三、解答题 1．（2009年崇左）如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AD//BC ，AB ＝DC,AD ＝2,BC ＝4，延长BC 到E ，使CE ＝AD ． （1）证明：ΔBAD ≌ΔDCE ；
（2）如果AC ⊥BD ，求等腰梯形ABCD 的高DF 的值．
【关键词】在等腰梯形性质进行转化。 【答案】
（1）证明：AD BC CDA DCE ∴∠=∠∥，
． 又四边形ABCD 是等腰梯形，BAD CDA ∴∠=∠， BAD DCE ∴∠=∠． AB DC AD CE ==，， BAD DCE ∴△≌△．
（2）AD CE AD BC =∴，∥，
四边形ACED 是平行四边形， AC DE ∴∥． AC BD DE BD ⊥∴⊥，．
由（1）可知，BAD DCE △≌△，DE BD ∴=． 所以，BDE △是等腰直角三角形，即45E ∠=°， DF FE FC CE ∴==+．
四边形ABCD 是等腰梯形，而24AD BC ==，， 1FC ∴=． 2CE AD == 3DF ∴=． ．（2009年浙江省绍兴市）如图，在ABC △中，40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB AC ，为边作两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°． （1）求DBC ∠的度数；
（2）求证：BD CE =．
【关键词】等腰三角形的性质 【答案】（1）ΔABD 是等腰直角三角形，90∠=°BAD ，所以∠ABD ＝45°,AB ＝AC,所以
D A
B
E
（第24题）
∠ABC ＝70°,所以∠CBD ＝70°+45°＝115°．
(2)AB ＝AC,90BAD CAE ∠=∠=°,AD ＝AE,所以ΔBAD ≌ΔCAE,所以BD ＝CE ．
2．（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(80)-，，直线BC 经过点(86)B -，
，(06)C ，，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ．
（1）四边形OABC 的形状是 ， 当90α=°时，
BP
BQ
的值是 ； （2）①如图2，当四边形OA B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时，求
BP
BQ
的值； ②如图3，当四边形OA B C '''的顶点B '落在直线BC 上时，求OPB '△的面积．
（3）在四边形OABC 旋转过程中，当0180α<≤°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使
1
2
BP BQ =
？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【关键词】勾股定理
【答案】解：（1）矩形（长方形）；
4
7
BP BQ =． （2）①
POC B OA ''∠=∠，PCO OA B ''∠=∠90=°，
COP A OB ''∴△∽△．
CP OC
A B OA ∴='''
，即668CP =， 92CP ∴=，7
2
BP BC CP =-=．
同理B CQ B C O '''△∽△，
CQ B C
C Q B C
'∴
='''，即10668CQ -=，
3CQ ∴=，11BQ BC CQ =+=．
） （图3）
（图2）
x
7
22
BP BQ ∴
=
． ②在OCP △和B A P ''△中，
90OPC B PA OCP A OC B A ''∠=∠??
'∠=∠=??''=?
，°，
， (AAS)OCP B A P ''∴△≌△． OP B P '∴=． 设B P x '=，
在Rt OCP △中， 2
2
2
(8)6x x -+=，解得254
x =
． 12575
6244
OPB S '∴=??=△．
（3）存在这样的点P 和点Q ，使1
2
BP BQ =． 点P
的坐标是19P ??- ???，2764P ??- ???
，． 对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求． 过点Q 画QH OA '⊥于H ，连结OQ ，则QH OC OC '==，
12POQ S PQ OC =
△，1
2
POQ S OP QH =△， PQ OP ∴=．
设BP x =，
1
2
BP BQ =
， 2BQ x ∴=，
① 如图1，当点P 在点B 左侧时，
3OP PQ BQ BP x ==+=，
在Rt PCO △中，2
2
2
(8)6(3)x x ++=，
解得11x =，21x =． 9PC BC BP ∴=+=
19P ??
∴- ???
．
②如图2，当点P 在点B 右侧时，
OP PQ BQ BP x ∴==-=，8PC x =-．
在Rt PCO △中，2
2
2
(8)6x x -+=，解得25
4
x =
． PC BC BP ∴=-257844
=-
=， 2764P ??∴- ???
