对世界20个国家和地区进行分类。
考察指标有6个：
1、X1：每千居民拥有固定电话数目
2、X2：每千人拥有移动电话数目
3、X3：高峰时期每三分钟国际电话的成本
4、X4：每千人拥有电脑的数目
5、X5：每千人中电脑使用率
6、X6：每千人中开通互联网的人数
3、变量间的相互联系
一是：分析一个或几个变量的变化是否依赖另一些变量的变化。（回归分析）
二是：两组变量间的相互关系（典型相关分析）
4、多元数据的统计推断
点估计
参数估计区间估计
统u检验
计参数t检验
推F检验
断假设相关与回归
检验卡方检验
非参秩和检验
秩相关检验
1、假设检验的基本原理
小概率事件原理
小概率思想是指小概率事件（P<0.01或P<0.05等）在一次试验中基本上不会发生。反证法思想是先提
出假设(检验假设H0)，再用适当的统计方法确定假设成立的可能性大小，如可能性小,则认为假设不成立；反之，则认为假设成立。 2、假设检验的步骤 （1）提出一个原假设和备择假设
例如：要对妇女的平均身高进行检验，可以先假设妇女身高的均值等于 160 cm （u=160cm ）。这种原
假设也称为零假设（ null hypothesis ），记为 H 0 。
2.1 均值向量的检验
1、正态总体均值检验的类型
根据样本对其总体均值大小进行检验（ One-Sample T Test ） 如妇女身高的检验。
根据来自两个总体的独立样本对其总体均值的检验（ Indepent Two-Sample T Test ） 如两个班平均成绩的检验。
配对样本的检验（ Pair-Sample T Test ） 如减肥效果的检验。
多个总体均值的检验 A 、总体方差已知 用u 检验，检验的拒绝域为
即 B 、总体方差未知
用样本方差 代替总体方差 ，这种检验叫t 检验.
（2）根据来自两个总体的独立样本对其总体均值的检验
目的是推断两个样本分别代表的总体均数是否相等。其检验过程与上述两种t 检验也没有大的差别，只
是假设的表达和t 值的计算公式不同。 两样本均数比较的t 检验,其假设一般为：
12
{
}W z u α-
=>112
2
{}
W z u
z
u
αα
-
-
=<->或2
s
2σ
Ⅲ 0μμ= 0μμ< α--<1u z )1(1--<-n t t α
H0：μ1=μ2，即两样本来自的总体均数相等.
H1：μ1>μ2或μ1<μ2，即两样本来自的总体均数不相等，检验水准为0.05。
计算t统计量时是用两样本均数差值的绝对值除以两样本均数差值的标准误。
相应的假设检验问题为：
H0：μ1=μ2
H1: μ1大于μ2
μ1 为第一组的总体均值，而μ2 为第二组的总体均值。
用SPSS 处理数据：
Spss 选项：Analyze—Compare Means —Independent-Samples T Test
3、配对样本的检验（paired samples ）
（针对同样的样本）考察实验前后样本均值有无差异。能够很好地控制非实验因素对结果的影响注意：实验前后两个样本两个样本并不独立
注意：同一样本实验前后并不独立，但不同样本之间却相互独立。
配对样本的检验实际上是用配对差值与总体均数“0”进行比较，即推断差数的总体均数是否为“0”。故其检验过程与依据样本均数推断总体均数大小的t检验类似，即：
A、建立假设
H0：μd=0，即差值的总体均数为“0”，H1：μd>0或μd<0，即差值的总体均数不为“0”，检验水平为α。
B. 计算统计量
进行配对设计t检验时t值为差值均数与0之差的绝对值除以差值标准误的商，其中差值标准误为差值标准差除以样本含量算术平方根的商。
C. 确定概率，作出判断
以自由度v(对子数减1)查t界值表，若P<α，则拒绝H0，接受H1，若P>=α，则还不能拒绝H0。
例4：要比较50个人在减肥前和减肥后的重量。这样就有了两个样本，每个都有50个数目。
这里不能用前面的独立样本均值差的检验；这是因为两个样本并不独立。
每一个人减肥后的重量都和自己减肥前的重量有关。但不同人之间却是独立的。令减肥前的重量均值为μ1 ，而减肥后的均值为μ2 ；这样所要进行的检验为：
H0：μ1＝μ2
H1：μ1大于μ2
一、方差分析的基本思想 1、定义
方差分析又称变异数分析或F 检验，其目的是推断两组或多组资料的总体均数是否相同，检验两个或多个样本均数的差异是否有统计学意义。
2、了解方差分析中几个重要概念： （1）观测因素或称为观测变量
如：考察农作物产量的影响因素。农作物产量就是观测变量。
（2）控制因素或称控制变量
进行试验(实验)时,我们称可控制的试验条件为因素(Factor),因素变化的各个等级为水平(Level)。 影响农作物产量的因素，如品种、施肥量、土壤等。
如果在试验中只有一个因素在变化,其他可控制的条件不变,称它为单因素试验; 若试验中变化的因素有两个或两个以上,则称为双因素或多因素试验 。
方差分析就是从观测变量的方差入手，研究诸多控制变量（因素）中哪些变量是对观测变量有显著影
响的变量
3、方差分析的基本原理
设有r 个总体，各总体分别服从 …… ，假定各总体方差相等。现从各总体随机抽取样本。透过各总体的样本数据推断r 个总体的均值是否相等？
:至少有一组数据的平均值与其它组的平均值有显著性差异。
分析的思路：用离差平方和（SS ）描述所有样本总的变异情况，将总变异分为两个来源：
（1）组内变动（within groups ），代表本组内各样本与该组平均值的离散程度，即水平内部（组内）方差 （2）组间变动（between groups ），代表各组平均值关于总平均值的离散程度。即水平之间（组间）方差 即：SS 总=SS 组间+SS 组内
消除各组样本数不同的影响--离差平方和除以自由度（即均方差）。从而构造统计量：
方差分析的基本思想就是通过组内方差与组间方差的比值构造的F 统计量，将其与给定显著性水平、
自由度下的F 值相对比，判定各组均数间的差异有无统计学意义。 零假设否定域：
例2 SIM 手机高、中、低三种收入水平被调查者的用户满意度是否有显著性差异 即：研究被调查者的收入水平是否会影响其对SIM 手机的满意程度。
SPSS 处理：Analyze — Compare Mean — One-Way ANOV A 多元方差分析（操作参见书例2.1，第36页）：
SPSS 选项： Analyze — General Linear Model — Multivariate
可用男、女生的身高、体重、胸围组成的样本均数向量推论该年级男、女生身体发育指标的总体均数向量μ1和μ2相等与否, 得到：
F=8.8622，P=0.0008。拒绝该年级男女生身体发育指标的总体均数向量相等的假设，从而可认为该校男女生身体发育状况不同。
4、方差分析的应用条件
（1）可比性，若资料中各组均数本身不具可比性则不适用方差分析。
21
(,)N μσ22
(,)N μσ2(,)
r
N μσ012:r
H μμμ== 1
H (1)
SS r F SS -=
组间组内(n-r)
1,(
)r n r F F α--
（2）正态性，各组的观察数据，是从服从正态分布的总体中随机抽取的样本。即偏态分布资料不适用方差分析。对偏态分布的资料应考虑用对数变换、平方根变换、倒数变换、平方根反正弦变换等变量变换方法变为正态或接近正态后再进行方差分析。
（3）方差齐性，各组的观察数据，是从具有相同方差的相互独立的总体中抽取得到的。即若组间方差
不齐则不适用方差分析。
依据涉及的分析变量多少分为：一元方差分析、多元方差分析
依据对分析变量的影响因素的数量分为：单因素方差分析、多因素方差分析
一、什么是聚类分析？ 聚类分析(P54)
是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。
将个体或对象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他类的对象的相似性更强。
聚类分析的目的(P54)
使类内对象的同质性最大化和类间对象的异质性最大化。
二、聚类分析的基本思想：
是根据一批样品的多个观测指标，具体地找出一些能够度量样品或指标之间相似程度的统计量，然后利用统计量将样品或指标进行归类。把相似的样品或指标归为一类，把不相似的归为其他类。直到把所有的样品（或指标）聚合完毕.
