第4讲包含与排除 内容概述 有重叠部分酌若干对象的计数问题．能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象酌容斥原理；灵活处理具有一些不确定性酌计数问题，以及其他形式的重复计数问题． 典型问题 兴趣篇 1．暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”．他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的．如果小悦去过其中的卜二景，那么冬冬去过其中的几景？ 2．在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过．请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？ 3．五年级一班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．请问：语文成绩得满分的有多少人？ 4．某餐馆有27道招牌菜．小悦吃过其中的13道，冬冬吃过其中的7道，而且有2道菜是两人都吃过的．请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？ 5．如图4-I，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2．请问： (1)只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？ (2)只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？ 6．在一个由30人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种，其中有10个人爱喝红茶，12个人不爱喝红茶却爱喝绿茶，请问：只爱喝花茶的有多少人？ 7．光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是54人、46
人、36人．同时参加体育小组和音乐小组的有4人，同时参加体育小组和书法小组的有7人，同时参加音乐小组和书法小组的有10人，三组都参加的有2人．光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人？ 8．卫生部对120种食物是否含有维生素A、C、E进行调查，结果发现：含维生素A的有62种，含维生素C的有90种，含维生素E的有68种，同时含维生素A和C的有48种，同时含维生素A和E的有36种，同时含维生素C和E的有50种，同时含这三种维生素的有25种．请问： (1)这三种维生素都不含的食物有多少种？(2)仅含维生素A的食物有多少种？ 9．操场上有50名同学在跑步或跳绳，其中女生有18名，跳绳的同学有31名，跑步的男生有14名．跳绳的女生有多少名？ 10．学校举行棋类比赛，分为象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加其中两项．根据报名的人数，学校决定对象棋的前9名、围棋的前10名和军棋的前11名发放奖品．请问：最少有几人获得奖品？ 拓展篇 1．在一个办公室中，有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，如果每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，那么这个办公室里共有多少人？ 2．五年级二班有40名同学，其中有25:人没参加数学小组，有18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人？ 3．在1至100这100个自然数中，既不能被2整除也不能被3整除的数有多少个？ 4．渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305人参加．参加长跑比赛的有150名男生和90名女生，参加游泳比赛的有120名男生和70名女生，有110名男生两项比赛都参加了，请问：只参加游泳比赛而没有参加长跑比赛的女生有多少人？
第10讲几何计数 内容概述 合理使用各种已学的计数方法来解决几何计数问题；学会利用图形的位置和形状进行恰当的分类；掌握方格表中长方形个数的计算方法；注意利用图形的对称性来简化计算． 典型问题 兴趣篇 1．如图10-1，线段AB、BC、CD、DE的长度都是3厘米．请问：图中一共有多少条线段？ 这些线段的长度之和是多少厘米？ 2．小明把巧克力棒摆成了如图10-2所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒．请问： (1)一共有多少个巧克力棒？(2)这些巧克力棒共构成了多少个三角形？ (3)嘴馋的小明吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？ 3．如图10-3，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形，图中包含“冰”的各种大小的正三角形一共有多少个？ 4．如图104和10-5，数一数，两个图形中分别有多少个三角形？ 5．如图10-6，在一个4x4的方格表中，共有多少个正方形？ 6．如图10-7，数一数图中一共有多少条线段？多少个矩形？ 7．如图10-8，AB、CD、EF、MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少？