，．
综上可知，存在点19P ?
?- ???，2764P ??
- ???
，，使12BP BQ =．
3．(2009年义乌)如图，在边长为4的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，
以AD 为一边向右作正三角形ADE 。 （1）求ABC 的面积S ；
（2）判断AC 、DE 的位置关系，并给出证明。 【关键词】正三角形 【答案】
解：（1）在正ABC △中，4AD == 11
422
S BC AD ∴=
?=??． （2）AC DE 、的位置关系：AC DE ⊥．
在CDF △中，9030CDE ADE ∠=-∠=°°，
180180603090CFD C CDE ∴∠=-∠-∠=--=°°°°°， AC DE ∴⊥． 4．（2009恩施市）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著
名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，
50km AB A =，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A '，连接BA '交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+．
（1）求1S 、2S ，并比较它们的大小； （2）请你说明2S PA PB =+的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、
B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
【关键词】勾股定理、对称、设计方案 【答案】 解:⑴图10（1）中过B 作BC ⊥AP,垂足为C,则PC ＝40,又AP ＝10,
∴AC ＝30
在Rt △ABC 中，AB ＝50 AC ＝30 ∴BC ＝40
∴ BP ＝24022=+BC CP S 1＝10240+
⑵图10（2）中，过B 作BC ⊥AA ′垂足为C ，则A ′C ＝50， 又BC ＝40
∴BA'＝4110504022=+ 由轴对称知：PA ＝PA' ∴S 2＝BA'＝4110 ∴1S ﹥2S
(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA ＝MA' ∴MB+MA ＝MB+MA'﹥A'B ∴S 2＝BA'为最小
（3）过A 作关于X 轴的对称点A', 过B 作关于Y 轴的对称点B'， 连接A'B',交X 轴于点P, 交Y 轴于点Q,则P,Q 即为所求 过A'、 B'分别作X 轴、Y 轴的平行线交于点G ,
P
图（1）
图（3）
图（2）
A'B'＝5505010022=+
∴所求四边形的周长为55050+
以下是湖北孔小朋的分类： 5．（2009年甘肃庆阳）（8分）如图14，在平面直角坐标系中，等腰Rt △OAB 斜边OB 在y 轴上，且OB ＝4．
（1）画出△OAB 绕原点O 顺时针旋转90°后得到的三角形；
（2）求线段OB 在上述旋转过程中所扫过部分图形的面积（即旋转前后OB 与点B 轨迹所围成的封闭图形的面积）．
【关键词】平面直角坐标系；旋转 【答案】本小题满分8分 解：（1）画图正确（如图）；
（2）所扫过部分图形是扇形，它的面积是：
290
π44π360
?=．
6．（
2009年河南）如图所示，∠BAC ＝∠ABD ,AC ＝BD ，点
O 是AD 、BC 的交点，点E 是AB 的中点．试判断OE 和AB 的位置关系,并给出证明．
图14
【关键词】等腰三角形的性质与判定
【答案】OE⊥AB．
证明：在△BAC和△ABD中，
AC＝BD，
∠BAC＝∠ABD，
AB＝BA．
∴△BAC≌△ABD．
∴∠OBA＝∠OAB,
∴OA＝OB．
又∵AE＝BE, ∴OE⊥AB．
7．（2009泰安）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD。
（1）求证：BE＝AD；
（2）求证：AC是线段ED的垂直平分线；
（3）△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。
（4）
【关键词】直角梯形、垂直平分线、等腰三角形
【答案】证明：（1）∵∠ABC＝90°，BD⊥EC，
∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，
∴∠1＝∠2
∵∠ABC＝∠DAB＝90°，AB＝AC
∴△BAD≌△CBE
∴AD＝BE
（2）∵E是AB中点，
∴EB＝EA
由（1）AD＝BE得：AE＝AD
∵AD∥BC
∴∠7＝∠ACB＝45°
∵∠6＝45°
∴∠6＝∠7
由等腰三角形的性质，得：EM＝MD，AM⊥DE。
即，AC 是线段ED 的垂直平分线。
（3）△DBC 是等腰三角（CD ＝BD ） 理由如下：
由（2）得：CD ＝CE 由（1）得：CE ＝BD ∴CD ＝BD
∴△DBC 是等腰三角形。 8．（2009年新疆）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a b ，，斜边长为c 和一个边长为c 的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． （1）画出拼成的这个图形的示意图． （2）证明勾股定理．
【关键词】勾股定理的验证 【答案】方法一解：（1）如图
a
b
c c
b
a c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
c
a
b
c
c
c c
b
b
b
a
a
a
（2）证明
：
大正方形的面积表示为2()a b +,大正方形的面积也可表示为
2142c a b +?
