3.3 n元向量的线性关系
一.线性组合和等价向量组定义3.1n 个数组成的有序数称为n 元向量，其中称为这n 元向量的第i 个分量，常用或表示n 元向量。
12(,,,)n a a a i a αβ12(,,,)T
n a a a α=12 n a a a α?? ? ?= ? ???n 元列向量（常用）：n 元行向量：
12 ,n a a a α?? ? ?= ? ???12 n b b b β?? ? ?= ? ???定义3.2 两个n 元向量：
当他们各个分量对应相等时，即则称与相等，记做12,1,2,,,a b i n ==α
β.
αβ=定义3.2 设n 元向量与，k 为数，则n 元向量αβ1122 ,n n a b a b a b +?? ?+ ? ? ?+??12 n ka ka ka ?? ? ? ? ???称为与的和，k 与的数量乘积。αβα?通常将向量的加法、数乘运算称为向量的线性运算。
定义3.3 设一组向量，若存在一组
数，使12,,,
,m βααα12,,,m k k k 1122m m k k k βααα=+++则称是向量组的线性组合，或称可以由向量组线性表示。
β12,,,m αααβ12,,,m ααα(1).零向量可以经任意向量组线性表示。(2).任一n 元向量可以经由n 元向
量组线性表示式：
0(0,0,0)T
=12(,,,)T n a a a α=1(1,0,,0),(0,0,,1)T T T T n e e ==1122.n n e e e αααα=++?向量是矩阵A 各列向量的线性组合的两个充要条件：
?线性方程组相容。
?矩阵的秩与矩阵相同。且线性表示式中系数可以由线性方程组的解给出。β12,,,m αααAX β=12(,,,)m ααα12(,,,,)m αααβ
例1已知向量试问可否经向
量组线性表示。
12(1,0,2,1),(1,0,2,1),
T T αα==34(2,1,3,0),(2,5,1,4),T T αα==-4α123,,ααα解记1231234(,,),(,,,).
A A ααααααα==11
2202
1520
3111
04A ?? ? ?= ?- ???312R R -41R R -32R R +41/2R -34,R R 交换1122021502150022?? ? ? ?--- ?-??11
2202
1500
000011?? ? ? ? ?-??1122021500110000?? ? ? ?- ???记B
可以看出，根据充要条件(2)，可以得出可以经由线性表示。
3,A A r r ==4α123,,ααα的解：B 13
2R R -23-R R 1104020600110
000?? ? ? ?- ???31/2R 1104010300110000?? ? ? ?- ???12R R -10
0101
0300
110000?? ? ? ?- ???进一步求解线性表示式：
4AX α=1231,3,1
x x x ===-41233.αααα=+-
定义3.4 若向量组中每一个向量都可以经由向量组线性表示，则称向量组可以经线性表示。两个可以互相线性表示的向量组等价。12,,,r ααα(1,2,,)i i r α=12,,,r βββ12,,,r ααα12,,,r βββ等价的向量组有以下性质：
(1). 自反性：每个向量组都与它自身等价；
(2). 对称性：若向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价，则向量组Ⅱ也与向量组Ⅰ等价；
(3). 传递性：若向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价，且向
量组Ⅱ与向量组Ⅲ等价,则向量组Ⅰ与向量组Ⅲ等价。
二.线性相关与线性无关定义3.5 对于向量组，若存在全
不为零的数，使成立，称向量组线性相关；当且仅当时，上面等式才成立，则称向量组线性无关或者线性独立。
12,,
,(1)s s ααα≥12,,,s k k k 11220
s s k k k ααα+++=12,,,s ααα120s k k k ====由于当时，等式必成立，因此，只要当，必有，就可以得向量组线性无关。
120s k k k ====11220s s k k k ααα+++=120s k k k ====
例2设分别讨论向量组及向量组
是线性相关还是线性无关。
123(1,2,3),(0,2,5),(2,0,4)T T T ααα=-=-=-12,,αα123,,ααα解设即
11220k k αα+=，1121212
010*******
350350k k k k k k k =???????? ? ? ?-+=-+=? ? ? ?? ? ? ?--=???????，解得故线性无关。
120,k k ==12,αα设即
1122330k k k ααα++=，1312312123
2010202200220
35403540k k k k k k k k k k +=?????????? ? ? ? ?-++=-+=? ? ? ? ?? ? ? ? ?---=?????????，
解得令得有所以，
线性相关。1232,2,,
k t k t k t =-=-=1,t =-1232,2,1,k k k ===-123220,ααα+-=123,,ααα几个重要结论：
(1). 任意一个包含零向量的向量组必线性相关。
(2). 如果一个向量组中有一部分向量线性相关，则
整个向量组线性相关。
(3). 如果一个向量组线性无关，则它的任意一部分
向量组必线性无关。
(4). 当向量组仅含有一个向量时，若该向量是零向量，
称向量组线性相关；若该向量是非零向量，称它线性无关。
定理3.3 向量组线性相关的充要条件是矩阵的秩小于向量的个数向量组线性无关的充要条件是12,,,s ααα12(,,,)s A ααα=.s 12,,,s ααα.