8．如图10-9，125个黑色与白色小立方体相间排列拼成了一个大立方体，其中露在表面上的黑色小立方体有多少个？ 9．如图10-10，木板上钉着12枚钉子，排成三行四列的长方阵．用橡皮筋一共可以套出多少个不同的三角形？ 10．如图10-11，在2x3的长方形中，每个小正方形的面积都是1．请问：以A、B、C、D、E、，、G为顶点且面积为1的三角形共有多少个？ 拓展篇 1．如图10-12，数一数，图中有多少个三角形？ 2．如图10-13，数一数下面的三个图形中分别有多少个三角形． 3．如图10-14，数一数，图中有多少个三角形？ 4．如图10-15，数一数．，图中共有多少个长方形？（正方形是一种特殊的长方形） 5．如图10-16，四条边长度都相等的四边形称为菱形，用16个同样大小的菱形组成如图的 一个大菱形．数一数，图中共有多少个菱形？
第11讲约数与倍数 内容概述 掌握约数与倍数酌概念．学会约数个数与约数和的计算方法；掌握最大公约数、最小公倍数的常用计算方法；能够利用最大公约数和最小公倍数的性质解决相关的整数问题． 典型问题 兴趣篇 1．(1)请写出105的所有约数；(2)请写出72的所有约数． 2．(1) 20000的约数有多少个？ (2) 720的约数有多少个？ 3．计算：(1) (28,72), [28,72]; (2) (28,44,260), [28, 44, 260]. 4．两个数的差是6，它们的最大公约数可能是多少？ 5．(1)求1085和1178的最大公约数和最小公倍数；(2)求3553，3910和1411的最大公约数． 6．教师节到了，校工会买了320个苹果、240个桔子、200个香蕉来慰问退休老职工．请问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、香蕉各有多少个？ 7．一块长方形草地，长120米，宽90米，现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都要求种树，且相邻两棵树之间的距离都相等，请问：最少要种多少棵树？ 8．甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90.如果甲数是18，那
么乙数是多少？ 9．有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的27倍．已知甲数是2、 4、6、8、10、12、14、16的倍数，但不是18的倍数；乙数是两位 数．乙数是多少？ 10．小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是35，最小公倍数是70.这三个数的和可能是多少？ 拓展篇 1．72共有多少个约数？其中有多少个约数是3的倍数？ 2．5400共有多少个约数？并求出所有约数乘积的质因数分解形式．3．两数乘积为2800，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数个数多1．这两个数分别是多少？ 4．计算：(1) (391, 357), [391, 357]; (2) (18, 24, 36), [18, 24, 36]. 5．1547、1573、1859这三个数的最大公约数是多少？最小公倍数是多少？ 6．张阿姨把225个苹果、350个梨和150个桔子平均分给小朋友们，最后剩下9个苹果、26个梨和6个桔子没分出去，请问：每个小朋友分了多少个苹果？ 7．一个数和16的最大公约数是8，最小公倍数是80.这个数是多少？8．两个自然数不成倍数关系，它们的最大公约数是18，最小公倍数是216.这两个数分别是多少？
第5讲 分数与循环小数 内容概述 掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分． 典型问题 兴趣篇 1．把下列分数化为小数： ;334,113,92)2(;2513,813,43)1(?37 4,133,72)4(;907,225,65)3( 2．把下列循环小数转化为分数： .83.0,80.0)3(;53.0,10.0)2(;4.0,1.0)1(&&&&&&&& 3．把下列循环小数转化为分数：321.0,321.0,21.0,7.0&&&&&&& 4．计算：;7.05.03.0)3(;4.03.02.0)2(;3.02.01 .0)1(&&&&&&&&&++++++ .32.021.0)5(;312.021.01.0)4(&&&&&&+++ 5．.41235.035124.024513.013452.052341 .0&&&&&&&&&&++++ 6．计算下列各式，并用小数表示计算结果：.815.083.0)2(;153.068 .1)1(&&&&&&&÷? 7．将算式6.03.06.03.06.03.0&&&&&&÷+?-+的计算结果用循环小数表示是多少？
8．将算式 12 111110191+++的计算结果用循环小数表示是多少？ 9．冬冬将32.1&乘以一个数口时，把32.1&误看成1. 23，使乘积比正确结果减少0. 3．则正 确结果应该是多少？ 10．真分数 7a 化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干个数字之和是2000．a 应该是多少？ 拓展篇 1．将下列分数化为小数：?13 10,72,944, 65,83 2．把下列循环小数转化为分数：.13846536.6,3071.3,3351.0,84 .0&&&&&&&& 3．(1)把下面这些分数化为小数后，哪些是有限小数，哪些是纯循环小数，哪些是混循环小数： ;1111 11,625135,30884,19218,15017,7715,172,5031,43 (2)把下列分数化成循环小数：?143 12,3714,353 4．计算：;4312.021.01.0)2(;54.013.020 .0)1(&&&&&&&&&&++++ .011021.0212.076.0)4(;96.035.021.0.)3(&&&&&&&&&&&&++++
