《第23章 二次函数(23.6反比例函数)》测试卷
（时间：60分钟 满分：100分） 姓名 得分
一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分） 1．反比例函数x
k y 3
+=
的图象在二、四象限，则k 的取值范围是（ ） A ．k ≤3 B ．k ≥-3 C ．k ＞3 D ．k ＜-3. 2．反比例函数1
k y x
-=的图象在每个象限内，y 随x 的增大而减小，则k 的值可为（ ） A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
3．已知2)1(-+=m x m y 是反比例函数，则函数图象在（ ）
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、二象限
D.第三、四象限
4．如图，过双曲线y ＝k
x
(k 是常数，k ＞0，x ＞0)的图象上两点A 、B 分别作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则△AOC
的面积S 1和△BOD 的面积S 2的大小关系为（ ）
A ．S 1>S 2
B ．S 1＝S 2
C ．S 1
D ．S 1和S 2的大小无法确定 5．如图，P 是反比例函数图象在第二象限上的一点，且矩形PEOF 的面积为8，则反比例函数的表达式是（ ）
A ．x y 4-=
B ．x y 4=
C ． x
y 8= D ．x y 8-=
(第4题) (第5题)
6．在同一平面直角坐标系中，一次函数1-=kx y 与反比例函数x
k
y =
（其中0≠k ）的图象的形状大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．若M （－1，y 1），N （1，y 2），P （2，y 3）三点都在函数y= k
x （k ＜0）的图象上，则y 1，y 2，y 3，的大小关系
为（ ）
A ．y 1 ＞y 2＞y 3 B.y 1＞y 3＞y 2 C ．y 3 ＞y 1＞y 2 D.y 3＞y 2＞y 1
8.反比例函数)0(>=
k x
k
y 在第一象限内的图像如图，点M 是图像上一点，MP 垂直x 轴于点P ，如果△MOP 的面积为1，那么k 的值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．2
1 9. 如图所示，过双曲线x
y 2
=
上两点A 、B 分别作x 轴、y 轴的垂线，若矩形ADOC 与矩形BFOE 的面积分别为S 1、S 2，则S 1与S 2的关系是（ ）
A. S 1＜S 2
B. S 1=S 2
C. S 1＞S 2
D. 不能确定 10．正比例函数y=－x 与反比例函数x
y 1
-
=的图象相交于A 、C 两点。AB ⊥x 轴于B ， CD ⊥y 轴于D(如图)，则四边形ABCD 的面积为（ ） A.1 B.
3
2
C.2
D.52
(第8题) (第9题) (第10题)
二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分） 11.若反比例函数k
y x
=
的图象经过点（－2，3），则这个反比例函数的表达式为__________。 12.
若点在反比例函数)0(≠=k x
k
y 的图象上，则=k __________。
13．已知y 与x 成反比例，并且当x ＝2时，y ＝－1，则当y=3时，x 的值是__________。 14.当m=______ ____时，函数2
2
(1)m
y m x -=+是反比例函数。
三、解答下列各题（第15题8分，其余每小题10分，满分58分） 15．反比例函数x
k
y =
的图象经过点A(2 ，3)， ⑴求这个函数的解析式；
⑵请判断点B(1 ，6)是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由。
16．如图，点A （m ，m ＋1），B （m ＋3，m －1）都在反比例函数x
k
y =
的图象上。
（1）求m ，k 的值；
（2）求直线AB 的函数表达式。
17．若反比例函数的图象经过（1，3）点。 （1）求该反比例函数的解析式；
（2）求一次函数y=2x+1与该反比例函数的图象的交点坐标。
18．甲、乙两地相距100千米，一辆汽车从甲地开往乙地，将汽车由甲地到达乙地所用的时间t （小时）表示为汽
车速度v （千米/小时）的函数，并画出函数的图象。
19．如图，已知反比例函数x
y 1
的图像上有一点P ，过点P 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，使四边形OAPB 为正方形。又在反比例函数的图像上有一点P 1，过点P 1分别作BP 和y 轴的垂线，垂足分别为A 1、B 1，使四边形BA 1P 1B 1为正方形，求点P 和点P 1的坐标。
20．两个反比例函数k y x =
和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1
y x =
的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1
y x
=的图象于点B ，当点P 在k y x =的图象上运动时，以下结论：
①△ODB 与△OCA 的面积相等；
②四边形PAOB 的面积不会发生变化； ③PA 与PB 始终相等；
④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．
