Schur 引理与正规矩阵
定义：设，若存在使得
,()n n
n n
A B C
R
××∈或n n
U U
×∈()n n
×或E 1
1
()
H
T
U AU U AU B U AU U AU B ??====或则称酉相似或正交相似于.
A B ()定理任何一个酉相似A (Schur 引理)：任何个阶复矩阵于一个上(下)三角矩阵。
n
证明1A A A 1k ?证明：用数学归纳法。的阶数为1 时定理显然成立。现设的阶数为时定理成立，考虑时的情况
取阶矩阵的一个特征值，对应的单位特征构造以k A 1λk 的阶数为时的情况。向量为，构造以为第一列的阶酉矩阵，
k 1α1α]
112[,,,k U ααα="]"112112[,,,[,,,]
k k AU A A A A A αααλααα=="因为构成的一个标准正交基，
12,,,k ααα"k
C
令
1k k
U U ×??=∈?
那么
2W ??
?b b λ?12110
k H H U ???21121
U U AU R ??=
??#0
????
[] is upper Hessenberg if 0 for 1.
ij ij A a a i j ==?>
H H
AA A A
=那么称矩阵为一个正规矩阵.A 那称矩阵为个规矩阵n n
A R
×∈A 设, 如果同样满足T T
AA A A
=H
H
AA A A
=即
,
A 那么称矩阵为一个实正规矩阵.
11?????例: (1) 为实正规矩阵。
1
1??
a b c
d ??(2)
b a
d c ????c d a b ??
????
d c
b a ??
???
?
,,,a b c d 其中是不全为零的实数, 容易验证这是个一个实正规矩阵.
43462i
i i +????(3)
443261i i i ????????6226i i +??????
是一个正规矩阵.
(4) H-阵, 反H-阵, 正交矩阵, 酉矩阵, 对角矩
阵都是正规矩阵.
现场质量管理与突破性快速改善 课程目标： 建立品质稳定的现场及快速突破性改善的团队和机制，通过系统化改善大幅度降低运营成本。参加人员： 生产现场管理人员、质量经理/主管、项目/质量/工艺工程师等。 课程大纲： 第一天9：00~16：30 ●第1讲:标准化作业 ●现场质量管理的基本要义 ?问题提出与团队组建 自我介绍/分组 ?培训目标及要求 团队突破训练 ?制造业的微笑曲线与痛苦指数 ?现场控制的指标意义 ?中美日制造现场管理比较 ?现场管理四层修炼 观看优秀现场录像 ?卓越现场管理7要点 ?回答学员问题 提问及回答老师问题 ●标准作业的意义与基本要求 ?如何减少员工随意操作带来的浪费及品质风险 ?如何减少对员工经验的依赖及流动风险 ?如何科学设计作业程序以减少劳动强度并提升效率 ?标准化与持续改进 ●标准化作业 ?标准作业的SMART原则 ?标准作业三票 ?SIP的要点与要求 ●培训的标准化 ?作业培训标准化要求 第二天9：00~16：30 ●第3讲:制造过程监控与审核 ●制造过程监控 ?对KPC的预控制 ?X-R控制图 ?过程能力分析与改善 ?KCC的识别与确定 ?KCC监控与数据分析 提问及回答老师问题 ●制造过程审核 ?墨菲定律 ?分层审核的目的/策略及要点 ?过程审核方法及要点 ?分层审核与过程审核的综合运用 分组练习1 ●第4讲:不合格品控制(S.I.R) ●不合格品与可疑品 ?定义不合格品与可疑品的方法及 意义 ?不合格品与可疑品的发生与发现 ●不合格品隔离/评审与处臵 ?不合格品隔离方法 ?不合格品快速评审 ?不合格品处臵方式及跟踪 ●废品率降低与质量成本分析 ?废品率的统计/分类与分析 ?质量损失统计/分析方法及结果应 用 提问及回答老师问题 第三天9：00~16：30 ●第6讲:质量问题快速根除 ●线索生成 ?如何利用现场数据迅速发现问 题的时空规律并选用最佳解决工具 ?对于长期存在的老大难问题, 如何运用4步拆装法迅速判定问题是 由哪些零件引起的，还是装配过程中 的失误造成的 ?对于零件制造过程中的问题, 如何快速问题是由哪些过程参数造成 的,还是材料或加工方法造成的 ?对于铸造/热处理/焊接/喷涂/玻 璃制造等特殊过程，如何锁定重要过 程参数以及最佳作业条件(水平) 分组讨论2 ●线索确认 ?经过前轮筛选，无论存在多少 可疑因子，如何快速确定问题的真正 原因以及最佳解决方法 ?当问题尚处于开发(样品或试 生产)阶段，如何从根源上有效解决 ●效果验证 ?如何用最小样本及臵信度验证 问题的真因及改善效果 分组练习3 ●第7讲:现场质量管理经验库 ●经验库的建立 ?经验库是一切改善的起点和终