A r s =12,,,s
ααα11220
s s x x x ααα+++=
特别，当时，A 为n 阶方阵，所以n 元向量组线性相关的充要条件是线性无关的充要条件是s n =||0;A =||0.
A ≠
例3设分别讨论向量组及向量
组的线性相关性。
123(1,0,2,1),(1,2,0,1),(2,1,3,0)
T T T ααα===123,,ααα4(2,5,1,4),T α=-1234,,,αααα解记：1122021520311104A ?? ? ?= ?- ???1234(,,,)
A αααα=变换1001010300110000?? ? ? ?- ???123(,,)3r ααα==向量个数，故线性无关。123,,ααα1234(,,,)34r αααα=<，故线性相关。
1234,,,αααα
例4证明s 个(s>n )n 元向量必线性相关。
1212(,,,),1,2,
,,,,T j j j nj s a a a j s αααα==证明设构成矩阵12(,,
,),s A ααα=A 是矩阵，则有n s ?min(,),A r n s n s ≤=<即A 的秩小于向量个数，得线性相关
12,,
s ααα特别，n+1个n 元向量必线性相关。证毕。
三.几个重要定理
定理3.4 向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量时其余向量的线性组合。
12,,,(2)s s ααα≥
定理3.5 设向量组线性无关，而向量组线性相关，则必是的线性组合，且线性表达式唯一。
12,,,s ααα12,,,,s ααααα12,,,s ααα
定理3.6 设向量组可经向量组线性表示，若，则向量组线性相关。
12,,,r ααα12,,,s βββr s >12,,,r ααα
第四章 向量组的线性相关性 §1 n 维向量概念 一、向量的概念 定义1n 个有次序的数12,,,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数 i a 称为第i 个分量. 注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2n 维向量可以写成一行的形式() 12,,,n a a a a = ,出可以写成一列的形式 12n a a a a ?? ? ? = ? ??? ,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ?矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ?矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置. 注3 用小写黑体字母,,,a b αβ等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-. 解12v v -(1,1, 0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =- 12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+- (31203,31214,30210)T =?+?-?+?-?+?- (0,1,2)T = 定义设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。 §2 向量组的线性相关性 一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,,,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量 1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,,,m k k k 称为这个线性组合的系数. 定义4 给定向量组A :12,,,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,,,m λλλ ,使得 1122m m a a a b λλλ=+++ 则称向量b 是向量组A 的一个线性组合,或称向量b 可由向量组A 线性表示. 注1任一个n 维向量12 n a a a a ?? ? ?= ? ??? 都可由n 维单位向量组12,,,n e e e 线性表示: 1122n n a a a a e e e =+++ .
