不等关系与不等式单元测试
一抓基础,多练小题做到眼疾手快
1.设a ,b ∈[0,+∞),A =a +b ,B =a +b ,则A ,B 的大小关系是( )
A .A ≤
B B .A ≥B
C .A <B
D .A >B
解析:选B 由题意得,B 2
-A 2
=-2ab ≤0,且A ≥0,B ≥0,可得A ≥B . 2.若a
A.1a -b >1a
B.1a >1b
C .|a |>|b |
D .a 2
>b 2
解析:选A 取a =-2,b =-1,则
1a -b >1
a
不成立. 3.(2018·杭州二中月考)a (a -b )>0是b a
<1成立的 ( )
A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C .充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:选C b a <1?b a -1<0?b -a a <0?a -b a >0?a (a -b )>0,所以a (a -b )>0是b
a
<1成立的充要条件,故选C.
4.(2018·金华模拟)设a ,b ∈R ,若a -|b |>0,则下列不等式中正确的是( )
A .b -a >0 B.a 3+b 3
<0 C .a 2
-b 2
<0
D .b +a >0
解析:选D 利用赋值法,令a =1,b =0,排除A 、B 、C ,选D.
5.b g 糖水中有a g 糖(b >a >0),若再添m g 糖(m >0),则糖水变甜了.试根据这一事实,提炼出一个不等式____________.
答案:a b <
a +m
b +m
二保高考,全练题型做到高考达标
1.已知a 1,a 2∈(0,1),记M =a 1a 2,N =a 1+a 2-1,则M 与N 的大小关系是( )
A .M
D .不确定
解析:选B M -N =a 1a 2-(a 1+a 2-1) =a 1a 2-a 1-a 2+1=(a 1-1)(a 2-1),
又∵a 1∈(0,1),a 2∈(0,1),∴a 1-1<0,a 2-1<0.
∴(a 1-1)(a 2-1)>0,即M -N >0.∴M >N .
2.若1a <1b <0,给出下列不等式:①1a +b <1ab ;②|a |+b >0;③a -1a >b -1b ;④ln a 2>ln b 2
.其中正确的不等式
的序号是( )
A .①④ B.②③ C .①③
D .②④
解析:选C 法一:因为1a <1
b
<0,故可取a =-1,b =-2.显然|a |+b =1-2=-1<0,所以②错误;因
为ln a 2=ln(-1)2=0,ln b 2
=ln(-2)2
=ln 4>0,所以④错误,综上所述,可排除A 、B 、D ,故选C.
法二:由1a <1
b
<0,可知b ①中,因为a +b <0,ab >0,所以 1a +b <1 ab ,故①正确; ②中,因为b -a >0,故-b >|a |,即|a |+b <0,故②错误; ③中,因为b -1b >0,所以a -1a >b -1 b ,故③正确; ④中,因为b a 2 >0,而y =ln x 在定义域(0,+∞)上为增函数,所以ln b 2 >ln a 2 ,故④错误.由以上分析,知①③正确. 3.(2018·宁波模拟)设a ,b 是实数,则“a >b >1”是“a +1a >b +1 b ”的 ( ) A .充分不必要条件 B.必要不充分条件 C .充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选A 因为a +1a -? ?? ?? b +1b = a -b ab -1 ab ,若a >b >1,显然a +1a -? ?? ?? b +1b = a -b ab -1 ab >0,则充分性成立,当a =12,b =23时,显然不等式a +1a >b +1 b 成立,但a >b >1不成立, 所以必要性不成立. 4.若m <0,n >0且m +n <0,则下列不等式中成立的是( ) A .-n <m <n <-m B.-n <m <-m <n C .m <-n <-m <n D .m <-n <n <-m 解析:选D 法一:(取特殊值法)令m =-3,n =2分别代入各选项检验即可. 法二:m +n <0?m <-n ?n <-m ,又由于m <0<n ,故m <-n <n <-m 成立. 5.设a <0,b <0,则p =b 2a +a 2 b 与q =a +b 的大小关系是( ) A .p >q B. p ≥q C .p D.p ≤q 解析:选D p -q =b 2a +a 2b -(a +b )=b 3+a 3-a 2b -ab 2ab = a a 2- b 2-b a 2-b 2 ab = a -b a 2- b 2 ab = a -b 2 a +b ab . 