第六章一阶电路
一、教学基本要求
1、掌握动态电路的特点、电路初始值的求法、零输入响应、零状态响应、全响应、阶跃响应、冲激响应的概念和物理意义。
2、会计算和分析一阶动态电路，包括三种方法：⑴全响应＝零状态响应＋零输入响应；
⑵全响应＝暂态响应＋稳态响应；⑶“三要素”法。
二、教学重点与难点
1. 教学重点：
(1). 动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；
(2). 一阶电路时间常数的概念；
(3). 一阶电路的零输入响应和零状态响应；
(4). 求解一阶电路的三要素方法；
(5). 自由分量和强制分量、暂态分量和稳态分量的概念；
2．教学难点：
(1). 应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路方程。
(2). 电路初始条件的概念和确定方法。
三、本章与其它章节的联系：
本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部可以用于本章的分析中。第9章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解。
四、教学内容
6.1 动态电路的方程及其初始条件
一．动态电路及特点：
1、动态元件：
电容元件和电感元件的电压和电流的约束关系是通过导数（或积分）表达的，称为动态元件，又称为储能元件。
2、特点：
a、电路方程是以电流或电压为变量的微分或积分--微分方程。
b、电路的结构或元件的参数发生变化时，可能使电路改变原来的工作状态，转变到另一个工作状态，这种转变往往需要经历一个过程，在工程上称为过渡过程。
二、过渡过程
电路由一个工作状态转变到另一个工作状态。
三、时间与时刻
时刻为一点。
时间是两个时刻的间隔。
四、换路
电路的结构或元件的参数发生变化。
换路是由开关的动作实现的。
“稳态”与“暂态”的概念:
产生过渡过程的电路及原因?
电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，不存在过渡过程。
电容为储能元件，它储存的能量为电场能量，其大小为：
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路存在过渡过程。
电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，其大小为：
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感的电路存在过渡过程。
结论
有储能元件（L、C）的电路在电路状态发生变化时（如：电路接入电源、从电源断开、电路参数改变等）存在过渡过程；
没有储能作用的电阻（R）电路，不存在过渡过程。
电路中的u、i在过渡过程期间，从“旧稳态”进入“新稳态”，此时u、i 都处于暂时的不稳定状态，所以过渡过程又称为电路的暂态过程。
五、一阶电路
电阻：u=Ri，i=Gu
根据KCL、KVL、VCR建立的方程是以u和i为变量的微积分方程，无源元件均为线性、非时变。
电路方程：线性、常系数、常微分方程
对于只含一个储能元件，电路方程是一阶线性常微分方程，相应的电路称为一阶电路。
六、跃变
七、换路定则
如果在换路前后，电流iC(t)为有限值，则式中右方的积分项将为零，此时电容上的电压就不发生跃变。
2、电感
如果在换路前后，电压u L(t)为有限值，则式中右方的积分项将为零，此时电感中的电流就不发生跃变。
换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变的原因解释如下：
自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或释放需要一定的时间。所以
八、初值的确定
依据换路定则和基尔霍夫定律。
§6.2 一阶电路的零输入响应
一、零输入响应
零输入：输入＝0 （外电源输入＝0）
二、RC电路的零输入响应
1、推导过程：
2、结论：
均按同样的指数规律衰减，最终趋于0。
3、时间常数
τ=RC
τ的大小反映此一阶电路过渡过程的进展速度
τ小：过渡过程短，进展快
τ大：过渡过程长，进展慢
? 即：零输入响应在任一时刻t0的值，经过一个时间常数τ后，衰减为原值的36.8%。? 工程上：换路后经过3 τ～5 τ后，放电基本结束。
4、曲线：
5、能量关系
C放电，C不断放能，电阻R不断耗能直至C上电场能量衰减为0。
三、RL电路的零输入响应
1、推导过程：
求解一阶齐次微分方程：
2、结论：
大小均按指数规律衰减，最终趋于0。
3、时间常数
与RC串联电路相反
4、曲线：
5、能量关系：
L不断把储存的磁场能量放出，R不断吸收并转化为热能，直至L上的磁场能量为0为止。例：求电容两端电压。
解：
电感性负载断电的情况
电流i 由5A→0
电感两端电压u→∞
使空气电离，产生火花
实际应用：汽车点火系统
§6.3 一阶电路的零状态响应
一、零状态响应
零状态：初始状态为零
二、RC电路
1、推导：
换路后：
求解一阶非齐次微分方程
特解：满足
重新达到稳态时的值
齐次方程的通解：满足