,221
()42
a b c ab ∴+=+?，22222a b ab c ab ++=+，222a b c ∴+=．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
方法二解：（1）如图 （2）证明
：
大正方形的面积表示为：2
c ，又可以表示为：
21
4()2
ab b a ?+-,
221
4()2
c ab b a ∴=
?+-，
222
22c ab b ab a =+-+，
222c a b ∴=+．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
9．(2009年牡丹江市)有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m m ，8．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
【关键词】勾股定理的应用
【答案】在Rt ABC △中，9086ACB AC BC ∠===°
，，由勾股定理有：10AB =，扩充部分为Rt ACD △，扩充成等腰ABD △，应分以下三种情况：①如图1，当10AB AD ==时，可求6CD CB ==,得ABD △的周长为32m ．②如图2，当10AB BD ==时，可求
4CD =,
由勾股定理得：AD =得ABD △
的周长为(20m +．③如图3，当AB 为
底时，设AD BD x ==，则6CD x =-，由勾股定理得：253x =
,得ABD △的周长为80
m 3
．
10．（2009白银市）如图13，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，
D 为AB 边上一点，求证：
（1）ACE BCD △≌△；（2）2
2
2
AD DB DE +=．
A
D
C B
A
D
B
C A
D
B
C 图1
图2
图3
【关键词】全等三角形的判定、勾股定理 【答案】27．证明:（1） ∵ ACB ECD ∠=∠，
∴ ACE ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠． 即 ACE BCD ∠=∠ ∵ EC DC AC BC ==,， ∴ △ACE ≌△BCD （2）∵ ACB ?是等腰直角三角形， ∴ ?=∠=∠45BAC B ． ∵ △ACE ≌△BCD ， ∴ ?=∠=∠45CAE B ． ∴ ?=?+?=∠+∠=∠904545BAC CAE DAE ．
∴ 2
2
2
DE AE AD =+． 由（1）知AE ＝DB ，
11．（2009年衡阳市）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线，BE ⊥AE ． （1）求证：DA ⊥AE ；
（2）试判断AB 与DE 是否相等？并证明你的结论． 【关键词】等腰三角形、矩形
【答案】解：（1）证明： AE
DA DAE BAF BAC ⊥??=∠??=??=∠+∠∠+∠????
?
??
?
?
??=∠+∠∠∠?∠∠∠?∠90901802
1
)(21BAE BAD 180BAF BAC BAF 21
BAE BAF AE BAC 2
1BAD BAC AD ＝＝平分＝平分
（2）AB ＝DE ，理由是：
A B D E
F
DE AB D AE DAE AEB AE BE ADB BC AD BAC AD AC
AB =?????????
???=∠?=∠?⊥?=∠?⊥????
∠=是矩形四边形平分B 90 90 90
12．（山东省临沂市）
如图，A ，B 是公路l （l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路l 的距离AC ＝1km ，B 村到公路l 的距离BD ＝2km ，B 村在A 村的南偏东45方向上．
（1）求出A ，B 两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P ，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P 的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．
解：（1）方法一：设AB 与CD 的交点为O ，根据题意可得45A B ∠=∠=°． ACO ∴△和BDO △都是等腰直角三角形．
AO ∴=
BO =
∴A B ，
两村的距离为AB AO BO =+==km ）． 方法二：过点B 作直线l 的平行线交AC 的延长线于E ．
易证四边形CDBE 是矩形， ∴2CE BD ==．
在Rt AEB △中，由45A ∠=°，可得3BE EA ==．
∴AB =km ）
∴A B ，
两村的距离为．
北
东
A
C
D
l
（2）作图正确，痕迹清晰．
作法：①分别以点A B ，为圆心，以大于1
2
AB 的长为 半径作弧，两弧交于两点M N ，，
作直线MN ；
②直线MN 交l 于点P ，点P 即为所求． （7分 13．（四川省泸州市）在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米／时
(即
3
50
米／秒)，并在离该公路100米处设置了一个监测点A ．在如图8所示的直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在A 的北偏西60°方向上，点C 在A 的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y 轴上，AO 为其中的一段．
(1)求点B 和点C 的坐标；
(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?(参考数据：7.13 )
(3)若一辆大货车在限速路上由C 处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少
?
