第五章 平面向量
第一教时
教材：向量
目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。 过程：
一、开场白：课本P93（略）
实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去， 问：猫能否追到老鼠？（画图）
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 二、 提出课题：平面向量
1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量
等
注意：1?数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大
小；
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学
体系，用以研究空间性质。
2． 向量的表示方法： 1?几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫）
2?字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字） P95 例 用1cm 表示5n mail （海里）
3． 模的概念：向量 记作：|| 模是可以比较大小的
4． 两个特殊的向量：
1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别
2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？
答：不是。因为零上零下也只是大小之分。 例：与是否同一向量？
A B A(起点) B （终点） a
答：不是同一向量。 例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。 三、 向量间的关系：
1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：∥∥ 规定：与任一向量平行
2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：= 规定：=
任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。
OA =a OB =b OC =c
例：（P95）略
变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（,,）
四、 小结： 五、 作业：P96 练习 习题5.1
第二教时
教材：向量的加法
目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作
几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向
量计算。 过程：
六、复习：向量的定义以及有关概念
强调：1?向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。 2?正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何
向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。
七、 提出课题：向量是否能进行运算？
5．某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ，
则两次的位移和：=+
a b
c
A B C
6．若上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ 7．某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ， 则两次的位移和：AC BC AB =+ 8．船速为AB ，水速为BC ， 则两速度和：=+
提出课题：向量的加法
三、1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则：
强调：
1?“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点
2?可以推广到n 个向量连加 3?=+=+
4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3．例一、已知向量、，求作向量+ 作法：在平面内取一点， 作= = 则+=
4．加法的交换律和平行四边形法则
上题中+的结果与+是否相同 验证结果相同 从而得到：1?向量加法的平行四边形法则 2?向量加法的交换律：+=+ 9．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)
证：如图：使=, =, =
A B
C
A B
C
A
A A
B B B
C C O
A
B
a
a
a
b
b
b
a +
b a +b a a b b b a a D
c
a +b+c
b+c
则(+) +==+ + (+) ==+ ∴(a +b ) +c =a + (b +c )
从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
四、例二（P98—99）略
五、小结：1?向量加法的几何法则 2?交换律和结合律
3?注意：|+| > || + ||不一定成立，因为共线向量不然。 六、作业：P99—100 练习 P102 习题5.2 1—3
第三教时
教材：向量的减法
目的：要求学生掌握向量减法的意义与几何运算，并清楚向量减法与加法的关系。 过程：
八、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则
向量加法的运算定律：
例：在四边形中，=++ 解：CD AD BA CB BA BA CB =++=++
九、 提出课题：向量的减法
1．用“相反向量”定义向量的减法
1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2?规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a ) = a
任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2．用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3．求作差向量：已知向量a 、b ，求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a
作法：在平面内取一点O ， 作= a , = b 则= a - b