相似样本或指标的集合称为类。 1、聚类分析的类型有：
对样本分类，称为Q 型聚类分析 对变量分类，称为R 型聚类分析
Q 型聚类是对样本进行聚类，它使具有相似性特征的样本聚集在一起，使差异性大的样本分离开来。 R 型聚类是对变量进行聚类，它使具有相似性的变量聚集在一起，差异性大的变量分离开来，可在相似变量中选择少数具有代表性的变量参与其他分析，实现减少变量个数，达到变量降维的目的。
2、聚类分析的方法： 系统聚类（层次聚类） 非系统聚类（非层次聚类）
系统聚类法包括：凝聚方式聚类、分解方式聚类
非系统聚类法包括：模糊聚类法、K －均值法（快速聚类法）等等 常用距离：
（1）、明考夫斯基距离(Minkowski distance)
明氏距离有三种特殊形式：
（1a ）、绝对距离（Block 距离）:当q=1时 （1b)欧氏距离(Euclidean distance):当q=2时
（1c)切比雪夫距离:当 时
g
p
k g
jk ik ij x x d 1
1
)||(∑=-=()∑=-=
p
k jk
ik
ij x x
d 1
1()2
112)(2?
?
????-=∑=p
k jk ik ij x x d q =∞
jk
ik p
k ij x x d -=∞≤≤1max )(
当各变量的单位不同或测量值范围相差很大时，不应直接采用明氏距离，而应先对各变量的数据作标
准化处理，然后用标准化后的数据计算距离。常用的标准化处理：
其中 为第j 个变量的样本均值；
为第j 个变量的样本方差。
（4）马氏距离
*1,2,,1,2,,ij x x x i n j p
-
-=
== 1
1n
j
ij i x x n -
==∑2
1
1()1n jj
ij j
i s x x n -==--∑)
()(2j i 1j i x x x x -∑'-=-ij d 1/2[()()]
ij d -'=-∑-1i j i j x x x x
马氏距离与上述各种距离的主要不同就是马氏距离考虑了观测变量之间的相关性。如果假定各变量之间相互独立，即观测变量的协方差矩阵是对角矩阵，则马氏距离就退化为用各个观测指标的标准差的倒数作为权数进行加权的欧氏距离。因此，马氏距离不仅考虑了观测变量之间的相关性，而且也考虑到了各个观测指标取值的差异程度，为了对马氏距离和欧氏距离进行一下比较，以便更清楚地看清二者的区别和联系，现考虑一个例子。
1、类的定义
相似样本或指标的集合称为类。 （数学表达见63-64页定义3.1-3.4）
2、类的特征描述： 设类G 这一集合有
x
x x m
......,2
1
m 为G 内的样本数。其特征：
（1）均值（或称为重心）
（2）协方差矩阵
(3) G 的直径
d 12=[(7.9-7.68)2+(39.77-50.37)2+(8.49-11.35)2+(12.94-13.3)2+(19.27-19.25)2+(11.05-14.59)2+(2.04-2.75)2+(13.29-14.87)
2]0.5
=11.67
d 13=13.80 d 14=13.12 d 15=12.80 d 23=24.63 d 24=24.06 d 25=23.54 d 34=2.2 d 35=3.51 d 45=2.21
1 2 3 4 5 D1= 1 0 河南与甘肃的距离最近，
2 11.67 0 先将二者（3和4）合为
3 13.80 24.63 0 一类 G6={G2，G4}
4 13.12 24.06 2.20 0
5 12.80 23.54 3.51 2.21 0
1
1m G
i i x x m -
==∑'
1
()()m
G i G i G i s x x x x -
-
==--∑1
1
G G
s n ∑=
-,max G ij
i j G
D d ∈=
判别分析
根据已知对象的某些观测指标和所属类别来判断未知对象所属类别的一种统计学方法。
如何判断（判断依据）？ 利用已知类别的样本信息求判别函数，根据判别函数对未知样本所属类别进行判别 判别分析的特点（基本思想）
１、是根据已掌握的、历史上若干样本的p 个指标数据及所属类别的信息，总结出该事物分类的规律性，建立判别公式和判别准则。
2、根据总结出来的判别公式和判别准则，判别未知类别的样本点所属的类别。
判别分析的目的：识别一个个体所属类别
3、判别分析和聚类分析往往联合使用。当总体分类不清楚时，先用聚类分析对一批样本进行分类，再用判别分析构建判别式对新样本进行判别。此外判别分析变量情况： 被解释变量为属性变量； 解释变量是定量变量。 判别分析类型及方法
（1）按判别的组数来分，有两组判别分析和多组判别分析
（2）按区分不同总体所用的数学模型来分，有线性判别和非线性判别 （3）按判别对所处理的变量方法不同有逐步判别、序贯判别。 （4）按判别准则来分，有费歇尔判别准则、贝叶斯判别准则
距离判别
基本思想即：首先根据已知分类的数据，分别计算各类的重心即各组（类）的均值，判别的准则是对任给样品，计算它到各类平均数的距离，哪个距离最小就将它判归哪个类。 （一）两个总体的距离判别法 1、方差相等
先考虑两个总体的情况，设有两个协差阵∑相同的p 维正态总体，对给定的样本Y ，判别一个样本Y 到底是来自哪一个总体，一个最直观的想法是计算Y 到两个总体的距离。故我们用马氏距离来给定判别规则，有：
2、当总体的协方差已知，且不相等
贝叶斯(Bayes)判别 ---------(考计算题)
()()()()?????=<∈<∈)
,(),(221212
22222121G y d G y d G d G d G G d G d G 如待判，，，如，，，，如，y y y y y y ()()()()??
???=<∈<∈),(),(221212
22222121G y d G y d G d G d G G d G d G 如待判，，，如，，，，如，y
y y y y y )()()()(),(),(11
1121
2
21222μμμμ-∑'---∑'-=---y y y y y y G d G d )
()()()()
,(),(11
121
212
22μμμμ-'---'-=---y y y y y y ∑∑
G d G d 22211y y y μμμ1
2---'+'-'=∑∑∑)2(111
1μμμ---∑'+∑'-∑'-11y y y )(]2
)
([221121y μμμμ-∑'+-=-2
2
1μμμ+=
令),,,()(21'
=-∑=-p a a a 211
μμα
? 贝叶斯判别法是通过计算被判样本x 属于k 个总体的条件概率P （n/x),n=1,2…..k. 比较k 个概率的大
小，将样本判归为来自出现概率最大的总体（或归属于错判概率最小的总体）的判别方法。 ? 一、最大后验概率准则
? 例7：设有
G 1
，G
2
和
G 3
三个类，欲判别某样本x 0
属于哪一类．已知
现利用后验概率准则计算 x
0 属于各组的后验概率：
贝叶斯公式:
?