第二节 向量组及其线性组合 内容分布图示 ★ n 维向量的概念 ★ 向量组与矩阵 ★ 向量的线性运算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 线性方程组的向量形式 ★ 向量组的线性组合 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 定理1 ★ 例6-8 ★ 例9 ★ 向量组间的线性表示 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-2 ★ 返回 内容要点： 一、n 维向量及其线性运算 定义1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组称为n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量. 注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当3 n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3 n 时，n 维向量没有直观的几何形象. 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组. 例如，一个n m 矩阵 每一列 组成的向量组n ,,,21 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵A 的的每一行 组成的向量组m ,,,21 称为矩阵A 的行向量组. 根据上述讨论，矩阵A 记为 ),,,(21n A 或 n A 21. 这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系. 矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组. 而线性方程组 的全体解当n A r )(时是一个含有无限多个n 维列向量的向量组. 定义2 两个n 维向量),,,(21n a a a 与),,,(21n b b b 的各对应分量之和组成的向量，称为向量 与 的和, 记为 ，即 由加法和负向量的定义，可定义向量的减法： ),,,(2211n n b a b a b a . 定义3 n 维向量),,,(21n a a a 的各个分量都乘以实数k 所组成的向量，称为数k 与向量 的乘积（又简称为数乘），记为 k ，即 ),,,(21n ka ka ka k . 向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算. 注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律: (1) ; (2) )()( ; (3) ; o (4) ;)(o (5) ;1 (6) ;)()( kl l k
第十讲 向量组的线性关系 一、考试内容与考试要求 考试内容 向量的概念；向量的线性组合与线性表示；向量组线性相关与线性无关． 考试要求 （1）理解n 维向量的概念； （2）理解向量的线性组合与线性表示的概念； （3）理解向量组线性相关与线性无关的概念； （4）掌握向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法； 注 适合于第十讲和第十一讲． 二、知识要点 引入 学习向量组的线性相关和线性无关，直接的目的是为探讨当方程组Ax o =（Ax b =）有无穷解时，它的所有解能否用有限个解表示出来？且这些有限个解之间的关系是什么？ 线性表示（线性组合）：探讨消除线性方程组中的多余方程（即无效方程）； 矩阵秩：探讨矩阵所对应的线性方程组中的有效方程个数； 线性相关：方程组Ax o =有无穷解时，能否用有限个解表示出来； 线性无关：这有限个解之间的关系，引出基础解系和最大线性无关向量组． 复习 （1）非齐次方程组Ax b =有解的条件：()(,)R A R A b m =≤ 其中A =（12,,,m αααL ），要特别注意m 是未知量个数，也是向量组12,,,m αααL 中向量的个数． （2）齐次方程组Ax o =???唯一零解 无穷解（有非零解），o 是向量． 1．线性组合（线性表示） 定义1 线性组合（线性表示） 给定向量12,,,,m βαααL ，如果存在数12,,,m k k k L ，使关系式成立 则称β是向量组12,,,m αααL 的线性组合，或称β可以由向量组12,,,m αααL 线性表示：
注意1 （1）线性组合（或线性表示）对12,,,m k k k L 没有要求，可以全为零； （2）零向量可由任一同维的向量组线性表示； （3）判断β是否可由向量组12,,,m αααL 线性表示转化为求Ax β=是否有解，一个具体表示就是Ax β=有一个特解． （4）表示式可以不惟一，但若12,,,m αααL 线性无关时，表示式惟一； （5）任一n 维向量可由同维的单位坐标向量组12,,,n e e e L 线性表示； （6）向量组12,,,m αααL 中每个向量都可由自身向量组线性表示： 定义2 向量组的等价 向量组（I ）：12,,,s αααL 中每个向量都可由向量组（II ）：12,,,t βββL 线性表示，而向量组（II ）中每个向量都可由向量组（I ）线性表示，则称两个向量组的等价，记为（I ）:（II ）． 向量组的等价具有 ① 反身性：每个向量组都和自身等价，即（I ）:（I ）； ② 对称性：若（I ）:（II ），则（II ）:（I ）； ③ 传递性：若（I ）:（II ），（II ）:（III ），则（I ）:（III ）． 注意 2 记()12,,,s A ααα=L ，()12,,t B βββ=L ，则 （1）向量组（II ）可以由向量组（I ）线性表示的充分必要条件是()(,)R A R A B = 这是单个向量β可由向量组12,,,s αααL 线性表示的推广． （2）向量组（I ）与向量组（II ）等价的充分必要条件是()()(,)R A R B R A B == （3）若向量组（I ）：12r αααL ，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，， Λ21线性表示，则当r s >时，向量组（I ）必线性相关； （4）若向量组（I ）：12r αααL ，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，， Λ21线性表示，且向量组（I ）线性无关，则必有r s ≤； 这是（3）的逆否命题．