解：在Rt ΔAOB 中，OA ＝100,∠BAO ＝60° 所以OB ＝OA ·tan ∠BAO ＝
Rt ΔAOC 中,∠CAO ＝45° 所以OC ＝OA ＝100,
所以
（100，0）
B
A C
D
l
N M
O
P
（2）BC ＝BO+CO ＝
100
1815
∴≈
18>
503
, 所以这辆车超速了。
（3）高大货车行驶到某一时刻行驶了x 米，则此时小汽四行驶 了2x 米，且两车的距离为
y =
当x ＝60时，y
=
答：两四相距的最近距离为
14．（2009年重庆）作图，请你在下图中作出一个以线段AB 为一边的等边ABC △．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论）
已知： 求作：
【关键词】等边三角形, 尺规作图 【答案】
解：已知：线段AB ． 求作：等边ABC △． 作图如下：（注：每段弧各1分，连接线段AC BC 、各1分）
15．（2009年重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE AC =． （1）求证：BG FG =；
（2）若2AD DC ==，求AB 的长．
【关键词】勾股定理、直角三角形性质、等腰三角形性质和全等三角形的判定方法
【答案】（1）证明：90ABC DE AC ∠=°
，⊥于点F ， A
B C
A
B 19题图
D
C
E
B G
A
F
ABC AFE ∴∠=∠．
AC AE EAF CAB =∠=∠，， ABC AFE ∴△≌△ AB AF ∴=． 连接AG ，
AG ＝AG ,AB ＝AF ，
Rt Rt ABG AFG ∴△≌△． BG FG ∴=．
（2）解：∵AD ＝DC,DF ⊥AC ，
11
22
AF AC AE ∴=
=． 30E ∴∠=°．
30FAD E ∴∠=∠=°，
AF ∴=
AB AF ∴==
16．（2009年广西钦州）已知：如图2，⊙O 1与坐标轴交于A （1，0）、B （5，0）两点，
点O 1
．求⊙O 1的半径． 【关键词】垂径定理、勾股定理 【答案】
解：过点O 1作O 1C ⊥AB ，垂足为C ，
则有AC ＝BC ．
图2 由A （1，0）、B （5，0），得AB ＝
4，∴AC ＝2． 在1Rt AO C △
中，∵O 1， ∴O 1C
．
∴⊙
O 1的半径O 1A 3．
17．(2009年甘肃定西)如图13，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上一点，求证：（1）ACE BCD △≌△；（2）2
2
2
AD DB DE +=． 【关键词】全等三角形、勾股定理
D C
E
B G
A F
【答案】证明:（1） ∵ ACB ECD ∠=∠，
∴ ACE ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠． 即 ACE BCD ∠=∠． ∵ EC DC AC BC ==,， ∴ △ACE ≌△BCD ． （2）∵ ACB ?是等腰直角三角形， ∴ ?=∠=∠45BAC B ． ∵ △ACE ≌△BCD ， ∴ ?=∠=∠45CAE B ． ∴ ?=?+?=∠+∠=∠904545BAC CAE DAE ．
∴ 2
22DE AE AD =+． 由（1）知AE ＝DB ， ∴ 2
2
2
AD DB DE +=．
18．（2009年莆田）已知：等边ABC △的边长为a ． 探究（1）：如图１，过等边ABC △的顶点A B C 、、依次作AB BC CA 、、的垂线围成
MNG △，求证：MNG △是等边三角形且
．MN =；
探究（2）：在等边ABC △内取一点O ，过点O 分别作OD AB OE BC OF CA ⊥⊥⊥、、，垂足分别为点D E F 、、．
①如图2，若点O 是ABC △的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1
．2
OD OE OF a ++=；结论2．32
AD BE CF a ++=
； ②如图3，若点O 是等边ABC △内任意一点，则上述结论12、
是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
N
M
A
G
C B
A
F C
B
D
A F C
E B D
（图1）
（图2） （图3）
O A
F C
E B D
（图4）
O O
【关键词】等边三角形
证明：如图1，ABC △为等边三角形 60ABC ∴∠=°
BC MN BA MG ⊥⊥， ∴90CBM BAM ∠=∠=°
9030ABM ABC ∴∠=∠=?°-
9060M ABM ∴∠=?∠=?-
同理：60N G ∠=∠=? MNG ∴△为等边三角形． 在Rt ABM △
中，sin sin 60AB a BM M =
==?
