第五章 二次曲线一般的理论
§5.1二次曲线与直线的相关位置
1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y .
（1）22221x y a b +=；（2）22
221x y a b
-=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++=
（5）2226740x xy y x y -+-+-=.
解：（1）221
0010
000
1a A b ?? ?
?
?= ? ?- ? ???；121(,)F x y x a =；221
(,)F x y y b =；3(,)1F x y =-； （2）2210010
000
1a A b ?? ?
?
?=-
? ?- ? ??
?
；121(,)F x y x a =221
(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-. （3）0001000p A p -?? ?
= ? ?-??
；1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；
（4）51020
305022A ?? ?
?=- ? ?
?
??；15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35
(,)22F x y x =+；
（5）1232
1
71227342
A ??-- ? ? ?=-
? ? ?-- ???
；11(,)232F x y x y =--；217
(,)22F x y x y =-++；37
(,)342
F x y x y =-+
-.
2. 求二次曲线22234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点. （1）550x y --=； （2）220x y ++=； （3）410x y +-=； （4）30x y -=； （5）2690x y --=.
解：提示：把直线方程代入曲线方程解即可，详解略 （1）15(,),(1,0)22
-；
（2）??，??
； （3）二重点(1,0)；
（4）11,26??
???
； （5）无交点.
3. 求直线10x y --=与二次曲线2
2
2210x xy y x y -----=的交点. 解：由直线方程得1x y =+代入曲线方程并解方程得直线上的所有点都为交点. 4 .试确定k 的值，使得（1）直线50x y -+=与二次曲线2
30x x y k -+-=交于两不同的实点；
（2）直线1,{
x kt y k t
=+=+与二次曲线22
430x xy y y -+-=交于一点；
（3）10x ky --=与二次曲线2
2(1)10xy y k y -+---=交于两个相互重合的点； （4）1,{
1x t y t
=+=+与二次曲线22
2420x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.
解：详解略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4）4924
k >
.
§5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线
1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于何种类型的.
（1）22230x xy y x y ++++=； （2）22342250x xy y x y ++--+=； （3）24230xy x y --+=.
解：（1）由22(,)20X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:1:1X Y =-或1:1-且属于抛物型的；
（2）由22(,)3420X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:(2:3X Y =-且属于椭圆型的；
（3）由(,)20X Y XY φ==得渐进方向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的. 2. 判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线. （1）22224630x xy y x y -+--+=； （2）22442210x xy y x y -++--=； （3）2281230y x y ++-=； （4）2296620x xy y x y -+-+=. 解：（1）因为211
1012
I -=
=≠-，所以它为中心曲线；
（2）因为212024
I -=
=-且
121
241-=≠--，所以它为无心曲线； （3）因为200002
I =
=且004
026=≠，所以它为无心曲线；
（4）因为293031
I -=
=-且
933
312--==-，所以它为线心曲线； 3. 求下列二次曲线的中心.
（1）2
2
5232360x xy y x y -+-+-=； （2）2
2
2526350x xy y x y ++--+=； （3）2
2
930258150x xy y x y -++-=.
解：（1）由510,
3
302
x y x y --=??
?-++=??得中心坐标为313(,)2828-； （2）由5230,2
532022
x y x y ?
+-=????+-=??得中心坐标为(1,2)-；
（3）由91540,15
152502
x y x y -+=??
?-+-=??知无解，所以曲线为无心曲线. 4. 当,a b 满足什么条件时，二次曲线226340x xy ay x by ++++-=（1）有唯一中心；（2）没有中心；（3）有一条中心直线.
解：（1）由330,2
30
2
x y b x ay ?++=????++=??知，当9a ≠时方程有唯一的解，此时曲线有唯一中心；
（2）当9,9a b =≠时方程无解，此时曲线没有中心；（3）当9a b ==时方程有无数个解，此时曲线是线心曲线.
5. 试证如果二次曲线
22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=
有渐进线，那么它的两个渐进线方程是
Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=
式中00(,)x y 为二次曲线的中心.
证明：设(,)x y 为渐进线上任意一点，则曲线的的渐进方向为00:():()X Y x x y y =--，所以Φ00(,)x x y y --=221101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=. 6. 求下列二次曲线的渐进线.
（1）2
2
6310x xy y x y --++-=； （2）2
2
32340x xy y x y -++-+=； （3）2
2
22240x xy y x y ++++-=.
解：（1）由1360,22
110
22
x y x y ?-+=????--+=??得中心坐标13(,)55-.
而由22
60X XY Y --=得渐进方向为:1:2X Y =或:1:3X Y =-，所以渐进线方程分别
为210x y -+=与30x y +=
（2）由310,22
3320
22
x y x y ?-+=????-+-=??得中心坐标13(,)55-.
而由22
320X XY Y -+=得渐进方向为:1:1X Y =或:2:1X Y =，所以渐进线方程分别
为20x y -+=与210x y --=
（3）由10,
10x y x y ++=??++=?
知曲线为线心曲线，.