其中一定正确的结论有哪几个？对正确的结论要说明理由！
《第23章 二次函数(23.6反比例函数)》答案
一、选择题
1．D ； 2.D ； 3.A ； 4.C ； 5.D ； 6.C ； 7.B ； 8.B ； 9.B ； 10.C 。 二、填空题：
k y x
=
1y x
=
11. 6y x =-
； 12. －3； 13．3
2
-； 14. 1 。 三、解答题： 15．解：⑴x y 6=
；⑵点B(1 ，6)在这个反比例函数x
y 6
=的图象上。 16．解：（1）由题意可知，()()()131-+=+m m m m ，解得 m ＝3。
∴ A （3，4），B （6，2）；
∴ k ＝4×3=12。 （2）63
2
+-
=x y 。 17．(1) y=
x 3；(2)(1，3)，(-23
，-2)。 18．解：由t=s v ，s ＝100千米，得t=100v （v>0）。用描点法画出函数t=100
v
的图象。如图：
19．点P 的坐标是（1，1），点P 1的坐标是)2
1
5,215(+-。 20．其中一定正确的结论有①、②、④。
①△ODB 与△OCA 的面积相等都为
2
1； ②四边形PAOB 的面积不会发生变化为k －1；
④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点。连结OP ，说明△OBD 与△OBP 面积相等。
2 12.2 一次函数 专题一 一次函数解析式的确定（附答案） 1.如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标为A （－2,4），B （4，2），直线y =kx -2与线段AB 有交点，则k 的值可 能是（ ） A.-5 B.-2 C.3 D. 5 2.小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作： 请根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球量筒中水面升高_______cm ； （2）求放入小球后量筒中水面的高度y （cm ）与小球个数x （个）?之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？ 专题二 一次函数中的开放性问题 3. “一根弹簧原长10cm,在弹性限度内最多可挂质量为5kg 的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比， ，则弹簧的总长度y （cm ）与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式是y =10+0.5x (0≤x ≤5).” 王刚同学在阅读上面材料时就发现部分内容被墨迹污染，被污染部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是： （只需写出一个）． 4.阅读函数图象,并根据你所获得的信息回答问题： (1)折线OAB 表示某个实际问题的函数图象,请你编写一道符合图象意义的应用题; (2)根据你所给出的应用题分别指出x 轴,y 轴所表示的意义,并写出A ,B 两点的坐标; (3)求出图象AB 的函数解析式,并注明自变量x 的取值范围． y x B
专题三一次函数中的实验操作题 5.在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度． （1）实验操作： 在平面直角坐标系中描出点P从点O出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中： 任一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数的图象上；平移2次后在函数的图象上……由此我们知道，平移n次后在函数的图象上．（请填写相应的解析式）（3）探索运用： y 上的点Q，且平移的路径长不小于点P从点O出发经过n次平移后，到达直线x 50，不超过56，求点Q的坐标． 【知识要点】 1.函数y=kx+b(k≠0)叫做一次函数,当b=0时,叫做正比例函数. 2.一次函数y=kx+b的图象是一条直线,其位置是由k和b来确定的.只要知道一次函数图象两个点的坐标,就可以画出该函数的图象. 3.一次函数y=kx+b有下列性质:当k＞0时,y随着x的增大而增大(图象是自左向右上升的).当k＜0时,y随着x的增大而减小(图象是自左向右下降的). 4.求一次函数的解析式常用的方法是待定系数法. 【温馨提示】 1.弄清一次函数和正比例函数的关系,正比例函数是一次函数的特殊情形,即正比例函数是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数. 2.一次函数的性质可借助函数的图象直观得到,注意“数形结合”思想的合理利用. 3.确定一次函数解析式的基本方法是待定系数法,其实质是二元一次方程组知识的应用.除此以外,还可以根据题目所给基本数量关系或数学公式列出一次函数的解析式. 【方法技巧】 1.直线y=kx+b的位置是由k和b的符号决定的,其中k决定直线从左到右是呈上升趋势还是下降趋势,b决定直线与y轴的交点位置. 2.用待定系数法求函数解析式的一般步骤是:(1)设含有待定系数的函数解析式;(2)把已知条件代入解析式,得到关于待定系数的方程(组);(3)解方程(组),得到待定系数;(4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式.