平面向量的线性运算 一、选择题 1．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式①｜a ｜＞｜b ｜；②a ∥b ； ③｜a ｜＞0；④｜b ｜=±1；⑤a =b ，其中正确的有（ ） A ．①④⑤ B ．③ C ．①②③⑤ D ．②③⑤ 2. O 是ABC ?所在平面内一点，D 为BC 边上中点，02=++OC OB OA ,则（） A ．OD AO = B ．OD AO 2= C ．OD AO 3= D ．OD AO =2 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ） A ．一条线段 B ．一个圆面 C ．圆上的一群弧立点 D ．一个圆 4．向量（AB +MB ）+（BO +BC ）+OM 化简后等于（ ） A ． BC B ． AB C ． AC D ．AM 5．在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则（ ） A ．ABCD 是矩形 B ．ABCD 是菱形 C ．ABC D 是正方形 D ．ABCD 是平行四边形 6．已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为（ ） A ．0 B ．3 C ． 2 D ．22 7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA uur ＋CD u u u r ＋EF uuu r ＝( ) A ．0 B.BE uu u r C.AD uuu r D.CF u u u r 8．如果两非零向量a 、b 满足：｜a ｜＞｜b ｜,那么a 与b 反向,则（ ） A ．｜a +b ｜=｜a ｜-｜b ｜ B ．｜a -b ｜=｜a ｜-｜b ｜ C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜ D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜ 二、填空题
§平面向量的线性运算 重难点：灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题，利用交换律和结合律进行向量运算；灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差，以及求两个向量的差的问题；理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量共线的充要条件． 考纲要求：①掌握向量加法，减法的运算，并理解其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其意义。理解两个向量共线的含义． ③了解向量线性运算的性质及其几何意义． 经典例题：如图，已知点,,D E F 分别是ABC ?三边,,AB BC CA 的中点， 求证：0EA FB DC ++=． 当堂练习： 1．a 、b 为非零向量，且+=+||||||a b a b ，则 （ ） A ．a 与b 方向相同 B ．a =b C ．a =-b D ．a 与b 方向相反 2．设+++=()()AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；② +=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 3．3．在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 MC MB MA -+等于 （ ） A ．O B ．MD 4 C ．MF 4 D ．M E 4 4．已知向量b a 与反向，下列等式中成立的是 （ ） A ．||||||b a b a -=- B ．||||b a b a -=+ C ．||||||b a b a -=+ D ．||||||b a b a +=+ 5．若a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ） A ．a B ．b C ．c D ． 以上都不对 6．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ），则AP =（ ） A ．().(0,1)AB AD λλ+∈ B ．2 ().(0, )AB BC λλ+∈ C ． ().(0,1)AB AD λλ-∈ D ． 2().(0, )2 AB BC λλ-∈ 7．已知==||||3OA a ，==||||3OB b ，∠AOB=60?，则+=||a b __________。
多个精品课程课件网络资源 收录日期: （部分内容已严重陈旧或已淘汰） 食品卫生检验教案讲稿 最新国家食品卫生标准贯彻实施手册 农药分析手册 食品法规（版） 英文版 原理与实施第二版 法律专题 安徽建筑工程学院大学物理实验精品课程 安徽建筑工程学院无机与分析化学精品课程 安徽科技学院精品课程 白兰地工艺学 包装技术课件 保健食品检验与评价技术规范实施手册 保健食品原料手册 贝类油脂化学与工艺学 病理学实验指导－大连医科大学 仓储与配送管理－天津开发区职业技术学院 长春工业大学精品课程 长春师范学院教学课件 长效酸奶技术 常见中毒急救手册 常用分子生物学软件中文说明 常用天然提取物质量标准参考手册 常用药物辅料手册 成都大学精品课程建设 成都中医药大学中药学精品课程 成都中医药大学中药药理学精品课程 成都中医药大学中医方剂学精品课程 成都中医药大学中医药统计学精品课程 大连水产学院大学.物理精品课程 大连水产学院精品课程 大连水产学院水产动物生理学精品课程 大连水产学院水生生物学精品课程 大连水产学院养殖水环境化学精品课程 大学基础化学 大学物理 大学物理
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适用
高中数学
适用年级
高一
学科
适用区域 苏教版区域
课时时长（分钟）
2 课时
知识点 向量的加法；向量的减法；向量的数乘.