所以渐进线为线心线，其方程为10x y ++=.
7. 试证二次曲线是线心曲线的充要条件是230I I ==，成为无心曲线的充要条件是
230,0I I =≠.
证明：因为曲线是线心曲线的充要条件是
13
1112122223
a a a a a a ==
也即230I I ==； 为无心曲线的充要条件是
13
1112122223
a a a a a a =≠
也即230,0I I =≠. 8. 证明以直线1110A x By C ++=为渐进线的二次曲线方程总能写成
111()()0A x By C Ax By C D +++++=.
证明：设以1110A x By C ++=为渐进线的二次曲线为
22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=，
则它的渐进线为Φ00(,)x x y y --=2
2
1101200220()2()()()0a x x a x x y y a y y -+--+-=，其中00(,)x y 为曲线的中心，从而有Φ00(,)x x y y --=111()()0A x By C Ax By C ++++=
而Φ00(,)x x y y --=22
11012002202
2
111222110120221202201101200220()2()()()22()2()2,
a x x a x x y y a y y a x a xy a y a x a y x
a x a y y a x a x y a y -+--+-=++-+-++++
因为00(,)x y 为曲线的中心，所以有11012013a x a y a +=-，12022023a x a y a +=- 因此Φ000033(,)(,)(,)x x y y F x y x y a φ--=+-，
令0033(,)x y a D φ-=-，代入上式得00(,)(,)F x y x x y y D φ=--+
即111(,)()()F x y A x By C Ax By C D =+++++，所以以1110A x By C ++=为渐进线的二次曲线可写为111()()0A x By C Ax By C D +++++=.
9.求下列二次曲线的方程.
（1）以点（0，1）为中心，且通过（2，3），（4，2）与（-1，-3）； （2）通过点（1，1），（2，1），（-1，-2）且以直线10x y +-=为渐进线. 解：利用习题8的结论即可得：
（1）40xy x --=；（2）2223570x xy y x ---+=.
§5.3二次曲线的切线
1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程. （1）曲线2
2
3457830x xy y x y ++---=在点（2，1）； （2）曲线曲线2
2
3457830x xy y x y ++---=在点在原点； （3）曲线2
2430x xy y x y +++++=经过点（-2，-1）； （4）曲线225658x xy y ++=
经过点；
（5）曲线2
2
2210x xy y x y -----=经过点（0，2）. 解：（1）910280x y +-=； （2）20x y -=；
（3）10,30y x y +=++=；
（4
）1150,0x y x y +-=-+=； （5）0x =.
2. 求下列二次曲线的切线方程并求出切点的坐标.
（1）曲线2243530x xy y x y ++--+=的切线平行于直线40x y +=； （2）曲线223x xy y ++=的切线平行于两坐标轴. 解：（1）450x y +-=，(1,1)和480x y +-=，(4,3)-； （2）20y ±=，(1,2),(1,2)--和20x ±=，(2,1),(2,1)--. 3. 求下列二次曲线的奇异点. （1）22326410x y x y -+++=； （2）22210xy y x +--=； （3）2222210x xy y x y -+-++=. 解：（1）解方程组330,
220
x y +=??
-+=?得奇异点为(1,1)-；
（2）解方程组10,
0y x y -=??+=?
得奇异点为(1,1)-.
4.试求经过原点且切直线4320x y ++=于点（1，-2）及切直线10x y --=于点（0，-1）的二次曲线方程.
解：利用（5.3-5）可得2
2
6320x xy y x y +-+-=.
5.设有共焦点的曲线族22
2
222
1x y a h b h
+=++，这里h 是一个变动的参数，作平行于已知直线y mx =的曲线的切线，求这些切线切点的轨迹方程. 解：设切点坐标为00(,)x y ，则由（5.3-4）得曲线的切线为
002222
1x x y y
a h
b h
+=++，因为它平行与y mx =，所以有22
2
0000
x b my a h x my +=-+，代入22002
2221x y a h b h +=++整理得 222
220000(1)()0mx m x y my m a b +----=，
所以切点的轨迹为
22222(1)()0mx m xy my m a b +----=.
§5.4二次曲线的直径
1. 已知二次曲线2
2
3754510x xy y x y +++++=.求它的
（1）与x 轴平行的弦的中点轨迹； （2）与y 轴平行的弦的中点轨迹；
（3）与直线10x y ++=平行的弦的中点轨迹.
解：（1）因为x 轴的方向为:1:0X Y =代入（5.4-3）得中点轨迹方程6740x y ++=； （2）因为y 轴的方向为:0:1X Y =代入（5.4-3）得中点轨迹方程71050x y ++=； （3）因为直线10x y ++=的方向为:1:1X Y =-代入（5.4-3）得中点轨迹方程
310x y ++=.
2.求曲线224260x xy x y +---=通过点（8，0）的直径方程，并求其共轭直径. 解：（1）把点（8，0）代入(2)(21)0X x Y y -+-=
得:1:6X Y =，再代入上式整理得直径方程为1280x y +-=，其共轭直径为
122230x y --=.