矩阵分析及其应用 3.1 矩阵序列 定义3.1 设矩阵序列{A (k)},其中A (k)=() (k ij a )∈C m ?n ,当k →∞， )(k ij a →a ij 时，称矩阵序列{A (k)}收敛，并称矩阵A=(a ij )为矩 阵序列{A (k)}的极限，或称{A (k)}收敛于A, 记为 A A k k =∞ →)(lim 或 A (k)→ A 不收敛的矩阵序列称为发散的。 由定义，矩阵序列A (k) 发散的充要条件为存在ij 使 得数列) (k ij a 发散。 类似地，我们可以定义矩阵收敛的Cauchy 定义 定义3.1' 矩阵序列{A (k)}收敛的充要条件为 对任给ε>0 存在N(ε), 当 k , l ≥ N(ε) 时有 ||A (k)-A (l )|| < ε 其中||.||为任意的广义矩阵范数。 例1 ???? ? ? ??- =∑=-n k n n k k e n n 12) ()sin()1sin(11A 如果直接按定义我们因为求不出A (n )的极限从而 很难应用定义3.1证明收敛。 相反，由于∑∑∑+=+=+=-≤≤n m k n m k n m k k k k k k 112 1 2 ) 1(1 1 ) sin( < 1/m 从而只要l 充分大，则当m, n > l 时就有 ε≤∑ +=n m k k k 1 2 ) sin( 这样A (l ) 收敛。 定理3.1 A (k)→ A 的充要条件为 ||A (k) -A||→0 证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对∞范数可以证明。 即 c 1 ||A (k) -A||∞ ≤ ||A (k) -A||≤ c 2 ||A (k) -A||∞ 性质0 若A (k)→ A ， 则 ||A (k)|| → ||A|| 成立。
矩阵分析及其应用 3.1矩阵序列 定义3.1设矩阵序列｛应)｝,其中A?)=(#))￡Cms,当k—oo, 佝时，称矩阵序列｛A00｝收敛，并称矩阵A=(佝)为矩阵序列｛A00｝的极限,或称｛A00｝收敛于A,记为lim A a)= A或A,k)-> A ks 不收敛的矩阵序列称为发散的。 由定义，矩阵序列A(k)发散的充要条件为存在ij使 得数列站发散。 类似地，我们可以定义矩阵收敛的Cauchy定义 定义31矩阵序列｛A00｝收敛的充要条件为 对任给￡>0存在N(E),当k,l> N(E)时有 IIA(k)-A(/)ll < ￡ 其中11.11为任意的广义矩阵范数。 例 1 A(n) e~n sin(-) n y，sin(R) k=l K 7 如果直接按定义我们因为求不出A㈤的极限从 而很难应用定义3.1证明收敛。 相反，由于t^< t^< v 1/m 从而只要/充分大，则当m, n > /时就有 n z sin(A) 这样A")收 定理3.1 A(k)->A的充要条件为 HA'10-AII T O 证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对co范数可以证明。 即ci IIA(k) -AIL < IIA(k) -All< c2 IIA(k) -AIL
性质 1.设A(k,—> A mxn, B,k,—> B mxn>则 a- A(k)+P ? B(k) -> a- A+P B, V a,PeC 性质2.设A(k)—> A mxn, B,k)—> B nx/,则 A(k)由如一A B 证明：由于矩阵范数地等价性，我们E以只讨论相容的 矩阵范数。 IIA(k).B(k)-A-BII < II A(k) -B(k) -A-B(k)ll+IIAB(k)- A-BII 中科院矩阵分析与应用大作业 按照上面建立函数文件，脚本文件。名字不要随便改，要改的话要同内部函数名一起修改。下面放代码，总共七段代码，第一个是主程序进行人机交互，其余为接口函数实现矩阵的各个分解功能。另外容我小小的收点下载券，毕竟花了大概8小时左右。 %%矩阵分解：LU分解；QR分解(schmidt)；Householder；Givens %%2016.11.22 clc,clear all; Matrix=input('请输入需要进行分解的矩阵：'); disp('请选择需要对矩阵进行的操作:'); disp('1.LU分解');disp('2.QR分解'); disp('3.Householder约简');disp('4.Givens约简'); n=input(''); clc;%清除命令窗口内容 Matrix%显示输入矩阵 %%分解操作 switch n case1 LUfactor(Matrix);%LU分解 case2 QR(Matrix);%QR分解 case3 houseHolder(Matrix);%householder约简case4 Givens(Matrix);%Givens约简 end function LUfactor(A) [m n]=size(A); %判断矩阵是否为方阵 if m~=n error('矩阵非方阵，请重新输入！'); end %判断矩阵是否奇异 if det(A)==0 error('矩阵奇异，请重新输入！'); end %判断矩阵顺序主子式是否全不为0 n=size(A,1); flagMat=zeros(n,1); for i=1:n if det(A(1:i,1:i))==0 flagMat(i)=1; end end %以顺序主子式是否含0来决定采用的LU分解方式if any(flagMat)==0 disp('顺序主子式均不为0，采用A=LU'); disp('***LU分解结果***') [L U]=LUFull(A) else disp('顺序主子式存在0，采用PA=LU'); disp('***LU分解结果***') [L U P]=LUPart(A) end中科院矩阵分析与应用大作业
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