在Rt BCN △
中，tan tan 603
BC a BN a N =
==?
MN BM BN ∴=+=
（2）②：结论1成立．
证明；方法一：如图2，连接AO BO CO 、、
由ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△＝()1
2
a OD OE OF ++ 作AH BC ⊥，垂足为H ，
则sin sin 60AH AC ACB a =∠=??=
11222
ABC S BC AH a ∴=
=△·· N
M
A
G
C B
（图1）
A F
C
B
D
（图2）
O
(
)11222a OD OE OF a ∴++=·
2
OD OE OF ∴++=
方法二：如图3，过点O 作GH BC ∥，分别交AB AC 、于点G H 、，过点 H 作HM BC ⊥于点M ， 6060DGO B OHF C ∴∠=∠=∠=∠=°，° AGH ∴△是等边三角形 GH AH ∴= OE BC ⊥ OE HM ∴∥
∴四边形OEMH 是矩形 HM OE ∴=
在Rt ODG △
中，sin sin 602
OD OG DGO OG =∠=?=
··
在Rt OFH △
中，sin sin 602
OF OH OHF OH =∠=?=
·· 在Rt HMC △
中，sin sin 602
HM HC
C HC HC ==?=··
OD OE OF OD HM OF ∴++=++=
+
)GH HC AC =
+== A F C
B
D
O H G
（2）②:结论2成立．
证明：方法一：如图４，过顶点A B C 、、依次作边AB BC CA 、、的垂线围成MNG △，由（1）得MNG △
为等边三角形且MN =
过点O 分别作OD MN '⊥于D ',OE NG '⊥于NG 于点E OF MG ''⊥，于点F ' 由结论1得：
32
OD OE OF MN a '+'+'=
== 又
OD AB AB MG OF MG ⊥⊥'⊥，，
90ADO DAF OF A ∴∠=∠'=∠'=? ∴四边形ADOF '为矩形 OF ∴'=AD
同理：OD BE '=，OE CF '=
3
2
AD BE CF OD OE OF a ∴++='+'+'=
方法二：（同结论1方法二的辅助线）
在Rt OFH △
中，tan 3
OF FH OHF =
=∠
在Rt HMC △
中，sin HM HC C =
=
CF HC FH ∴=+=
同理：AD BE =
=+， A F C
E
B
D
O F '
D '
M
G
N
E '
A F C B
D （图3）
O
H
G
AD BE CF
∴++
+
)
OD OE OF
++
由结论1
得：OD OE OF
++=
3
2
AD BE CF a
∴++==
方法三：如图5，连接OA OB OC
、、，根据勾股定理得：
22222
BE OE OB BD OD
+==+①
22222
CF OF OC CE OE
+==+②
22222
AD OD AO AF OF
+==+③
①+②+③得：
222222
BE CF AD BD CE AF
++=++
()()()
222
222
BE CF AD a AD a BE a CF
∴++=-+-+-
222222
222
a AD a AD a BE a BE a CF a CF
=-++-++-+
整理得：()2
23
a AD BE CF a
++=
3
2
AD BE CF a
∴++=12分
20．(2009年南充)如图8，半圆的直径10
AB=，点C在半圆上，6
BC=．（1）求弦AC的长；
（2）若P为AB的中点，PE AB
⊥交AC于点E，求PE的长．
A
F
C
B
D
（图5）
O
【关键词】圆的性质，三角形相似的性质
【答案】解：AB 是半圆的直径，点C 在半圆上， 90ACB ∴∠=°． 在Rt ABC △
中，8AC ==
（2）
PE AB ⊥，
90APE ∴∠=°．90ACB ∠=°， APE ACB ∴∠=∠． 又PAE CAB ∠=∠， AEP ABC ∴△∽△， PE AP BC AC
∴= 11026
8
PE
?∴
=
301584
PE ∴=
=．
19．(2009年湖州)如图，在平面直角坐标系中，直线l ∶y ＝28x --分别与x 轴，y 轴相交于A B ，两点，点()0P k ，是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作P ⊙． （1）连结PA ，若PA PB =，试判断P ⊙与x 轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k 为何值时，以P ⊙与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？
【关键词】直线与圆的位置关系，相切的判定，正三角形的性质，相似的性质 【答案】
P
B
C E
A
勾股定理中考试题汇编（2013） 1、（2013?资阳）如图，点E 在正方形ABCD 内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是 2、（2013?苏州）如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，），点C 的坐标为（，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，则PA+PC 的最小值为（ ） ． 3、（2013?鄂州）如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 4、（2013?绥化）已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论： ①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2 ）， 1题 2题 3题 4题 6题 6、（2013安顺）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只 鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ） A ．8米 B ．10米 C ．12米 D ．14米 7、（2013年佛山市）如图，若∠A =60°，AC =20m ，则BC 大约是(结果精确到0.1m)( ) A ．34.64m B ．34.6m C ．28.3m D ．17.3m 8、（2013台湾、14）如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE ⊥AC ．若DE=10， AE=16，则BE 的长度为何？（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 A C B 第7题图