所谓Fisher 判别法，就是用投影的方法将
k 个不同总体在p 维空间上的点尽可能分散，同一总体内的
各样本点尽可能的集中。用方差分析的思想则可构建一个较好区分各个总体的线性判别法 -------- (只
作了解)
例：设先验概率、误判损失及概率密度如下：
,30.0,65.0,05.0321===q q q 10.0)(01=x f 63.0)(02=x f 4.2)(03=x f 004
.01345.1005
.04.230.063.065.010.005.010.005.0)
()
()(3
1
01101==?+?+??=
=
∑=i i
i x f q x f q x G P 361
.01345.14095
.04.230.063.065.010.005.063.065.0)
()
()(3
1
02202==?+?+??=
=
∑=i i
i x f q x f q x G P 635
.01345
.172
.04.230.063.065.010.005.04.230.0)
()
()(3
1
03303==?+?+??=
=
∑=i i
i x f q x f q x G P )()|()
()|()|(i i i i i B P B A P B P B A P A B P ∑=判别为
G1
G2
G3
G1 C(1/1)=0
C(2/1)=20
C(3/1)=80 G2 C(1/2)=400 C(2/2)= 0
C(3/2)=200
真
实 组
G3
C(1/3)=100 C(2/3)=500 C(3/3)=0
先验概率 P1=0.55 P2=0.15 P3=0.30 概率密度
f1=0.46
f2=1.5
F3=0.70
试用贝叶斯判别法将样本x0判到G1、G2、G3中的一个。考虑与不考虑误判损失的结果如何？
1、考虑误判损失：
误判到G1的平均损失为
ECM1＝0.55*0.46*0+0.15*1.5*400+0.30*0.70*100＝
误判到G2的平均损失为
ECM2＝0.55*0.46*20+0.15*1.5*0+0.30*0.70*50＝
误判到G3的平均损失为
ECM3＝0.55*0.46*80+0.15*1.5*200+0.30*0.70*0＝
其中ECM2最小，故将x0判别到G2。
2、不考虑误判损失：
将x0判别到G1的条件概率为：
P（G1/x0) =(0.55*0.46)/(0.55*0.46+0.15*1.5+0.30*0.70)=
将x0判别到G2的条件概率为：
P（G2/x0) =(0.15*1.5)/(0.55*0.46+0.15*1.5+0.30*0.70)=
将x0判别到G3的条件概率为：
P（G3/x0) =(0.30*0.70)/(0.55*0.46+0.15*1.5+0.30*0.70)=
其中P（G1/x0) 取值最大，故将x0判别到G1。
主成分分析的重点
1、掌握什么是主成分分析？
2、理解主成分分析的基本思想和几何意义？
3、理解主成分求解方法：协方差矩阵与相关系数矩阵的差异？
4、掌握运用SPSS或SAS软件求解主成分
5、对软件输出结果进行正确分析
主成分分析：将原来较多的指标简化为少数几个新的综合指标的多元统计方法。
主成分：由原始指标综合形成的几个新指标。依据主成分所含信息量的大小成为第一主成分，第二主成分等等。
主成分分析得到的主成分与原始变量之间的关系：
1、主成分保留了原始变量绝大多数信息。
2、主成分的个数大大少于原始变量的数目。
3、各个主成分之间互不相关。
4、每个主成分都是原始变量的线性组合。
满足如下的条件：
1、每个主成分的系数平方和为1。即
2、主成分之间相互独立，即无重叠的信息。即
1
2
2
2
2
1
=
+
+
+
pi
i
i
u
u
u
p
j
i
j
i
F
F
Cov
j
i
，
，
，
，
，
，
）
，
（
2
1
0=
≠
=
3、主成分的方差依次递减，重要性依次递减，即
F1、F2….Fp 分别称为原变量的第一、第二….第p 个主成分。
根据旋转变换的公式：
I
U U U U ='='-,1
旋转变换的目的：为了使得n 个样品点在Fl 轴方向上的离散程度最大，即Fl 的方差最大。
总体主成分的求解及其性质
矩阵知识回顾： （1）特征根与特征向量
A 、若对任意的k 阶方阵C ，有数字 与向量 满足： ，则称 为C 的特征根， 为C 的相应于 的特征向量。
B 、同时，方阵
C 的特征根 是k 阶方程 的根。 （2）任一k 阶方阵C 的特征根 的性质：
（3）任一k 阶的实对称矩阵C 的性质： A 、实对称矩阵C 的非零特征根的数目＝C 的秩 B 、k 阶的实对称矩阵存在k 个实特征根
C 、实对称矩阵的不同特征根的特征向量是正交的
D 、若 是实对称矩阵C 的单位特征向量，则
若矩阵 ，是由特征向量 所构成的，则有：
因子分析的重点
1、什么是因子分析？
2、理解因子分析的基本思想
3、因子分析的数学模型以及模型中公共因子、因子载荷变量共同度的统计意义
4、因子旋转的意义
5、结合SPSS 软件进行案例分析 1、什么是因子分析？
因子分析是主成分分析的推广，也是利用降维的思想，由研究原始变量相关矩阵或协方差矩阵的内部依赖关系出发，把一些具有错综复杂关系的多个变量归结为少数几个综合因子的一种多元统计分析方法。 2、因子分析的基本思想：
把每个研究变量分解为几个影响因素变量，将每个原始变量分解成两部分因素，一部分是由所有变量共
)
()(21p F Var F Var F Var ≥≥≥ ）（??
?+-=+=θ
θθ
θcos sin sin cos 212211x x y x x y x U '=???
?
?????? ??-=???? ??
2121cos sin sin cos x x y y θθ
θθ正交矩阵，即有为旋转变换矩阵，它是U 'λξξλξC =λλ
λ0=
-I C λj
λ对角线上的元素之和
矩阵C C tr k
j j
==∑=)(1
λ
j
ξj
j j C λξξ='ξj
ξ
?????
?????=k j j C λλξξ
01
'
同具有的少数几个公共因子组成的，另一部分是每个变量独自具有的因素，即特殊因子。 4、主成分分析分析与因子分析的联系和差异：
因子分析是主成分分析的推广，是主成分分析的逆问题。主成分分析是将原始变量加以综合、归纳；因子分析是将原始变量加以分解、演绎。
（1）主成分分析仅仅是变量变换，而因子分析需要构造因子模型。
（2）主成分分析:原始变量的线性组合表示新的综合变量，即主成分； 因子分析：用潜在的假想变量（公共因子）和随机影响变量（特殊因子）的线性组合表示原始变量。用假设的公因子来“解释”相关矩阵内部的依赖关系。
（3）主成分分析中主成分个数和变量个数相同，它是将一组具有相关关系的变量变换为一组互不相关的变量，在解决实际问题时，一般取前m 个主成分； 因子分析的目的是用尽可能少的公因子，以便构造一个结构简单的因子模型。
共同度----又称共性方差或公因子方差（community 或common variance ）就是变量与每个公共因子之负荷量的平方总和（一行中所有因素负荷量的平方和）。变量 的共同度是因子载荷矩阵的第i 行的元素的平方和。记为
从共同性的大小可以判断这个原始实测变量与公共因子间之关系程度。如因子分析案例中 共同度h12=(0.896)平方+(0.341)平方=0.919
因子负荷量（或称因子载荷）----是指因子结构中原始变量与因子分析时抽取出的公共因子的相关程度。
i
X 。∑==
m
j ij i a h 1
2
2i
m im 2i21i1*i F F F x εααα++?++=ij
i j m
1
i j m
1i j *
i Fj),cov()F ,cov( )
F ,cov()F ,Cov(x αεαεα=+=+=∑∑==k ik i k ik F F )
var(*)var()
*,cov(r ij j i j i F x F x r =
=α