即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量。
A B
O a b
B
a b
a -b
注意：1?表示a - b 。强调：差向量“箭头”指向被减数 2?用“相反向量”定义法作差向量，a - b = a + (-b ) 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一。
4．a ∥b ∥c a - b = a + (-b ) a - b
十、例题：
例一、（P101 例三）已知向量a 、b 、c
、d ，求作向量a -b 、c -d 。 解：在平面上取一点O ，作= a , = b , = c , = d , 作, , 则= a -b , = c -d
例二、平行四边形中，，用表示向量， 解：由平行四边形法则得：
= a + b, = - = a -b
变式一：当a , b 满足什么条件时，a +b 与a -b 垂直？（|a | = |b |） 变式二：当a , b 满足什么条件时，|a +b | = |a -b |？（a , b 互相垂直） 变式三：a +b 与a -b 可能是相当向量吗？（不可能， 十一、 小结：向量减法的定义、作图法| 十二、 作业： P102 练习
P103 习题5.2 4—8
第四教时
教材：向量、向量的加法、向量的减法综合练习《教学与测试》64、65、66课
O
A B
a B’
b -b b
B a + (-b ) a b A
B
C
b
a
d c
D
O
a -
b B B’ a -b
a a
b b O A O B
a -
b B A O -b
目的：通过练习要求学生明确掌握向量的概念、几何表示、共线向量的概念，掌握向量的加法与减法的意义与几何运算。
过程：
十三、 复习：
1?向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量
2?向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 十四、 1．处理《教学与测试》P135—136 第64课 （略）
2．处理《教学与测试》P137—138 第65课
例一、设a 表示“向东走3km ”，b 表示“向北走3km ”，
则a + b 表示向东北走23km 解：OB = OA +AB
233322=+=(km )
例二、试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 证：由向量加法法则： = AO +OB , DC = DO +OC 由已知：=, =
∴AB =DC 即AB 与CD 平行且相等 ∴ABCD 为平行四边形
例三、在正六边形中，若= a , = b ，试用 向量a 、b 将OB 、OC 、OD 表示出来。 解：设正六边形中心为P
则=++=+=OA OE OA PB OP OB )(a + b
=+= a + b + a + b
由对称性：OD = b + b + a
3．处理《教学与测试》P139—140 第66课 （略）
十五、 有时间可处理“备用题”：
例一、化简++++
解：++++= ++++ =+++=++=+= 0
B
a +
b b
O a A
A B
C
例二、在静水中划船的速度是每分钟40，水流的速度是每分钟20，如果
船从岸边出发，径直沿垂直与水流的航线到达对岸，那么船行进的方向应该指向何处？ 解：如图：船航行的方向是
与河岸垂直方向成30?夹角，
即指向河的上游。
十六、 作业：上述三课中的练习部分（选）
第五教时
教材：实数与向量的积
目的：要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律，理解向量共线的充要条件。 过程：一、复习：向量的加法、减法的定义、运算法则。
二、1．引入新课：已知非零向量a 作出a +a +a 和(-a )+(-a )+(-a
)
OC =BC AB OA ++=a +a +a =3a
PN =++=(-a )+(-a )+(-a )=-3a
讨论：1?3a 与a 方向相同且|3a |=3|a
|
2?-3a 与a 方向相反且|-3a |=3|a
|
2．从而提出课题：实数与向量的积
实数λ与向量a 的积，记作：λa
定义：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa
1?|λa |=|λ||a
|
2?λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa
=
3．运算定律：结合律：λ(μa )=(λμ)a
①
第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa
②
第二分配律：λ(a +b )=λa
+λb ③
结合律证明：
如果λ=0，μ=0，a
=0至少有一个成立，则①式成立
如果λ≠0，μ≠0，a ≠0有：|λ(μa )|=|λ||μa |=|λ||μ||a
|
|(λμ)a |=|λμ|| a |=|λ||μ||a
|
上游 下游 a a a a O A B C a
-a
-a
-a
-N
Q
P
∴|λ(μa )|=|(λμ)a
|
如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a
同向；
如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与a
反向。
从而λ(μa )=(λμ)a
第一分配律证明：
如果λ=0，μ=0，a
=至少有一个成立，则②式显然成立 如果λ≠0，μ≠0，a
≠
当λ、μ同号时，则λa 和μa
同向，
∴|(λ+μ)a |=|λ+μ||a |=(|λ|+|μ|)|a
| |λa +μa |=|λa |+|μa |=|λ||a |+|μ||a |=(|λ|+|μ|)|a |
∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a
同向
即：|(λ+μ)a |=|λa +μa
|
当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa
同向
当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μa
同向
还可证：|(λ+μ)a |=|λa +μa
|
∴②式成立
第二分配律证明：
如果a
=0，b =0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立
当a
≠，b ≠且λ≠0，λ≠1时
1?当λ>0且λ≠1时在平面内任取一点O ，
作=a =b =1λa
=11B A λb
则=a +b =1OB λa
+λb
由作法知：AB ∥11B A 有∠OAB=∠OA 1B 1 |AB |=λ|11B A | ==111λ ∴△OAB ∽△OA 1B 1
=|
