给出下列命题：
①向量AB 的长度与向量BA
的长度相等.
②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反. ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同. ④零向量与任意数的乘积都为零.
其中不正确命题的序号是 . 【错解】④
【错因分析】解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．
【试题解析】①AB 与BA
是相反向量、模相等，正确；②由零向量的方向是任意的且与任意向量平行，不正确；③相等向量大小相等、方向相同，又起点相同，则终点相同，正确；④零向量与任意数的乘积都为零向量，不正确，故不正确命题的序号是②④. 【参考答案】②④
解决向量的概念问题应关注六点：
（1）正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. （2）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. （3）共线向量即平行向量，它们均与起点无关.
相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量.
（4）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.
（5）非零向量a 与
||a a 的关系：||
a a 是a 方向上的单位向量. （6）向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小.
1．设a 0为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.上述命题中，假命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】D
【解析】向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相等，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.故选D.
易错点2 忽视平行四边形的多样性失误
已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（－1，0），（3，0），（1，－5），求第四个顶点的坐标.
【错解】设A （－1，0），B （3，0），C （1，－5），D （x ，y ），∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB =DC
，
又∵AB =（4，0），DC =（1－x ，－5－y ），∴145=0
x y -=--???，解得x =－3，y =－5，∴第四个顶点的坐标为
（－3，－5）.
【错因分析】此题的错解原因为思维定势，错误的认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现了漏解.实际上，题目的条件中只给出了平行四边形的三个顶点，并没有给出相应的顺序，故可能有三种不同的情形.
【试题解析】如图所示，设A （－1，0），B （3，0），C （1，－5），D （x ，y ）. ①
若四边形ABCD 1为平行四边形，则1AD =BC ，而1AD
=
（x ＋1，y ），BC
=（－2，－5）.
由1AD =BC ，得+2=51y x =--???，∴=5
3
x y =--???，∴D 1（－3，－5）.
②
若四边形ACD 2B 为平行四边形，则AB =2CD .而AB
=
（4，0），2CD
=（x －1，y ＋5）.
∴+=1+045x y -=??
?，∴=55
x y =-???
，∴D 2（5，－5）.
③若四边形ACBD 3为平行四边形，则3AD =CB .而3AD =（x ＋1，y ），CB =（2，5），∴1+=52y x =???，∴=51y x =???
，
∴D 3（1，5）.
综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为（－3，－5）或（5，－5）或（1，5）.
1．要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系，向量的终点坐标减去起点坐标就是向量坐标，当向量的起点是原点时，其终点坐标就是向量坐标．
2．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
3．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1
y 2
，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应
表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.
2．已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________． 【答案】(2,4)
【解析】∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴2DC AB = ，设点D 的坐标为(x ，y )，则DC
＝
(4－x ,2－y )，AB
＝(1，－1)，
∴(4－x ,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x ,2－y )＝(2，－2)， ∴4222x y -=??
-=-?，解得2
4
x y =??=?.
故点D 的坐标为(2,4)．
错点3 忽视两向量夹角的范围
已知向量(1,2),(,1)x ==a b
（1）若,<>a b 为锐角，求x 的取值范围； （2）当(2)(2)+-⊥a b a b 时，求x 的值.
【错解】（1）若,<>a b 为锐角，则0?>a b 且,a b 不同向.
20x ?=+>a b ，∴2x >-.
（2）由题意，可得2(12,4),(2)(2,3)x x +=+-=-a b a b ， 又(2)(2)+-⊥a b a b ，
(21)(2)340x x +-+?=，
即2
23140x x -++=，
解得7
2
x =
或2x =-. 【错因分析】（1）利用向量夹角公式即可得出，注意去掉同方向情况； （2）利用向量垂直与数量积的关系即可得出．.
【试题解析】（1）若,<>a b 为锐角，则0?>a b 且,a b 不同向.
20x ?=+>a b ，∴2x >-.
当12x =
时，,a b 同向,1
22
x x ∴>-≠且.