3.已知曲线22310xy y x y --+-=的直径与y 轴平行，求它的方程，并求出这直径的共轭直径.
解：直径方程为10x -=，其共轭直径方程为230x y -+=. 4.已知抛物线2
8y x =-，通过点（-1，1）引一弦使它在这点被平分. 解：430x y ++=.
5. 求双曲线
22
164
x y -=一对共轭直径的方程，已知两共轭直径间的角是45度. 解：设直径和共轭直径的斜率分别为'
,k k ，则'
2
3
kk =
.又因为它们交角45度，所以''
11k k kk -=+，从而13k =-或2，'
2k =-或13，故直径和共轭直径的方程为30x y +=和
20x y -=或20x y +=和30x y -=.
6.求证：通过中心曲线的直线一定为曲线的直径；平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其
直径. 证明：因为中心曲线直径为中心线束，因此过中心的直线一定为直径；当曲线为无心曲线时，它们的直径属于平行直线束，其方向为渐进方向，所以平行于无心曲线渐进方向的直线一定为其直径.
7．求下列两条曲线的公共直径.
（1）223234440x xy y x y -+++-=与2223320x xy y x y --++=； （2）220x xy y x y ----=与2220x xy y x y ++-+=. 解：（1）210x y -+=；（2）5520x y ++=. 8.已知二次曲线通过原点并且以下列两对直线
320,5540x y x y --=??
--=?与530,
210
y x y +=??--=? 为它的两对共轭直径，求该二次曲线的方程.
解：设曲线的方程为22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=，则由（5.4-3）和（5.4-5）可得111222132333111
1,,1,,,0222
a a a a a a ==-=-=-=-=，所以曲线的方程为220x xy y x y ----=.
§5.5二次曲线的主直径与主方向
1.分别求椭圆22221x y a b +=，双曲线22
221x y a b
-=，抛物线22y px =的主方向与主直径.
解：椭圆的主方向分别为1：0和0：1，主直径分别为0,0x y ==；双曲线的主方向分别为1：0和0：1，主直径分别为0,0x y ==；抛物线的主方向分别为0：1和1：0，主直径分别为0y =.
2. 求下列二次曲线的主方向与主直径. （1）2
2
585181890x xy y x y ++--+=； （2）22210xy x y -+-=；
（3）2
2
9241618101190x xy y x y -+--+=.
解：（1）曲线的主方向分别为1：（-1）和1：1，主直径分别为0,20x y x y -=+-=； （2）其主方向分别为1：1和1：（-1），主直径分别为0,20x y x y +=-+=； （3）其主方向分别为3：（-4）和4：3，主直径分别为3470x y -+=； （4）任何方向都是其主方向，过中心的任何直线都是其主直径.
3.直线10x y ++=是二次曲线的主直径，点（0，0），（1，-1），（2，1）在曲线上，求该曲
线的方程.
解：设二次曲线方程为
22111222132333(,)2220F x y a x a xy a y a x a y a =+++++=，把点坐标（0，0），（1，-1），（2，1）分别代入上面方程同时利用直线10x y ++=为其主直径可得
11122213233377
4,,4,,4,022
a a a a a a ==-==-==，
所以所求曲线方程为22474780x xy y x y -+-+=. 4.试证二次曲线两不同特征根确定的主方向相互垂直.
证明：设12,λλ分别曲线的两不同特征根，由它们确定的主方向分别为11:X Y 与22:X Y 则
1111211112122111,,a X a Y X a X a Y Y λλ+=??
+=?与1121222212222222
,
a X a Y X a X a Y Y λλ+=??+=?， 所以 11211211112121212212()()X X YY a X a Y X a X a Y Y λλ+=+++
11212211222221221221()(),
a X a Y X a X a Y X X X Y Y λλ=+++=+
从而有121212()()0X X YY λλ-+=，
因为12λλ≠，所以12120X X YY +=，由此两主方向11:X Y 与22:X Y 相互垂直.
§5.6二次曲线方程的化简与分类
1. 利用移轴与转轴，化简下列二次曲线的方程并写出它们的图形. （1）2
2
5422412180x xy y x y ++--+=； （2）2
2
2410x xy y x y ++-+-=； （3）25122212190x xy x y +---=； （4）2
2
2220x xy y x y ++++=.
解（1）因为二次曲线含xy 项，我们先通过转轴消去xy ，设旋转角为α，则3
24
ctg α=
，即213
24tg tg αα-=，所以12tg α=或-2.取2tg α=-
，那么sin α=
，cos α=，所
以转轴公式为'
'''2),2).x x y y x y ?=+??
?
?=-+??
代入原方程化简再配方整理得新方程为
''2''26120x y +-=；
类似的化简可得
（2
）''2''250y +=；（3）''2''294360x y --=；（4）''2
210x -=.
2.以二次曲线的主直径为新坐标轴，化简下列方程，并写出的坐标变换公式与作出它们的图形.