解得：
适用于一阶电路各处的u，i
三要素：特解，初始值，时间常数2、结论：
零状态响应：
（1）直流电源U S
特解：（又一次稳定后的值）
∴不论R、C如何，电源充电能量的一半被R吸收，一半转换为电容的电场能量，充电效率为50％。
（2）交流电源
例：
U S=220V，R=100Ω，C=0.5μF，C未充过电。t=0时合上开关S。
求：(1) u C、i；
(2) 最大充电电流；
(3) 合上S后150μs后u C、i 的值。
解：(1)
(2) 最大充电电流；
(3) 合上S150μs后u C、i 的值。
三、RL电路
1、直流电源U S
电路方程
初始条件为i L(0+)=0
方程的解
2、交流电源
总结
? 自由分量指数函数前的系数与正弦电压的接入相角有关（开关合上的时刻）
§6.4 一阶电路的全响应
一、全响应
当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时，电路的响应称为全响应。
二、RC电路
设电容原有电压为U0
1、电路方程
初始条件
2、方程的解
方程的通解
特解
对应齐次方程的通解
根据u C(0+)=u C(0-)=U0 ，得积分常数A=U0-U S
全响应=稳态分量+瞬态分量
上式改写成
全响应=零输入响应+零状态响应
三、RL电路
形式上和RC电路一致。
四、三要素法
（仅适用直流激励）
三要素
初始值f(0+)，稳态值f(∞)，时间常数τ
三要素公式：
1．初始值f(0+)的计算
(1) uc(0+) 与i L(0+) 按换路定则求出
C视作开路uc(0+)= uc(0-)
L视作短路i L(0+)= i L(0-)
(2)其它电路变量的初始值
应画出t=0+的等效电路，然后按电阻电路计算2．稳态值f( ∞)的计算
作出t→∞的等效电路，然后按电阻电路计算在t→∞的等效电路中，因为直流作用
电容视作开路
电感视作短路
3．时间常数τ的计算
RC电路τ=R0C
RL电路τ=L / R0
Ro为换路后的电路，从动态元件两端看进去的戴维宁等效电阻。
例：求图示电路的τ值
解
换路后的电路，从电容两端看进去的等效戴维宁电阻为：
4．三要素法求完全响应
当正确求出f(0+)，f( ∞)及τ三要素后，即可按上式书写出变量的完全响应。注意标注单位
例：
电容C=0.1F，求S闭合后电容两端的电压u C和电流i。
解：利用三要素法先求出u C
1、求初值
2、求终值
3、求时间常数
Ro=2//5=10/7Ω
电流i 也可以通过三要素法直接求得换路后的电路
i 的初值
i 的终值
例：
求电路中的电流i和i L。解：
1、求初值
2、求终值
3、求时间常数
§6.5 一阶电路的阶跃响应
一．阶跃信号及其单边性
1．单位阶跃信号的定义
2. 波形
3. 实际意义
相当于0时刻接入电路的单位电流源或单位电压源
若将直流电源表示为阶跃信号，则可省去开关：例如：10（V）→10ε（t）（V）
K（V）→Kε（t）（V），
K：阶跃信号强度。
《电路分析基础》作业参考解答 第一章（P26-31） 1-5 试求题1-5图中各电路中电压源、电流源及电阻的功率（须说明是吸收还是发出）。 （a ）解：标注电压如图（a ）所示。 由KVL 有 故电压源的功率为 W P 302151-=?-=（发出） 电流源的功率为 W U P 105222=?=?=（吸收） 电阻的功率为 W P 20452523=?=?=（吸收） （b ）解：标注电流如图（b ）所示。 由欧姆定律及KCL 有 A I 35 152==，A I I 123221=-=-= 故电压源的功率为 W I P 151151511-=?-=?-=（发出） 电流源的功率为 W P 302152-=?-=（发出） 电阻的功率为 W I P 459535522 23=?=?=?=（吸收） 1-8 试求题1-8图中各电路的电压U ，并分别讨论其功率平衡。 （b ）解：标注电流如图（b ）所示。 由KCL 有 故 由于电流源的功率为 电阻的功率为 外电路的功率为 且 所以电路的功率是平衡的，及电路发出的功率之和等于吸收功率之和。 1-10 电路如题1-10图所示，试求： （1）图（a ）中，1i 与ab u ； 解：如下图（a ）所示。 因为 所以 1-19 试求题1-19图所示电路中控制量1I 及电压0U 。 解：如图题1-19图所示。 由KVL 及KCL 有 整理得 解得mA A I 510531=?=-，V U 150=。