|1OB λ ∠AOB=∠ A 1OB 1
因此，O ，B ，B 1在同一直线上，|1OB |=|λ| 1OB 与λ方向也
相同
O
A
B B 1
A 1
λ(a +b )=λa
+λb
当λ<0时 可类似证明：λ(a +b )=λa +λb ∴ ③式成立
4．例一 （见P104）略
三、向量共线的充要条件（向量共线定理）
1．若有向量a (a ≠0)、b ，实数λ，使b =λa
则由实数与向量积的定义
知：a
与b 为共线向量
若a 与b 共线(a ≠)且|b |：|a |=μ，则当a 与b 同向时b =μa
当a 与b 反向时b =-μa
从而得：向量b 与非零向量a
共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ
使b =λa
2．例二（P104-105 略） 三、小结：
四、作业： 课本 P105 练习 P107-108 习题5.3 1、2
第六教时
教材：平面向量基本定理
目的：要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量；
或一个向量分解为两个向量。
过程：一、复习：1．向量的加法运算（平行四边形法则）。
2．实数与向量的积 3．向量共线定理 二、由平行四边形想到：
1．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？ 2．对于平面上两个不共线向量1e ，2e 是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？
——提出课题：平面向量基本定理
三、新授：1．(P105-106)1e ，2e 是不共线向量，a
是平面内任一向量
1
1e
a
C
=1e =λ11e =a
=+=λ11e +λ22e
=2e =λ22e
得平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么
对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a
=λ11e +
λ22e
注意几个问题：1? 1e 、2e 必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底
2? 这个定理也叫共面向量定理
3?λ1，λ2是被a
，1e ，2e 唯一确定的数量
2．例一( P106例三)已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e 。
作法：1? 取点O ，作=-2.51e =32e
2? 作 OACB ，即为所求+
例二、(P106例4)如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，
且=a ，=b ，
用a
，b 表示，，和
解：在
∵
=-=a -b
∴
=-21=-21(a +b )=-21a -21b
=21=21(a -b )=21a -21b =21=21a +2
1b
1
e 2e
O
MD =-MB =-21DB =-21a +2
1b
例三、已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，
O 是任意一点，
求证：+++=4 证：∵E 是对角线AC 和BD 的交点 ∴==- ==-
在△OAE 中 +=
同理：OB +BE =OE OC +CE =OE OD +DE =OE 以上各式相加，得：OA +OB +OC +OD =4OE
例四、(P107 例五)如图，OA ，OB 不共线，=t (t ∈R)用OA ,OB 表示OP 解：∵=t ∴
OP =OA +AP =OA + t AB
=OA + t(OB -OA )
=+ t -t
=(1-t) + t
四、小结：平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表
示为两个不共线向量的线性组合。
五、作业： 课本 P107 练习 P108 习题5.3 3-7
第七教时
教材：5.3实数与向量的积综合练习《教学与测试》P141-144 67、68课 目的：通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本
定理有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
C
P
B
A O
过程：一、复习：1．实数与向量的积 (强调：“模”与“方向”两点) 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，
第二分配律）
3．向量共线的充要条件
4．平面向量的基本定理（定理的本身及其实
质）
二、处理《教学与测试》
1．当λ∈Z 时，验证：λ(a +b )=λa
+λb
证：当λ=0时，左边=0?(a +b )=0 右边=0?a
+0?b =0 分配律成立 当λ为正整数时，令λ=n, 则有： n(a +b )=(a +b )+(a +b )+…+(a +b )
=a +a +…+a +b +b +b +…+b =n a
+n b 即λ为正整数时，分配律成立
当为负整数时，令λ=-n （n 为正整数），有
-n(a +b )=n[-(a +b )]=n[(-a )+(-b )]=n(-a )+n(-b )=-n a
+(-n b )=-n
a
-n b
分配律仍成立
综上所述，当λ为整数时，λ(a +b )=λa
+λb 恒成立 。
2．如图，在△ABC 中，=a
, BC =b AD 为边BC 的中线，G 为△ABC 的重心，求向量
解一：∵AB =a , BC =b 则BD =21BC =2
1b
∴=+=a +21b 而=32
∴=32a +31b
解二：过G 作BC 的平行线，交AB 、AC 于E 、F
∵△AEF ∽△ABC
=32=32a
D A B
C a
b A
E
C
a
b
B
F
G
EF =32=3
2b
EG =21EF =31b
∴=+=32a +3
1b
3．在 ABCD 中，设对角线AC =
a ，BD =
b 试用a
, b
表示AB ，BC 解一：==21a =21=2
1b
∴AB =+=-=21a -21b
BC =BO +OC =OC +BO =21a +21b
解二：设AB =x ，BC =y
则+= +=a ∴ =2
1(a -b
)
-= -=b
=2
1(a +b ) 即：AB =21(a -b ) BC =2
1(a +b
)
4．设1e , 2e 是两个不共线向量，已知AB =21e +k 2e , CB =1e +32e ,
=21e -2e , 若三点A, B, D 共线，求k 的值。 解：=-=(21e -2e )-(1e +32e )=1e -42e
∵A, B, D 共线 ∴,共线 ∴存在λ使=λ
即21e +k 2e =λ(1e -42e ) ∴?