（1）22845816160x xy y x y +++--=； （2）22421040x xy y x y --++=； （3）22446830x xy y x y -++-+=； （4）2244420x xy y x y -++-=. 解：（1）已知二次曲线的距阵是
82
42584816?? ?- ? ?--??
， 18513I =+=，282
3625
I ==，
所以曲线的特征方程为2
13360λλ-+=，其特征根为14λ=，29λ=，两个主方向为
11:1:2X Y =-，22:2:1X Y =；
其对应的主直径分别为8200x y -+=，7740x y +-=. 取这两条直线为新坐标轴得坐标变换公式
'''
')1,2) 2.x x y y x y ?=--????=++??
代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为
'2'294360x y +-=.
（2）已知二次曲线的距阵是
225222520-?? ?- ? ???
坐标变换公式
'
'''2)1,) 2.x x y y x y ?=--????=++??
代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为
'2'23210x y -+-=.
（3）已知二次曲线的距阵是
423214343-?? ?-- ? ?-??
， 坐标变换公式
''''9
2),
101).
5x x y y x y ?=--????=++??
代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为
'2'
50y x =. （4）坐标变换公式
''''2
2),
51).
5x x y y x y ?=--????=++??
代入已知曲线方程并整理得曲线在新坐标系下的方程为
'2510y -=.
3.试证在任意转轴下，二次曲线的新旧方程的一次项系数满足关系式
'2'222
13231313
a a a a +=+. 证明：设旋转角为α，则''131323cos sin a a a αα=-，''
231323sin cos a a a αα=+，两式平方相加得
'2'222
13231313
a a a a +=+. 3. 试证二次曲线
222ax hxy ay d ++=
的两条主直径为220x y -=，曲线的两半轴的长分别为
证明：求出曲线的两主直径并化简即可得.
§5.7应用不变量化简二次曲线的方程
1. 利用不变量与半不变量，判断下列二次曲线为何种曲线，并求出它的化简方程与标准方
程.
（1）2266210x xy y x y ++++-=； （2）223234440x xy y x y -+++-=； （3）2243220x xy y x y -++-=； （4）22442210x xy y x y -++--=； （5）2
2
2246290x xy y x y -+--+=； （6
（7）22
22240x xy y x y ++++-=； （8）2
2
4412690x xy y x y -++-+=.
解：（1）因为12I =，213831
I ==-，133
31116311
=-，322I
I =-，而特征方程
2280λλ--=的两根为124,2λλ==-，所以曲线的简化方程（略去撇号）为
224220x y --=，
曲线的标准方程为
2
221012
x y --=，
曲线为双曲线； 类似地得下面：
（2）曲线的简化方程（略去撇号）为
222480x y +-=，
曲线的标准方程为
22
142
x y +=， 曲线为椭圆；
（3）曲线的简化方程（略去撇号）为
22(2(20x y +=，
曲线的标准方程为
22
0x y -=， 曲线为两相交直线；
（4）曲线的简化方程（略去撇号）为
250y =， 曲线的标准方程为
2y =
， 曲线为抛物线；
（5）曲线的简化方程（略去撇号）为
22
0x y +=， 曲线的标准方程为
22
0x y +=， 曲线为一实点或相交与一实点的两虚直线； （6）曲线的简化方程（略去撇号）为
220,0,0)y x a y a -=≤≤≤≤（，
曲线的标准方程为
2y =，
0,0)x a y a ≤≤≤≤（ 曲线为抛物线的一部分；
（7）曲线的简化方程（略去撇号）为
2250y -=，
曲线的标准方程为
252
y =
， 曲线为两平行直线；
（8）曲线的简化方程（略去撇号）为
250y =，
曲线的标准方程为
20y =，
曲线为两重合直线.
2. 当λ取何值时，方程
2244230x xy y x y λ++---=
表示两条直线. 解：方程
2244230x xy y x y λ++---=
表示两条直线当且仅当
322
2110213
I λ-=-=---，
即4λ=.
3. 按实数λ的值讨论方程
2222250x xy y x y λλ-+-++=
表示什么曲线.
解：因为12I λ=，2(1)(1)I λλ=-+，3(53)(1)I λλ=+-，12(51)K λ=-， 所以当λ的值变化时，1231,,,I I I K 也随着变化，它们的变化关系如下表：
所以有对应于下面的结果：
4. 设
221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=
表示两条平行直线，证明这两条直线之间的距离是
d =证明：曲线的方程可简化为
y = 这里当曲线表示两条平行的实直线时，10K <. 所以这两条直线之间的距离是
d =5. 试证方程
221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=
确定一个实圆必须且只须212124,0I I I I =<. 证明：当曲线
221112221323332220a x a xy a y a x a y a +++++=
表示一个实圆的充要条件是其特征方程
2120I I λλ-+=
有相等实根且120I I <，即21240I I ?=-=且120I I <，从而方程确定一个实圆必须且只须
212124,0I I I I =<.
6. 试证如果二次曲线的10I =，那么20I <. 证明：因为111220I a a =+=即1122a a =-，所以1112222
2112212111212
22
()a a I a a a a a a a ==-=-+，
而111222,,a a a 不全0，所以有20I <.