题1-19图 补充题： 1. 如图1所示电路，已知 ， ，求电阻R 。 图1 解：由题得 因为 所以 2. 如图2所示电路，求电路中的I 、R 和s U 。 图2 解：用KCL 标注各支路电流且标注回路绕行方向如图2所示。 由KVL 有 解得A I 5.0=，Ω=34R 。 故 第二章（P47-51） 2-4 求题2-4图所示各电路的等效电阻ab R ，其中Ω==121R R ，Ω==243R R ，Ω=45R ，S G G 121==， Ω=2R 。 解：如图（a ）所示。显然，4R 被短路，1R 、2R 和3R 形成并联，再与5R 串联。 如图（c ）所示。 将原电路改画成右边的电桥电路。由于Ω==23241R R R R ，所以该电路是一个平衡电桥，不管开关S 是否闭合，其所在支路均无电流流过，该支路既可开路也可短路。 故 或 如图（f ）所示。 将原电路中上边和中间的两个Y 形电路变换为?形电路，其结果如下图所示。 由此可得 2-8 求题2-8图所示各电路中对角线电压U 及总电压ab U 。 题2-8图 解：方法1。将原电路中左边的?形电路变换成Y 形电路，如下图所示： 由并联电路的分流公式可得 A I 14 12441=+?=，A I I 314412=-=-= 故 方法2。将原电路中右边的?形电路变换成Y 形电路，如下图所示： 由并联电路的分流公式可得 A I 2.16 14461=+?=，A I I 8.22.14412=-=-= 故 2-11 利用电源的等效变换，求题2-11图所示各电路的电流i 。 题2-11图 解：电源等效变换的结果如上图所示。 由此可得 V U AB 16=A I 3 2=
第六章(一阶电路)习题解答 一、选择题 1．由于线性电路具有叠加性，所以 C 。 A ．电路的全响应与激励成正比； B ．响应的暂态分量与激励成正比； C ．电路的零状态响应与激励成正比； D ．初始值与激励成正比 2．动态电路在换路后出现过渡过程的原因是 A 。 A ． 储能元件中的能量不能跃变； B ． 电路的结构或参数发生变化； C ． 电路有独立电源存在； D ． 电路中有开关元件存在 3．图6—1所示电路中的时间常数为 C 。 A ． 212121) (C C C C R R ++； B ．2 12 12C C C C R +； C ．)(212C C R +； D ．))((2121C C R R ++ 解：图6—1中1C 和2C 并联的等效电容为21C C +，而将两个电容摘除后，余下一端 口电路的戴维南等效电阻为2R ，所以此电路的时间常数为)(212C C R +。 ４．图6—2所示电路中，换路后时间常数最大的电路是 A 。 解：图6—2（A ）、（B ）、（C ）、（D ）所示四个电路中的等效电感eq L 分别为M L L 221++、
21L L +、M L L 221-+和M L L 221++。0>t 时，将图6—2（A ） 、（B ）、（C ）、（D ）中的电感摘除后所得一端口电路的戴维南等效电阻 eq R 分别为2R 、2R 、2R 和21R R +。由于 RL 电路的时间常数等于 eq eq R L ，所以图6—2（A ）所示电路的时间常数最大。 5．RC 一阶电路的全响应)e 610(10t c u --=V ，若初始状态不变而输入增加一倍，则 全响应 c u 变为 D 。 A ．t 10e 1220--； B ．t 10e 620--； C ．t 10e 1210--； Ｄ．t 10e 1620-- 解：由求解一阶电路的三要素法 τ t c c c c u u u u -+∞-+∞=e )]()0([)( 可知在原电路中 10)(=∞ c u V ，4)0(=+c u V 。当初始状态不变而输入增加一倍时，有 )e 1620(e ]204[201010t t c u ---=-+=V 二、填空题 1．换路前电路已处于稳态，已知V 10 1=s U ，V 12=s U ，F 6.01μ=C ，F 4.02μ=C 。 0=t 时，开关由a 掷向b ，则图6—3所示电路在换路后瞬间的电容电压 = +)0(1c u 4.6V ，)0(2+c u 4.6=V 。 解： 由-=0t 时刻电路得： V 10)0(s11==-U u c ， V 1)0(s22==-U u c 换路后，电容 1C ,2C 构成纯电容的回路（两电容并联）,电容电压发生强迫跃变，此时应由电荷守恒原理求解换路后瞬刻的电容电压。由KVL 得： )0()0( 21++=c c u u …… ① )0()0()0()0( 22112211++--+=+c c c c u C u C u C u C …… ② 由以上两式解得 V 4.6)0()0( 2 12 21121=++= =++C C U C U C u u s s c c 2．图6—4所示电路的时间常数 =τs 1.0。
第6章 正弦稳态电路分析——作业参考解答 一、P6-14电路如图所示，当s rad 50ω/=时，求in Z 。 解：相量模型如图所示，则： Ω)4 1j 43( )]Z Z //(Z [Z Z C 1R 1R L in +=++= 二、P6-19电路如图所示，当s rad 10ω4 /=时，求in Z ，并画出串联、并联等效模型及等效元件参数。 . （a ） （b ） （c ） 解：（1）求串联模型及元件参数 设电压和电流，则相量模型如图解 (a): Ω20j 10210j L ωj Z 34L =??== ， Ω100j 10110j 1 C ωj 1Z 6 4C -=??== - 由KVL 得：()? ? ? +-+=U 2I 100j 20j 50U 11， 控制量：1I 50U ? ? = 可得：()11I 80j 150U ? ?-=， 则等效阻抗：()Ω 80j 150I U Z 1 1eq -== ?? 