练习4 反比例函数 一．选择题 1．已知反比例函数2 y x =-，则该反比例函数的图象经过哪几个象限( ) A ．一、二象限 B ．一、三象限 C ．二、三象限 D ．二、四象限 【解答】解：反比例函数2 y x =-中20k =-<， ∴图象位于二、四象限， 故选：D ． 2．已知点(4,)A m -，1 (2 B -，)n 都在反比例函数2y x =的图象上，则m 与n 的大小关系是( ) A ．m n > B ．m n < C ．m n = D ．不能确定 【解答】解：20k =>， ∴函数的图象在一、三象限， 根据函数性质，函数在一、三象限y 随x 的增大而减小， 1 42-<-， m n ∴>， 故选：A ． 3．若反比例函数(0)k y k x =≠的图象经过点(2,5)-，则这个函数的图象一定经过点( ) A ．(5,1)- B ．1 (5 -，2) C ．(2,5)-- D ．1 (2 ，20)- 【解答】解：把(2,5)-代入k y x =得：52 k =-， 解得：10k =-， 即10y x =- ， A ．把(5,1)-代入10y x =- 得：左边≠右边，即一次函数10 y x =-的图象不经过点(5,1)-，故本选项不符合题意；
B ．把1(5-，2)代入10y x =-得：左边≠右边，即一次函数10 y x =-的图象不经过点1(5-，2)，故本选项不 符合题意； C ．把(2,5)--代入10y x =- 得：左边≠右边，即一次函数10 y x =-的图象不经过点(2,5)--，故本选项不符合题意； D ．把1(2，20)-代入10y x =-得：左边≠右边，即一次函数10y x =-的图象经过点1 (2 ，20)-，故本选项符 合题意； 故选：D ． 二．填空题 4．如图，一次函数36y x =-+与反比例函数(0)k y k x =>交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作x 轴、y 轴的平行线交于点C ，连结OC 交AB 于点D ．当ADO ?是BDC ?面积的2倍时，则k 的值是 ． 【解答】解：过A 点作//AH y 轴交OC 于点H ，CB 与x 轴交点为M ， //AC x 轴，//BC y 轴， ∴四边形OACM 是矩形， 设A 、B 两点横坐标为a 、b ， 一次函数36y x =+与反比例函数(0)k y k x =>交于A ，B 两点， 36A k y a a ∴= =-+，36B k y b b ==-+， C ∴的坐标为(,)k b a ， k BM b ∴= ，k k BC CM BM a b =-=-，直线OC 的解析式为k y x ab =， //AH y 轴交OC 于点H ，
二次函数中常见图形的的面积问题 1、说出如何表示各图中阴影部分的面积？ 2、抛物线 322 +--=x x y 与x 轴交与A 、B （点A 在B 右侧），与y 轴交与点C ， D 为抛物线的顶点，连接BD ，CD ， （1）求四边形BOCD 的面积. （2）求△BCD 的面积.（提示：本题中的三角形没有横向或纵向的边，可以通过添加辅助线进行转化，把你想到的思路在图中画出来，并选择其中的一种写出详细的解答过程） 图五 图四 图六 图二 图一 图三
3、已知抛物线4 2 12 --= x x y 与x 轴交与A 、C 两点，与y 轴交与点B ， （1）求抛物线的顶点M 的坐标和对称轴； （2）求四边形ABMC 的面积. 4、已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点D 的坐标； （3）求四边形ADBC 的面积. 5、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-2,0)，B(0,4)，C(2,4)三点，且与x 轴的另一个交点为E 。 （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点D 的坐标和对称轴； （3）求四边形ABDE 的面积.
6、已知二次函数322--=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为P. （1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法； （2）求A 、B 、C 、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积； （3）在抛物线上（除点C 外），是否存在点N ，使得ABC NAB S S ??=, 若存在，请写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由。 变式一：在抛物线的对称轴上是否存点N ，使得ABC NAB S S ??=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在， 请说明理由. 变式二：在双曲线3 y x = 上是否存在点N ，使得ABC NAB S S ??=，若存在直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由.