第22讲牛吃草问题与钟表问题 内容概述 牛吃草问题是一类特殊的工程问题，钟表问题是一类特殊的行程问题．牛吃草问题的难点在于草的总量有变化，因此要注意单位“1”的选取．掌握钟表问题的相关知识，学会将掐针成角度问题转化为指针闻的环形追及问题或相遇问题，学会用比例分析两个速度不同的钟表之间的时间对比关系． 典型问题 兴趣篇 1．有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完．请问： (1)要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？(2)如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？ 2．学校有一片均匀生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草量相当于3只羊每天的吃草量．请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？ 3．一片均匀生长的草地，如果有15头牛吃草，那么8天可以把草全部吃完；如果起初这15头牛在草地上吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完．如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，再过多少天可以把草吃完？ 4．有一座时钟现在显示上午10点整，问： (1)多少分钟后，分针与时针第一次重合？(2)再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？
5．小悦早上6点半起床，赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线，那么小悦到达学校的时间是几点几分？ 6．阿奇在9点与10点之间开始解一道数学题，当时手表的时针和分针正好成一条直线．当阿奇解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合．请问：阿奇解这道题用了多少分钟？ 答案：11 832分 7．下午6点多时冬冬吃完晚饭开始看动画片，动画片开始时他看手表，发现时针和分针的夹角为110°．在新闻联播前动画片放完了，冬冬又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110°．那么动画片一共放了多少分钟？ 8．在早晨6点到7点之间有一时刻，钟面上的“6”字恰好在时针与分针的正中央．请问：这一时刻是6点多少分？ 9．小悦的手表比家里的闹钟走得要快一些．这天中午12点时，小悦把手表和闹钟校准，但当闹钟走到下午1点时，手表显示的时间是1点5分．请问： (1)当闹钟显示当天下午5点的时候，手表显示的时间是几点几分？ (2)当手表显示当天下午6点半的时候，闹钟显示的时间是几点几分？ 10．一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟，现在将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示9点整时，慢钟恰好显示8点整．请问：这个时候的标准时间是多少？
第16讲构造认证一 内容概述 各种形式的构造问题，解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求，有时应从简单情形入手寻找规律．本讲的论证问题，一般采用奇偶性或整阵性的分析方法． 典型问题 兴趣篇 1．如图16-1，用1×2和1×3两种规格的小长方形地板砖铺满的地面，至少需要地板砖多少块？ 2．国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图16-2中一个皇后（图中五角星）就把整个3×3的棋盘控制了．为了控制一个4×4的棋盘至少要放几个皇后？ 3．图16-3中的左图为15枚硬币组成的三角形，如果仅移动5枚硬币，要把这些硬币变成右图的形式，应该怎样移动？请在图中表示出移动的方法． 4．把100个橘子分装在6个篮子里，使得每个篮子里装的橘子数都含有数字6，应该如何装？
5．把正方体的所有棱染成白色或者红色，要求每个面上至少要有一条棱是白色的．请问：最少有多少条棱是白色的？ 6．请在9，8，…，3，2，l的相邻两个数之间填入“ + ”或者“ - ”（不能改变数的顺序），使得结果是1．能否使得结果是0呢？ 7．如图16-5，能否在三角形的三个顶点各填一个自然数，使得每条边的两个顶点上的数之和都是奇数？如果能，请写出一种填法；如果不能，请说明理由， 8．四位同学进行了一次乒乓球单打比赛，当比赛进行了若干场后，体育老师问他们分别比赛了多少场．这四位同学回答分别比了1、2、3、3场．老师说：“你们肯定有人记错了．”请问：老师是怎么知道的呢？ 9．有四个算式：口+口=口，口－口=口，口×口=口，口÷口=口，如果每一个算式中都至少有1个偶数和1个奇数，那么12个数中一共有多少个偶数？如果没有前面的限制，这12个数中最少有多少个偶数？最多有多少个偶数？ 10．有14个孩子，依次给他们编号为1，2，3，…，14.能否把他们分成三组，使得每组都有一个孩子的编号是该组其它孩子的编号之和．