??-==λλ
42k ∴k=-8
5．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD 且AB=2CD ，M, N 分别是DC, AB
中点，设=a , =b ，试以a , b
为基底表示, ,
解：DC =21AB =2
1b
连ND 则DC ╩ND
∴
B
==AD -=a -2
1b
又：
DM =21DC =4
1b
∴
MN =DN -DM =CB -DM =-BC -DM
=(-a +21b )-41b =4
1b -a
6．1kg 的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳
与水平线分别成30?, 60?角，问两细绳各受到多大的力？ 解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90?
||=1 (kg) ∠P 1OP=60? ∠P 2OP=30? ∴||1=||cos60?=1?
2
1
=0.5 (kg) ||2OP =||OP cos30?=1?
2
3
=0.87 (kg) 即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg 和0.87 kg 三、作业：《教学与测试》67、68课练习
第八教时
教材：向量的坐标表示与坐标运算
目的：要求学生理解平面向量的坐标的概念，较熟练地掌握平面向量的坐标运算。 过程：一、复习：1．复习向量相等的概念
自由向量 =
2．平面向量的基本定理（基底） a =λ
11
e +λ22e
其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不
共线向量的线性组合。 二、平面向量的坐标表示
1．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示
P
O B
C A
x
y
a
问题：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？
取x 轴、y 轴上两个单位向量, 作基底，则平面内作一向量a
=x +y ，
记作：a =(x, y) 称作向量a
的坐标
如：a
=OA =(2, 2) i =(1,
0)
b
==(2, -1)
=(0, 1)
==(1, -5)
j =(0, 0)
2．注意：1?每一平面向量的坐标表示是唯一的；
2?设A(x 1, y 1) B(x 2, y 2) 则=(x 2-x 1, y 2-y 1) 3?两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。
3．例一：(P109)略 三、平面向量的坐标运算
1．问题：1?已知a (x 1, y 1) b (x 2, y 2) 求a +b ，a -b
的坐标
2?已知a (x, y)和实数λ, 求λa
的坐标
2．解：a +b
=(x 1i +y 1j )+( x 2i +y 2j )=(x 1+ x 2) i + (y 1+y 2) j
即：a +b
=(x 1+ x 2, y 1+y 2) 同理：a -b
=(x 1- x 2, y 1-y 2)
3．结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。 同理可得：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
用减法法则：
∵=OB -OA =( x 2, y 2) - (x 1, y 1)
= (x 2- x 1, y 2- y 1)
4．实数与向量积的坐标运算：已知a
=(x, y) 实数λ
O
B C
A x
y
a
b
c
O
x
y
B(x 2,y 2)
A(x 1,y 1)
则λa
=λ(x +y )=λx +λy
∴λa
=(λx, λy )
结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。 四、例二（P110例二）
例三（P111例三）
例四（P145例一）已知三个力1F (3, 4), 2F (2, -5), 3F (x, y)的合力
1F +2F +3F = 求3F 的坐标。
解：由题设1F +2F +3F = 得：(3, 4)+ (2, -5)+(x, y)=(0, 0)
即：???=+-=++054023y x ∴???=-=1
5y x ∴3F (-5,1)
例五、已知平面上三点的坐标分别为A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。
解：当平行四边形为ABCD 时，
仿例三得：D 1=(2, 2) 当平行四边形为ACDB 时，
仿例三得：D 2=(4, 6) 当平行四边形为DACB 时，
仿上得：D 3=(-6, 0)
五、小结：1．向量的坐标概念
六、作业：P112 练习 1—3 习题5.4 1—6
第九教时
教材：向量平行的坐标表示
目的：复习巩固平面向量坐标的概念，掌握平行向量充要条件的坐标表示，并且
能用它解决向量平行（共线）的有关问题。
过程：一、复习：1．向量的坐标表示 (强调基底不共线，《教学与测试》P145
例三)
2．平面向量的坐标运算法则
练习：1．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 2
1
=MP , 求P 点的坐标；
解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=
21(-8, 1)=(-4, 2
1) ?????=+-=-21243y x ∴?????-
=-=231y x ∴P 点坐标为(-1, -23) 2．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则-2=(-3,-3)
3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证：四边形ABCD 是梯形。