．（，．（，） ．向上平移个单位D．向下平移个单位 颍上五中八年级数学国庆周末卷 （本卷满分 150 分，时间 120 分钟） 温馨提示：祝大家度过一个快乐、愉悦的国庆假期，同时也要按时完成假期 作业 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 请 1. 若点A（2，4）在函数y =kx - 2 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（）． 不A．（0，-2 ） B 3 0）C．（8，20） D 1 1 A. （-5，6） B. （1，2） C. （-5，2） D.（1，6） 9．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生 故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍 保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的 路程 y （千米）与行进时间 t（小时）的函数图象的示意图，同学们画 出的图象如图所示，你认为正确的是（） 2 2 2 要 2.变量x,y 有如下关系：①y=x-2②y= - 5 ③y=3x④y2=8x.其中y 是x 的正比例函数的是 x 在 A. ①②③④ B. ②③④ C. ②③ D. ③ 3. 若一次函数y=（2﹣m）x﹣2 的函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（） 密 A．m＜0 B．m＞0 C．m＜2 D．m＞2 封 4.如果通过平移直线y =x 得到y =x + 5 的图象，那么直线y =x 必须（）． 10.某电视台积极响应党的群众路线教育实践活动，“走基层”栏目组乘 汽车赴 360km 外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公 路，若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的 路程 y（单位:km）与时间玖单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正 确的是（） 3 3 3 线A．向上平移5 个单位B．向下平移5 个单位 C 5 5 内 3 3 5.已知等腰三角形的周长为 20cm，将底边长 y（cm）表示成腰长 x（cm）的函数解析式为 答y = 20 - 2x ，则其自变量x 的取值范围是（） 题A．0＜x＜10 B．5＜x＜10 C．一切实数D．x＞0 6.若一次函数y=（3-k）x-k 的图象经过第二、三、四象限，则k 的取值范围是（） A．k>3 B．0 《二次函数》教案 教学目标 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系. 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式. 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围. 4、会用待定系数法求二次函数的解析式. 教学重点 二次函数的概念和解析式． 教学难点 利用条件构造二次函数． 教学设计 一、创设情境，导入新课. 问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才能使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题) 二、合作学习，探索新知. 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)面积y(cm2)与圆的半径x(cm). (2)王先生存人银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为12cm，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x(cm)种植面积为y(cm2). x 教师组织合作学习活动： 先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式. 上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨. (1)y =πx 2 (2)y =2000(1+x )2=20000x 2+40000x +20000 (3)y =(60-x -4)(x -2)=-x 2+58x -112 上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法. 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的形式. 板书：我们把形如y =ax 2+bx +c (其中a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数． 称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项. 请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项． 做一做 1、下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y =(2)21x y -=(3)122--=x x y (4))1(x x y -= (5))1)(1()1(2 -+--=x x x y 2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)12+=x y (2)12732-+=x x y (3))1(2x x y -= 3、若函数m m x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为______________. 三、例题示范，了解规律. 例、已知二次函数q px x y ++=2 当x =1时，函数值是4；当x =2时，函数值是-5.求这个二次函数的解析式. 此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，强调书写格式和思考方法. 练习：已知二次函数c bx ax y ++=2，当x =2时，函数值是3；当x =-2时，函数值是2.