7. 试证如果二次曲线的230,0I I =≠，那么10I ≠，而且120I I <.
证明：当230,0I I =≠时，由5.2节习题7知，曲线为无心曲线，从而有10I ≠，而且120I I <.
解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1 (,)F x y ， 2 (,)F x y 及3 (,)F x y . （1） 2222 1x y a b +=；（2） 22 22 1x y a b -=；（3）2 2y px =；（4） 223520; x y x -++= （5）2 226740 x xy y x y -+-+-=.解：（1） 221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ?? ?； 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2） 221 0010 0001a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ； 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =-；3 (,)1F x y =-.（3） 0001000p A p -?? ?= ? ?-?? ； 1(,)F x y p =-；2 (,)F x y y =；3 (,)F x y px =-；（4） 510 20 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+ ；2 (,)3F x y y =-；3 5(,)22 F x y x =+；（5）
222420 x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解：详解 略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4） 4924 k >. §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于 何种类型的（1） 22230 x xy y x y ++++=；（2） 22342250 x xy y x y ++--+=；（3）24230xy x y --+=. 解：（1）由2 2(,)20 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:1:1 X Y =-或1:1-且属于抛物型的； （2）由2 2(,)3420 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:(22):3 X Y i =-且属于椭圆型的； （3） 由(,)20X Y XY φ==得渐进方向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的. 2. 判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线. （1）2 2224630 x xy y x y -+--+=；（2）2 2442210 x xy y x y -++--=； （3）2 281230 y x y ++-=；（4）2 296620 x xy y x y -+-+=.解：（1） 因为2 1110 12I -= =≠-，所以它为中心曲线； （2）因 为2 120 24 I -= =-且121 241-=≠--，所以它为无心曲线； （3）因为2 00002I = =且004 026 =≠，所以它为无心曲线； （4）因为2 930 3 1 I -==-且933312--==-，所以它为线心曲线；
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 1、已知柱面的准线为： ? ? ?=+-+=-+++-0225 )2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程 ?? ?=+-+=-+++-0 225 )2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2 2 2 =-+++--z y y z 即：02 3 5622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 （2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线? ??==c z y x 的直线方程为： ??? ??=-=-=? ?? ? ??=+=+=z z t y y t x x z z t y y t x x 0 00000 而0M 在准线上，所以 ?? ?=+--+=-++-+--0 2225 )2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232 22=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。 2 而0M 在准线上，所以： ?? ?+=-++=-) 2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010******* 22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。
解：过 又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{ }1,1,1的直线方程为： ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到： 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为{})(),(),((u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： S v u Y x +=)( 与 ?? ? ??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。 证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则， v M =' 即 1、求顶点在原点，准线为01,0122 =+-=+-z y z x 的锥面方程。 解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为： z Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得： 0)()(222=-+--y z y z z x 即：02 22=-+z y x 此为所要求的锥面方程。 2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,12 22=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。
椭圆专题练习 1.【2017浙江，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A B C ．23 D ．5 9 2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ．3 B ．3 C ．3 D ．13 3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1， e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m
第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y . （1）22221x y a b +=；（2）22 221x y a b -=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++= （5）2226740x xy y x y -+-+-=.解：（1）221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ???；121(,)F x y x a =221 (,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2）2210010 000 1a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-.（3）0001000p A p -?? ? = ? ? -?? ； 1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；（4）51020 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35 (,)22 F x y x =+；（5）1232 171227342 A ??-- ? ? ?=- ? ? ?-- ??? ；11(,)232F x y x y =- -；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342 F x y x y =-+-. 2. 求二次曲线2 2 234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.（1）550 x y --=