教学目标
通过经历向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能 熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。通 过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反 向量。
教学重点 向量的加减法的运算。
教学难点 向量的加减法的几何意义。
【知识导图】
教学过程
一、导入
高考对本内容的考查主要以选择题或者是填空题的形式来出题，一般难度不 大，属于简单题。
二、知识讲解
（考1）点向1量向加量法加的法三法角则形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时 要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一 个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。0 位移的合成可以看作 向量加法三角形法则的物理模型。
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（2）平行四边形法则 以同一点 O 为起点的两个已知向量 A.B 为邻边作平行四边形，则以 O 为起点的 对角线 OC 就是 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平 行四边形法则。
由考于点方2向反向转量两的次减仍法回法到则原来的方向，因此 a 和 a 互为相反向量。 于是 (a) a 。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a (a) (a) a 0 。 所以，如果 a, b 是互为相反的向量，那么 a= b,b= a, a b 0 。
考点 3 实数与向量的积的运算律 设 ， 为实数，那么 (1) ( a) ()a ； (2) ( )a a a ； (3) (a b) a b . 特别地，我们有 ()a (a) (a) ， (a b) a b 。 向量共线的等价条件是：如果 a(a 0) 与 b 共线，那么有且只有一个实数 ，使 b a。
三 、例题精析 类型一 平面向量的坐标表示
例题 1
已知边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴成 30°角．求点 B 和点 D 的坐标和 AB 与 AD 的坐标．
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线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性 系 专业 班 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性 一．选择题 1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关 （C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s . 2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题： 1． 设T T T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα 则=-21αα (1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T 2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T )10,5,1,10(2=α T ),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T 3． 已知T T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2 4． 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式 0abc ≠
三．计算题： 1． 设向量()11,1,1T αλ=+，2(1,1,1)T αλ=+，3(1,1,1)T αλ=+，2(1,,)T βλλ=，试问当λ为 何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一？ （2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一？ （3）β不能由321ααα,,线性表示？ 132123222 21110111(,,,)11111111111101110, 00(3)(12)r r r λ λλαααβλλλλλλλλλλλλλλλλλλ???++?? ? ?=+???→+ ? ? ? ?++??????+ ???→→-- ? ?-+--?? 解因为 2 2 211 10,00(3)(12)λλλλλλλλλλλ??+ ? →-- ? ?-+--? ? 123123123(1)03,(,,,)(,,)3, ,,,; R R λλαααβαααβααα≠≠-==且时可由线性表示且表达式唯一 123123123(2)0,(,,,)(,,)13, ,,,;R R λαααβαααβααα===<时可由线性表示但表达式不唯一 123123123(3)3,(,,,)3(,,)2, ,,. R R λαααβαααβααα=-=≠=当时不能由线性表示
平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ±)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作： ∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一 定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点 A B C 、、共线? AB AC 、 共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=。AB BC CD DE AE +++= 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则 C B D C B a b b b a +b a +A A B C C ) 2() 3( 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______
§5.1平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念
向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得______. [难点正本 疑点清源] 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合. 1.化简OP →－QP →＋MS →－MQ → 的结果为________. 2.在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且AB →＝a ，AD →＝b ，则BE → ＝____________. 3.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是________. 4.已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足P A →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD → ，则实数λ的值为________. 5.已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC → ＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD → D.2AO →＝OD →
题型一 平面向量的概念辨析 例1 给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是________. 探究提高 (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈. (5)非零向量a 与a |a |的关系是：a |a | 是a 方向上的单位向量. 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ； (2)若|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a |＝|b |，且a 与b 方向相同，则a ＝b ； (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反； (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等. 题型二 向量的线性运算 例2 在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边 上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ， 设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →. 探究提高 (1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化. (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.