求这个二次函数的解析式. 例、如图，一张正方形纸板的边长为2cm ，将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分).设AE =BF =CG =DH =x (cm )，四边形EFGH 的面积为y (cm 2)，求： (1)y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围. (2)当x 分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH 的面积，并列表表示. 城北中学八年级（3）班数学试卷（一次函数） 姓名得分____________________ 温馨提示：本次试题是针对你最近一段时间的学习情况而设计的，是月考后的第一次数学检测，也是你向家长和老师交代的一份答卷. 注意： 不要粗心，认真答题. 一、细心选一选（4/×8=32/） 1．已知函数y 2x 1，当x 0时，y _____________ ；当y 0时，x x2 2．如图1，表示甲、乙两人在一次赛跑中，路程s（米）和时间t （秒） 之间的函数关系，从图象中你可以知道：① 这是一次 ______________________________________________________ 赛跑； ②（填甲或乙）______先到达终点． 3．蜡烛在空气中燃烧的速度不变，如果一支原长15cm 的蜡烛燃 烧 4 分钟后，其长度变为13cm，请写出蜡烛剩余长度y（cm）与燃 烧时间x（分钟）之间的关系式_____ ． 4．如图2，某人从甲地出发，骑摩托车去乙地，途中因车出现故 障而停车修理，到乙地正好用了 2 小时．已知摩托车行驶的路程s（千米）与行驶时间t 小时）之间的函数关系如图 2 中折线段OBCD所示，若这辆摩托车 平均行驶 100 千米的耗油量为 2 升，据图中的信息，从甲地到乙地，辆摩托车 耗油升． 5．一次函数y （2 m）x m 的图象经过第一、二、三象限时，m的取值范围是 ______________________________________________________________ 6．已知一个一次函数的图象过点（1，2），且y随x的增大而减 九年级数学二次函数单元测试题及答案 一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象 交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只 可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线上的点， 且-1 教学内容—二次函数综合复习 知识精要 二次函数的概念：形如 2 (0)y ax bx c a =++≠的函数。定义域是一切实数。 二次函数的图像 函数 对称轴 顶点 开口方向 最值 () 20y ax a =≠ y 轴 （0，0） a>0,图像开口向上,顶 点是最低点; a<0,图像开口向下,顶点是最高点. () 2 0y ax c a =+≠ y 轴 ) ,0(c c ()() 2 0y a x m a =+≠ m x -= ()0,m - )0()(2≠++=a k m x a y m x -= ),(k m - k ()02 ≠++=a c bx ax y a b x 2- = ??? ? ??--a b ac a b 44,22 a b a c 442 - )0)()((1≠--=a x x x x a y x 22 1x x x += 一、选择题典型例题 1）有关二次函数图像与系数关系 1．如果0k <（k 为常数），那么二次函数22y kx x k =-+的图像大致为 （ ）． 2. 已知二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的图像如图所示， 以下关于实数c b a ,,的符号判断中，正确的是（ ） A.0,0,0>>>c b a B.0,0,0><>c b a C.0,0,0<>>c b a D.0,0,0<<>c b a 第6题 A B C D y O x y O x y O x y O x 2）二次函数性质的判断：对称轴，开口方向，顶点，增减性 1． 已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线2 1y x =-上，下列说法中正确的是 （ ） A. 若12y y =，则12x x = B. 若12x x =-，则12y y =- C. 若120x x <<，则12y y > D. 若120x x <<，则12y y > 2．关于抛物线4)1(32 -+-=x y ，下列说法正确的是 （ ） A ．抛物线的对称轴是直线1=x ； B ．抛物线在y 轴上的截距是4-； C ．抛物线的顶点坐标是（41--，） ； D ．抛物线的开口方向向上． 3．已知函数2 22y x x =--的图像如图所示，根据图像提供的信息，可得y ≤1时，x 的取值范围是 （ ） A ．3x -≥ B ．31x -≤≤ C ． 13x -≤≤ D ．1x -≤或3x ≥ 4．对于抛物线23y x =-，下列说法中正确的是（ ） A ．抛物线的开口向下 ； B ．顶点（0，－3）是抛物线的最低点 ； C ．顶点（0，－3）是抛物线的最高点； D ．抛物线在直线0x =右侧的部分下降的． 3）二次函数的平移问题 1．把抛物线22y x =--平移后得到抛物线2y x =-,平移的方法可以是（ ）． A. 沿y 轴向上平移2个单位； B. 沿y 轴向下平移2个单位； C. 沿x 轴向右平移2个单位； D. 沿x 轴向左平移2个单位． 2. 把抛物线()2 16+=x y 平移后得到抛物线2 6x y = ，平移的方法可以是 （ ）. A. 沿y 轴向上平移1个单位； B. 沿y 轴向下平移1个单位； C. 沿x 轴向左平移1个单位； D. 沿x 轴向右平移1个单位. 巩固练习 1．已知抛物线解析式为243y x x =--，若点P （2-，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的 坐标是__________． 一次函数 教学目标 (1)使学生领会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系. (2)引导学生经历探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系的过程，体会数形结合、分类、类比、归纳等数学思想方法的运用，积累数学活动经验.