因为a <0,b <0, 所以 a -b 2 a +b ab ≤0,即p ≤q ,故选D. 6.a ,b ∈R ,a <b 和1a <1 b 同时成立的条件是________. 解析:若ab <0,由a <b 两边同除以ab 得,1b >1a ,即1a <1b ;若ab >0,则1a >1 b . ∴a <b 和1a <1 b 同时成立的条件是a <0<b . 答案:a <0<b 7.已知-1 解析:∵-1 8.已知a +b >0,则a b 2+b a 2与1a +1 b 的大小关系是________. 解析:a b 2+b a 2-? ????1a +1b =a -b b 2+b -a a 2=(a -b )·? ?? ??1b 2-1a 2=a +b a -b 2 a 2 b 2. ∵a +b >0,(a -b )2 ≥0,∴ a +b a -b 2 a 2 b 2 ≥0. ∴a b 2+b a 2≥1a +1b . 答案:a b 2+b a 2≥1a +1 b 9.已知存在实数a 满足ab 2 >a >ab ,则实数b 的取值范围是__________. 解析:∵ab 2 >a >ab ,∴a ≠0, 当a >0时,b 2>1>b , 即????? b 2 >1,b <1, 解得b <-1; 当a <0时,b 2 <1 即????? b 2 <1,b >1, 此式无解. 综上可得实数b 的取值范围为(-∞,-1). 答案:(-∞,-1) 10.实数x ,y 满足3≤xy 2 ≤8,19≤y x 2≤14,求x 3 y 4的取值范围. 解:∵19≤y x 2≤14,∴4≤x 2y ≤9,∴? ?? ??x 2 y 2∈[16,81]. 又∵3≤xy 2 ≤8.∴ 1 xy 2 ∈???? ??18,13, ∴x 3y 4=? ????x 2 y 2·1xy 2∈[2,27],故x 3 y 4的取值范围为[2,27]. 三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.(2018·合肥质检)已知△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,且满足b +c ≤3a ,则c a 的取值范围为( ) A .(1,+∞) B.(0,2) C .(1,3) D .(0,3) 解析:选B 由已知及三角形三边关系得???? ? a < b + c ≤3a ,a +b >c , a +c > b , ∴????? 1 ≤3, 1+b a >c a , 1+c a >b a , ∴????? 1 ≤3, -1 a <1, 两式相加得,0<2·c a <4, ∴c a 的取值范围为(0,2). 2.设a >b >0,m ≠-a ,则 b +m a +m >b a 时,m 满足的条件是________. 解析:由 b +m a +m >b a 得a -b m a a +m >0, 因为a >b >0,所以 m m +a >0. 即? ?? ?? m >0,m +a >0或? ?? ?? m <0, m +a <0. ∴m >0或m <-a . 即m 满足的条件是m >0或m <-a . 答案:m >0或m <-a 3.设a 1≈2,a 2=1+1 1+a 1 . (1)证明:2介于a 1,a 2之间; (2)求a 1,a 2中哪一个更接近 2. 解:(1)证明:∵(2-a 1)(2-a 2)=(2-a 1)·? ????2-1-11+a 1=1-22-a 12 1+a 1<0. ∴2介于a 1,a 2之间. (2)|2-a 2|=? ?????2-1- 11+a 1=???? ?? 1-22-a 1 1+a 1=2-11+a 1|2-a 1|<|2-a 1|. ∴a 2比a 1更接近 2. 高中数学必修5基本不等式知识点总结 一.算术平均数与几何平均数 1.算术平均数 设a 、b 是两个正数,则 2 a b +称为正数a 、b 的算术平均数 2.几何平均数 a 、 b 的几何平均数 二基本不等式 1.基本不等式: 若0a >,0b >,则a b +≥,即 2 a b +≥2.基本不等式适用的条件 一正:两个数都是正数 二定:若x y s +=(和为定值),则当x y =时,积xy 取得最大值2 4 s 若xy p =(积为定值),则当x y =时,和x y +取得最小值 三相等:必须有等号成立的条件 注:当题目中没有明显的定值时,要会凑定值 3.