平面向量线性运算经典习题 1.设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,2BC u u u u r =4,||||,AB AC AB AC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r 则 |AM u u u u r |=( ) A.8 B.4 C.2 D.1 2.已知△ABC 中,点D 在BC 边上,且2,,CD DB CD r AB s AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 则r+s 的值是( ) 2 4..33 A B C.-3 D.0 3.平面向量a,b 共线的充要条件是( ) A.a,b 方向相同 B.a,b 两向量中至少有一个为0 C.存在λ∈R,使b=λa D.存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0 4.已知O ?A ?B 是平面上的三个点,直线AB 上有一点C,满足20,AC CB +=u u u r u u u r 则OC u u u r 等于( ) .2.22112..3333 A OA OB B OA OB C OA OB D OA OB --+--+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 5.设D ? E ? F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点,2,2,2,DC BD CE EA AF FB ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 则 AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r 与()BC uuu r A.反向平行 B.同向平行 C.不平行 D.无法判断 6.已知a,b 是不共线的向量,AB u u u r =λa+b,AC u u u r =a+μb,(λ,μ∈R),那么A 、B 、C 三点共线 的充要条件为( ) A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1 7.设+++=()()u u u r u u u r u u u r u u u r AB CD BC DA a ，而b 是一非零向量，则下列各结论：①//a b ；②+=a b a ；③+=a b b ；④+<+a b a b ，其中正确的是 （ ） A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③ 8. 若a b c =+化简3(2)2(3)2()a b b c a b +-+-+ （ ） A ．a B ．b C ．c D ． 以上都不对 9. 在△ABC 中，D 、E 、F 分别BC 、CA 、AB 的中点，点M 是△ABC 的重心，则 -+等于 （ ） A ． B ．4 C ．4 D ．4
平面向量的线性运算 学习过程 知识点一：向量的加法 （1）定义已知非零向量,a b r r ，在平面内任取一点A ，作AB ＝a r ，BC ＝b r ，则向量AC 叫做a r 与b r 的和，记作a b +r r ，即a b +r r ＝AB ＋BC ＝AC ． 求两个向量和的运算，叫做叫向量的加法．这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 说明：①运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量终点 的向量即为和向量. ②两个向量的和仍然是一个向量，其大小、方向可以由三角形法则确定． ③位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型． （2）向量加法的平行四边形法则 以点O 为起点作向量a OA = ，OB b =uu u r r ，以OA,OB 为邻边作OACB Y ，则以O 为起点的对角线所在向量OC uuu r 就是,a b r r 的和，记作a b +r r =OC uuu r 。 说明：①三角形法则适合于首尾相接的两向量求和，而平行四边形法则适合于同起点的两向量求和，但两共线向量求和时，则三角形法则较为合适. ②力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型． ③对于零向量与任一向量00a a a a +=+=r r r r r r ， （3）特殊位置关系的两向量的和 ①当向量a 与b 不共线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |； ②当a 与b 同向时，则a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |， ③当a 与b 反向时，若|a |>|b |，则a +b 的方向与a 相同，且|a +b |=|a |-|b |；若|a |<|b |，则a +b 的方向与b 相同，且|a +b|=|b |-|a |. （4）向量加法的运算律 ①向量加法的交换律：a +b =b +a ②向量加法的结合律：(a +b ) +c =a + (b +c ) 知识点二：向量的减法
当前形势 平面向量在近五年北京卷（理）考查5分 高考 要求 内容 要求层次 具体要求 A B C 平面向量的相关概念 √ ①理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． ②理解向量的几何表示． 向量加法与减法 √ ①掌握向量加法、减法的运算，并理解 其几何意义． ②掌握向量数乘的运算及其几何意义， 理解两个向量共线的含义． ③了解向量线性运算的性质及其几何意义． ④了解平面向量的基本定理及其意义． 向量的数乘 √ 两个向量共线 √ 平面向量基本定理 √ 北京 高考 解读 2009年 2010年 （新课标） 2011年 （新课标） 2012年 （新课标） 2013年 （新课标） 第2题 5分 第6题5分 第10题5分 第13题5分 第13题5分 一、向量的概念与表示 1．向量的概念：数学中，把既有大小，又有方向的量叫做向量． 2．