等效元件参数：Ω150R =， 且：C 101j C ω1j 80j 4 -=-=- 求得：uF 25.1C = 串联等效元件参数模型如图解 (b)所示； （2） ()S 0028.0j 0052.0Z 1 Y eq eq +== Ω3.192G 1R S 102.5G 3==→?=-， uF 28.0C C 10j C ωj 0028.0j 4=?== 并联等效元件参数模型如解 (c)所示。 三、P6-25用节点分析法求图所示电路电压0u 。 ..U . o 解： V 025U s ?∠=? Ω10j 101010j L ωj Z 33L =??== ， Ω20j 10 5010j 1C ωj 1Z 6 3C -=??== - 设参考节点、各独立节点，得相量模型如图所示： ????????? ?? ??? ??????+== -=???? ??++-+--? ∠=--???? ? ?-++?????????2 01002121U 10j 3030U 20U I I 4U 10j 301 20j 1U 20j 120025U 20j 1U 20j 1201201 可求得：φU U 00∠=? 则：V )φt 10cos(2U u 300+= 四、P6-32利用网孔分析法求图所示电路的电流0I ? 。 90o V Ω ω5.0j L j Z L ==Ωω2j C j 1 Z C -==
第六章一阶电路 ——经典分析法（微分方程描述） ——运算分析法（代数方程描述）见第十三章 一、重点和难点 1. 动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定； 2. 一阶电路时间常数、零输入响应、零状态响应、冲激响应、强制分量、自由分量、稳态分量和 暂态分量的概念及求解； 3. 求解一阶电路的三要素方法； 电路初始条件的概念和确定方法； 1.换路定理（换路规则） 仅对动态元件（又称储能元件）的部分参数有效。 ①电容元件：u C(0-) = u C(0+)；（即：q C(0-) = q C(0+)）；i C(0-) ≠i C(0+)。 ②电感元件：i L(0-) = i L(0+)；（即：ΨL(0-) = ΨL(0+)）；u C(0-) ≠u C(0+)。 ③电阻元件：u R(0-) ≠u R(0+)；i R(0-) ≠i R(0+)。 因此，又称电容的电压、电感的电流为状态变量。电容的电流、电感的电压、电阻的电压和电流为非状态变量。如非状态变量的数值变化前后出现相等的情况则视为一种巧合，并非是一种规则。 2.画t=0+时刻的等效电路 画t=0+时刻等效电路的规则： ①对电容元件，如u C(0-) = 0，则把电容元件短路；如u C(0-) ≠ 0，则用理想电压源（其数值为u C(0-)）替代电容元件。 ②对电感元件，如i L(0-) = 0，则把电感元件开路；如i L(0-) ≠ 0，则用理想电流源（其数值为 i L(0-)）替代电感元件。 画t=0+时刻等效电路的应用： 一般情况下，求解电路换路后非状态变量的初始值，然后利用三要素法求解非状态变量的过渡过程。 3. 时间常数τ
第五章电路的瞬态分析【引言】①直流电路：电压、电流为某一稳定值 稳定状态（简称稳态）交流电路：电压、电流为某一稳定的时间函数 ○2当电路发生接通、断开、联接方式改变及电路参数突然变化时，电路将从一种稳态变换到另一种稳态，这一变换过程时间一般很短，称为瞬态过程或简称瞬态（也称暂态过程或过渡过程）。 防止出现过电压或过电流现象，确保电气设备安全运行。 ○3 瞬态分析的目的 掌握瞬态过程规律，获得各种波形的电压和电流。 学习目的和要求 １、了解产生瞬态过程的原因和研究瞬态过程的意义。 ２、掌握分析一阶电路的三要素法。理解初始值、稳态值、时间常数的概念。 ３、理解ＲＣ电路和ＲＬ电路瞬态过程的特点。 ４、了解微分电路和积分电路 本章重点：分析一阶电路的三要素法，ＲＣ电路的充放电过程。 本章难点：初始值的确定。 5-1瞬态过程的基本知识 一、电路中的瞬态过程 【演示】用根据图5-1-1 制作的示教板。观察开关S 合上瞬间各灯泡点亮的情况。 S I C I L I R ＋C L R U S － HL 1HL2HL3 图 5-1-1 【讲授】开关 S HL 1突然闪亮了一HL 2由暗逐HL 3立刻变合上瞬间下，然后逐渐暗下渐变亮，最亮，亮度稳 去，直到完全熄灭后稳定发光定不变 有瞬态过程无瞬态过程
外因——电路的状态发生变化（换路） 电路发生瞬态过程的原因 内因 —— 电路中含有储能元件（电容或电感） 二、换路定律 【讲授】①换路定律是表述换路时电容电压和电感电流的变化规律的，即换路瞬间电容上的电压和电 感中的电流不能突变。 ②设以换路瞬间作为计时起点，令此时 t ＝０，换路前终了瞬间以 t ＝０ —表示，换路后初始瞬间以 t ＝０ +表示。则换路定律可表示为： u C （０ +） = u C （０ — ） 换路瞬间电容上的电压不能突变 i L （０ +） = i L （０ — ） 换路瞬间电感中的电流不能突变 换路后 换路前 初始瞬间 终了瞬间 【说明】①换路定律实质上反映了储能元件所储存的能量不能突变。因为 W C = 1 Cu C 2、W L = 1 Li L 2， p= dw 趋于无穷大，这是不可能的。 