.. .. 多元统计分析及R 语言建模考试试卷 一、简答题（共5小题，每小题6分，共30分） 1. 常用的多元统计分析方法有哪些？ （1）多元正态分布检验 （2）多元方差-协方差分析 （3）聚类分析 （4）判别分析 （5）主成分分析 ______________ 课程类别 必修[ ] 选修[ ] 考试方式 开卷[ ] 闭卷[ ]
（7）对应分析 （8）典型相关性分析 （ 9）定性数据建模分析 （10）路径分析（又称多重回归、联立方程） （11）结构方程模型 （12）联合分析 （13）多变量图表示法 （14）多维标度法 2. 简单相关分析、复相关分析和典型相关分析有何不同？并举例说明之。 简单相关分析：简单相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法。例如，以X、Y分别记小学生的数学与语文成绩，感兴趣的是二者的关系如何，而不在于由X去预测Y。 复相关分析；研究一个变量 x0与另一组变量 (x1,x2,…，xn)之间的相关程度。例如,职业声望同时受到一系列因素（收入、文化、权力……）的影响，那么这一系列因素的总和与职业声望之间的关系，就是复相关。复相关系数R0.12…n的测定，可先求出 x0对一组变量x1，x2，…，xn的回归直线，再计算x0与用回归直线估计值悯之间的简单直线回归。复相关系数为R0.12…n的取值围为0≤R0.12…n≤1。复相关系数值愈大，变量间的关系愈密切。 典型相关分析就是利用综合变量对之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性的多元统计分析方法。它的基本原理是：为了从总体上把握两组指标之间的相关关系，分别在两组变量中提取有代表性的两个综合变量U1和V1（分别为两个变量组中各变量的线性组合），利用这两个综合变量之间的相关关系来反映两组指标之间的整体相关性。
一、判断题 （ 对 ） 1 X ( X 1 , X 2 ,L , X p ) 的协差阵一定是对称的半正定阵 （ 对 （ ） 2 标准化随机向量的协差阵与原变量的相关系数阵相同。 对） 3 典型相关分析是识别并量化两组变量间的关系，将两组变量的相关关系 的研究转化为一组变量的线性组合与另一组变量的线性组合间的相关关系的研究。 （ 对 ）4 多维标度法是以空间分布的形式在低维空间中再现研究对象间关系的数据 分析方法。 （ 错）5 X (X 1 , X 2 , , X p ) ~ N p ( , ) ， X , S 分别是样本均值和样本离 差阵，则 X , S 分别是 , 的无偏估计。 n （ 对） 6 X ( X 1 , X 2 , , X p ) ~ N p ( , ) ， X 作为样本均值 的估计，是 无偏的、有效的、一致的。 （ 错） 7 因子载荷经正交旋转后，各变量的共性方差和各因子的贡献都发生了变化 （ 对） 8 因子载荷阵 A ( ij ) ij 表示第 i 个变量在第 j 个公因子上 a 中的 a 的相对重要性。 （ 对 ）9 判别分析中， 若两个总体的协差阵相等， 则 Fisher 判别与距离判别等价。 （对） 10 距离判别法要求两总体分布的协差阵相等， Fisher 判别法对总体的分布无特 定的要求。 二、填空题 1、多元统计中常用的统计量有：样本均值向量、样本协差阵、样本离差阵、 样本相关系数矩阵． 2、 设 是总体 的协方差阵， 的特征根 ( 1, , ) 与相应的单 X ( X 1,L , X m ) i i L m 位 正 交 化 特 征 向 量 i ( a i1, a i 2 ,L ,a im ) ， 则 第 一 主 成 分 的 表 达 式 是 y 1 a 11 X 1 a 12 X 2 L a 1m X m ，方差为 1 。 3 设 是总体 X ( X 1, X 2 , X 3, X 4 ) 的协方差阵， 的特征根和标准正交特征向量分别 为： 1 2.920 U 1' (0.1485, 0.5735, 0.5577, 0.5814) 2 1.024 U 2' (0.9544, 0.0984,0.2695,0.0824) 3 0.049 U 3' (0.2516,0.7733, 0.5589, 0.1624) 4 0.007 U 4' ( 0.0612,0.2519,0.5513, 0.7930) ，则其第二个主成分的表达式是
多元统计分析方法 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
多元统计分析概述 目录 一、引言 (3) 二、多元统计分析方法的研究对象和主要内容 (3) 1.多元统计分析方法的研究对象 (3) 2.多元统计分析方法的主要内容 (3) 三、各种多元统计分析方法 (3) 1.回归分析 (3) 2.判别分析 (6) 3.聚类分析 (8) 4.主成分分析 (10) 5.因子分析 (10) 6. 对应分析方法 (11) 7. 典型相关分析 (11) 四、多元统计分析方法的一般步骤 (12) 五、多元统计分析方法在各个自然领域中的应用 (12) 六、总结 (13) 参考文献 (14) 谢辞 (15)
一、引言 统计分布是用来刻画随机变量特征及规律的重要手段，是进行统计分布的基础和提高。多元统计分析方法则是建立在多元统计分布基础上的一类处理多元统计数据方法的总称，是统计学中的具有丰富理论成果和众多应用方法的重要分支。在本文中，我们将对多元统计分析方法做一个大体的描述，并通过一部分实例来进一步了解多元统计分析方法的具体实现过程。 二、多元统计分析方法的研究对象和主要内容 （一）多元统计分析方法的研究对象 由于大量实际问题都涉及到多个变量，这些变量又是随机变量，所以要讨论多个随机变量的统计规律性。多元统计分析就是讨论多个随机变量理论和统计方法的总称。其内容包括一元统计学中某些方法的直接推广，也包括多个随即便量特有的一些问题，多元统计分析是一类范围很广的理论和方法。 现实生活中，受多个随机变量共同作用和影响的现象大量存在。统计分析中，有两种方法可同时对多个随机变量的观测数据进行有效的分析和研究。一种方法是把多个随机变量分开分析，一次处理一个随机变量，分别进行研究。但是，这样处理忽略了变量之间可能存在的相关性，因此，一般丢失的信息太多，分析的结果不能客观全面的反映整个问题，而且往往也不容易取得好的研究结论。另一种方法是同时对多个随机变量进行研究分析，此即多元统计方法。通过对多个随即便量观测数据的分析，来研究随机变量总的特征、规律以及随机变量之间的相互
华南农业大学期末试卷（A 卷） 2006学年第2学期 考试科目：多元统计分析 考试类型：（闭卷） 考试时间：120 分钟 学号 姓名 年级专业 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 评阅人 一、填空题（5×6=30） 22121212121~(,),(,),(,),, 1X N X x x x x x x ρμμμμσρ ?? ∑==∑= ???+-1、设其中则Cov(,)=____. 10 31 2~(,),1,,10,()()_________i i i i X N i W X X μμμ=' ∑=--∑、设则=服从。 ()1 2 34 433,4 92,32 16___________________ X x x x R -?? ?'==-- ? ?-? ? =∑、设随机向量且协方差矩阵则它的相关矩阵 4、 __________， __________， ________________。 215,1, ,16(,),(,) 15[4()][4()]~___________i p p X i N X A N T X A X μμμμ-=∑∑'=--、设是来自多元正态总体和分别为正态总体的样本均值和样本离差矩阵,则。 (), 123设X=x x x 的相关系数矩阵通过因子分析分解为 211X h = 的共性方差111 X σ = 的方差21X g =1公因子f 对的贡献121330.93400.1280.9340.4170.83511 00.4170.8940.02700.8940.44730.8350.4470.1032013 R ? ? - ????? ? -?? ? ? ?=-=-+ ? ? ? ??? ? ? ????? ? ???