通过自主探究、小组合作等活动，锻炼学生的自学能力、归纳概括的能力，增强学生间的合作意识. (3)通过对一次函数、一次方程与一元一次不等式内在关系的探究，引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系，培养学生用联系的观点看待数学问题的意识. 教具安排 多媒体课件. 教学过程设计 一、复习旧知、学前热身. 小明的爸爸应邀来到合肥投资，在庐阳工业园投资300万元成本建成一个小型家电生产工厂.建成投产后，不考虑材料费等其他因素，每年盈利75万元.回答下面两个问题： ①该工厂投产几年刚好收回成本？ ②该工厂从哪一年后盈利开始超过300万元以上？ 师：从小学到现在我们学过哪些解决问题的方法？ 生：小学的算术法和初中学过的方程、不等式. 师：怎样利用函数图象解决上面的问题呢？(让学生在下面完成，之后教师订正) 二、活动探究. 活动一：探究一次函数与一元一次方程之间的联系. 1．解方程：3x+6=0. 2．直线y=3x+6与x轴交点的坐标是什么？ 3．讨论:图象与方程的解之间的关系. (学生口答三个问题.) 师：现在请大家准备任意一个一次函数的图象，观察你的图象，在图象中也有类似的联系吗？ 学生举例说明. 师：将刚才的思考概括为一般形式呢？ 归纳：一次函数y=kx+b(k、b为常数，k≠0)与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解. )与x轴交点的一元一次方程kx+b=0(k、b为常数，k≠0)的解就是一次函数y=kx+b(k0 横坐标. 通过以上探究，你能总结一次函数与一元一次方程之间的联系吗？ 对于一次函数，当y值确定求其x的值时，就可看成是关于x的一元一次方程.而一个具体的一元一次方程，实际上是一次函数的y值确定，求其自变量x的值. 活动二：画出函数y=-3x+6的图象，结合图象： (1)求方程-3x+6=0的解. (2)求不等式-3x+6>0和-3x+6<0的解集. 解：过(2，0)和(0，6)画函数y=-3x+6的图象 图象与x轴的交点坐标为(2，0)由图象可知： (1)方程-3x+6=0的解是x=2； (2)不等式-3x+6>0的解集是x<2； 所以，方程-3x+6>0的解集是x<2，不等式-3x+6<0的解集是x>2. 三、归纳小结. 师：本节课通过探究，小组合作以及例题的学习，同学有什么样的感受，和老师分享一下.(学生谈谈自己的收获) 师：回到引题，利用今天所学的知识，如何构建一次函数关系式，又怎样利用函数图象来解决上面的问题？(学生回答，师予以评价) 相关资料 反比例函数 第一课时 反比例函数的意义 一、教学目标 1. 使学生理解并掌握反比例函数的概念 2. 能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 3. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想 二、重、难点 1. 重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2. 难点：理解反比例函数的概念 3. 难点的突破方法： （1） 在引入反比例函数的概念时，可适当复习一下第 11 章的正比例函数、一次函数等 相关知识，这样以旧带新，相互对比，能加深对反比例函数概念的理解 k （2） 注意引导学生对反比例函数概念的理解，看形式 y = ，等号左边是函数 y ，等 x 号右边是一个分式，自变量 x 在分母上，且 x 的指数是 1，分子是不为 0 的常数 k ；看自变量 x 的取值范围，由于 x 在分母上，故取 x ≠0 的一切实数；看函数 y 的取值范围，因为 k ≠ 0，且 x ≠0，所以函数值 y 也不可能为 0。讲解时可对照正比例函数 y ＝kx （k ≠0），比较二者解析式的相同点和不同点。 （3） y = k （k ≠0）还可以写成 y = kx -1 （k ≠0）或 xy ＝k （k ≠0）的形式 x 三、例题的意图分析 教材第 46 页的思考题是为引入反比例函数的概念而设置的，目的是让学生从实际问题出发，探索其中的数量关系和变化规律，通过观察、讨论、归纳，最后得出反比例函数的概念，体会函数的模型思想。 教材第 47 页的例 1 是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题，此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法；二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。 补充例 1、例 2 都是常见的题型，能帮助学生更好地理解反比例函数的概念。补充例 3 是一道综合题，此题是用待定系数法确定由两个函数组合而成的新的函数关系式，有一定难度，但能提高学生分析、解决问题的能力。 四、课堂引入 1. 回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？ 2. 体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？ 五、例习题分析 例 1．见教材 P47 分析：因为 y 是 x 的反比例函数，所以先设 y = 常数 k ，即利用了待定系数法确定函数解析式。 例 1．（补充）下列等式中，哪些是反比例函数 k ，再把 x ＝2 和 y ＝6 代入上式求出 x 以二次函数为背景的综合题 复习目标： 1、熟练掌握用待定系数法求二次函数； 2、结合二次函数的性质与多个知识点的沟通解决有关数学的综合题 3、体会数学思想方法，如：数形结合思想、方程思想、分类讨论思想；复习重点：掌握函数中典型几何问题的解题方法 复习难点：数学思想的渗透 复习过程： 教学 环节 设计过程设计说明 一、 知识点回顾1、二次函数y＝－（x－1）2+3图像的顶点坐标是______ 开口方向________对称轴_________ 2、将抛物线向上平移3个单位，向左平移 2个单位后可得到抛物线的解析式_________________ 3、如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2＋bx＋c 的 大 致 图 像 为（） 通过这三个题目主要是回顾 二次函数中的性质且灵活的 运用性质 已知：抛物线c bx ax y+ + =2经过点A（1，0），B（4，在直角坐标平面内，根据确定 的三点用待定系数法求抛物 线的解析式是每一个学生要 BCD的面积有多种方法，一方面考虑通性、 方面考虑择优 问题5：如果⊙P过点A、B、C三点，求圆心P的坐标。 