即若,<>a b 为锐角，x 的取值范围是{x |2x >-且12
x ≠
}. （2）由题意，可得2(12,4),(2)(2,3)x x +=+-=-a b a b ， 又(2)(2)+-⊥a b a b ，
(21)(2)340x x +-+?=，
即223140x x -++=， 解得7
2
x =
或2x =-. 【参考答案】（1）{x |2x >-且12x ≠
}；（2）72
x =或2x =-.
1.两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．
2.两向量夹角的范围为[0，π]，特别地当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π.
3.在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．
3．若非零向量a ，b 满足|a |=
b |，且（a －b ）⊥（3a ＋2b ），则a 与b 的夹角为
D.π
【答案】A
【解析】∵（a －b ）⊥（3a ＋2b ），∴（a －b ）·（3a ＋2b ）=0?3|a |2－a ·b －2|b |2=0?3|a |2－|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉－2|b |2=0；
又∵|a b |，∴83|b |2|b |2
cos 〈a ，b 〉－2|b |2=0.
∴cos 〈a ，b 〉
的三边所对应向量的夹角时，要注意是三角形的内角还是外角．如在等边三角形. 易错点4 三角形的“四心”的概念混淆不清
已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足
+(+)
OP OA AB AC λ=
，λ∈（0，＋∞），则点P 的轨迹一定通过ABC △的 A ．内心 B ．外心 C ．重心
D ．垂心
【错解】A
【错因分析】对三角形“四心”的意义不明，向量关系式的变换出错，向量关系式表达的向量之间的相互位置关系判断错误等.
【试题解析】由原等式，得OP OA - =(+)AB AC λ ，即AP =(+)AB AC λ
，
根据平行四边形法则，知+AB AC 是ABC △的中线AD （D 为BC 的中点）所对应向量AD
的2倍，
所以点P 的轨迹必过ABC △的重心，故选C.
【参考答案】C
三角形的“四心”与平面向量
1. 重心. 若点G 是ABC △的重心，则+=GA GB GC + 0或1(+)3
PG PA PB PC =+
（其中P 为平面内任意
一点）.反之，若+=GA GB GC +
0，则点G 是ABC △的重心. 2. 垂心. 若H 是ABC △的垂心，则==HA HB HB HC HA HC ??? 或222222
==HA BC HB AC HC AB +++ .反之，若==HA HB HB HC HA HC ???
，则点H 是ABC △的垂心.
3. 内心. 若点I 是ABC △的内心，则有||+||+||BC IA AC IB AB IC ???
=0.反之，若||+||+||BC IA AC IB AB IC ???
=0，则点I 是ABC △的内心.
4. 外心. 若点O 是ABC △的外心，则()()()OA OB AB OB OC BC OA OC AC +?=+?=+?
=0或||||||OA OB OC == .反之，若||||||OA OB OC ==
，则点O 是ABC △的外心.
4．G 是ABC △的重心，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若aGA bGB +=0
，则角A =
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
【答案】D
【解析】因为G 是ABC △的重心，所以有GA GB GC ++=0 .又aGA bGB +=0 ，所以a ∶
b ∶
33c ＝1∶1∶1，设c ＝3，则有a ＝b ＝1，由余弦定理可得，cos A ＝1＋3－123
＝3
2，所以A ＝30°，故选D.
向量与三角形的交汇是高考常见题型，解题思路是用向量运算进行转化，化归为三角函数问题或三角恒等变形问题或解三角形问题．
一、平面向量的概念及线性运算
1．向量的有关概念
2．向量的线性运算
3．共线向量定理及其应用
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得b=λa.
[提醒]限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性．
二、平面向量基本定理及坐标表示 1.平面向量基本定理
如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a =λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a =x i ＋y j ，这样，平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定，我们把（x ，y ）叫做向量a 的坐标，记作a =（x ，y ），其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标. 3.平面向量的坐标运算 （1）向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）.