第一章 矢量与坐标 §1.3 数量乘矢量 4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→ →→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→ → → → → → → → → → =+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→ AB 与→ BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线． 6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. 证明： )(21 AC AB AL += Θ )(21 BC BA BM += )(2 1 CB CA CN += 0)(2 1 =+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL 7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL +OM +ON . [证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC += )(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++CN BM AL ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。 8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB +OC +OD ＝4OM . [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +OC ), OM ＝2 1 (OB +OD ), 所以 2OM ＝2 1 (OA +OB +OC +OD ) 所以 OA +OB +OC +OD ＝4OM . 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 图1-5
解析几何 一、选择题 1．已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的斜率是( ) A.3 B ．－3 C.33 D ．－33 解析：斜率k ＝－1－33－ －3 ＝－33 ，故选D. 答案：D 2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．－2或－1 D ．－2或1 解析：①当a ＝0时，y ＝2不合题意． ②a ≠0， x ＝0时，y ＝2＋a . y ＝0时，x ＝a ＋2 a ， 则a ＋2a ＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D. 答案：D 3．两直线3x ＋y －3＝0与6x ＋my ＋1＝0平行，则它们之间的距离为( ) A ．4 B ．21313 C. 51326 D ．71020 解析：把3x ＋y －3＝0转化为6x ＋2y －6＝0， 由两直线平行知m ＝2， 则d ＝|1－－6|62＋22＝71020. 故选D. 答案：D 4．(2014皖南八校联考)直线2x －y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －5＝0 D ．x ＋2y －5＝0 解析：由题意可知，直线2x －y ＋1＝0与直线x ＝1的交点为(1,3)，直线2x －y ＋1＝0的倾斜角与所求直线的倾斜角互补，因此它们的斜率互为相反数，直线2x －y ＋1＝0的斜率为2，故所求直线的斜率为－2，所
以所求直线的方程是y －3＝－2(x －1)，即2x ＋y －5＝0.故选C. 答案：C 5．若直线l ：y ＝kx － 3 与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.??????π6，π3 B ．? ????π6，π2 C.? ?? ??π3，π2 D ．???? ??π3，π2 解析：由题意，可作直线2x ＋3y －6＝0的图象，如图所示，则直线与x 轴、y 轴交点分别为A (3,0)，B (0,2)，又直线l 过定点(0，－3)，由题知直线l 与线段AB 相交(交点不含端点)，从图中可以看出，直线l 的倾斜角 的取值范围为? ?? ?? π6，π2.故选B. 答案：B 6．(2014泰安一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝0 解析：直线2x ＋y －5＝0的斜率为k ＝－2， ∴所求直线的斜率为k ′＝1 2 ， ∴方程为y －3＝1 2(x －2)，即x －2y ＋4＝0. 答案：A 二、填空题 7．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为____________． 解析：由题意知截距均不为零． 设直线方程为x a ＋y b ＝1，
第1章 矢量与坐标 §1.1 矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆 （3）直线； （4）相距为2的两点 §1.3 数量乘矢量 1.要使下列各式成立，矢量,应满足什么条件？ （1-=+ （2+=+ （3-=+ （4+=-
（5 = [解]：（1）, -=+； （2）, +=+ （3 ≥且, -=+ （4）, +=- （5）, ≥ -=- 2. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量, , 可 以构成一个三角形. [证明]： )(21 AC AB AL += )(21 BM += 0= 3. 设L 、 [证明] 4. [证明] 但 OB OD OC OA OB OC OA OD +=+-=-∴=-=-= 由于)(OC OA +∥,AC )(OD OB +∥,BD 而AC 不平行于BD ， ∴0=+=+OB OD OC OA ， 从而OA=OC ，OB=OD 。
5. 如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB ++＝4. [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +OC ), ＝2 1 (OB +), 所以 2＝2 1 (OA +OB ++OD ) 所以 OA +OB ++OD ＝4OM . 6. [所以所以显然所以 1. [所以从而 OP ＝λ+1. 2. 在△ABC 中，设＝1e ，AC ＝2e ，AT 是角A 的平分线（它与BC 交于T 点），试将分解为1e ,2e 的线性组合. 图1-5
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：
042:=+-+z y x π. 解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为： 14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-， ∴ 所求平面的参数式方程为： 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ， 则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B --， 从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面? ? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z . 5. 求下列平面的一般方程. ⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面;
高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )
1. 过点Ｍo （１,1-，１)且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程. 3９．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ,使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等. 7.)5 1,1,57(. ５.已知：→ →-AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= ( ） Ａ.4 B ．1 C. 2 1 D ．2 ７.设平面方程为0=-y x ,则其位置( ） Ａ．平行于x 轴 B.平行于y 轴 Ｃ．平行于z 轴 Ｄ.过z 轴. 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系( ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D.重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系( ) Ａ.平行 Ｂ.垂直 C ．斜交 D.直线在平面内 1０．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ) Ａ.5 B ． 6 1 C. 51 D.8 1 5.Ｄ 7．D ８.B 9．A 10．A. 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2, 22+-=, 243+-=，则 )(prj c += . 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 1０．曲面方程为:442 2 2 =++z y x ,它是由曲线___＿____绕____＿_______＿旋转而成的.