向量的表示： ①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度． ②字母表示法：AB ，注意起点在前，终点在后；也可以用a ，b 来表示． ③线段AB 的长度也叫做有向线段AB 的长度，记作||AB ． 3．零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：0；零向量的方向是任意的． 单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量． 4．相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量． 5．向量共线或平行：方向相同或相反的向量叫做平行向量．向量a 平行于向量b ，记作a ∥b ． 任一组平行的向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量． 规定：零向量与任意向量平行． 10.1共线向量 知识点睛 新课标剖析 平面向量 的线性运算
第二节 向量组的线性组合 分布图示 ★ n 维向量的概念 ★ 向量组与矩阵 ★ 向量的线性运算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 线性方程组的向量形式 ★ 向量组的线性组合 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 定理1 ★ 例6-8 ★ 例9 ★ 向量组间的线性表示 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-2 内容要点 一、n 维向量及其线性运算 定义 1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组称为n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量. 注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当3≤n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3>n 时，n 维向量没有直观的几何形象. 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组. 例如，一个n m ?矩阵 ???? ??? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 每一列 ???? ?? ? ??=mj j j j a a a 21α),2,1(n j = 组成的向量组n ααα,,,21 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵A 的的每一行 ),,2,1(),,,(21m i a a a in i i i ==β 组成的向量组m βββ,,,21 称为矩阵A 的行向量组. 根据上述讨论，矩阵A 记为 ),,,(21n A ααα = 或 ???? ?? ? ??=n A βββ 21. 这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系. 矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组. 而线性方程组 0=?X A n m 的全体解当n A r <)(时是一个含有无限多个n 维列向量的向量组. 定义2 两个n 维向量),,,(21n a a a =α与),,,(21n b b b =β的各对应分量之和组成的向
平面向量的线性运算（基础训练） 1. 下列各式正确的是（ ） A ．若a r ，b r 同向，则|a +b |=|a |+|b | B ．a b +r r 与|a |+|b |表示的意义是相同的 C ．若a r ，b r 不共线，则|a +b |＞|a |+|b | D ．a a b <+r r r 永远成立 2．AO OB OC CA BO ++++uuu r uu u r uuu r uu r uu u r 等于（ ） A ． B ． 0r C ． D ． 3．下列命题 ①如果a r ，b r 的方向相同或相反，那么a b +r r 的方向必与a r ，b r 之一 的方向相同。 ②△ABC 中，必有 0r ③若0r ，则A 、B 、C 为一个三角形的三个顶点。 ④若a r ，b r 均为非零向量，则|a +b |与|a |+|b |一定相等。 其中真命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的向量分别为a r ，b r ，c r ，则向量等于（ ） A ．a b c ++r r r B ．a b c -+r r r C ．a b c +-r r r D ．a b c --r r r
5．在四边形ABCD 中，设,,AB a AD b BC c ===uu u r r uuu r r uu u r r ，则 等于（ ） A ． a b c -+r r r B ．()b a c -+r r r C ．a b c ++r r r D ．b a c -+r r r 6．设b r 是a r 的相反向量，则下列说法错误的是（ ） A ．a r 与b r 的长度必相等 B ．a r ∥b r C ．a r 与b r 一定不相等 D ．a r 是b r 的相反向量 7．AC uuu r 可以写成：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 8.如图所示，在 ABCD 中，已知,AB a DB b ==uu u r r uu u r r ，用a r 与b r 表示向量AD uuu r 、 。