解：∵=(-2, 3) DC =(-4, 6) ∴=2DC ∴∥ 且 ||≠|| ∴四边形ABCD 是梯形
二、1．提出问题：共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得b =λa
，那
么这个充要条件如何用坐标来表示呢？
2．推导：设a
=(x 1, y 1) b =(x 2, y 2) 其中b ≠a
由a
=λb (x 1, y 1) =λ(x 2, y 2) ???==?2121y y x x λλ 消去λ：
x 1y 2-x 2y 1=0
结论：a
∥b (b ≠)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0
注意：1?消去λ时不能两式相除，∵y 1, y 2有可能为0， ∵b
≠
∴x 2, y 2中至少有一个不为0 2?充要条件不能写成
2
2
11x y x y =
∵x 1, x 2有可能为0 3?从而向量共线的充要条件有两种形式：a
∥b (b ≠)0
1221=-=?y x y x b
a λ
三、应用举例
例一（P111例四） 例二（P111例五）
例三 若向量a
=(-1,x)与b =(-x, 2)共线且方向相同，求x
解：∵a
=(-1,x)与b =(-x, 2) 共线 ∴(-1)×2- x ?(-x )=0 ∴x=±2 ∵a
与b 方向相同 ∴x=2
例四 已知A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量与CD 平行吗？直线AB
与平行于直线CD 吗？
解：∵=(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) =(2-1,7-5)=(1,2) 又：∵2×2-4-1=0 ∴∥
又：=(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) =(2, 4) 2×4-2×6≠0 ∴AC 与AB 不平行
∴A ，B ，C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB ∥CD 四、练习：1．已知点A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(2,1) 求证：AB ∥CD 2．证明下列各组点共线：1? A(1,2) B(-3,4) C(2,3.5) 2? P(-1,2) Q(0.5,0) R(5,-6)
3．已知向量a =(-1,3) b =(x,-1)且a
∥b 求x 五、小结：向量平行的充要条件（坐标表示） 六、作业：P112 练习 4 习题5.4 7、8、9
《教学与测试》P146 4、5、6、7、8及思考题
第十教时
教材：线段的定比分点
目的：要求学生理解点P 分有向线段21P P 所成的比λ的含义和有向线段的定比
分点公式，并能应用解题。
过程：一、复习：1．向量的加减，实数与向量积的运算法则 2．向量的坐标运算 二、提出问题：线段的定比分点
1．线段的定比分点及λ
P 1, P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1, P 2的任一点，存在实数λ，
使 P P 1=λ2PP λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：
λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ
<0 (-1<λ<0)
2．定比分点公式的获得：
设P 1=λ2PP
点P 12,y 2)
P 1
P
P
222P
P
P
由向量的坐标运算
P P 1=(x-x 1,y-y 1) 2PP
=( x 2-x 1, y 2-y 1) ∵P 1=λ2PP
(x-x 1,y-y 1) =λ( x 2-x 1, y 2-y 1)
∴???-=--=-)()
(2121y y y y x x x x λλ ??
??
?
++=
++=?λλλλ11212
1y y y x x x 定比分点坐标公式 3．中点公式：若P 是21P P 中点时，λ=1 2
22
1
21
y y y x x x +=+= 4．注意几个问题：1? λ是关键，λ>0 λ≠-1
若P 与P 1重合，λ=0 P 与P 2重合 λ不存在
2? 中点公式是定比分点公式的特例
3? 始点终点很重要，如P 分21P P 的定比λ=21
则P 分12P 的定比λ=2 4? 公式：如 x 1, x 2, x, λ 知三求一
三、例题：例一 (P114例一) 知三求一 例二 (P114例二) △重心公式
例三 若P 分有向线段的比为4
3
，则A 分所成比为3
7-（作示意图） 例四 过点P 1(2, 3), P 2(6, -1)的直线上有一点，使| P 1P|:| PP 2|=3, 求P 点坐标
解：当P
当P 当λ=3得P(5,0) 当λ=-3得P(8,-3)
例五 △ABC 顶点A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) ∠BAC 平分线交BC 边于D,
求D 点坐标
解：∵AD 平分角∠BAC
|AC|=102622
2
=+ |AB|=1039)3(22=+-
∴D 分向量所成比λ=3
2
设D 点坐标(x, y) 则 13
21)2(323=+
-+
=
x 5413132107=+?+=
y ∴D 点坐标为：(1,
5
41) 四、小结：定比分点公式，中点公式 五、作业：P115-116 练习 习题5.5
第十一教时
教材：平面向量的数量积及运算律
目的：掌握平面向量的数量积的定义及其几何意义，掌握平面向量数量积的性质和它的一些简单应用。
过程：
十七、 复习：前面已经学过：向量加法、减法、实数与向量的乘法。 它们有一个共同的特点，即运算的结果还是向量。 但这种运算与实数的运算有了很大的区别。
十八、 导入新课：
5．力做的功：W = |F |?|s |cos θ θ是F 与s 的夹角
6
并规定0与任何向量的数量积为
0。?