勾股定理及常见题型分类 一、知识要点： 1、勾股定理 2、勾股定理证明方法及勾股树 3、勾股定理逆定理 4、勾股定理常见题型回顾 二、典型题 题型一：“勾股树”及其拓展类型求面积 1. 右图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是（ ） A.13 B.26 C.47 D.94 2.如图，直线l 上有三个正方形a,b,c,若a,c 的边长分别为6和8，求b 的面积。 3. 如图，以Rt △ABC 的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 4、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ） A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 S 3 S 2 S 1 甲 乙 图1
5、在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 、 =_____________。 题型二：勾股定理与图形问题 1、已知△ABC 是边长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长是 ． 2.如图，求该四边形的面积 3.如图2，已知，在△ABC 中，∠A = 45°，AC = 2，AB = 3+1，则边BC 的长为 ． 4.某公司的大门如图所示,其中四边形ＡＢＣＤ是长方形,上部是以ＡＤ为直径的半圆,其中ＡＢ=2.3ｍ，ＢＣ=2ｍ,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5ｍ,宽为1.6ｍ,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由 . 5.如图是一块地，已知AD=8m ，CD=6m ，∠D=90°，AB=26m ，BC=24m ，求这块地的面积。 题型三：在直角三角形中，已知两边求第三边 A B C D E F G
综合性问题 一、选择题 1．（2018·湖北省孝感·3分）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB 即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形， ∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°， ∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°， ∴∠ADC=15°，故①正确； ∵AE⊥BD，即∠AED=90°， ∴∠DAE=45°， ∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°， ∴∠AGF=75°， 由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误； 记AH与CD的交点为P，
由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°， 则∠BAH=∠ADC=15°， 在△ADF和△BAH中， ∵， ∴△ADF≌△BAH（ASA）， ∴DF=AH，故③正确； ∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB， ∴△AFG∽△CBG，故④正确； 在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x， 设EF=a， ∵△ADF≌△BAH， ∴BH=AF=2x， △ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°， ∴BE=AE=AF+EF=a+2x， ∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a， ∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE， ∴△PAF∽△EAH， ∴=，即=， 整理，得：2x2=（﹣1）ax， 由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正确； 故选：B． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点． 2．（2018·山东潍坊·3分）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B=60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发
勾股定理知识点归纳和题型归类 一．知识归纳 １．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++，所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证 ３.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边 在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形； c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A
中考数学勾股定理知识点-+典型题及解析 一、选择题 1．图中不能证明勾股定理的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为( ) A ．121 B ．110 C ．100 D ．90 3．如图，在ABC 中，90A ∠=?，6AB =，8AC =，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ，过点O 作⊥OD AB 于点D ，若则AD 的长为( )
A ．2 B ．2 C ．3 D ．4 4．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，第n 个等腰直角三角形的面积是( ) A ．2n ﹣2 B ．2n ﹣1 C ．2n D ．2n+1 5．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ，正方形CEFG 绕点C 旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE 2+BG 2=2a 2+2b 2，其中正确结论有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 6．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是l3，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么()2 a b +值为（ ） A ．25 B ．9 C ．13 D ．169 7．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ） A ．6 B ．2 C ．8 D ．10 8．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