a r a r O = ?→ ?OB A B O B 向量的线性运算（一） 1.向量的加法 向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：→ --AB ?→ ?+BC =→ --AC ． 规定：零向量与任一向量a r ，都有00a a a +=+=r r r r r ． 【注意】：两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 作法：在平面内任意取一点O ，作→ --OA =a r →--r →--→--→--a r +b r 2.向量的加法法则 （1）共线向量的加法： （2）不共线向量的加法 几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）。 三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。表示：→ --AB ?→ ?+BC =→ --AC ． 平行四边形法则：以同一点A 为起点的两个已知向量a r ，b r 为邻边作平行四边形 ABCD ，则以A 为起点的对角线→ --AC 就是a r 与b r 的和，这种求向量和的方法称为向量加法 的平行四边形法则。 如图，已知向量a r 、b r 在平面内任取一点A ，作→--AB =a r ，=?→?BC b r ，则向量?→?AC 叫做a r 与b r 的和，记作a r +b r ，即a r +b r +=?→ ?AB =?→?BC ?→?AC
【说明】：教材中采用了三角形法则来定义，这种定义，对两向量共线时同样适用，当向量 不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的 特殊情况： 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量a r 与b r 不共线时，a r +b r 的方向不同向，且|a r +b r |<|a r |+|b r |; （3）当a r 与b r 同向时，则a r +b r 、a r 、b r 同向，且|a r +b r |=|a r |+|b r |,当a r 与b r 反向时，若|a r |>|b r |,则a r +b r 的方向与a r 相同，且|a r +b r |=|a r |-|b r |；若|a r |<|b r |,则a r +b r 的方向与b r 相同，且|a r +b r |=|b r |-|a r |. （4）“向量平移”：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加 3.向量加法的运算律 （1）向量加法的交换律：a r +b r =b r +a r （2）向量加法的结合律：(a r +b r ) +c r =a r +(b r +c r ) 证明：如图：使=?→ ?AB a r , =?→?BC b r , =?→ ?CD c r 则 (a r +b r )+c r =?→?AC +=?→?CD ?→?AD ，a r + (b r +c r )=?→?AB ?→?+BD ?→ ?=AD ,∴(a r +b r )+c r =a r +(b r +c r ) 从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行 例如：()()()()a b c d b d a c +++=+++r r r u r r u r r r ；[()]()a b c d e d a c b e ++++=++++r r r u r r u r r r r ． 例题： 例1. O 为正六边形的中心，作出下列向量： （1）?→ ?OA +?→?OC （2）?→?BC +?→?FE （3）?→?OA +?→ ?FE 例2．如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水 a r a r a r b r b r b r a r + b r a r +b r A B C A B C D 三角形法则 平行四边形法则
§5.1 平面向量的概念及线性运算 一、选择题 1. 已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则下面结论正确的是（ ） A.a ∥b B. a ⊥b C.{0,1,3} D.a +b =a -b 答案 B 2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b . ∴a ∥b ； 若a ∥b ，则a ＝λb ，a ＋b ＝0不一定成立． 答案 A 3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )． A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝0 解析 如图，根据向量加法的几何意义，BC →＋BA →＝2BP →?P 是AC 的中点， ∴P A →＋PC →＝0. 答案 B 4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．4 D ．－6 解析 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)， ∴4(x ＋3)－(x －6)＝0，x ＝－6. 答案 D
5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，则四边形 ABCD 的形状是( )． A ．矩形 B ．平行四边形 C ．梯形 D ．以上都不对 解析 由已知AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC →. ∴AD →∥BC →，又AB →与CD →不平行， ∴四边形ABCD 是梯形． 答案 C 6．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心， ∴AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3. 答案 B 7.已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA ＋OB ＋CO ＝0，则△ABC 的内角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 解析：由OA ＋OB ＋CO ＝0得OA ＋OB ＝OC ，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°. 答案：A 二、填空题 8.已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA －3OB ＋2OC ＝0，则 |AB ||BC | ＝________. 解析：由OA －3OB ＋2OC ＝0，得OA －OB ＝2(OB －OC )， 即BA ＝2CB ，于是|AB ||BC |＝2.