第一章： 多元统计分析研究的内容（5点） 1、简化数据结构（主成分分析） 2、分类与判别（聚类分析、判别分析） 3、变量间的相互关系（典型相关分析、多元回归分析） 4、多维数据的统计推断 5、多元统计分析的理论基础 第二三章： 二、多维随机变量的数字特征 1、随机向量的数字特征 随机向量X 均值向量： 随机向量X 与Y 的协方差矩阵： 当X=Y 时Cov （X ，Y ）=D （X ）；当Cov （X ，Y ）=0 ，称X ，Y 不相关。 随机向量X 与Y 的相关系数矩阵： )',...,,(),,,(2121P p EX EX EX EX μμμ='=Λ)')((),cov(EY Y EX X E Y X --=q p ij r Y X ?=)(),(ρ
2、均值向量协方差矩阵的性质 (1).设X ，Y 为随机向量，A ，B 为常数矩阵 E （AX ）=AE （X ）； E （AXB ）=AE （X ）B; D(AX)=AD(X)A ’; Cov(AX,BY)=ACov(X,Y)B ’; (2).若X ，Y 独立，则Cov(X,Y)＝０，反之不成立． (3).X 的协方差阵D(X)是对称非负定矩阵。例2.见黑板 三、多元正态分布的参数估计 2、多元正态分布的性质 (1).若 ,则E(X)= ,D(X)= . 特别地，当 为对角阵时， 相互独立。 (2).若 ，Ａ为sxp 阶常数矩阵，d 为s 阶向量， ＡＸ＋d ～ . 即正态分布的线性函数仍是正态分布． (3).多元正态分布的边缘分布是正态分布，反之不成立． (4).多元正态分布的不相关与独立等价． 例３．见黑板． 三、多元正态分布的参数估计 (1)“ 为来自p 元总体X 的（简单）样本”的理解---独立同截面． (2)多元分布样本的数字特征---常见多元统计量 样本均值向量 ＝ 样本离差阵Ｓ＝ 样本协方差阵Ｖ＝ S ;样本相关阵Ｒ (3) ,Ｖ分别是 和 的最大似然估计； (4)估计的性质 是 的无偏估计； ,Ｖ分别是 和 的有效和一致估计； ； Ｓ～ ， 与Ｓ相互独立； 第五章 聚类分析： 一、什么是聚类分析 ：聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。用于对事物类别不清楚，甚至事物总共可能有几类都不能确定的情况下进行事物分类的场合。聚类方法：系统聚类法（直观易懂）、动态聚类法（快）、有序聚类法（保序）...... Q-型聚类分析（样品）R-型聚类分析（变量） 变量按照测量它们的尺度不同，可以分为三类：间隔尺度、有序尺度、名义尺度。 二、常用数据的变换方法:中心化变换、标准化变换、极差正规化变换、对数变换（优缺点） 1、中心化变换（平移变换）：中心化变换是一种坐标轴平移处理方法，它是先求出每个变量的样本平均值，再从原始数据中减去该变量的均值，就得到中心化变换后的数据。不改变样本间的相互位置，也不改变变量间的相关性。 2、标准化变换：首先对每个变量进行中心化变换，然后用该变量的标准差进行标准化。 经过标准化变换处理后，每个变量即数据矩阵中每列数据的平均值为0，方差为1，且也不再具有量纲，同样也便于不同变量之间的比较。 3、极差正规化变换（规格化变换）：规格化变换是从数据矩阵的每一个变量中找出其最大值和最小值，这两者之差称为极差，然后从每个变量的每个原始数据中减去该变量中的最小值，再除以极差。经过规格化变换后，数据矩阵中每列即每个变量的最大数值为1，最小数值为0，其余数据取值均在0－1之间；且变换后的数据都不再具有量纲，便于不同的变),(~∑μP N X μ∑μ p X X X ,,,21Λ),(~∑μP N X ) ,('A A d A N s ∑+μ)()1(,, n X X ΛX )',,,(21p X X X Λ)')(()()(1X X X X i i n i --∑=n 1 X μ∑μX )1,(~∑n N X P μ),1(∑-n W p X X
@什么是多元统计分析 多元统计分析是运用数理统计的方法来研究多变量（多指标）问题的理论和方法，是一元统计学的推广 @多元统计分析的内容和方法 1、简化数据结构,将具有错综复杂关系的多个变量综合成数量较少且互不相关的变量，使研究问题得到简化但损失的信息又不太多。（1）主成分分析（2）因子分析（3）对应分析等 2、分类与判别,对所考察的变量按相似程度进行分类。（1）聚类分析：根据分析样本的各研究变量，将性质相似的样本归为一类的方法。（2）判别分析：判别样本应属何种类型的统计方法。 @方差分析的基本思想:方差分析又称变异数分析或F检验，其目的是推断两组或多组资料的总体均数是否相同，检验两个或多个样本均数的差异是否有统计学意义。 应用条件: （1）可比性，若资料中各组均数本身不具可比性则不适用方差分析。（2）正态性，各组的观察数据，是从服从正态分布的总体中随机抽取的样本。 （3）方差齐性，各组的观察数据，是从具有相同方差的相互独立的总体中抽取得到的。 @聚类分析:是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法。将个体或对象分类，使得同一类中的对象之间的相似性比与其他类的对象的相似性更强。使类内对象的同质性最大化和类间对象的异质性最大化 @聚类分析的基本思想：是根据一批样品的多个观测指标，具体地找出一些能够度量样品或指标之间相似程度的统计量，然后利用统计量将样品或指标进行归类。把相似的样品或指标归为一类，把不相似的归为其他类。直到把所有的样品（或指标）聚合完毕. @判别分析的特点（基本思想）１、是根据已掌握的、历史上若干样本的p个指标数据及所属类别的信息，总结出该事物分类的规律性，建立判别公式和判别准则。2、根据总结出来的判别公式和判别准则，判别未知类别的样本点所属的类别。@聚类分析的类型有：(1)对样本分类，称为Q型聚类分析(2)对变量分类，称为R型聚类分析 # Q型聚类是对样本进行聚类，它使具有相似性特征的样本聚集在一起，使差异性大的样本分离开来。# R型聚类是对变量进行聚类，它使具有相似性的变量聚集在一起，差异性大的变量分离开来，可在相似变量中选择少数具有代表性的变量参与其他分析，实现减少变量个数，达到变量降维的目的。 @判别分析根据已知对象的某些观测指标和所属类别来判断未知对象所属类别的一种统计学方法。 @判别分析类型及方法（1）按判别的组数来分，有两组判别分析和多组判别分析（2）按区分不同总体所用的数学模型来分，有线性判别和非线性判别（3）按判别对所处理的变量方法不同有逐步判别、序贯判别。（4）按判别准则来分，有费歇尔判别准则、贝叶斯判别准则 @因子分析:因子分析是主成分分析的推广，也是利用降维的思想，由研究原始变量相关矩阵或协方差矩阵的内部依赖关系出发，把一些具有错综复杂关系的多个变量归结为少数几个综合因子的一种多元统计分析方法。 @主成分分析与因子分析的联系和差异：因子分析是主成分分析的推广，是主成分分析的逆问题。主成分分析是将原始变量加以综合、归纳；因子分析是将原始变量加以分解、演绎。（1）主成分分析仅仅是变量变换，而因子分析需要构造因子模型。（2）主成分分析:原始变量的线性组合表示新的综合变量，即主成分；因子分析：用潜在的假想变量（公共因子）和随机影响变量（特殊因子）的线性组合表示原始变量。用假设的公因子来“解释”相关矩阵内部的依赖关系。(3）主成分分析中主成分个数和变量个数相同，它是将一组具有相关关系的变量变换为一组互不相关的变量，在解决实际问题时，一般取前m个主成分；因子分析的目的是用尽可能少的公因子，以便构造一个结构简单的因子模型。
多元统计分析概述 目录 一、引言 (3) 二、多元统计分析方法的研究对象和主要内容 (3) 1.多元统计分析方法的研究对象 (3) 2.多元统计分析方法的主要内容 (3) 三、各种多元统计分析方法 (3) 1.回归分析 (3) 2.判别分析 (6) 3.聚类分析 (8) 4.主成分分析 (10) 5.因子分析 (10) 6. 对应分析方法 (11) 7. 典型相关分析 (11) 四、多元统计分析方法的一般步骤 (12) 五、多元统计分析方法在各个自然领域中的应用 (12) 六、总结 (13) 参考文献 (14) 谢辞 (15)