三、解答题 26.(江苏18)如图，在平面直角坐标系中，M N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交 椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k (1)当直线PA平分线段MN求k的值； (2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d; (3)对任意k>0，求证：PA! PB 本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力,满分16分. 解：(1)由题设知，所以线段MN中点的坐标为，由于直线PA平分线段MN故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过坐标 原点,所以 (2)直线PA的方程 解得 于是直线AC的斜率为 ( 3)解法一： 将直线PA的方程代入 则 故直线AB的斜率为 其方程为 解得. 于是直线PB的斜率 因此 解法二：设. 设直线PB, AB的斜率分别为因为C在直线AB上，所以从而 因此 28. (北京理19) 已知椭圆?过点(m,0)作圆的切线I交椭圆G于A, B两点. (I )求椭圆G的焦点坐标和离心率； (II )将表示为m的函数，并求的最大值? (19)(共14 分) 解：(I)由已知得 所以 所以椭圆G的焦点坐标为 离心率为 (n)由题意知，? 当时,切线l 的方程,点A、 B 的坐标分别为 此时 当m=－ 1 时，同理可得当时，设切线l 的方程为由 设A、B 两点的坐标分别为，则
又由l 与圆 所以 由于当时， 所以. 因为且当时，|AB|=2 ，所以|AB| 的最大值为 2. 32. (湖南理21) 如图7椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长。 (I)求C1, C2的方程； (H)设C2与y轴的焦点为M过坐标原点o的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1 相交与 D,E． (i )证明：MDL ME; (ii )记厶MAB,A MDE勺面积分别是.问：是否存在直线I,使得？请说明理由。 解：(I)由题意知 故C1, C2的方程分别为 (H) (i )由题意知，直线I的斜率存在，设为k,则直线I的方程为. 由得 设是上述方程的两个实根,于是 又点M的坐标为(0,—1),所以 故MAL MB 即MDL ME. (ii )设直线MA的斜率为k1，则直线MA的方程为解得则点A的坐标为. 又直线MB的斜率为，同理可得点 B 的坐标为于是 由得 解得 则点D的坐标为 又直线ME的斜率为，同理可得点E的坐标为于是. 因此 由题意知， 又由点A、 B 的坐标可知，故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为 34. (全国大纲理21) 已知0为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B 两点，点P 满足 (I)证明：点P在C上； (n)设点P关于点O的对称点为Q证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.
习题 习题设A 是一个n 阶下三角矩阵。证明： （1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a ===Λ2211，且A 不是对角阵，则 A 不可对角化。 证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλΛ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，所以A 有 n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无 关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。 （2）假设A 可对角化，即存在对角阵???? ?? ? ? ?=n B λλλO 2 1 ，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21Λ。又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλΛ，从而 E a a a a B nn 112211 =???? ?? ? ? ?=O ，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与 假设矛盾，所以A 不可对角化。 习题设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值 s λλλ,,,21Λ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i Λ=。证明： （1）s V V V +++Λ21是直和；
（2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 证明：（1）取s V V V +++Λ21的零向量0，写成分解式有 021=+++s αααΛ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1Λ=。现用1 2,,,-s σσσΛ分别作用分解式两边，可得 ??? ??? ?=+++=+++=+++---000 1212111221121s s s s s s s s αλαλαλαλαλαλαααΛΛΛΛΛΛΛΛΛ。 写成矩阵形式为 )0,,0,0(11 1 ),,,(11221 1 121ΛΛ M M M Λ ΛΛ=???? ?? ? ? ?---s s s s s s λλλλλλααα。 由于s λλλ,,,21Λ是互不相同的，所以矩阵???? ?? ? ? ?=---11221 1111 1 s s s s s B λλλλλλΛ M M M Λ Λ的行列式不为零，即矩阵B 是可逆的，进而有 )0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121ΛΛΛ==--B BB s ααα，)0,,0,0(),,,(21ΛΛ=s ααα。 这说明s V V V +++Λ21的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得 s V V V +++Λ21是直和。 （2）)(?因i V ，s i ,,2,1Λ=都是V 的子空间，所以有s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21。 又因σ可对角化，所以σ有n 个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕Λ21。对任意的V ∈α，一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示，所以s V V V ⊕⊕⊕∈Λ21α，即得 s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21成立，故有s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 )(?因s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21， 所以分别取i V ),,2,1(s i Λ=的基：i id i i ααα,,,21Λ，
解析几何第四版吕林根 课后习题答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1） }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又 }3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式：
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 、计算题与证明题 1．已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0． 计算 a b b c c a ． 解：因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0 所以 a 与 b 同向，且 a b 与 c 反向 因此 a b 0 ， b c 0 ， c a 0 所以 a b b c c a 0 2．已知 |a b| 3, |a b| 4, 求 |a| |b|． 解： |a b| a b cos 3 （1） |a b| a bsin 4 （ 2） （1）2 2 2 得 a b 2 25 所以 a b 5 4．已知向量 x 与 a （,1,5, 2） 共线 , 且满足 a x 3, 求向量 x 的坐标． 解：设 x 的坐标为 x,y,z ，又 a 1,5, 2 则 a x x 5y 2z 3 又 x 与 a 共线，则 x a 0 ij xy 15 2y 5zi z 2x j 5x y k 0 所以 2y 5z 2 z 2x 2 5x y 2 0 即 29x 2 5y 2 26z 2 20yz 4xz 10xy 0 （2） 又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为 0或 22 yz cos0 1 xa x 2 y 2 z 2 12 52 2 2 1) xy 15 整理得
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 联立 1、2 、3 解出向量 x 的坐标为 1 ,1, 1 10,2, 5