2 2 u C 和 i L 的突变意味着能量发生突变，功率 dt ②当电路从一种稳定状态换路到另一种稳定状态的过程中， u C 和 i L 必然是连续变化的，不能突变。 这种电流和电压的连续变化过程就是电路的瞬态过程。 ③电阻是耗能元件，并不储存能量，它的电流、电压发生突变并不伴随着能量的突变。因此由纯电 阻构成的电路是没有瞬态过程的 。 ④虽然 u C 和 i L 不能突变，但电容电流和电感电压是可以突变的，电阻的电压和电流也是可以突变 的。这些变量是否突变，需视具体电路而定。 三、分析一阶电路瞬态过程的三要素法 【讲授】①一阶电路是指只包含一个储能元件，或用串、并联方法化简后只包含一个储能元件的电 路 经典法 （通过微分方程求解） ②分析一阶电路瞬态过程的方法 三要素法 （简便方法，本书只介绍此法的应用） ③在直流电源作用下的任何一阶电路中的电压和电流，只要求得初始值、稳态值和时间常数这三个 要素，就可完全确定其在瞬态过程中随时间变化的规律。——三要素法：
哈尔滨理工大学电气学院理论电工教研室 第六章(一阶电路)习题解答 、选择题 1 ?由于线性电路具有叠加性，所以_C_。 A .电路的全响应与激励成正比； B . 响应的暂态分量与激励成正比； C .电 路的零状态响应与激励成正比； D .初 始值与激励成正比 2.动态电路在换路后出现过渡过程的原因是 A .储能元件中的能量不能跃变； B . 电路的结构或参数发生变化； C .电路 有独立电源存在；D .电路中有开关元 件存在 3.图 6—1所示电路中的时间常数为 C 。 哄)对q 片g 图6—1 .—_ . C1C2—G C2 A . (R1 + R2 ) ； B . R^ 1 '； G+C2G +C2 C. R2 (C1 + C2)； D . (R1 + R2)(C1 +C2) 解：图6—1中G和C2并联的等效电容为G +C2，而将两个电容摘除后，余下一端口电路的戴维南等效电阻为R2，所以此电路的时间常数为R2(G ?c2)。 4 .图6—2所示电路中，换路后时间常数最大的电路是 A U. (0 ⑹ 图6—2 解：图6—2(A)、( B)、( C)、( D)所示四个电路中的等效电感L eq分别为L1 L2 2M、
哈尔滨理工大学电气学院 理论电工教研室 L 2、L - L 2 - 2M 和 L - L 2 2M 。 的电感摘除后所 得一端口电路的戴维南等效电阻 A . 20 -12e J0t C . 10-12e"t 解：由求解一阶电路的三要素法 UcC ：) =1O V ， 二、填空题 t = 0时 U ci (O ) { 1 ------------------ 1 -------- ---------------- ' ------ * 4G 4Q 2i\ 1 (A )所示电路的时间常数最大。 图6-3 6 U 0.5H ② t T U c b . a dRJb — )S 耳讯 U c
第6章 6.1 选择题 1. 通常交流仪表测量的交流电流、电压值是（ B ）。 A. 平均值 B. 有效值 C. 最大值 D. 瞬时值 2． 如图所示，给出了电压和电流的相量图，从相量图可知（ C ）。 A. 有效值I=U B. 电流电压的相位差为15° C. 电流超前电压75° D. 电压的初相为30° 3. 若两个正弦量分别为V )60100cos(51 +-=t u ，V )60100sin(52 +=t u ，则1u 与2u 的相位差为（ C ）。 A. 0 B. 90 C. 90- D. 180 4. 以下正弦量之间的相位差是 45的为（ A ）。 A. )30cos( +t ω，)15cos( -t ω B. )45sin( +t ω，t ωcos C. )75sin( +t ω，)302sin( +t ω D. )45cos( +t ω，t ω2cos 5. 某工频正弦交流电流的初相 30=?，在0=t 时A 10)0(=i ，则该电流的三角函数式为（ A ）。 A. A )30100sin(20 +=t i π B. A )3050sin(10 +=t i π C. A )3050sin(14.14 +=t i π D. A )30100sin(28.28 +=t i π 6. 交流电u=200cos （314t+π/3）V ，以下说法正确的是：( B ) A. 交流电压的最大值为2002V B. 1s 内，交流电压方向改变100次 C. 电压的有效值为200V D. 1s 内，交流电压50次过零值 6.2 填空题 1． 大小 和 方向 都随时间作周期性变化的电流叫做交流电。 2. 正弦量的三个要素是指 幅度（振幅） 、 频率 和 初相位 。 3．两个同频率正弦量的相位差等于它们的 初相位 之差。 4. 电阻Ｒ接入10V 的直流电路中，其消耗的功率为Ｐ。如果把阻值为Ｒ/4的电阻接到最大值为5V 的交流电路中，它消耗的功率为 P/2 。 5．已知某正弦电流A )30314cos(07.7 -=t i ，则该正弦电流的最大值I m = 7.07 A ，有效值I= 5 A ，角频率ω= 314 rad/s ，频率f= 50 Hz ，周期T= 0.02s ，初