（2）向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ＋b =（x 2+x 1，y 2+y 1），a －b =（x 1－x 2，y 1－y 2），λa =（λx 1，λy 1），
|a |=
|a ＋b （3）平面向量共线的坐标表示
设a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1=0. （4）向量的夹角
已知两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB
=b ，则∠AOB =θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角.如果向
量a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 三、平面向量的数量积 1.平面向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a =0. （2）几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 2.平面向量数量积的运算律 （1）a ·b =b ·a （交换律）.
（2）λa ·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）（结合律）. （3）（a ＋b ）·c =a ·c ＋b ·c （分配律）. 3.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），θ为向量a ，b 的夹角. （1）数量积：a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2＋y 1y 2. （2）模：|a
（3）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则A ，B 两点间的距离|AB |=||AB
（4）夹角：cos θ=
||||??a b a b
.
（5）已知两非零向量a 与b ，a ⊥b ?a ·b =0?x 1x 2＋y 1y 2=0，a ∥b ?a ·b =±|a ||b |. （6）|a ·b |≤|a ||b |（当且仅当a ∥b 时等号成立）?|x 1x 2＋y 1y 2
|a
|=
|a ＋b
四、平面向量的应用 1.向量在平面几何中的应用 若a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），
（1）a ∥b ?a =λb （b ≠0）?x 1y 2－x 2y 1=0. （2）a ⊥b ?a ·b =0?x 1x 2+y 1y 2=0. （3）cos θ=
||||??a b a b
.
2.向量在三角函数中的应用
向量与三角的交汇是高考常见题型，解题思路是用向量运算进行转化，化归为三角函数问题或三角恒等变形问题或解三角形问题. 3.向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，主要是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答. 4.向量在物理中的应用
物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解、合成与向量的加减法相似，因此可以用向量的知识来解决某些物理问题.
1．向量,则 A ．6 B ．5 C ．1
D ．
2．已知平面向量a ,b 的夹角为,则
A ．2
B ．
C ．2
D ．
3．已知，若
，则 A ． B ． C ．
D ． 4．已知向量
,且
,那么的值为 A ． B ． C ．
D ．
5．（2017年高考北京卷）设m ,n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0
D ．既不充分也不必要条件
6．双曲线
的左，右焦点分别为，，为右支上一点，且
，则双曲线
的离心率为 A ．3 B ．5 C ．
D ．
7．已知向量，，则在方向上的投影为 A ．
B ．8
C ．
D ．
8．在ABC △中，
是线段的三等分点，则的值为
A ．
B ．
C ．
D ．
9．如图，在ABC △中，点在
边上，且，点在边上，且，则用向量表
示
为
A ．
B ．
C ．
D ．
10．（2017年高考浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交
于点O ，记1·I OAOB = ，2·I OBOC = ，3·I OC OD =
，则
A ．123I I I <<
B ．132I I I <<
C ．312I I I <<
D ．213I I I <<
11．（2017新课标II 理）已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()
PA PB PC ?+
的最小值是 A ．2- B ．3
2
-
C ． 43
-
D ．1-
12．（2017新课标Ⅲ理）在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若
AP AB AD λμ=+
，则λμ+的最大值为
A ．3
B ．
C
D ．2
13．平面向量满足
，且||=2，||=4，则与的夹角等于___________． 14．已知向量
，如果∥a b ，那么
的值为___________．
15．（2017新课标I 理）已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________．
16．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA ?= ，1BF CF ?=-
，
则BE CE ?
的值是___________．
17．（2017年高考天津卷）在ABC △中，60A =?∠，3AB =，2AC =．若2BD DC = ，AE AC λ=-
()AB λ∈R ，且4AD AE ?=-
，则λ的值为___________．
18．在Rt ABC △中，是ABC △内一点，且
，若，
则
的最大值为___________．
19．（2017年高考山东卷）已知12,e e 12-e 与12λ+e e 的夹角为60?，则实数
λ的值是___________．
20．（2017年高考浙江卷）已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是___________，最大值是___________．
21．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA 与OC 的夹
角为α，且t a n α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若O C m O A n O B =+
(,)m n ∈R ，则m n += ．
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