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《数学》八年级下册 第十七章 勾 股 定 理 【题型一】勾股定理的验证与证明 1.如图,每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是 S 1、S 2、S 3，则它们的面积关系是 ，直角△ABC 的三边的关系是 . 得出 S 1+S 2＝S 3,从而得到：AB 2+BC 2＝AC 2 . 2。如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别 是S 1、S 2、S 3，则它们的面积关系是 ，直角△ABC 的三边的关系是 . 参考答案：对于S 3显然用数方格的方法不合适，利用“相减法” 或“相 加法"用面积公式计算三个正方形面积，得出 S 1+S 2＝S 3，从而得到：AB 2+BC 2＝AC 2 。 3。如图,是由四个全等的Rt△拼成的图形，你能用它证明勾股定 理吗? 参考答案：由S 大正方形＝4S Rt△+S 小正方形，得 c 2＝4×ab+(b －a ）2 ∴a 2+b 2＝c 2 。 4.如图,是由四个全等的Rt△拼成的图形，你能用它证明勾股定 理吗？ 参考答案：由S 大正方形＝4S Rt△+S 小正方形，得 （a+b ）2 ＝4×ab+c 2 ∴a 2+b 2＝c 2 . 5.如图，已知∠A ＝∠B ＝90°且△AED≌△BCE ，A 、E 、B 在同一直线上。根据此图证明勾股定理. 1 21 2 B A B A a
A B C D P E 2015年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y = 2 4 1x +1，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标； (2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时. ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值. (1)M(0,2)(2)1AC:y= 21x+1.PQ // MC.t x x --+0 14 12 =21 2. 如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端点 A 、D ），连结PC ， 过点P 作PE ⊥PC 交A B 于E （1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （2）当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围． （3）存在，理由如下： 如图2，假设存在这样的点Q ，使得QC ⊥QE. 由（1）得：△PAE ∽△CDP ， ∴ ， ∴ ，
∵QC ⊥QE ，∠D ＝90 ° ， ∴∠AQE ＋∠DQC ＝90 ° ,∠DQC ＋∠DCQ ＝90°， ∴∠AQE=∠DCQ. 又∵∠A=∠D=90°， ∴△QAE ∽△CDQ ， ∴ ， ∴ ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵AP≠AQ ，∴AP ＋AQ ＝3.又∵AP≠AQ ，∴AP≠ ，即P 不能是AD 的中点， ∴当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在， 综上所述， 的取值范围8 7 ≤ ＜2； 3.如图，已知抛物线y ＝－1 2 x 2＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设P （x ，y ）（x ＞0）是直线y ＝x 上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值． (1)令x=0,得y=4 即点B 的坐标为(0,4) 令y=0,得(-1/2)x2+x+4=0 则x2-2x-8=0 ∴x=-2或x=4 ∴点A 的坐标为(4,0) 直线AB 的解析式为 (y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4) ∴y=-x+4 (2)由(1),知直线AB 的解析式为y=-x+4
专题一：勾股定理与面积 知识点精讲： 类型一“勾股树”及其拓展类型求面积 典型例题： 1．如图（16），大正方形的面积可以表示为，又可以表示为，由此可得等量关系______________________,整理后可得：___________． 2．图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为( ) 3．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则大正方形与小正方形的面积差是() A．9 B．36 C．27 D．34 4．如图所示的大正方形是由八个全等的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1＋S2＋S3＝________． 5．如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝() A．25 B．31 C．32 D．40 6．如图，已知在Rt ABC △中，? = ∠90 ACB，4 AB=，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为1S，2S， 则 12 S S +的值等于________ 7．如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是________．8．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为( ) A．2 B．4 C．8 D．16 a a a a b b b b c c c c 图(16) 8 6 C B A
勾股定理中考难题 A ． 48 B ． 60 C ． 76 D ． 80 2、如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，），点C 的坐 A ． B ． C ． D ． 2 3、如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=．试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=（ ） A ． 6 B ． 8 C ． 10 D ． 12 4、已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论： ①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2）， A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 1题 2题 3题 4题 6题 A ． 5 B ． C ． D ． 