学习-----好资料 第6讲和差倍分问题 内容概述 在和差倍问题中引入“分数倍”的概念，并理解其含义。解题中应合理选取单位“1”，题目中隐藏的不变量或公共量往往是关键。 典型问题 兴趣篇 5，其余都是手榴弹。由于遇上敌军伏枚弹药送到前线，其中炮弹占了1、运输连要将450923，而手榴弹只剩下击，炮弹损失了，送到是还剩多少枚弹药？58 2、学校举行新年自助餐会，一共准备了1000瓶饮料，其中一部分是可乐，剩下的全是果汁。1，但可乐的数量却没有改变。如果此时饮料还剩果汁已经减少了872瓶，那一个小时后，5么可乐的数量是多少瓶？ 11，黄球占总球数的，绿、口袋里装着红、黄、绿三种颜色的球。其中红球占总球数的334个。口袋里一共有几个球？球比黄球多50 5，现在已完成计划的、游戏公司计划生产一批限量版的游戏机。4如果再生产340台，总121，原计划生产多少台？产量就超过计划的8 更多精品文档． 学习-----好资料 11，第二天完成了剩下部分的，前5、一个工人加工一批机器零件，第一天完成了任务的53 56个。请问：这批零件共有几个？两天一共完成了
1，第二车间的人数、红星机械厂有三个车间，第一车间的人数是第二、三车间人数和的621，第三车间有105是第一、三车间人数和的人。求该厂工人的总数。3 11，丙桶中的水比甲桶中的少。7、甲桶中的水笔乙桶中的多请问：乙、丙两桶哪桶水多？ 55如果把三桶水倒入一个大缸里，甲桶中的水占其中的几分之几？ 35，竹林占圆形的6-1是某市的园林规划图，其中草地占正方形的，正方形和圆形、图847的公共部分是水池。已知竹林的面积比草地的面积少450平方米。问：水池的面积是多少平方米？ 3阿奇的科普书数量是小悦的。后来小悦送给阿奇11、阿奇和小悦都有很多科普书，9本书84后，阿奇的科普书数量就变成了小悦的。原来阿奇比小悦少多少本书？7 更多精品文档． 学习-----好资料 2，后来又来了12、课间同学们都在操场上活动，其中女生占总人数的10个女生，使得女93，操场上现在有多少名同学？生人数达到男生人数的7 拓展篇 1、等候公共汽车的人整齐地排列成一列，阿奇也在其中。他数了一下人数，发现排在他前21，排在他后边的人数占总人数的。面的人数占总人数的从前往后数，阿奇排在第几个？34 1，结果总人数增加了325人，新学期男生增加25人，女生减少了、五年级原来有学生22016人，请问：现有男生多少人？
第13讲 数字谜综合一 内容概述 涉及小数、分数、循环小数酌数字谜问题；需要利用数论知识解决的数字谜问题． 典型问题 兴趣篇 1．有一个四位数，在它的某位数字后加上一个小数点，得到一个小数，再把这个小数和原来的四位数相加，得数是4003.64求这个四位数． 2．试将1、2、3、4、5、6、7分别填人下面的方框中，每个数字只用一次：口口口（这是一个三位数），口口口（这是一个三位数），口（这是一个一位数），使得这三个数中任意两个都互质．已知其中一个三位数已填好，它是714，求另外两个数． 3．用1至9这9个数字各一次组成若干个数，这些数中最多有多少个合数？ 4．如图13-!，4个小三角形的顶点处有6个圆圈，在这些圆圈中分别填上6个质数（可以重复），使得它们的和是20，而且每个小三角形3个顶点上的数之和相等，请问：这6个质数的乘积是多少？ 5．在一个带有余数的除法算式中，商比除数大2，在被除数、除数、商和余数中，最大数与最小数之差是1023.请问：此算式中的4个数之和最大可能是多少？ 6．在乘法算式“好好好春杯迎杯=?”中，不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字．请问：“迎+春+杯+好”等于多少？
7．将1至9这9个数填入下面算式中的9个方框内（每个数字只能用一次），使等式成立． 口口口×口口=口口×口口=5568 8．循环小数B A .0化成最简分数后，分子与分母之和为40，那么A 和B 分别是多少？ 9．在算式“7=+金杯 竞赛华罗庚数学”中，华、罗、庚、金、杯、数、学、竞、赛九个字，分别代表数字1、2、3、4、5、6、7、8、9．已知“竞 = 8，赛 = 6”，请把这个算式写出来． 10．已知“GOOD BAD BAD =+”是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，已知GOOD 不是8的倍数．请问：ABGD 代表的四位数是什么？ 拓展篇 1．[4.2×5 - (1+2.5 + 9.1 + 0.7)] + 0.04=100. 2．用0至9这10个数字恰好组成一位数、两位数、三位数、四位数各一个（每个数字只能用一次），且这四个数两两互质．其中的四位数是2940，另外三个数可能是多少？ 3．学数学科学数数=?．在上面的算式中，每一个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．请问：“数学”所代表的两位数是多少？ 4．在等式“口△×△口×口O×◇△=口△口△口△”中，口、△、O 、◇分别代表不同的数字．四位数◇O 口△是多少？
第18讲应用题拓展 内容概述 掌握比的概念，从份数的角度理解量与量的比；学会计算简单的按比分配的问题；了解连比的含义．简单的不确定性问题，通常利用大小估计和整数性质进行分析，有时需要分类讨论． 典型问题 兴趣篇 1．水果店运来了西瓜和哈密瓜共234个，如果西瓜和哈密瓜的个数比为5：4，那么水果店运来西瓜和哈密瓜各多少个？ 2．有429名小学生参加数学冬令营，其中男生和女生的人数比为7：6．后来又有 一些女生报名参赛，这时男生和女生的人数比变为11：10.请问：后来报名的女生有多少人？ 3．松鼠一家三口出门采摘松果，松鼠爸爸采得最快，他每采摘7颗松果，松鼠妈妈只能采摘6颗；松鼠宝宝采得最慢，他每采摘2颗，松鼠妈妈已经采摘了3颗．一天下来，他们一共采摘了340颗松果．试问：其中有多少颗是松鼠宝宝采的？
4．育才小学五年级学生分成三批去参观博物馆，第一批与第二批的人数比是5:4，第二批与第三批的人数比是3：2．已知第一批的人数比第二、三批的总和少55人．请问：育才小学五年级一共有多少人？ 5．小明将100枚棋子分成三堆，已知第一堆比第二堆的2倍还多，第二堆比第三堆的2倍也要多．请问：第三堆最多有多少枚棋子？ 6．博雅小学五年级有200人，在一次数学竞赛中，参赛人数的≥获得优胜奖，去获得鼓励奖，其余的人没有得奖．试问：该校五年级学生中有多少人没有参加这次数学竞赛？ 7．甲、乙、丙三堆棋子总共有100多枚．先从甲堆分一些棋子
给另外两堆，使得乙、丙两堆的棋子数增加1倍；接着，从乙堆分一些棋子给另外两堆，使得甲、丙两堆各增加2倍；最后，从丙堆分一些棋子给另外两堆，使得甲、乙两堆各增加3倍，此时甲、乙、丙三堆棋子数的比是1：2：3．请问：原来三堆棋子各有多少枚？ 8．今年，爷爷的年龄是小明年龄的6倍．若干年后，爷爷的年龄将是小明年龄的5倍．再过若干年，爷爷的年龄将是小明年龄的4倍．求爷爷今年的年龄． 9．甲、乙、丙三人各有一些书，甲、乙共有54本，乙、丙共有79本，已知三人中书最多的那个人书的数量是书最少的人的2倍．请问：乙有多少本书？ 10．龙泉乡水电站按户收取电费，具体规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度9分钱收费；如果超过24度，超出的部分
第21讲 数字问题 内容概述 各种与数字有关的数字谜问题．学会位值原理的分析方法；综合应用已学的数字谜技巧和数论知识． 典型问题 兴趣篇 1．一个两位数等于它的数字和的6倍，求这个两位数． 2．今年是2008年，小王说：“我的年龄正好与我出生那年年份的四个数字之和相同”．请问：小王今年多大？ 、3．用3个不同的数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求6个三位数中最小的一个． 4．有一个两位数，在它前面加上数字“3”可以得到一个三位数；在它后面加上数字“3”也得到一个三位数；在它前、后各加一个数字“3”得到一个四位数，已知得到的三个数总和为3600，求原来的两位数． 5．有A 、B 两个整数，A 的各位数字之和为35，B 的各位数字之和为26，且两数相加时进位三次，求A+B 的各位数字之和． 6．有些三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字的和就减少到原来三位数各位数字之和的3 1，求所有这样的三位数． 7．一张卡片上写了一个五位数，李老师给学生看时拿倒了，这时卡片上还是一个五位数，这个五位数比原来的五位数小71355.问：原来卡片上写的五位数是多少？
8．有一个四位数N 9M 2，它是由M 个2的积与N 个9的积相乘得到的，求这个四位数． 9．如果 3 33312个n 是27的倍数，那么n 最小是几？ 10．从1至9这9个数中选出8个不同的数字，组成能被24整除的八位数．试问：在这样的八位数中，最大的和最小的分别是多少？ 拓展篇 1．在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得的三位数比原数大8倍，求这个两位数． 2．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数，新数与原数的和恰好是某个自然数的平方．请问：这个和是多少？ 3．有一个三位数是8的倍数，把它的各位数字的顺序颠倒过来所得到的新三位数与原三位数的和恰好是1111.请问：原来的三位数是多少？ 4．在等式“学习好勤动脑×5=勤动脑学习好×8”中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，“学习好勤动脑”所表示的六位数最小是多少？ 5．在一个三位数的百位和十位之间加入一个数字后，得到的四位数恰好是原三位数的9倍，在这样的三位数中最小的是多少？最大的是多少？ 6．用5、7、2、0、8这5个数字组成两个没有重复数字的五位数，这两个五位数的差是66663，这两个数中较大的一个可能是多少？
第23讲计数综合二（学生版） 内容概述 涉及整数知识，具有教字或数阵图形式的计数问题．解题中需要灵活应用已学的各种计数方法，并注意结合题目的具体形式． 典型问题 兴趣篇 1．同时能被6、7、8、9整除的四位数有多少个？ 2．从1，2，3，…，9这9个数中选出2个数，请问： (1)要使两数之和是3的倍数，一共有多少种不同的选法？ (2)要使两数之积是3的倍数，一共有多少种不同的选法？ 3．在所有由1、3、5、7、9中的3个不同数字组成的三位数中，有多少个是3的倍数？4．用0至5这6个数字可以组成多少个能被5整除且各位数字互不相同的五位数？ 5．个位比十位大的两位数共有多少个？个位比十位大，十位比百位大的三位数共有多少个？ 6. 如果称能被8整除或者含有数字8的自然数为“吉利数”，那么在l至200这200个自然数中有多少个“吉利数”？ 7．一个正整数，如果从左到右看和从右到左看都是一样的，那么称这个数称为“回文数”，例如：1331，7，202，66都是回文数，而220则不是“回文数”，请问：从一位到六位的“回文数”一共有多少个？其中第1997个“回文数”是什么？ 8有一些四位数的4个数字分别是2个不同的奇数和2个不同的偶数，而且不含有数字0，这样的四位数有几个？ 9．把2005、2006、2007、2008、2009这5个数分别填人图23-1的东、南、西、北、中5个方格内，使横、竖3个数的和相等，一共有多少种不同的填法？
10．从1至7中选出6个数字填入图23.2的的表中，使得相邻的两个方框内，下面的数字比上面大，右边的数字比左边大．请先给出一种填法，然后考虑一共有多少种填法？ 拓展篇 1．分子小于6，分母小于20的最简真分数共有多少个？ 2．从l、2、3、4、5、6、7这7个数中选出3个数，请问： (1)要使这3个数的乘积能被3整除，一共有多少种不同的选法？ (2)要使这3个数的和能被3整除，一共有多少种不同的选法？ 3，小明的衣服口袋中有10张卡片，分别写着1，2，3，…，10.现从中拿出两张卡片，使得卡片上两个数的乘积能被6整除，这样的选法共有多少种？（注：9不能颠倒当作6来使用，6也不能颠倒当作9来使用） 4．六位数123475能被11整除，如果将这个六位数的6个数字重新排列，还能排出多少个能被1 1整除的六位数？ 5．三个2，两个1和一个0可以组成多少个不同的六位数？求所有符合条件的六位数的和． 6. 有一种“上升数”，这些数的数字从左往右依次增大，将所有的四位“上升数”按从小到大的顺序排成一行：1234，1235，1236，…，6789.请问：此列数中的第100个数是多少？ 7. 有一些三位数的相邻两位数字为2和3，例如132、235等等，这样的三位数一共有多少个？ 8．在图23—3的方框内填入3、4、5、6中的一个数字，使得竖式成立．请问：所填的九个数字之和是多少？一共有多少种填法？ 9. 在1000，1001，…，2000这1001个自然数中，可以找到多少对相邻的自然数，满足它们相加时不进位？ 10．将1至7分别填入图234中的7个方框中，使得每行每列中既有奇数又有偶数，一共有
第4讲包含与排除 容概述 有重叠部分酌若干对象的计数问题．能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含义；结合文氏图理解两个对象和三个对象酌容斥原理；灵活处理具有一些不确定性酌计数问题，以及其他形式的重复计数问题． 典型问题 兴趣篇 1．暑假里，小悦和冬冬一起讨论“金陵十八景”．他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的．如果小悦去过其中的卜二景，那么冬冬去过其中的几景？ 2．在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过．请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？ 3．五年级一班45个学生参加期末考试，成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人．请问：语文成绩得满分的有多少人？ 4．某餐馆有27道招牌菜．小悦吃过其中的13道，冬冬吃过其中的7道，而且有2道菜是两人都吃过的．请问：有多少道招牌菜是两人都没有吃过的？ 5．如图4-I，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6、8、5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2．请问： (1)只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？ (2)只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？ 6．在一个由30人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种，其中有10个人爱喝红茶，12个人不爱喝红茶却爱喝绿茶，请问：只爱喝花茶的有多少人？ 7．光明小学五年级课外活动有体育、音乐、书法三个小组，参加的人数分别是54人、46
人、36人．同时参加体育小组和音乐小组的有4人，同时参加体育小组和书法小组的有7人，同时参加音乐小组和书法小组的有10人，三组都参加的有2人．光明小学五年级参加课外活动的一共有多少人？ 8．卫生部对120种食物是否含有维生素A、C、E进行调查，结果发现：含维生素A的有62种，含维生素C的有90种，含维生素E的有68种，同时含维生素A和C的有48种，同时含维生素A和E的有36种，同时含维生素C和E的有50种，同时含这三种维生素的有25种．请问： (1)这三种维生素都不含的食物有多少种？(2)仅含维生素A的食物有多少种？ 9．操场上有50名同学在跑步或跳绳，其中女生有18名，跳绳的同学有31名，跑步的男生有14名．跳绳的女生有多少名？ 10．学校举行棋类比赛，分为象棋、围棋和军棋三项，每人最多参加其中两项．根据报名的人数，学校决定对象棋的前9名、围棋的前10名和军棋的前11名发放奖品．请问：最少有几人获得奖品？ 拓展篇 1．在一个办公室中，有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，如果每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，那么这个办公室里共有多少人？ 2．五年级二班有40名同学，其中有25:人没参加数学小组，有18人参加航模小组，有10人两个小组都参加．那么只参加了这两个小组之一的学生共有多少人？ 3．在1至100这100个自然数中，既不能被2整除也不能被3整除的数有多少个？ 4．渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305人参加．参加长跑比赛的有150名男生和90名女生，参加游泳比赛的有120名男生和70名女生，有110名男生两项比赛都参加了，请问：只参加游泳比赛而没有参加长跑比赛的女生有多少人？
第24讲抽屉原理二 内容概述 抽屉原理在教字、表格、图形等具体问题中有较复杂的应用．能够根据已知条件合理地选取和设计“抽屉”与“苹果”，有时还应构造出达到最佳状态的例子． 典型问题 兴趣篇 1．将60个红球、8个白球排成一条直线，至少会有多少个红球连在一起？ 2．17名同学参加一次考试，考试题是3道判断题（答案只有对或错），每名同学都在答题纸上依次写上了3道题目的答案．请问：至少有几名同学的答案是一样的？ 3．任意写一个由数字1、2组成的六位数，从这个六位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有两位数中，一定有两个相等．
4．将1至6这6个自然数随意填在图2，4-1的六个圆圈中，试说明：图中至少有一行的数字之和不小于8。 5．从l，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数，请说明：(1)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(2)在这51个数中，一定有两个数差1． 6．从1，2，3，…，21这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于4？ 7．从1至11这11个自然数中至少选出多少个不同的数，才能保证其中一定有两个数的和为12？
8．(1)任给4个自然数，请说明：一定有两个数的差是3的倍数； (2)至少取几个数，才能保证一定有两个数的差是7的倍数？ 9．至少找出多少个不同的两位数，才能保证其中一定存在两个数，它们的差是个位数字与十位数字相同的两位数． 10．在一个边长为2厘米的等边三角形内（包括边界）选出5个点，请证明：一定有两个点之间的距离不大于1． 拓展篇 1．如图24—2，将2行5列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明：不管怎么染，总有两列的染色方式是一样的． 2．任意写一个由数字l、2、3组成的三十位数，从这个三十位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有三位数中，一定有两个相等． 3．27只小猴分140颗花生，每只小猴最少分1颗，最多分9颗，请问：其
学习-----好资料 第22讲牛吃草问题与钟表问题 内容概述 牛吃草问题是一类特殊的工程问题，钟表问题是一类特殊的行程问题．牛吃草问题的难点在于草的总量有变化，因此要注意单位“1”的选取．掌握钟表问题的相关知识，学会将掐针成角度问题转化为指针闻的环形追及问题或相遇问题，学会用比例分析两个速度不同的钟表之间的时间对比关系． 典型问题 兴趣篇 1．有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如果只放养21头牛，那么8天才把草吃完．请问： (1)要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？(2)如果放养36头牛，多少天可以把草吃完？ 2．学校有一片均匀生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果1头牛每天的吃草量相当于3只羊每天的吃草量．请问：这片草地让17头牛与多少只羊一起吃，刚好16天吃完？ 3．一片均匀生长的草地，如果有15头牛吃草，那么8天可以把草全部吃完；如果起初这15头牛在草地上吃了2天后，又来了2头牛，则总共7天就可以把草吃完．如果起初这15头牛吃了2天后，又来了5头牛，再过多少天可以把草吃完？ 4．有一座时钟现在显示上午10点整，问： (1)多少分钟后，分针与时针第一次重合？(2)再经过多少分钟，分针与时针第二次重合？
更多精品文档． 学习-----好资料 5．小悦早上6点半起床，赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线，那么小悦到达学校的时间是几点几分？ 6．阿奇在9点与10点之间开始解一道数学题，当时手表的时针和分针正好成一条直线．当阿奇解完这道题时，时针和分针刚好第一次重合．请问：阿奇解这道题用了多少分钟？ 832分答案：11 7．下午6点多时冬冬吃完晚饭开始看动画片，动画片开始时他看手表，发现时针和分针的夹角为110°．在新闻联播前动画片放完了，冬冬又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110°．那么动画片一共放了多少分钟？ 8．在早晨6点到7点之间有一时刻，钟面上的“6”字恰好在时针与分针的正中央．请问：这一时刻是6点多少分？ 9．小悦的手表比家里的闹钟走得要快一些．这天中午12点时，小悦把手表和闹钟校准，但当闹钟走到下午1点时，手表显示的时间是1点5分．请问： (1)当闹钟显示当天下午5点的时候，手表显示的时间是几点几分？ (2)当手表显示当天下午6点半的时候，闹钟显示的时间是几点几分？ 10．一个快钟每小时比标准时间快1分钟，一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟，现在将两个钟同时调到标准时间，结果在24小时内，快钟显示9点整时，慢钟恰好显示8点整．请问：这个时候的标准时间是多少？
第2讲 整除 内容概述 掌握整除的概念和基本性质，掌握能被某些特殊数整除的数的特征。通过分析整除特征解决数的补填问题，以及多位数的构成问题等。 曲型问题 兴趣篇 1. 下面有9个自然数：14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125。在这些自然数中，请问： （1）有哪些数能被2整除？哪些能被4整除？哪些能被8整除？ （2）有哪些数能被5整除？哪些能被25整除？哪些能被125整除？ 2. 有如下9个三位数：452，387，228，975，525，882，715，775，837。这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？哪些能同时被2和3整除？ 3. 一个三位数4 □6的十位数字未知。请分别根据下列要求找出“□”中合适的取值： （1）如果要求这个三位数能被3整除，“□”可能等于多少？ （2）如果要求这个三位数能被4整除，“□”可能等于多少？ （3）这个三位数有没有可能同时被3和4整除，如果有可能，“□”可能等于多少？ 4. 新学年开始了，同学们要改穿新的校服。小悦收了9位同学的校服费（每人交的钱一样多）交给老师。老师给了小悦一张纸条，上面写着“交来校服费238 元”，其中有一滴墨水，把方格处的数字污染得看不清楚了。冬冬看了看，很快就算出了方格处的数字。聪明的读者们，你们能算出这个数字是多少吗？ 5. 四位数 □9 □ 2能同时被3和5整除，求出所有满足要求的四位数.
6. 四位偶数 □4 □6能被11整除，求出所有满足要求的四位数． 7. 多位数213323232 个n 能被11整除，满足条件的n 最小是多少？ 8．一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话，服务人员告诉他，目前只有形如“1234口6口8”的号码可以申请，也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动，王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码．请问：他申请的号码可能是多少？ 9．一个各位数字互不相同的四位数能被9整除，把它的个位数字去掉后剩下一个三位数，这个三位数能被4整除，这个四位数最大是多少？ 10．(1)一个多位数（两位及两位以上），它的各位数字互不相同，并且含有数字0．如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？ (2)一个多位数，它的各位数字之和为13，如果它能被11整除，那么这个多位数最小是多少？ 拓展篇 1．判断下面11个数的整除性： .407,864,93625,6512,198954,7538,5880,6765,8875,3568,23487 (1)这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？ (2)哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？ (3)哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？ (4)哪些数能被11整除？ 2. □173 是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9、11、8整除，”问：数学老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？
第8讲直线形计算二 内容概述 进一步学习直线形面积公式酌运用;学会将线段倍数关系与面积倍数关系进行相互转T七；初步学习添加辅助线酌分析方法. 典型问题 兴趣篇 1．如图8-1，四边形AＢCD是直角梯形,其中AD=12（厘米）,AB＝8（厘米),BC= 15（厘米)，且三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等,阴影三角形DＥＦ的面积是多少平方厘米? 2.一块长方形的土地被分割成４个小长方形，其中三块的面积如图8－２所示（单位:平方米）,剩下一块的面积应该是多少平方米? ３．如图8－３，在三角形AＢC中，BC是DC的３倍，AC是EC的３倍,三角形DEＣ的面积是３平方厘米．请问:三角形ＡBＣ的面积是多少平方厘米？ 4．如图8－4，E是BC上靠近C的三等分点,且ＥD是ＡD的2倍,三角形ABＣ的面积为3６平方厘水．三角形BDE的面积是多少平方厘米? 5.如图8-5所示,已知三角形BＥC的面积等于2０平方厘米,E是ＡB边上靠近日点的四等分点，三角形AED的面积是多少平方厘米？平行四边形DECF的面积是多少平方厘米? 6．如图8-6，已知平行四边形ABCD的面积为３６，三角形ＡＯＤ的面积为８．三角形ＢＯC的面积为多少？
7.如图８-7,长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近Ｄ点的三等分点,F是CD 上靠近C点的四等分点.阴影部分的面积是多少平方厘米？ 8.如图8－８,将一个长为1８的长方形，分成一个三角形和一个梯形,而且梯形的面积是三角形的5倍.三角形ABＥ的边BE的长是多少？ 9．如图8－9,把一个正方形的相邻两边分别增加３和5厘米,结果面积增加了７１平方厘米（阴影部分)．原正方形的面积为多少平方厘米？ 1０.如图8－10,四边形AＢCＤ内有一点D，Ｄ点到四条边的垂线都是4厘米,四边形的周长是36厘米,四边形的面积是多少平方厘米? 拓展篇 1．如图8-1１，有9个小长方形，其中的5个小长方形的面积分别为4、８、12、1６、２0平方米.其余4个长方形的面积分别是多少平方米? 2.图８-12中三角形ＡBＣ的面积是180平方厘米，D是BＣ的中点，AＤ是AE的3倍,三角形AＢE的面积是多少平方厘米？ 3．如图8-１3，在四边形ＡBＣD中,已知ＣD=３DF，AE=3ED,而且三角形BＦＣ的面积为6平方厘米，四边形ＢＥDF的面积为7平方厘米.大四边形ABＣD的面积是多少？ 4.如图8－1４，把三角形DEF的各边向外延长１倍后得到三角形ABC,三角形ABC的面积为1.三角形DＥF的面积是多少？
第14讲行程问题五 内容概述 运动过程中，速度大小或方向有变化的行程问题．掌握分段计算和估算的方法，注意两个不同运动过程之间的对比与计算． 典型问题 兴趣篇 1．邮递员早晨7点出发送一份邮件到对面的村里，从邮局开始先走12千米的上坡路，再走6千米的下坡路．上坡的速度是3千米／时，下坡的速度是6千米／时，请问： (1)邮递员去村里的平均速度是多少？(2)邮递员返回时的平均速度是多少？ (3)邮递员往返的平均速度是多少？ 2．费叔叔开车回家，原计划按照40千米／时的速度行驶．行驶到路程的一半时发现之前的速度只有30千米／时，那么在后一半路程中，速度必须达到多少才能准时到家？ 3．一辆汽车原计划6小时从A城到B城．汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟．如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米／时，那么A、B两城相距多少千米？ 4．甲、乙两人在400米圆形跑道上进行10000米比赛，两人从起点同时同向出发，开始时甲的速度为每秒8米，乙的速度为每秒6米．当甲每次从后面追上乙时，甲的速度就减少1米／秒，而乙的速度增加0.5米／秒，直到乙比甲快．请问：领先者到达终点时，另一人距终点多少米？ 5．一个圆的周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行，这两只蚂蚁每秒钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米，在运动过程中它们不断地调头，如果把出发算作第零次调头，那么相邻两次调头的时间间隔依次是1秒，3秒，5秒，…，即是一个由连续奇数组成的数列．问：两只蚂蚁爬行了多长时间才能第一次相遇？ 6．龟兔赛跑，全程1.04千米．兔子每小时跑4千米，乌龟每小时爬0.6千米．乌龟不停地爬，但兔子却边跑边玩，兔子先跑了1分钟然后玩15分钟，又跑2分钟然后玩15分钟，再跑3分钟然后玩15分钟……请问：先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？