6．已知点 A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程． 解：因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3) AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M x,y,z ，则由 MA MB 得 x 3 2 y 8 2 z 7 2 x 1 2 y 2 2 z 3 2 化简得 2x 3y 5z 27 0 这就是线段 AB 的中垂面的方程。 7． 向量 a , b , c 具有 相 同的 模 , 且两 两 所成 的角 相 等 , 若 a , b 的 坐 标分 别 为 (1,1,0)和(0,1,1), 求向量 c 的坐标． 解： abc r 且它们两两所成的角相等，设为 则有 a b 1 0 1 1 0 1 1 则 cos 设向量 c 的坐标为 x, y,z c x 2 y 2 z 2 r 12 12 02 2 所以 x 2 y 2 z 2 2 3 8．已知点 A(3,6,1) , B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3)， (1) 求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥 A BCD 的体积． x1 联立( 1)、(2)、(3)求出 y 0 或 z1 则 a c 1 x 1 y 0 z x y a bcos r r 12 1 r b c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r 1 r 2 r 1) 2) 所以向量 c 的坐标为 1,0,1 或 1 4 1 ,, 3,3, 3 3)
第一章矢量与坐标 § 1.1矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. 解： 2.设点 O 是正六边形 ABCDEF的中心， 在矢量 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 、 OF 、 AB 、 BC 、 CD、DE 、 EF O 和 FA 中，哪些矢量是相等的？ [解 ]： 图 1-1 3.设在平面上给了一个四边形ABCD，点 K、L、 M、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、 ＤＡ的中点，求证：KL ＝ NM .当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？ [证明 ]： . 4.如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体， 在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反 矢量的矢量： (1) AB、; (2) AE、; (3) AC 、 CD CG EG ; (4)AD 、 GF ;(5)BE 、 CH . 解： 图1—3
§ 1.2矢量的加法 1.要使下列各式成立，矢量a,b 应满足什么条件？ （1）a b a b;（2）a b a b ; （3）a b a b ;（4）a b a b ; （5）a b a b . 解： § 1.3数量乘矢量 1试解下列各题． ⑴化简 (x y) (a b) (x y) (a b) ． ⑵已知 a e1 2 e2e3， b 3e12e2 2 e3，求a b ， a b 和 3 a 2 b ． ⑶ 从矢量方程组解：3 x 4 y a ，解出矢量 x ，y．2 x 3 y b 2 已知四边形ABCD 中， AB a 2 c ，CD 5 a 6 b 8 c ，对角线AC 、 BD 的中 点分别为 E 、 F ，求EF． 解： 3 设AB a 5 b ， BC 2 a 8 b ，CD3( a b) ，证明： A 、 B 、 D 三点共线．解：
1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程． 39．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等． 7．)5 1,1,57 (． 5．已知：→ →-AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ） A ．4 B ．1 C ． 2 1 D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ） A ．平行于x 轴 B ．平行于y 轴 C ．平行于z 轴 D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ） A ．5 B ． 6 1 C ． 51 D ．8 1 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ． 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2， 22+-=， 243+-=，则 )(b a p r j c += ． 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：442 2 2 =++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的． 3．34-=m ； 4．29 19 9．33 2212--=+=-x y x ； 10．曲线1422=+z y 绕z 轴
第三章 平 面 与 空 间 直 线 § 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点)1,5,1(1-M CD 的（3）（ⅰ）设平面通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=AB ，}2,0,1{-=CD 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。
（ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=? 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 0=. 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B -- ， 从而平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面?
? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： }5,2,3{z AB +-= ⑹求过点()1,5,31-M 和()2,1,42M 且垂直于平面0138=-+-z y x 的平面. 解:平行于x 轴的平面方程为 00 1 011112 =--+-z y x .即01=-z . 同理可知平行于y 轴,z 轴的平面的方程分别为01,01=-+=-y x z .
⑵设该平面的截距式方程为 132=+-+-c z y x ,把点()4,2,3-M 代入得19 24-=c 故一般方程为02419812=+++z y x . ⑶若所求平面经过x 轴，则()0,0,0为平面内一个点, {}2,1,5-和{}0,0,1为所求平面的方位矢量, ∴ .11 6 cos ,119cos ,112cos -=== ?γβ 则该平面的法式方程为: .01111 6 119112=--+z y x 既 .0121692=--+z y x
《解析几何初步》检测试题 命题人 周宗让 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12- C 、13 D 、13 - 3．若直线32:1+=x y l ，直线2l 与1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为 （ ） A ．2 1 B ．2 1- C ．2 D ．2- 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线02032=+-=+-y x y x 关于直线对称的直线方程是 （ ） A ．032=+-y x B ．032=--y x C ．210x y ++= D ．210x y +-= 6.若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称，则直线2l 恒过定点( ) A ．()0,4 B ．()0,2 C ．()2,4- D ．()4,2- 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距
为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24x y +取得最小值时，过点(,)P x y 引圆22111()()242 x y -++=的切线，则此切线段的长度为( ) A ． 2 B ．32 C ．12 D ． 2 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点， 则弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 12．直线3y kx =+与圆()()2 2 324x y -+-=相交于M,N 两点， 若MN ≥则k 的取值范围是（ ） A. 304?? -??? ?， B. []304??-∞-+∞????U ，， C. ???? D. 203?? -????， 二填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.） 13.已知点()1,1A -，点()3,5B ，点P 是直线y x =上动点，当||||PA PB +的