问题5如何确定三角形的外 心，利用两点间距离公式确定 点需要满足的数量关系 三、 小 结 师生共同回顾本节课的内容和学习这节课的收获。 四、作业如图，在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A、C的 坐标分别为（2，0）、（1，3 3）.将△AOC绕AC 的中点旋转180°，点O落到点B的位置，抛物线 x ax y3 2 2- =经过 点A，点D是该抛物线的顶点. （1）求证：四边形ABCO是平行四边形； （2）求a的值并说明点B在抛物线上； （3）若点P是线段OA上一点，且∠APD=∠OAB，求 点P的坐标； (4) 若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行 四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，写出点P 的坐标. B C D A x y O 辅导讲义 学员编号: 年级:八年级 学员姓名: 辅导科目:数学 课题一次函数复习专题 授课时间：备课时间： 教学目标1、讲解一次函数典型例题 重点、难点1、复习巩固一次函数知识，并解题 考点及考试要求1、复习巩固一次函数知识，并解题 教学内容 第一课时 知识点梳理： 一次函数与正比例函数的定义及其图像、性质（重难点！） 定义： 若两个变量x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(k、b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数。当b=0时，称y是x的正比例函数，可表示为y=kx（k为常数，k≠0），k叫做比例系数。由此可知正比例函数是一次函数的特殊情况．当k=0而b≠0时，它不是一次函数。 正比例函数的图像： 正比例函数y=kx（k是常数且k≠0）的图像是一条经过原点（0，0）和点（1，k）的直线，我们称它为直线y=kx；当k>0时，直线y=kx经过第一，三象限，y随着x的增大而增大，当k<0时，直线y=kx经过第二，四象限，y随着x的增大而减少． 一次函数的图像： 一次函数y=kx+b（k≠0）的图像是一条直线，通常也称直线y=kx+b，由于两点确定一条直线，故画一次函数的图像时，只要先描出两点，再连成直线就可以了，为了方便，通常取图像与坐标轴的两 个交点（0，b），（－b k ，0）就行了． 一次函数图像的性质： 一次函数图像的平移与图像和坐标轴围成的三角形的面积 一次函数y=kx+b沿着y轴向上（“＋”）、下（“－”）平移m（m>0）个单位得到一次函数y=kx+b±m；一次函数y=kx+b沿着x轴向左（“＋”）、右（“－”）平移n（n>0）个单位得到一次函数y=k（x ±n）+b；一次函数沿着y轴平移与沿着x轴平移往往是同步进行的．只不过是一种情况，两种表示 罢了；直线y=kx+b与x轴交点为（－b k ，0），与y轴交点为（0，b），且这两个交点与坐标原点构 成的三角形面积为S △= 1 2 ·│－ b k │·│b│． 例题讲解： 函数图像 1、如图，表示一次函数y＝mx+n与正比例函数y=mnx(m，n是常数，且mn≠0)图像的是( ). 2、一次函数y=kx+（k-3）的函数图象不可能是（） 3、李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出自行车行进路程s千米与行进时间t的函数图象的示意图，同学们画出的示意图如下，你认为正确 《反比例函数》教案 教学目标 1、理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别其中的反比例函数. 2、能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式. 3、能判断一个给定函数是否为反比例函数.通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型． 教学重难点 反比例函数的概念 教学过程 一、创设情景 情境1： (1)小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米外的镇上去赶集，回来时让小华乘坐公共汽车，用的时间少了．假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽车的速度都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系． 和其他实际问题一样，要探求两个变量之间的关系，应先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式． 设小华乘坐交通工具的速度是v千米/时，从家里到镇上的时间是t小时．因为在匀速运动中，时间＝路程÷速度，所以t＝___________．当路程一定时，速度与时间成什么关系？ (2)学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场．设它的一边长为x(米)，求另一边的长y(米)与x的函数关系式． 分析根据矩形面积可知：xy＝24，即y＝_____________． 这个情境是学生熟悉的例子，当中的关系式学生都列得出来，鼓励学生积极思考、讨论、合作、交流，最终让学生讨论出：当两个量的积是一个定值时，这两个量成反比例关系，如xy＝m(m为一个定值)，则x与y成反比例． 情境2：汽车从南京出发开往上海(全程约300km)，全程所用时间t(h)随速度v(km/h) 的变化而变化． 问题：(1)你能用含有v的代数式表示t吗？ (2)利用(1)的关系式完成下表： 教师姓名 学生姓名 年（尚孔教研院彭高钢级 初三 上课时间 学 （尚孔教研院彭高钢（尚孔教研院彭高钢 科 数学 课题名称 中考总复习之二次函数 待提升的知识点/题型 （尚孔教研院彭高钢） 考点提炼 （一）二次函数的定义和性质 形如2 y ax bx c =++(其中0a ≠，a 、b 、c 是常数)的式子，称y 是x 的二次函数. 1、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①0)0(2 2++=?