7．向量夹角的概念：范围0?≤θ≤180?
8．注意的几个问题；——两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 1?两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定。
2?两个向量的数量积称为内积，写成a ?b ；今后要学到两个向量的外积
a ×
b ，而ab 是两个数量的积，书写时要严格区分。
3?在实数中，若a ≠0，且a ?b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，
θ = 0? θ = 180? O O B B
1.1算法与程序框图（共3课时） 1.1.1算法的概念（第1课时） 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础.在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域.那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始.同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力. 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想. 二、实例分析 例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解：第一步：把水注入电锅； 第二步：打开电源把水烧开； 第三步：把烧开的水注入热水瓶. （以上算法是解决某一问题的程序或步骤） 例2：给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解：算法1按照逐一相加的程序进行 第一步：计算1+2，得到3； 第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6； 第三步：将第二步中的运算结果6与4相加，得到10； 第四步：将第三步中的运算结果10与5相加，得到15. 算法2可以运用公式1+2+3+…+n=2)1 (+n n 直接计算第一步：取n=5； 第二步：计算 2)1 (+n n ； 第三步：输出运算结果. （说明算法不唯一） 例3：（课本第2页，解二元一次方程组的步骤） （可推广到解一般的二元一次方程组，说明算法的普遍性）例4：用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： 慕尧书城出品，正品保障。
按住Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B
例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ③象限角； ④终边相同的角的表示法． 5．课后作业： ①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P .9习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2 α 各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限， 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角
数学汇总 第一章 集合与函数概念 教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”； 【知识点】 1. 并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ） 记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示： 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。 说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。 2. 交集 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。 记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。 拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集 A B A(B) A B B A A ∪B B A ?
说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集 3. 补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。 补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集， 记作：C U A 即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示 A U C U A 说明：补集的概念必须要有全集的限制 4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5. 集合基本运算的一些结论： A ∩ B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （ C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=? 若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立 若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立 若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B ¤例题精讲： 【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<< 求e. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤ ， (){|1,9U C A B x x x =<-≥ 或， 【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()A B C ； （2）()A A B C e. 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------ . （1）又{}3B C = ，∴()A B C = {}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C = ， A B B A -1 3 5 9 x
2020年人教版高中数学必修一全套精品教 案（完整版） 第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点
重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形；
(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560 -+=的所有实数根； x x (8)不等式30 x->的所有解； (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的 每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常 用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有 什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的 三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题： 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数；
第一章空间几何体 第一章课文目录 1．空间几何体的结构 1．空间几何体的三视图和直观图 1．3空间几何体的表面积与体积 知识结构： 一、空间几何体的结构、三视图和直观图 1．柱、锥、台、球的结构特征 圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 棱柱与圆柱统称为柱体； （2）锥 棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 棱锥与圆锥统称为锥体。 （3）台 棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。 圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。 圆台和棱台统称为台体。 （4）球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；
半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。 （5）组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 几种常凸多面体间的关系 名称棱柱直棱柱正棱柱 图形 定义有两个面互相平 行，而其余每相 邻两个面的交线 都互相平行的多 面体 侧棱垂直于底面 的棱柱 底面是正多边形的 直棱柱 侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形 平行于底面的截面 的形状与底面全等的多 边形 与底面全等的多 边形 与底面全等的正多 边形 名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形 定义有一个面是多 边形，其余各面 底面是正多边 形，且顶点在底 用一个平行于 棱锥底面的平 由正棱锥截得 的棱台
集合间的基本关系 教材分析：类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系 了解空集的含义 课 型：新授课 教学目的：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义； （2）理解子集、真子集的概念； （3）能利用Venn 图表达集合间的关系； （4）了解与空集的含义。 教学重点：子集与空集的概念；用Venn 图表达集合间的关系。 教学难点：弄清元素与子集 、属于与包含之间的区别； 教学过程： 一、引入课题 1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白： （1）0 N ；（2 ；（3）-1.5 R 2、类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题） 二、新课教学 （一） 集合与集合之间的“包含”关系； A={1，2，3}，B={1，2，3，4} 集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ； 如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。 记作：)(A B B A ??或 读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A 当集合A 不包含于集合B 时，记作 A B 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系 )(A B B A ??或 （二） 集合与集合之间的 “相等”关系； A B B A ??且，则B A =中的元素是一样的，因此B A = 即 ?? ????=A B B A B A 练习 结论： 任何一个集合是它本身的子集 （三） 真子集的概念 若集合B A ?，存在元素A x B x ?∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。 记作：A B （或B A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ） ?