一、引言 统计分布是用来刻画随机变量特征及规律的重要手段，是进行统计分布的基础和提高。多元统计分析方法则是建立在多元统计分布基础上的一类处理多元统计数据方法的总称，是统计学中的具有丰富理论成果和众多应用方法的重要分支。在本文中，我们将对多元统计分析方法做一个大体的描述，并通过一部分实例来进一步了解多元统计分析方法的具体实现过程。 二、多元统计分析方法的研究对象和主要内容 （一）多元统计分析方法的研究对象 由于大量实际问题都涉及到多个变量，这些变量又是随机变量，所以要讨论多个随机变量的统计规律性。多元统计分析就是讨论多个随机变量理论和统计方法的总称。其内容包括一元统计学中某些方法的直接推广，也包括多个随即便量特有的一些问题，多元统计分析是一类范围很广的理论和方法。 现实生活中，受多个随机变量共同作用和影响的现象大量存在。统计分析中，有两种方法可同时对多个随机变量的观测数据进行有效的分析和研究。一种方法是把多个随机变量分开分析，一次处理一个随机变量，分别进行研究。但是，这样处理忽略了变量之间可能存在的相关性，因此，一般丢失的信息太多，分析的结果不能客观全面的反映整个问题，而且往往也不容易取得好的研究结论。另一种方法是同时对多个随机变量进行研究分析，此即多元统计方法。通过对多个随即便量观测数据的分析，来研究随机变量总的特征、规律以及随机变量之间的相互关系。所以，多元统计分析是研究多个随机变量之间相互依赖关系及内在统计规律的一门统计学科。 （二）多元统计分析方法的主要内容 近年来，随着统计理论研究的不断深入，多元统计分析方法的内容一直在丰富。其中，主要内容包括多元正态总体参数估计、假设检验和常用的多元统计方法。多元正态总体参数估计、假设检验是多元统计推断的核心和基础，而常用的多元统计分析方法则是具体应用。从形式上，常用多元统计分析方法可划分为两类： 一类属于单变量常用的统计方法在多元随机变量情况下的推广和应用，如多元回归分析，典型相关分析等； 另一类是对多元变量本身进行研究所形成的一些特殊方法。如主成分分析，因子分析，聚类分析，判别分析，对应分析等。 三、各种多元统计分析方法 具体来说，常用的多元统计分析方法主要包括：多元回归分析、聚类分析、判别分析、主成分分析、因子分析、对应分析、典型相关分析等。下面我们对各种多元统计分析方法就行分别描述， （一）回归分析 回归分析是最灵活最常用的统计分析方法之一，它用于分析一个因变量与一个或多个自变量之间的关系。特别是用于：(1)定量的描述和解释相互关系；(2)估测或预测因变量的值。 回归分析方法是在众多的相关变量中，根据实际问题考察其中一个或多个变
一、填空题： 1、多元统计分析是运用数理统计方法来研究解决多指标问题的理论和方法. 2、回归参数显著性检验是检验解释变量对被解释变量的影响是否著. 3、聚类分析就是分析如何对样品（或变量）进行量化分类的问题。通常聚类分析分为 Q型聚类和 R型聚类。 4、相应分析的主要目的是寻求列联表行因素A 和列因素B 的基本分析特征和它们的最优联立表示。 5、因子分析把每个原始变量分解为两部分因素：一部分为公共因子，另一部分为特殊因子。 6、若 () (,), P x N αμα ∑=1,2,3….n且相互独立，则样本均值向量x服从的分布 为_x~N(μ，Σ/n)_。 二、简答 1、简述典型变量与典型相关系数的概念，并说明典型相关分析的基本思想。 在每组变量中找出变量的线性组合，使得两组的线性组合之间具有最大的相关系数。选取和最初挑选的这对线性组合不相关的线性组合，使其配对，并选取相关系数最大的一对，如此下去直到两组之间的相关性被提取完毕为止。被选出的线性组合配对称为典型变量，它们的相关系数称为典型相关系数。 2、简述相应分析的基本思想。 相应分析，是指对两个定性变量的多种水平进行分析。设有两组因素A和B，其中因素A包含r个水平，因素B包含c个水平。对这两组因素作随机抽样调查，得到一个rc的二维列联表，记为。要寻求列联表列因素A和行因素B的基本分析特征和最优列联表示。相应分析即是通过列联表的转换，使得因素A
和因素B 具有对等性，从而用相同的因子轴同时描述两个因素各个水平的情况。把两个因素的各个水平的状况同时反映到具有相同坐标轴的因子平面上，从而得到因素A 、B 的联系。 3、简述费希尔判别法的基本思想。 从k 个总体中抽取具有p 个指标的样品观测数据，借助方差分析的思想构造一个线性判别函数 系数： 确定的原则是使得总体之间区别最大，而使每个总体内部的离差最小。将新样品的p 个指标值代入线性判别函数式中求出 值，然后根据判别一定的规则，就可以判别新的样品属于哪个总体。 5、简述多元统计分析中协差阵检验的步骤 第一，提出待检验的假设 和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。 协差阵的检验 检验0=ΣΣ 0p H =ΣI ： /2 /21exp 2np n e tr n λ???? =-?? ? ???? S S 00p H =≠ΣΣI ： /2 /2**1exp 2np n e tr n λ???? =-?? ? ???? S S
练习题 一、填空题 1．人们通过各种实践，发现变量之间的相互关系可以分成（相关）和（不相关）两种类型。多元统计中常用的统计量有：样本均值、样本方差、样本协方差和样本相关系数。 2．总离差平方和可以分解为（回归离差平方和）和（剩余离差平方和）两个部分，其中（回归离差平方和）在总离差平方和中所占比重越大，则线性回归效果越显著。3．回归方程显著性检验时通常采用的统计量是（S R/p）/[S E/（n-p-1）]。 4．偏相关系数是指多元回归分析中，（当其他变量固定时，给定的两个变量之间的）的相关系数。 5．Spss中回归方程的建模方法有（一元线性回归、多元线性回归、岭回归、多对多线性回归）等。 6．主成分分析是通过适当的变量替换，使新变量成为原变量的（线性组合），并寻求（降维）的一种方法。 7．主成分分析的基本思想是（设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来替代原来的指标）。 8．主成分表达式的系数向量是（相关系数矩阵）的特征向量。 9．样本主成分的总方差等于（1）。 10．在经济指标综合评价中，应用主成分分析法，则评价函数中的权数为（方差贡献度）。主成分的协方差矩阵为（对称）矩阵。主成分表达式的系数向量是（相关矩阵特征值）的特征向量。 11．SPSS中主成分分析采用（analyze—data reduction—facyor）命令过程。 12．因子分析是把每个原始变量分解为两部分因素，一部分是（公共因子），另一部分为（特殊因子）。 13．变量共同度是指因子载荷矩阵中（第i行元素的平方和）。 14．公共因子方差与特殊因子方差之和为（1）。 15．聚类分析是建立一种分类方法，它将一批样品或变量按照它们在性质上的（亲疏程度）进行科学的分类。 16．Q型聚类法是按（样品）进行聚类，R型聚类法是按（变量）进行聚类。 17．Q型聚类统计量是（距离），而R型聚类统计量通常采用（相关系数）。 18．六种Q型聚类方法分别为（最长距离法）、（最短距离法）、（中间距离法）、（类平均法）、（重心法）、（离差平方和法）。 19．快速聚类在SPSS中由（k-均值聚类（analyze—classify—k means cluster））过程实现。 20．判别分析是要解决在研究对象已（已分成若干类）的情况下，确定新的观测数据属于已知类别中哪一类的多元统计方法。 21．用判别分析方法处理问题时，通常以（判别函数）作为衡量新样本点与各已知组别接近程度的指标。 22．进行判别分析时，通常指定一种判别规则，用来判定新样本的归属，常见的判别准则有（Fisher准则）、（贝叶斯准则）。 23．类内样本点接近，类间样本点疏远的性质，可以通过（类与类之间的距离）与（类内样本的距离）的大小差异表现出来，而两者的比值能把不同的类区别开来。这个比值越大，说明类与类间的差异越（类与类之间的距离越大），分类效果越（好）。24．Fisher判别法就是要找一个由p个变量组成的（线性判别函数），使得各自组内点的
多元统计分析（1） 题目:多兀统计分析知识点 研究生___________________________ 专业____________________________ 指导教师________________________
完成日期2013年12月 目录 第一章绪论 (1) §.1什么是多元统计分析 (1) §.2多元统计分析能解决哪些实际问题 (2) §.3主要内容安排 (2) 第二章多元正态分布 (2) 弦.1基本概念 (2) 弦.2多元正态分布的定义及基本性质 (8) 1. （多元正态分布）定义 (9) 2?多元正态变量的基本性质 (10) §2.3多元正态分布的参数估计X =（X1,X2^|,X p） (11) 1?多元样本的概念及表示法 (12) 2. 多元样本的数值特征 (12) 3」和a 的最大似然估计及基本性质 (15) 4.Wishart 分布 (17) 第五章聚类分析 (18) §5.1什么是聚类分析 (18) §5.2距离和相似系数 (19) 1 ? Q—型聚类分析常用的距离和相似系数 (20) 2. .......................................................................................................................................... R 型聚类分析常用的距离和相似系数 (25) §5.3八种系统聚类方法 (26) 1. 最短距离法 (27) 2. 最长距离法 (30) 3. 中间距离法 (32) 4. 重心法 (35) 5. 类平均法 (37) 6. 可变类平均法 (38) 7. 可变法 (38) 8. 离差平方和法（Word方法） (38) 第六章判别分析 (39)