=x a y ax y ； ②k x a y k ax y ++=?+=2 2)0(； ③()0)(2 2 +-=?-=h x a y h x a y ； ④()2 y a x h k =-+(其中,,a h k 是常数，且0a ≠) 2、抛物线()2 y a x h k =-+(其中,,a h k 是常数，且0a ≠)的对称轴是过点( h ，0)且平行(或重合)于y 轴的直线，即直线x h =，顶点坐标是(h ，k),当0a >时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。 3、一般二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成：a b ac a b x a y 44222 -+ ??? ? ? +=的形式 对称轴：直线，a b x 2-= 顶点坐标：（- a b 2，a b ac 442-） ,当0a >时，抛物线开口向上， 顶点是抛物线的最低点；当0a <时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。 4、求二次函数的解析式一般方法 （1）一般式：c bx ax y ++=2 .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 初三数学二次函数综合练习 卷 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 2 2 3x y -= 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- ()s t ()m S 64 o 812A B 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-3x (5)y=x 2 -1中，是一次函数有（ ） （A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 2．已知点（-4，y 1），（2，y 2）都在直线y=- 1 2 x+2上，则y 1 、y 2大小关系是( ) （A ）y 1 >y 2 （B ）y 1 =y 2 （C ）y 1 二次函数专项练习 姓名: 得分: 一、选择题(40’) 1．将二次函数2y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是( )． A ．2(1)2y x =-+ B ．2(1)2y x =++ C ．2(1)2y x =-- D ．2(1)2y x =+- 2．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x ++= 在同一坐标系内的图象大致为（ ）． 3．抛物线2y x bx c =++图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为 223y x x =--，则b 、c 的值为( )． A ．b ＝2，c ＝2 B ．b ＝2，c ＝0 C ．b ＝-2，c ＝-1 D ．b ＝-3，c ＝2 4. 抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ） A ．22y x x =-- B ．211122y x x =-++ C ．211 122y x x =--+ D ．22y x x =-++ 5．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②abc ＞0； ③8a+c ＞0；④9a+3b+c ＜0．其中，正确结论的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 第4题 第5题 6．已知点(1x ，1y )，(2x ，2y )(两点不重合)均在抛物线21y x =-上，则下列说法正确的是( )． A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y > 7．在反比例函数a y x = 中，当0x >时，y 随x 的增大而减小，则二次函数2y ax ax =-的图象大致是图中的( )． 8．已知二次函数2y ax bx c =++(其中0a >，0b >，0c <)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧． 以上说法正确的有( )． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 9．已知二次函数)2(2 -++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定 10．如图，△OAP、△ABQ 均是等腰直角三角形，点P 、Q 在函数4 (0)y x x = > 的图像上，直角顶点A 、B 均在x 轴 上，则点B 的坐标为（ ） A ．(12+，0) B ．(15+，0) C ．(3，0) D ．(15-，O) 二、填空题(32’) 9．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>的对称轴为直线1x =，且经过点1(1,)y -，2(2,)y ，试比较1y 和2y 的大小：1y ________2y （填“＞”，“＜”或“＝”）． 10．抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为___ _____． 11．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知y ＝-kx+3的图象经过点C ，则这个一次函数图象与两坐 标轴所围成的三角形面积为________． 12．已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的 解为___ _____． 第10题 第12题 第13题 13．如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是________． 14．烟花厂为扬州“4·18”烟花三月经贸旅游节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度沪科版九年级数学上册《二次函数》教案
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