高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置
高中数学教案全套word 1.1集合的概念 ................................................ ...... １ 1.2集合的运算 ................................................ ...... ３ 1.3含绝对值的不等式的解法 ........................................ ６ 1.4一元二次不等式的解法.......................................... ９1.5简易逻辑 ................................................ ...... １２ 1.6充要条件 ................................................ ...... １５ 1.7数学巩固练习.............................................. １８.1函数的概念 ................................................ .... ２１.2函数的解析式及定义域 ........................................ ２４.3函数的值域 ................................................ .... ２８.4函数的奇偶
性................................................. ...2.5函数的单调性.................................................. ３７.6反函数 ................................................ ..........1.7二次函数 ................................................ ........2.8指数式与对数式 ................................................ .2.9指数函数与对数函数 .............................................0.1 0函数的图象 ................................................ .....2.11函数的最值 ................................................ .....2.12函数的应用 ................................................ .....1.13数学巩固练习 .. (4) .1数列的有关概念 ................................. 错误！未定义书签。.2等差数列与等比数列的基本运算 ................. 错误！未定义书签。.3等差数列、
高一数学教案人教版 【篇一：人教版高中数学必修3全册教案】 教育精品资料 按住ctrl键单击鼠标打开名师教学视频全册播放 按住ctrl键单击鼠标打开名师教学视频全册播放 第一章算法初步??????????????11.1算法与程序框图???????????????2 1.1 算法与程序框图（共3课时） 1.1.1 算法的概念（第1课时） 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点； 2.学会用自然语言描述算法，体会算法思想； 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力. 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想. 二、实例分析 例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解：第一步：把水注入电锅； 第二步：打开电源把水烧开； 第三步：把烧开的水注入热水瓶. （以上算法是解决某一问题的程序或步骤）
1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学过程: 1、定义： 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）. 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么？ 例（1）的元素为1、3、5、7， 例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点， 例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x， 例（4）的元素为所有直角三角形， 例（5）为高一·六班全体男同学. 一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 2
（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性. 3、元素与集合的关系：隶属关系 元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（? 也可表示为 ）两种。 如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32 A. 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集A 记作 a ?A （或a A ） 注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q …… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… 2、“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写。 4 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。 （2）非负整数集内排除0的集。记作N *或N + 。Q 、Z 、R 等其它数集内排除0 的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 请回答：已知a+b+c=m ，A={x|ax 2+bx+c=m}，判断1与A 的关系。 1.1.2 集合间的基本关系 教学目标：1.理解子集、真子集概念； 2.会判断和证明两个集合包含关系； 3 . 理解 ”、“?”的含义； 4.会判断简单集合的相等关系； 5.渗透问题相对的观点。 教学重点：子集的概念、真子集的概念 教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算 教学过程： 观察下面几组集合，集合A 与集合B 具有什么关系？ (1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}. (2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}. (3) A={正方形}，B={四边形}. (4) A=?，B={0}. ∈?∈
第一章集合与函数概念 §1．1集合 教学目标： (1)了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 1.1.1 （一）集合的有关概念 ⒈定义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对 象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。 2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示， 而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。 4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 5.常用的数集及记法： 非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.
整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R； 6.关于集合的元素的特征 ⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明” （造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大 的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的. ⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。. 如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2} ⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。 练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： ⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流； ⑶非负奇数；⑷某校2011级新生； ⑸血压很高的人； 7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?”两种) ⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A； ⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。 例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4?A，等等。
按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1．知识与技能 （1）通过实物操作，增强学生的直观感知。 （2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 （3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 （4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法 （1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观 （1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。 （2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 （1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。 （2）实物模型、投影仪 四、教学思路 （一）创设情景，揭示课题 1．教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。 （二）、研探新知 1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？ 3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？ 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ 6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。 7．让学生观察圆柱，并实物模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。 8．引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。 9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。 10．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？ （三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。 1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图） 2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？ 3．课本P8，习题1.1 A组第1题。 4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？ 5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？ 四、巩固深化 练习：课本P7 练习1、2（1）（2） 课本P8 习题1.1 第2、3、4题 五、归纳整理 由学生整理学习了哪些内容 六、布置作业
第1，2课时1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 始 边 终 边 顶 点 A O B 负角：按顺时针方向旋转形成的角
角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究： 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{β|β=α+k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o
1.1.1集合的概念 【教学目标】 1. 初步理解集合的概念；理解集合中元素的性质． 2. 初步理解“属于”关系的意义；知道常用数集的概念及其记法．【教学重点】 集合的基本概念，元素与集合的关系． 【教学难点】 正确理解集合的概念． 【教学过程】
新 课 元素都是不同的对象． 4. 集合的分类． (1) 有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集． (2) 无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集． 5. 常用数集及其记法． (1) 自然数集：非负整数全体构成的集合，记作N； (2) 正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作N＋或N*； (3) 整数集：整数全体构成的集合，记作Z； (4) 有理数集：有理数全体构成的集合，记作Q； (5) 实数集：实数全体构成的集合，记作R． 注意：（1）自然数集合与非负整数集合是相同的集合，也就是说自然数集包含0； （2）自然数集内排除0的集，表示成或，其他数集{如整数集Z、有理数集Q、实数集R}内排除0的集，也可类似表示，，； （3）原教科书或根据原教科书编写的教辅用书中出现的符号如，，…不再适用． 例1 判断下列语句能否构成一个集合，并说明理由． (1) 小于10 的自然数的全体； (2) 某校高一(2)班所有性格开朗的男生； (3) 英文的26 个大写字母； (4) 非常接近1 的实数． 练习1 判断下列语句是否正确： (1) 由2，2，3，3构成一个集合，此集合共有4个元素； (2) 所有三角形构成的集合是无限集； (3) 周长为20 cm 的三角形构成的集合是有限集； (4) 如果a ∈Q，b ∈Q，则a＋b ∈Q． 2．选择题 ⑴以下四种说法正确的( ) (A) “实数集”可记为{R}或{实数集} (B){a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合
高 一 数 学 教 案 (必修五) 重庆铁路中学陈昭旭
数学5 第一章解三角形 课题:§1．1．1 正弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, A 则sin sin sin a b c c A B C === b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B
人教版高中数学必修1 全册教案 目录 第一章集合与函数概念 §1.1.1集合的含义与表示 §1.1.2集合间的基本关系 §1.1.3集合的基本运算 §1.2.1函数的概念 §1.2.2映射 §1.2.2函数的表示法 §1.3.1函数的单调性 §1.3.1函数的最大（小）值 §1.3.2函数的奇偶性 第二章基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1指数（2） §2.1.1指数（3） §2.1.2指数函数及其性质（1） §2.1.2指数函数及其性质（2） §2.2.1对数与对数运算（1） §2.2.1对数与对数运算（2） §2.2.2对数函数及其性质（第一、二课时）
§2.2.2对数函数及其性质（第三课时）§2.3幂函数 §第2章小结与复习 第三章函数的应用 §3.1.2用二分法求方程的近似解 §3.2.1几类不同增长的函数模型 §3.2.2函数模型的应用实例（1） §3.2.2函数模型的应用实例（2） §3.2.2函数模型的应用实例（3）
第一章集合与函数概念 一. 课标要求： 本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力 . 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识 . 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力. 6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 . 7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 . 8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法 . 9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算. 教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培
教育精品资料 2020年人教版高中数学必修三全套教案（全册完整版） 按住Ctrl键单击鼠标打开名师教学视频全册播放 第一章算法初步 (1) 1.1算法与程序框图 (2) 1.1 算法与程序框图（共3课时） 1.1.1算法的概念（第1课时） 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点；
2.学会用自然语言描述算法，体会算法思想； 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里，计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据，计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么，计算机是怎样工作的呢？要想弄清楚这个问题，算法的学习是一个开始. 同时，算法有利于发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力. 在以前的学习中，虽然没有出现算法这个名词，但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想，如四则运算的过程、求解方程的步骤等等，完成这些工作都需要一系列程序化的步骤，这就是算法的思想. 二、实例分析 例1：写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解：第一步：把水注入电锅； 第二步：打开电源把水烧开； 第三步：把烧开的水注入热水瓶. （以上算法是解决某一问题的程序或步骤） 例2：给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解：算法1 按照逐一相加的程序进行 第一步：计算1+2，得到3； 第二步：将第一步中的运算结果3与3相加，得到6；