《多元统计分析》课程试卷答案 A 卷 2009年秋季学期 开课学院：理 考试方式：√闭卷、开卷、一纸开卷、其它 考试时间：120 分钟 班级 姓名 学号 散卷作废。 一、（15分）设()∑????? ??=,~3321μN x x x X ，其中????? ??-=132μ，??? ? ? ??=∑221231111， 1．求32123x x x +-的分布； 2. 求二维向量???? ??=21a a a ，使3x 与??? ? ??'-213x x a x 相互独立。 解：1.32123x x x +-()CX x x x ???? ? ? ??-=321123，则()C C C N CX '∑,~μ。（2分） 其中：μC ()13132123=????? ??--=，()9123221231111123=??? ? ? ??-????? ??-='∑C C 。（4分） 所以32123x x x +-()9,13~N （1分） 2. ????? ?????? ??'-213 3x x a x x =AX x x x a a ????? ? ?????? ??--3212 1110 ，则()A A A N AX '∑,~2μ。（1分） 其中： 订 线 装
μA ???? ??++-=???? ? ??-???? ??--=132113********* a a a a ，（1分） ??? ? ??+--+++--+--='???? ??--???? ? ?????? ??--='∑242232222211002212311111100 2121222121212121 a a a a a a a a a a a a a a A A （2分） 要使3x 与???? ??'-213x x a x 相互独立，必须02221=+--a a ，即2221=+a a 。 因为2221=+a a 时24223212122 21 +--++a a a a a a 0>。所以使3x 与??? ? ??'-213x x a x 相互独立，只要 ???? ??=21a a a 中的21,a a 满足2221=+a a 。 （4分） 二、（14分）设一个容量为n=3的随机样本取自二维正态总体，其数据矩阵为 ??? ? ? ??=3861096X ，给定显著性水平05.0=α， 1. 求均值向量μ和协方差矩阵∑的无偏估计 2. 试检验,38:H 0???? ??=μ .38:H 1??? ? ??≠μ （已知F 分布的上α分位数为19)2,2(F ,5.199)1,2(F ,51.18)2,1(F 0.050.050.05===） 解：1、??? ? ??==∑=68X n 1X n 1i i （3分） ???? ??--='--=∑=9334)X X ()X X (1-n 1S i n 1i i （3分） 2、,38:H 0???? ??=μ .38:H 1??? ? ??≠μ…（1分）
实用多元统计分析相 尖习题 练习题 一、填空题 1?人们通过各种实践，发现变量之间的相互矢系可以分成（相尖）和（不相尖）两种 类型。多元统计中常用的统计量有：样本均值、样本方差、样本协方差和样本相尖系数。 2?总离差平方和可以分解为（回归离差平方和）和（剩余离差平方和）两个部分，其中（回归离差平方和）在总离差平方和中所占比重越大，则线性回归效果越显著。 3 ?回归方程显著性检验时通常采用的统计量是（S R/P）/[S E/ （n-p-1） ]O 4?偏相尖系数是指多元回归分析中，（当其他变量固定时，给定的两个变量之间的） 的相尖系数。 5. Spss中回归方程的建模方法有（一元线性回归、多元线性回归、岭回归、多对多线性回归）等。
6 ?主成分分析是通过适当的变量替换，使新变量成为原变量的（线性组合），并寻求 （降维）的一种方法。 7 ?主成分分析的基本思想是（设法将原来众多具有一定相尖性（比如P个指标），重 新组合成一组新的互相无矢的综合指标来替代原来的指标）。 8 ?主成分表达式的系数向量是（相尖系数矩阵）的特征向量。 9 ?样本主成分的总方差等于（1）。 10 ?在经济指标综合评价中，应用主成分分析法，则评价函数中的权数为（方差贡献度）。主成分的协方差矩阵为（对称）矩阵。主成分表达式的系数向量是（相尖矩阵特征值）的特征向量。 11. SPSS 中主成分分析采用（analyze—data reduction — facyor）命令过程。 12?因子分析是把每个原始变量分解为两部分因素，一部分是（公共因子），另一部
分为（特殊因子）。 13 ?变量共同度是指因子载荷矩阵中（第i行元素的平方和）。 14 ?公共因子方差与特殊因子方差之和为（1） o 15 ?聚类分析是建立一种分类方法，它将一批样品或变量按照它们在性质上的（亲疏 程度）进行科学的分类。 16. Q型聚类法是按（样品）进行聚类，R型聚类法是按（变量）进行聚类。 17. Q型聚类统计量是（距离），而R型聚类统计量通常采用（相尖系数）。 18. 六种Q型聚类方法分别为（最长距离法）、（最短距离法）、（中间距离法）、（类平均法）、（重心法）、（离差平方和法）。 19?快速聚类在SPSS中由（k■均值聚类（analyze— classify— k means cluste））过程实 现。 20. 判别分析是要解决在研究对象已（已分成若干类）的情况下，确定新的观测数据属于已知类别中哪一类的多元统计方法。 21. 用判别分析方法处理问题时，通常以（判别函数）作为衡量新样本点与各已知组别接近程度的指标。 22. 进行判别分析时，通常指定一种判别规则，用来判定新样本的归属，常见的判别准则有 （Fisher准则）、（贝叶斯准则）。 23. 类内样本点接近，类间样本点疏
一、什么是多元统计分析 多元统计分析是运用数理统计的方法来研究多变量（多指标）问题的理论和方法，是一元统计学的推广。 多元统计分析是研究多个随机变量之间相互依赖关系以及内在统计规律的一门统计学科。 二、多元统计分析的内容和方法 1、简化数据结构（降维问题） 将具有错综复杂关系的多个变量综合成数量较少且互不相关的变量，使研究问题得到简化但损失的信息又不太多。 （1）主成分分析 （2）因子分析 （3）对应分析等 2、分类与判别（归类问题） 对所考察的变量按相似程度进行分类。 （1）聚类分析：根据分析样本的各研究变量，将性质相似的样本归为一类的方法。 （2）判别分析：判别样本应属何种类型的统计方法。 例5：根据信息基础设施的发展状况，对世界20个国家和地区进行分类。 考察指标有6个： 1、X1：每千居民拥有固定电话数目 2、X2：每千人拥有移动电话数目 3、X3：高峰时期每三分钟国际电话的成本 4、X4：每千人拥有电脑的数目 5、X5：每千人中电脑使用率 6、X6：每千人中开通互联网的人数 3、变量间的相互联系 一是：分析一个或几个变量的变化是否依赖另一些变量的变化。（回归分析） 二是：两组变量间的相互关系（典型相关分析） 4、多元数据的统计推断 点估计 参数估计区间估计 统u检验 计参数t检验 推F检验 断假设相关与回归 检验卡方检验 非参秩和检验 秩相关检验 1、假设检验的基本原理
小概率事件原理 小概率思想是指小概率事件（P<0.01或P<0.05等）在一次试验中基本上不会发生。反证法思想是先提 出假设(检验假设H0)，再用适当的统计方法确定假设成立的可能性大小，如可能性小,则认为假设不成立；反之，则认为假设成立。 2、假设检验的步骤 （1）提出一个原假设和备择假设 例如：要对妇女的平均身高进行检验，可以先假设妇女身高的均值等于 160 cm （u=160cm ）。这种原 假设也称为零假设（ null hypothesis ），记为 H 0 。 2.1 均值向量的检验 1、正态总体均值检验的类型 根据样本对其总体均值大小进行检验（ One-Sample T Test ） 如妇女身高的检验。 根据来自两个总体的独立样本对其总体均值的检验（ Indepent Two-Sample T Test ） 如两个班平均成绩的检验。 配对样本的检验（ Pair-Sample T Test ） 如减肥效果的检验。 多个总体均值的检验 A 、总体方差已知 用u 检验，检验的拒绝域为 即 B 、总体方差未知 用样本方差 代替总体方差 ，这种检验叫t 检验. （2）根据来自两个总体的独立样本对其总体均值的检验 目的是推断两个样本分别代表的总体均数是否相等。其检验过程与上述两种t 检验也没有大的差别，只 是假设的表达和t 值的计算公式不同。 两样本均数比较的t 检验,其假设一般为： 12 { }W z u α- =>112 2 {} W z u z u αα - - =<->或2 s 2σ Ⅲ 0μμ= 0μμ< α--<1u z )1(1--<-n t t α