常用的基本不等式 (1)()22 2,a b ab a b R +≥∈ (2)()22 ,2 a b ab a b R +≤∈ (3)()20,02a b ab a b +??≤>> ??? (4)()222,22a b a b a b R ++??≥∈ ??? . 三.跟踪训练 1.下列各函数中,最小值为2的是 ( ) A .1y x x =+ B .1sin sin y x x =+,(0,)2x π∈ C .2 y = D .1y x =+ 2.当02x π <<时,函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值是( )。 A. 1 B. 2 C. 4 D. 3.x >0,当x 取什么值,x +1x 的值最小?最小值是多少? 4.用20cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形,应该怎样折? 5.一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园,墙长18m,这个矩形的长,宽各为多少时,花园的面积最大?最大面积是多少? 6.设0,0x y >>且21x y +=,求11x y +的最小值是多少? 7.设矩形ABCD(AB>AD)的周长是24,把?ABC沿AC向?ADC折叠,AB折过去后交CD与点P,设AB=x ,求?ADP的面积最大值及相应x 的值 人教版必修五《不等式》单元测试题 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分) 1.不等式x 2≥2x の解集是( ) A .{x |x ≥2} B .{x |x ≤2} C .{x |0≤x ≤2} D .{x |x ≤0或x ≥2} 2.下列说法正确の是( ) A .a >b ?ac 2>bc 2 B .a >b ?a 2>b 2 C .a >b ?a 3>b 3 D .a 2>b 2?a >b 3.直线3x +2y +5=0把平面分成两个区域,下列各点与原点位于同一区域の是( ) A .(-3,4) B .(-3,-4) C .(0,-3) D .(-3,2) 4.不等式x -1 x +2 >1の解集是( ) A .{x |x <-2} B .{x |-2 高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°-(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b 高中数学必修五-不等式知识点精炼总结 4.公式: 3.解不等式 (1)一元一次不等式 3.基 本不等式定理 ? ?? ? ? ??????? ? ?????????????????-≤+?<≥+?>≥+ ??? ????+≤+≥+?? ?? ???????? ?+≤??? ??+≤+≥+≥+2a 1a 0a 2a 1a 0a b ,a (2b a a b )b a (2b a ab 2 b a 2b a ab 2b a ab )b a (2 1b a ab 2b a 2 22222 2 222倒数形式同号)分式形式根式形式整式形 式11 22a b a b --+≤≤≤+???? ? <<>> ≠>)0a (a b x )0a (a b x )0a (b ax 2.不等式的性质:8条性质. (2)一元二次不等式: +bx+c x 1 x 2 x y O y x O x 1 y x O 一元二次不等式的求 解流程: 一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. (3)解分式不等式: 高次不等式: (4)解含参数的不等式:(1) (x – 2)(ax – 2)>0 (2)x 2 – (a +a 2)x +a 3>0; (3)2x 2 +ax +2 > 0; 注:解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有: 1、讨论a 与0的大小; 2、讨论⊿与0的大小; 3、讨论两根的大小; 二、运用的数学思想: 1、分类讨论的思想; 2、数形结合的思想; 3、等与不等的化归思想 (4)含参不等式恒成立的问题: ??????????≠≤??≤>??>0)x (g 0)x (g )x (f 0) x (g )x (f 0)x (g )x (f 0)x (g ) x (f 0 )())((21>---n a x a x a x Λ高中数学必修5基本不等式知识点总结
必修五不等式单元测试题
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