第六章 一阶电路 ◆ 重点： 1． 电路微分方程的建立 2． 三要素法 3． 阶跃响应 ◆ 难点： 1． 冲激函数与冲激响应的求取 2． 有跃变时的动态电路分析 含有动态元件（电容或电感等储能元件）的电路称为动态电路。回忆储能元件的伏安关系为导数（积分）关系，因此根据克希霍夫定律列写出的电路方程为微积分方程。所谓“一阶”、“二阶”电路是指电路方程为一阶或二阶微分方程的电路。 本章只讨论一阶电路，其中涉及一些基本概念，为进一步学习第十五章打下基础。 6.1 求解动态电路的方法 6.1.1 求解动态电路的基本步骤 在介绍本章其他具体内容之前，我们首先给出求解动态电路的基本步骤。 1．分析电路情况，得出待求电量的初始值； 2．根据克希霍夫定律列写电路方程； 3．解微分方程，得出待求量。 由上述步骤可见，无论电路的阶数如何，初始值的求取、电路方程的列写和微分方程的求解是解决动态电路的关键。 6.2.1 一阶微分方程的求解 一、一阶微分方程的解的分析 初始条件为)()0()()(t f t t f δ=δ的非齐次线性微分方程 Bw Ax dt dx =- 的解)(t x 由两部分组成：) ()()(t x t x t x p h +=。其中)(t x h 为原方程对应的齐次方程的通解，) (t x p 为非齐次方程的一个特解。 二、)(t x h 的求解 由齐次方程的特征方程，求出特征根p ，直接写出齐次方程的解pt h Ke t x =)(，根据初始值解得其中的待定系数K ，即可得出其通解。 三、) (t x p 的求解 根据输入函数的形式假定特解的形式，不同的输入函数特解形式如下表。 由这些形式的特解代入原微分方程使用待定系数法，确定出方程中的常数Q 等。
第六章 一阶电路 §6-1 动态电路的方程及其初始条件 §6-2一阶电路的零输入响应 （一）教学目标 1． 了解产生过渡过程的电路及原因， 2． 掌握“稳态”与“暂态”的概念与分析方法的区别， 3． 掌握换路定理，应用于一阶电路初始值的计算； 4． 掌握一阶电路的概念，零输入响应的概念以及求解方法。 （二）教学难点 1． 本课程以往的内容全部是稳态电路的分析，本章首先要使学生建立电路中存在“过渡过程（暂态）”的思想及掌握其产生原因（包括外部原因与内部原因）。 2． 一阶电路初始值计算的分析核心为换路定理，学生必须掌握这一分析思路。 3． 一阶电路零输入响应的物理实质为储能元件的放电过程，其响应曲线为按指数衰减的形式。 4． 时间常数反映了电路零输入响应的衰减快慢，它与电路的元件组成有关。 （三）教学思路 1． 首先，以自然界中火车的启停需要过渡时间段加减速作类比，强化学生关于特定电路在状态发生改变时同样存在“过渡过程”概念的理解，并引出电路过渡过程的研究变量。 2． 通过对换路和换路定理概念及物理意义的解释，明确电路过渡过程初始值的计算依据。 3． 零输入响应的分析先从定性角度让学生明白其物理实质，然后借助数学方法推导出其数学表达式。课程内容中物理意义的分析比起定量分析更加重要。 （四）教学内容和要点 一、“稳态”与 “暂态”的概念: 产生过渡过程的电路及原因? 无过渡过程 I 电阻电路 I 电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，不存在过渡过程。
过渡过程产生的原因 1. 内因：电路内部含有储能元件L 、M 、C 2. 外因：电路结构发生变化 稳态暂态 换路发生很长时间 换路刚发生i L 、u C 随时间变化 代数方程组描述电路 微分方程组描述电路I L 、U C 不变)(L C I U 、 稳态分析和暂态分析的区别 t C u 电容为储能元件，它储存的能量为电场能量 ，其大小为： 202 1cu idt u W t C 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电容的电路存在过渡过程。 i 电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，其大小为： 202 1Li dt ui W t L 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电感的电路存在过渡过程。 E 电感电路
解：按KCL 211121111 1][1u R u R u u R i -=-= 22 1211122111 1u R R R R u R u R i i ++-=+ -= 由此即可得出Y 参数矩阵为 ? ????? ??? ???+--=21211 11111R R R R R R R Y 试求出下面图（a ）电路在正弦激励情况下该二端口网络的Z 参数。 解：设正弦激励源的角频率为，将受控源等效变换为受控电压源，得出上图（b ）电路。按此图列出支路电流方程，则有： I R I C I R I R U j I C j U I I I +?? ??? ??+=--=+=122 112111μωω 解上述方程，即可得到二端口网络的Z 参数为 ???? ??? ?? ?-+-=R R C j R C j R Z 21ωμωμ
解：按定义，当在2-2ˊ端接上阻抗Z c 时，若从1-1ˊ 端看的输入阻抗正好等于Z c ，则这个阻抗Z c 就是该二端口网络的特性阻抗。于是得出下式 ?? ?=+=''c c Z Z Z Z 1111)] //1(1//[1 由此解出Ω± =3 1c Z 因该电阻网络的特性阻抗不可能为负值，即得出二端口网络的特性阻抗为Ω3 1 。 求下图所示电路的Z 参数。 对上图带有回路电流I 1和I 2的两个回路应用KVL ，得到： 212111)2()(2sI I s I I s I U ++=++= 212122)3()(3I s sI I I s I U ++=++= 可以看出，电路的Z 参数为 Z 11=s+2 Z 12= Z 21=s Z 22=s+3
答案6.22 解：对图(a)电路做戴维南等效，如图(b)所示。 OC U in Z (b) i j 1/(j )Z L C ωω=+ (1) S OC j I U C ω= (2) 由图(b)可知，当i 0Z =时，电阻两端电压U 与电阻R 无关，始终等于 OC (0)U R ≠。 由式(1)解得 100rad/s ω== 将式(3)代入式(2)得 OC 1 100A 1090V j100rad/s 0.01F U U ==∠?? =∠ -?? 90V u t ω=-（） 答案6.23 解：先对图(a)电路ab 端左侧电路作戴维南等效，如图(b)所示。 U i Z (b) 令 32000rad/s 210H 4L X L ω-==??=Ω 得等效阻抗 i 4j48//8//j42(1j)4j4Z Ω?Ω =ΩΩΩ= =+ΩΩ+Ω 由
OC i 1 j U i Z R C ω= ++ 知，欲使电流i 有效值为最大，电容的量值须使回路阻抗虚部为零，即： 012]j 1Im[=-=+ +C C R Z i ωω 等效后电路如图(b)所示。 解得 1250μF 2C ω == 答案6.24 解：应用分压公式，输出电压o U 可表示为 o n1n2U U U =- i i 1 j 1 2j U C U R C ωω=-?+ i i i j 121j 2(j 1) U U CR U CR CR ωωω-= -=++ 当 0=R ， o U 超前于i U 180； 当 1 R C ω=，o U 超前于i U ?90； 当 ∞→R ， o U 与i U 同相位。 即当R 由零变到无穷时，o U 超前于i U 相位差从180到0变化。 答案6.25 解：图示电路负载等效导纳为 2222 1j j()j ()() R L Y C C R L R L R L ωωωωωω=+ =+-+++ (1) 2 2 222 222 222 )()(21)()(C L R LC L R L C L R R Y ωωωωωωω++-=??? ?????+-+????????+= (2) 由式(2)可见：当)2/(12LC =ω时，Y C ω=与R 无关，电流有效值CU U Y I ω==不随R 改变。 解得
第5章 5.1选择题 1、在关联参考方向下，R 、L 、C 三个元件的伏安关系可分别如（ D ）表示。 A. dt di C u d i L u u Gu i C C t L L L R R =+ ==? ,)(1)0( ,0ττ B. dt di C u d i L u Ri u C C t L L R R =+ ==? ,)(1 )0(u , 0L ττ C. ?+===t C C C L L R R d i C u u dt di L u Gi u 0 )(1)0( , ,ττ D. ?+===t C C C L L R R d i C u u dt di L u Ri u 0 )(1)0( , ,ττ 2、一阶电路的零输入响应是指（ D ）。 A. 电容电压V 0)0(≠-C u 或电感电压V 0)0(≠-L u , 且电路有外加激励作用 B. 电容电流A 0)0(≠-C i 或电感电压V 0)0(≠-L u , 且电路无外加激励作用 C. 电容电流A 0)0(≠-C i 或电感电压A 0)0(≠-L i , 且电路有外加激励作用 D. 电容电压V 0)0(≠-C u 或电感电流A 0)0(≠-L i , 且电路无外加激励作用 3、若1C 、2C 两电容并联，则其等效电容C =（ A ）。 A. 21C C + B. 2 12 1C C C C + C. 2 12 1C C C C + D. 21C C 4、已知电路如图x5.1 所示，电路原已稳定，开关闭合后电容电压的初始值)0(+C u 等 于（ A ）。 A. V 2- B. V 2 C. V 6 D. V 8 图x5.1 选择题4图 5、已知V 15)(τt C e t u -=，当s 2=t 时V 6=C u ，电路的时间常数τ等于（ B ）。 A. s 458.0 B. s 18.2 C. s 2.0 D. s 1.0 6、二阶RLC 串联电路，当C L R 2____时，电路为欠阻尼情况；当C L R 2____时， 电路为临界阻尼情况（ B ）。 A. >、= B. <、= C. <、> D. >、< C u
电路分析基础 第一章 一、 1、电路如图所示， 其中电流I 1为 答( A ) A 0.6 A B. 0.4 A C. 3.6 A D. 2.4 A 3Ω 6Ω 2、电路如图示, U ab 应为 答 ( C ) A. 0 V B. -16 V C. 0 V D. 4 V 3、电路如图所示, 若R 、U S 、I S 均大于零，, 则电路的功率情况为 答( B ) A. 电阻吸收功率, 电压源与电流源供出功率 B. 电阻与电流源吸收功率, 电压源供出功率 C. 电阻与电压源吸收功率, 电流源供出功率 D. 电阻吸收功率，供出功率无法确定
U I S 二、 1、 图示电路中, 欲使支路电压之比 U U 1 2 2=，试确定电流源I S 之值。 I S U 解： I S 由KCL 定律得： 2 23282 22U U U ++= U 248 11 = V 由KCL 定律得：04 2 2=+ +U I U S 11 60 - =S I A 或-5.46 A 2、用叠加定理求解图示电路中支路电流I ，可得：2 A 电流源单独作用时，I '=2/3A; 4 A 电流源单独作用时, I "=-2A, 则两电源共同作用时I =-4/3A 。
3、图示电路ab 端的戴维南等效电阻R o = 4 Ω；开路电压U oc = 22 V 。 b a 2 解：U=2*1=2 I=U+3U=8A Uab=U+2*I+4=22V Ro=4Ω 第二章 一、 1、图示电路中，7 V 电压源吸收功率为 答 ( C ) A. 14 W B. -7 W C. -14 W D. 7 W
第六章一阶电路暂态分析 一、教学基本要求 1、掌握动态电路的特点、电路初始值的求法、零输入响应、零状态响应、 全响应、阶跃响应、冲激响应的概念和物理意义。 2、会计算和分析一阶动态电路，包括三种方法：⑴全响应＝零状态响应＋ 零输入响应；⑵全响应＝暂态响应＋稳态响应；⑶“三要素”法。 二、教学重点与难点 1. 教学重点：(1). 动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定； (2). 一阶电路时间常数的概念； (3). 一阶电路的零输入响应和零状态响应； (4). 求解一阶电路的三要素方法； (5). 自由分量和强制分量、暂态分量和稳态分量的概念； 2．教学难点: (1). 应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电 路方程。 (2).电路初始条件的概念和确定方法。 三、本章与其它章节的联系： 本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部可以用于本章的分析中。第9章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是动态电路在正弦激励下的稳态分量的求解。 四、学时安排总学时：6
五、教学内容
§6.1 动态电路的方程及其初始条件 1.动态电路 含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。由于动态元件是储能元件，其VCR 是对时间变量t 的微分和积分关系，因此动态电路的特点是：当电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。 下面看一下电阻电路、电容电路和电感电路在换路时的表现。 1）电阻电路 图6.1 （a）（b） 图6.1（a）所示的电阻电路在t =0 时合上开关，电路中的参数发生了变化。电流i 随时间的变化情况如图6.1（b）所示，显然电流从t＜0时的稳定状态直接进入t＞0 后的稳定状态。说明纯电阻电路在换路时没有过渡期。 2）电容电路 图6.2 （a）（b）
第6章 角度调制与解调电路 已知调制信号38cos(2π10)V u t Ω=?，载波输出电压6o ()5cos(2π10)V u t t =?，3f 2π10rad/s V k =?，试求调频信号的调频指数f m 、最大频偏m f ?和有效频谱带宽BW ， 写出调频信号表示式 [解] 3m 3m 2π10 8 810Hz 2π2π f k U f Ω???===? 3m 3 3632π1088rad 2π102(1)2(81)1018kHz ()5cos(2π108sin 2π10)(V) f f o k U m BW m F u t t t Ω??===Ω?=+=+?==?+? 已知调频信号72()3cos[2π105sin(2π10)]V o u t t t =?+?，3f 10πrad/s V k =，试：(1) 求该调频信号的最大相位偏移f m 、最大频偏m f ?和有效频谱带宽BW ；(2) 写出调制信号和载波输出电压表示式。 [解] (1) 5f m = 5100500Hz =2(+1)2(51)1001200Hz m f f m F BW m F ?==?==+?= (2) 因为m f f k U m Ω= Ω ，所以3 52π100 1V π10f m f m U k ΩΩ??= = =?，故 $ 27()cos 2π10(V)()3cos 2π10(V) O u t t u t t Ω=?=? 已知载波信号m c ()cos()o u t U t ω=，调制信号()u t Ω为周期性方波，如图所示，试画出调频信号、瞬时角频率偏移()t ω?和瞬时相位偏移()t ??的波形。 [解] FM ()u t 、()t ω?和()t ??波形如图(s)所示。