多元统计分析重点宿舍版 第一讲：多元统计方法及应用；多元统计方法分类（按变量、模型、因变量等） 多元统计分析应用 选择题：①数据或结构性简化运用的方法有：多元回归分析，聚类分析，主成分分析，因子分析 ②分类和组合运用的方法有：判别分析，聚类分析，主成分分析 ③变量之间的相关关系运用的方法有：多元回归，主成分分析，因子分析， ④预测与决策运用的方法有：多元回归，判别分析，聚类分析 ⑤横贯数据：{因果模型(因变量数)：多元回归，判别分析相依模型(变量测度)：因子分析，聚类分析 多元统计分析方法 选择题：①多元统计方法的分类：1）按测量数据的来源分为：横贯数据（同一时间不同案例的观测数据），纵观数据（同样案例在不同时间的多次观测数据） 2）按变量的测度等级（数据类型）分为：类别（非测量型）变量，数值型（测量型）变量 3）按分析模型的属性分为：因果模型，相依模型 4）按模型中因变量的数量分为：单因变量模型，多因变量模型，多层因果模型 第二讲：计算均值、协差阵、相关阵；相互独立性 第三讲：主成分定义、应用及基本思想，主成分性质，主成分分析步骤 主成分定义：何谓主成分分析 就是将原来的多个指标（变量）线性组合成几个新的相互无关的综合指标（主成分），并使新的综合指标尽可能多地反映原来的指标信息。 主成分分析的应用 ：（1）数据的压缩、结构的简化；（2）样品的综合评价，排序 主成分分析概述——思想：①（1）把给定的一组变量X1,X2,…XP ,通过线性变换，转换为一组不相关的变量Y1，Y2，…YP 。（2）在这种变换中，保持变量的总方差（X1，X2，…Xp 的方差之和）不变，同时，使Y1具有最大方差，称为第一主成分；Y2具有次大方差，称为第二主成分。依次类推，原来有P 个变量，就可以转换出P 个主
多元统计分析有哪些应用? 比较 关系 预测 分类 评价 各种应用对应的多元统计分析方法 比较：多元方差分析 关系：回归模型 预测：回归模型 分类：聚类分析与判别分析、回归模型 评价：主成分分析与因子分析 ?多元回归、logisitic回归、Cox回归、Poisson回归 多元统计分析方法主要内容 多元T检验、多元方差分析 ?Hotelling T2 ?multivariate analysis of variance (MANOV A) 多元线性回归(multivariate linear regression) logistic回归(logistic regression) Cox比例风险模型(Cox model) Poisson回归(Poisson regression) 聚类分析(cluster analysis) 判别分析(discriminant analysis) 主成分分析和因子分析 生存分析 本课程的要求 上机做练习，分析实际资料 学会看文献，判断统计分析的应用是否正确 统计软件SAS，或Stata, SPSS10.01 考试： 理论占30%，实验占70% 二、多元统计分析的基本概念 研究因素从广义的角度看，所有可以测量的变量都可以成为研究因素，比如：年 龄、性别、文化程度、人体的各种生物学特征和生理生化指标环境因素、心理因素等。狭义来看，研究因素是指可能与研究目的有关的影响因素 多元统计分析对多变量样本的要求 ①分布：多元正态分布、相互独立、多元方差齐 ②样本含量 目前尚没有多元分析的样本含量估计方法，一般认为样本含量应超过研究因素5-10倍以上即可。 数值变量→分类成有序分类变量 哑变量的数量=K-1（K为分类数）
22121212121 ~(,),(,),(,),, 1X N X x x x x x x ρμμμμσρ ?? ∑==∑= ??? +-1、设其中则Cov(,)=____. 10 31 2~(,),1,,10,()()_________i i i i X N i W X X μμμ=' ∑=--∑L 、设则=服从。 ()1 2 34 433,4 92,32 16___________________ X x x x R -?? ?'==-- ? ?-? ? =∑、设随机向量且协方差矩阵则它的相关矩阵 4、 __________， __________， ________________。 215,1,,16(,),(,)15[4()][4()]~___________i p p X i N X A N T X A X μμμμ-=∑∑'=--L 、设是来自多元正态总体和分别为正态总体的样本均值和样本离差矩阵,则。 12332313116421(,,)~(,),(1,0,2),441, 2142X x x x N x x x x x μμ-?? ?'=∑=-∑=-- ? ?-?? -?? + ??? 、设其中试判断与是否独立？ (), 1 2 3设X=x x x 的相关系数矩阵通过因子分析分解为 211X h = 的共性方差111X σ= 的方差21X g = 1公因子f 对的贡献1213 30.93400.1280.9340.4170.8351100.4170.8940.02700.8940.44730.8350.4470.10320 13 R ? ? - ????? ? -?? ? ? ?=-=-+ ? ? ? ??? ? ? ????? ? ???
多元统计分析
摘要 保险公司为了应对保险监管，更好的规避风险，追求更大利润，不仅会对自身承办的业务进行再保险安排，还会将盈余进行投资，以期获得更多收益。现实中，保险公司的损失主要来自承保赔付和投资亏损两个方面，比如地震、航空事故带来的巨额赔付，金融危机带来的投资损失等。在这种情况下，分析再保险及投资的最优策略，对于保险业来说具有十分重要的意义。 论文针对保险公司的最优再保险策略及投资策略的选择问题进行研究。重点研究了变换损失再保险及CEV模型下的最优再保险和投资，研究使得调节系数最大准则下最优变换损失再保险，以及在对应不同的效用准则时的最优比例再保险和投资策略，并利用数值计算的方法分析了多种参数对最优策略的影响。 关键词变换损失再保险；随机控制；效用函数；最优投资 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢III
Abstract In order to obtain more benefits and in response to insurance supervision, better risk-averse, the pursuit of greater profits, insurance companies not only on its reinsurance arrangement the hosting business, there will be surplus to invest,. In reality, insurers' losses from underwriting compensation and investment aspects, such as earthquakes, air accidents caused by huge payments, investment losses from the financial crisis. In this case, the analysis of optimal reinsurance and investment strategy, has very important significance for the insurance. According to the insurance company's problem of selecting the optimal proportional reinsurance policy and investment policy are studied. The article focuses on transformation-loss reinsurance and optimal investment and reinsurance. And under CEV model, the article studied under the criterion of maximum adjustment factors for optimal transform loss reinsurance, and the effectiveness of different criteria for the optimal proportional reinsurance and investment strategy, and using numerical methods to analyze the influence of various parameters on the optimum strategy. Keywords Transform loss reinsurance; Stochastic control; Utility functions, optimal investment 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢III