2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）
专题45：梯形
一、选择题
1. （2012广东广州3分）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC 于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是【】
A．26 B．25 C．21 D．20
【答案】C。
【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质。
【分析】∵BC∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形。∴BE=AD=5。
∵EC=3，∴BC=BE+EC=8。
∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC=4。
∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21。故选C。
2. （2012江苏无锡3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于【】
A．17 B．18C．19D．20 【答案】A。
【考点】梯形和线段垂直平分线的性质。
【分析】由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，即可得DE=CE，即可由已知AD=3，AB=5，BC=9求得四边形ABED的周长为：AB+BC+AD=5+9+3=17。故选A。
3. （2012福建漳州4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=80o，则∠D的度数是【】
A．120o B．110o C．100o D．80o
【答案】C。
【考点】等腰梯形的性质，平行的性质。
【分析】∵AD∥BC，∠B=80°，∴∠A=180°－∠B=180°－80°=100°。
∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠D=∠A=100°。故选C。
4. （2012湖北十堰3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为【】
A．22 B．24 C．26 D．28
【答案】B。
【考点】梯形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】∵AD∥BC，∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB，
又∵MC=MB，∴∠MBC=∠MCB。∴∠AMB=∠DMC。
在△AMB和△DMC中，∵AM=DM，∠AMB=∠DMC，MB=MC，
∴△AMB≌△DMC（SAS）。∴AB=DC。
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=24。故选B。
5. （2012四川宜宾3分）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=1
2 AB，
点E、F分别为AB．AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为【】
A ． 17
B ．16
C ．15
D ．14
【答案】C 。 【考点】直角梯形的性质，三角形的面积，三角形中位线定理。
【分析】如图，连接BD ，过点F 作FG ∥AB 交BD 于点G ，连接EG ，CG 。
∵DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB =AD ，CD =
12AB ，点E 、F 分别为AB ．AD 的中点，
∴根据三角形中位线定理，得AE =BE =AF =DF =DC =FG 。
∴图中的六个三角形面积相等。
∴△AEF 与多边形BCDFE 的面积之比为15
。故选C 。 6. （2012四川达州3分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，则下列结论：①EF ∥AD ； ②S △ABO =S △DCO ；③△OGH 是等腰三角形；④BG =DG ；⑤EG =HF 。其中正确的个数是【 】
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
【答案】D 。
【考点】梯形中位线定理，等腰三角形的判定，三角形中位线定理。
【分析】∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，
∴EF ∥AD ∥BC ，∴①正确。
∵在梯形ABCD 中，△ABC 和△DBC 是同底等高的三角形，
∴S △ABC =S △DBC 。∴S △AB C －S △OBC =S △DBC －S △OBC ，即S △ABO =S △DCO 。∴②正确。
∵EF ∥BC ，∴∠OGH =∠OBC ，∠OHG =∠OCB 。
已知四边形ABCD 是梯形，不一定是等腰梯形，即∠OBC 和∠OCB 不一定相等，
即∠OGH 和∠OHG 不一定相等，∠GOH 和∠OGH 或∠OHG 也不能证出相等。
∴△OGH 是等腰三角形不对，∴③错误。
∵EF ∥BC ，AE =BE （E 为AB 中点），∴BG =DG ，∴④正确。
∵EF∥BC，AE=BE（E为AB中点），∴AH=CH。
∵E、F分别为AB、CD的中点，∴EH=1
2
BC，FG=
1
2
BC。∴EH=FG。
∴EG=FH，∴⑤正确。
∴正确的个数是4个。故选D。
7. （2012山东临沂3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC．BD相交于点O，下列结论不一定正确的是【】
A．AC=BD B．OB=OC C．∠BCD=∠BDC D．∠ABD=∠ACD
【答案】C。
【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形边角关系，三角形内角和定理。
【分析】A．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，故本选项正确。
B．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB，
∵在△ABC和△DCB中，AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SAS）。∴∠ACB=∠DBC。∴OB=OC。故本选项正确。
C．∵BC和BD不一定相等，∴∠BCD与∠BDC不一定相等，故本选项错误。
D．∵∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，∴∠ABD=∠ACD。故本选项正确。
故选C。
8. （2012山东烟台3分）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为
（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为【】
A．4 B．5 C．6 D．不能确定
【答案】B。
【考点】等腰梯形的性质，坐标与图形性质，勾股定理。
【分析】如图，连接BD，
由题意得，OB=4，OD=3，∴根据勾股定理，得BD=5。
又∵ABCD是等腰梯形，∴AC=BD=5。故选B。
9. （2012广西北海3分）如图，梯形ABCD中AD//BC，对角线AC、BD相交于点O，若AO∶CO
＝2：
3，AD＝4，则BC等于：【】
A．12 B．8C．7D．6
【答案】D。
【考点】梯形的性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质。
【分析】∵梯形ABCD中AD∥BC，∴∠ADO=∠OBC，∠AOD=∠BOC。∴△AOD∽△COB。
∵AO：CO=2：3，AD=4，∴AD：BC =AO：CO =2 3 ，4：即BC =2 ：3 。
解得BC=6。故选D。
10. （2012广西贵港3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠C＝90°，AD＝5，BC
＝9，以A为
中心将腰AB顺时针旋转90°至AE，连接DE，则△ADE的面积等于【】
A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A。
【考点】全等三角形的判定和性质，直角梯形的性质，矩形的判定和性质，旋转的性质。【分析】如图，过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥AD，交DA延长线于M，
∵AD∥BC，∠C＝90°，
∴∠C＝∠ADC＝∠ANC＝90°。∴四边形ANCD是矩形。
∴∠DAN＝90°＝∠ANB＝∠MAN，AD＝NC＝5，AN＝CD。
11. （2012内蒙古呼和浩特3分）已知：在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，AD =3，BC =7，则梯形的面积是【 】
A ．25
B ．50
C ．
D 【答案】A 。 【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的
判定和性质。
【分析】 过点D 作DE ∥AC 交BC 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于F 。
∵AD ∥BC ，DE ∥AC ，
∴四边形ACED 是平行四边形。∴AD =CE =3，AC =DE 。
在等腰梯形ABCD 中，AC =DB ，∴DB =DE 。
∵AC ⊥BD ，AC ∥DE ，∴DB ⊥DE 。∴△BDE 是等腰直角三角形。∴DF =12
BE =5。 S 梯形ABCD =12（AD +BC ）?DF =12
（3+7）×5=25。故选A 。 12. （2012黑龙江龙东地区3分）如图，已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =90°，
AB =BC =2AD ，
点E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，连接AF 、CE 交于点M ，连接BM 并延长交CD 于点N ，连接
DE 交
AF 于点P ，则结论：①∠ABN =∠CBN ； ②DE ∥BN ； ③△CDE 是等腰三角形；
④EM 3 ：； ⑤EPM ABCD 1
S S 8
?=梯形，正确的个数有【 】
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个
【答案】B。
【考点】直角梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行的判定，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，相似全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理。
【分析】如图，连接DF，AC，EF，
∵E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，
∴AE=EB=BF=FC。
在△ABF和△CBE中，∵AB=CB，∠ABF=∠CBE，BF=BE，
∴△ABF≌△CBE（SAS）。∴∠BAF=∠BCE，AF=CE。
在△AME和△CMF中，
∵∠BAF=∠BCE，∠AME=∠CMF，AE=CF，
∴△AME≌△CMF（AAS）。∴EM=FM。
在△BEM和△BFM中，∵BE=BF，BM=BM，EM=FM，∴△BEM≌△BFM
（SSS）。
∴∠ABN=∠CBN。结论①正确。
∵AE=AD，∠EAD=90°，∴△AED为等腰直角三角形。∴∠AED=45°。
∵∠ABC=90°，∴∠ABN=∠CBN=45°。∴∠AED=∠ABN=45°。
∴ED∥BN。结论②正确。
∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，∴AD=FC。
又∵AD∥FC，∴四边形AFCD为平行四边形。∴AF=DC。
又AF=CE，∴DC=EC。则△CED为等腰三角形。结论③正确。
∵EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，且EF=1
2 AC。
∴∠MEF =∠MCA ，∠EFM =∠MAC 。∴△EFM ∽△CAM 。∴EM ：MC =EF ：AC =1：2。
设EM =x ，则有MC =2x ，EC =EM +MC =3x ，
设EB =y ，则有BC =2y ，
在Rt △EBC 中，根据勾股定理得：EC ，
∴3x ，即x ：y 3。∴EM ：BE 3。结论④正确。
∵E 为AB 的中点，EP ∥BM ，∴P 为AM 的中点。 ∴AEP EPM AEM 1S S S 2??==?。
又∵AEM BEM BEM BFM S S S S ????==，，∴AEM BEM BFM ABF 1S S S S 3????===。
∵四边形ABFD 为矩形，∴ABF ADF S S ??=。
又∵ADF DFC S S ??=，∴ABF ADF DFC ABCD 1S S S S 3???===梯形S 。 ∴EPM ABCD 1S S 18
?=梯形。结论⑤错误。 因此正确的个数有4个。故选B 。
二、填空题
1. （2012上海市4分）如图，已知梯形ABCD ，AD ∥BC ，BC =2AD ，如果AD=a AB=b ，
那么AC = ▲ （用a b ，表示）．
【答案】2a+b 。
【考点】平面向量。
【分析】∵梯形ABCD ，AD ∥BC ，BC =2AD ，AD=a ，∴BC=2AD=2a 。
又
∵AB=b ，∴AC=AB+BC b+2a=2a+b = 。 2. （2012江苏南通3分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＋∠B ＝90o，AB ＝7cm ，BC
＝3cm ，
AD ＝4cm ，则CD ＝ ▲ cm ．
【答案】2。
【考点】梯形的性质，平行的性质，三角形内角和定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理。
【分析】作DE ∥BC 交AB 于E 点，则∠DEA =∠B 。
∵∠A +∠B =90°，∴∠A +∠DEA =90°。∴∠ADE =90°。
又∵AB ∥CD ，∴四边形DCBE 是平行四边形。∴DE =CB ，CD =BE 。
∵BC =3，AD =4，∴EA 5。
∴CD =BE =AB ×AE =7－5=2。
3. （2012江苏扬州3分）已知梯形的中位线长是4cm ，下底长是5cm ，则它的上底长是 ▲ cm ．
【答案】3。
【考点】梯形中位线定理。
【分析】根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”直接求解：
设梯形的上底长为x ，则梯形的中位线＝12
(x ＋5)＝4，解得x ＝3。 4. （2012福建厦门4分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，若OB ＝3，则OC ＝ ▲ ．
【答案】3。
【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。
【分析】∵梯形ABCD 是等腰梯形，∴AB =CD ，∠BCD =∠ABC ，
在△ABC 与△DCB 中，∵ AB =CD ，∠ABC =∠BCD ，BC =BC ∴△ABC ≌△DCB （SAS ）。 ∴∠DBC =∠ACB ，∴OB =OC =3。
5. （2012湖北咸宁3分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，?=∠90C ，BE 平分∠ABC 且交CD 于E ，E 为CD 的中点，EF ∥BC 交AB 于F ，EG ∥AB 交BC 于G ，当2=AD ，12=BC 时，
四边形BGEF的周长为▲ ．
【答案】28。
【考点】梯形中位线定理，平行的性质，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质。【分析】∵EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，∴四边形BGEF是平行四边形。
∵BE平分∠ABC且交CD于E，∴∠FBE=∠EBC。
∵EF∥BC，∴∠EBC=∠FEB。∴∠FBE=FEB。∴EF=BF。∴四边形BGEF是菱形。
∵E为CD的中点，AD=2，BC=12，∴EF=1
2
（AD+BC）=
1
2
×（2+12）=7。
∴四边形BGEF的周长=4×7=28。
6. （2012湖北黄冈3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=CD=5，∠B=60°，则下底BC的长为▲ .
【答案】9。
【考点】等腰梯形的性质，含30度角直角三角形的性质，矩形的判定。
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∵AB=5，∠B=60°，∴∠BAE=30°。∴BE=2.5 。
同理可得CF=2.5。
又∵AD=4，∴EF=AD=4（矩形的性质）。
∴BC =BE+EF+FC=5+4=9。
7. （2012湖南长沙3分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠B=60°，则BC 的长为
▲ ．
【答案】4。
【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质。
【分析】过点A 作AE ∥CD 交BC 于点E ，
∵AD ∥BC ，∴四边形AECD 是平行四边形。
∴AE =CD =2，AD =EC =2。
∵∠B =60°，∴△ABE 是等边三角形。∴BE =AB =AE =2。
∴BC =BE +CE =2+2=4。
8. （2012湖南常德3分）若梯形的上底长是10厘米，下底长是30厘米，则它的中位线长为 ▲ 厘米。
【答案】20。
【考点】梯形的中位线定理。
【分析】根据梯形的中位线的长度等于上下两底和的一半的性质直接求得：（10＋30）÷2=20。
9. （2012四川内江5分）如图，四边形ABCD 是梯形，BD =AC ，且BD ⊥AC 若AB =2，CD =4则ABCD S 梯形
▲
【答案】9。
【考点】梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质。
【分析】如图，过点B 作BE ∥AC 交DC 的延长线于点E ，过点B 作BF ⊥DC 于点F ，
则AC =BE ，DE =DC +CE =DC +AB =6。
又∵BD =AC 且BD ⊥AC ，∴△BDE 是等腰直角三角形。
∴BF =12
DE =3。 ∴梯形ABCD 的面积为
12（AB +CD ）×BF =9。 10. （2012四川巴中3分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ⊥DC ，点E 是BC 的中
点，且DE ∥AB ，
则∠BCD 的度数是 ▲
【答案】60°。
【考点】等腰梯形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质。
【分析】∵BD⊥AC，点E是BC的中点，∴DE是Rt△BDC的中线，∴DE=BE=EC=1
2 BC.
∵DE∥AB，AD∥BC，∴四边形ABED是菱形。∴AB=DE。
∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD。∴DE =EC= CD。∴△DEC是等边三角形。
∴∠BCD=60°。
11. （2012辽宁丹东3分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，连接AE并延
长交BC的
延长线于点F，且AB⊥AE．若AB=5，AE=6，则梯形上下底之和为▲ ．
【答案】13。
【考点】梯形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠F=∠DAE，∠ECF=∠D。
∵E是CD的中点，∴DE=CE。
在△ADE和△FCE中，∵∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，DE=CE，∴△ADE≌△FCE（AAS）。
∴CF=AD，EF=AE=6。∴AF=AE+EF=12。
∵AB⊥AE，∴∠BAF=90°。
∵AB=5，∴BF13
=。
12. （2012辽宁营口3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过点D作DF⊥BC于F．若
AD=2，
BC=4，DF=2，则DC的长为▲ ．
【考点】等腰梯形的性质，勾股定理。
【分析】由在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ， DF ⊥BC ， AD =2，BC =4可得FC =（4－2）÷2=1. 在R ｔ△CDF 中，DF =2，FC =1，根据勾股定理,得DC
13. （2012贵州黔西南3分）如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AD ＝1，BC ＝3，△AOD 的面积为3，则△BOC 的面积为 ▲ 。
【答案】27。
【考点】相似三角形的判定和性质。
【分析】先判定出△AOD ∽△BOC ，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算即可得解：
∵AD ∥BC ，∴△AOD ∽△BOC 。∴2AOD BOC S AD S BC
??=（）。 ∵AD =1，BC =3，AOD S 3?=，∴
2BOC
31S 3?=（）。 ∴BOC S 27?=。 14. （2012广西钦州3分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，∠B =60°，BC =8，则等腰梯形ABCD 的周长为 ▲ ．
【答案】40。
【考点】等腰梯形的性质，锐角克角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】∵∠B =60°，DC ∥AB ，AC ⊥BC ，
∴∠CAB=30°=∠ACD，∠DAC=30°。∴AD=DC=BC=8。
在Rｔ△ABC中，
BC8
AB16
cos B
2
===
∠
。
∴等腰梯形ABCD的周长=AD+DC+BC+AB=40。
三、解答题
1. （2012浙江杭州10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE．
（1）求证：AF=DE；
（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．
【答案】（1）证明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA。
∵在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，AB=AE，DC=DF，且
∠BAE=∠CDF=60°，
∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA。
∴△AED≌△DFA（SAS）。∴AF=DE。
（2）解：如图作BH⊥AD，CK⊥AD，则有BC=HK。
∵∠BAD=45°，∴∠HAB=∠KDC=45°。
∴AB
AH。
同理：CD
。
∵S梯形ABCD=()
AD+BC HB
2
?
，AB=a，
∴S梯形ABCD
=
2+2BC
2
?
?
??。
又∵S△ABE=S△DCF
2，
∴2
，解得：。
【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质。
【分析】（1）根据等腰梯形和等边三角形的性质以及全等三角形SAS 的判定证明
△AED ≌△DFA 即可。
（2）如图作BH ⊥AD ，CK ⊥AD ，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC 的长。
2. （2012江苏南京8分）如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =CD ，对角线AC 、BD 交于点O ，AC ⊥BD ，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点
（1）求证：四边形EFGH 为正方形；
（2）若AD =2，BC =4，求四边形EFGH 的面积。
【答案】（1）证明：在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF =
12AC 。 同理FG =12BD ，GH =12AC ，HE =12
BD 。 ∵在梯形ABCD 中，AB =DC ，∴AC =BD 。
∴EF =FG =GH =HE ，∴四边形EFGH 是菱形。
设AC 与EH 交于点M ，
在△ABD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，则EH ∥BD ，同理GH ∥AC 。
又∵AC ⊥BD ，∴∠BOC =90°。∴∠EHG =∠EMC =90°。
∴四边形EFGH 是正方形。
（2）解：连接EG 。
在梯形ABCD 中，∵E 、F 分别是AB 、DC 的中点， ∴1EG AD BC 32=+=（）。
在Rt △EHG 中，∵EH 2+GH 2=EG 2，EH =GH ， ∴29EH 2
=，即四边形EFGH 的面积为92。 【考点】三角形中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定理。
【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC ⊥BD 入手，进行正方形的判断。
（2）连接EG ，利用梯形的中位线定理求出EG 的长，然后结合（1）的结论求出
29EH 2
= ，也即得出了正方形EHGF 的面积。 3. （2012江苏苏州6分）如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AB =CD ，延长线段CB 到E ，
使BE =AD ，连接AE 、AC .
⑴求证：△ABE ≌△CDA ；
⑵若∠DAC =40°，求∠EAC 的度数.
E D
C B A
【答案】⑴证明：在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ，AB =CD ，
∴∠ABE =∠BAD ，∠BAD =∠CDA 。
∴∠ABE =∠CDA 。
在△ABE 和△CDA 中，AB =CD ，∠ABE =∠CDA ， BE =AD ，
∴△ABE ≌△CDA （SAS ）。
⑵解：由⑴得：∠AEB =∠CAD ，AE =AC 。
∴∠AEB =∠ACE 。
∵∠DAC =40°，∴∠AEB =∠ACE =40°。
∴∠EAC =180°－40°－40°=100°。
【考点】梯形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理。
【分析】（1）先根据题意得出∠ABE =∠CDA ，然后结合题意条件利用SAS 可判断三角形的全
等。
（2）根据题意可分别求出∠AEC 及∠ACE 的度数，在△AEC 中利用三角形的内角和
定理即可得出答案。
4. （2012江苏盐城10分） 如图所示,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,90BDC ∠=?,E 为BC 上一点,BDE DBC ∠=∠.
(1) 求证:DE EC =；
（2）若
1
2
AD BC
,试判断四边形ABED的形状,并说明理由．
5. （2012湖南永州8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．求证：四边形AEFG为平行四边形．
【答案】证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，
∴∠B=∠C（等腰梯形底角相等）。
∵GF=GC，∴∠GFC=∠C（等边对等角）。∴∠GFC=∠B（等量代换）。
∴AB∥GF（同位角相等，两直线平行）。
又∵AE=GF，
∴四边形AEFG是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
【考点】等腰梯形和三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定。
【分析】由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，再根据等边对等角的性质得到∠C=∠GFC，所以∠B=∠GFC，故可得出AB∥GF，再由AE=GF即可得出结论。
6. （2012湖南怀化10分）如图，在等腰梯形ABCD中，点E为底边BC的中点，连结AE、DE．求证：AE=DE．
【答案】证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠B=∠C。
∵E是BC的中点，∴BE=CE。
在△ABE和△DCE中，∵AB=DC，∠B=∠C，BE=CE，
∴△ABE≌△DCE（SAS）。∴AE=DE。
【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】利用等腰梯形的性质证明△ABE≌△DCE后，利用全等三角形的性质即可证得两对应线段相等。
7. （2012四川南充6分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上的一点，且CE=CD，求证：∠B=∠E
【答案】证明：∵ABCD是等腰梯形，AD∥BC，∴∠B=∠BCD, ∠BCD=∠EDC。
∴∠B=∠EDC。
又∵CE=CD。∴∠EDC=∠E。∴∠B=∠E。
【考点】等腰梯形的性质，等腰三角形的性质，平行的性质。
【分析】根据等腰梯形的性质获得∠B=∠BCD，再利用等腰三角形的性质得到∠EDC=∠E。
8. （2012辽宁大连12分）如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A.
（1）∠BEF=_____(用含α的代数式表示)；
（2）当AB＝AD时，猜想线段ED、EF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB＝
mDE ，AD ＝nDE ”，其他条件不变（如图2），求EB EF
的值（用含m 、n 的代数式表示）。
【答案】解：（1）180°－2α。
（2）EB =EF 。证明如下：
连接BD 交EF 于点O ，连接BF 。
∵AD ∥BC ，∴∠A =180°-∠ABC =180°－2α，
∠ADC =180°－∠C =180°-α。
∵AB =AD ，∴∠ADB =12
（180°－∠A ）=α。 ∴∠BDC =∠ADC －∠ADB =180°－2α。
由（1）得：∠BEF =180°－2α=∠BDC 。
又∵∠EOB =∠DOF ，∴△EOB ∽△DOF 。∴OE OB =OD OF ，即OE OD =OB OF
。 ∵∠EOD =∠BOF ，∴△EOD ∽△BOF 。∴∠EFB =∠EDO =α。
∴∠EBF =180°－∠BEF －∠EFB =α=∠EFB 。∴EB =EF 。
（3） 延长AB 至G ，使AG =AE ，连接BE ，GE ，
则∠G =∠AEG =
()1801802180A ==22αα?-?-?-∠。 ∵AD ∥BC ，
∴∠EDF =∠C =α，∠GBC =∠A ，∠DEB =∠EBC 。
∴∠EDF =∠G 。
∵∠BEF =∠A ，∴∠BEF =∠GBC 。
∴∠GBC +∠EBC =∠DEB +∠BEF ，即∠EBG =∠FED 。
∴△DEF ∽△GBE 。∴EB BG =EF DE
。 ∵AB =mDE ，AD =nDE ，∴AG =AE =（n +1）DE 。
∴BG =AG －AB =（n +1）DE －mDE =（n +1－m ）DE 。 ∴EB n 1m DE ==n 1m EF DE
+-+-（）。 【考点】梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。
【分析】（1）由梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，根据平行线的性质，易求得∠A 的度数，又由∠BEF=∠A，即可求得∠BEF的度数：
∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°。∴∠A=180°－∠ABC=180°－2α。
又∵∠BEF=∠A，∴∠BEF=∠A=180°－2α。
（2）连接BD交EF于点O，连接BF，由AB=AD，易证得△EOB∽△DOF，根据相似三
角形的对应边成比例，可得OE OB
=
OD OF
，从而可证得△EOD∽△BOF，又由相似三角形的对应
角相等，易得∠EBF=∠EFB=α，即可得EB=EF。
（3）延长AB至G，使AG=AE，连接BE，GE，易证得△DEF∽△GBE，然后由相似三
角形的对应边成比例，即可求得EB
EF
的值。
9. （2012山东滨州9分）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD 的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论．
【答案】解：结论为：EF∥AD∥BC，EF=1
2
（AD+BC）。理由如下：
连接AF并延长交BC的延长线于点G。
∵AD∥BC，∴∠ADF=∠GCF。
在△ADF和△GCF中，
∠ADF=∠GCF，DF=CF，∠DFA=∠CFG，
∴△ADF≌△GCF（ASA）。∴AF=FG，AD=CG。
又∵AE=EB，∴EF∥BG，EF=1
2 BG。
∴EF∥AD∥BC，EF=1
2
（AD+BC）．
【考点】全等三角形的判定和性质；三角形中位线定理。