5或 6、如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的 树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ） A ．8米 B ．10米 C ．12米 D ．14米 7、如图，若∠A =60°，AC =20m ，则BC 大约是(结果精确到0.1m)( ) A ．34.64m B ．34.6m C ．28.3m D ．17.3m 8、如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE ⊥AC ．若DE=10，AE=16，则BE 的长度为何？（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 9、如图，圆柱形容器中，高为1.2m ，底面周长为1m ，在容器壁． 离容器底部0.3m 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁．．，离容器上沿0.3m 与蚊子相对．． 的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m （容器厚度忽略不计）. 10、（2013?滨州）在△ABC 中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC 的长为 ． A C B 第7题图
勾股定理常考习题 勾股定理的直接应用： 1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝12，b ＝16，则c 的长为（ ） A ：26 B ：18 C ：20 D ：21 2、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为 （ ） A ：3 B ：4 C ：5 D ：7 3.在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，点Q 的坐标是 （7,8），则线段PQ 的长为_____. 4、 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此 直角三角形的面积是_________. 5、直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积是___________. 6、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。 7．在△ABC 中，若∠A ＋∠B ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则AB ＝______，AB 边上的高CE ＝______． 8．在△ABC 中，若AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AB ＝10，则AC ＝______，AB 边上的高CD ＝______． 9．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______． 10、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 11．若等腰三角形两边长分别为4和6，则底边上的高等于( )． (A)7 (B)7或41 (C)24 (D)24或7 12．在△ABC 中，若∠ACB ＝120°，AC ＝BC ，AB 边上的高CD ＝3，则AC ＝______，AB ＝______，BC 边上的高AE ＝______． 13. 等边三角形的边长为2，它的面积是___________ 14、若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，则n____________。 15．在数轴上画出表示10-及13的点． 16、如图∠B =∠ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则AB 的长是多少? 17．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( )． (A)4 (B)6 (C)8 (D)102 18.如图18－2－5，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，且S 1=4， S 2=8，则AB 的长为_________. 18题图 19题图 20题图 19．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为( )． (A)150cm 2 (B)200cm 2 (C)225cm 2 (D)无法计算 20．如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2，则正方形 的边长是______． 21．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3， 水平放置的4个正方形的面积是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______． 方程思想的应用： 1、 如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°， ， 求、、的值。 2．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知AB ＝3，AD ＝9，求BE 的长． 3．如图，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，求EC 的长． 4. 如图，在长方形ABCD 中，将?ABC 沿AC 对折至?AEC 位置，CE 与AD 交于点F 。 （1）试说明：AF=FC ；（2）如果AB=3，BC=4，求AF 的长 5. 如图，在长方形ABCD 中，DC=5，在DC 边上存在一点E ，沿直线AE 把△ABC 折叠，使点D 恰好在BC 边上，设此点为F ，若△ABF 的面积为30，求折叠的△AED 的面积 典型几何题 1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，AD ＝20，求BC 的长． 2．如图，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，求CD 的长． 3．已知：如图，四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2， CD ＝2，AD ＝3，求四边形ABCD 的面积． 4．已知：如图，△ABC 中，∠CAB ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，AD ⊥BC ，D 是垂足，求AD 的长． 5、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ， BC=6， AC=8， 求AB 、CD 的长 6．已知：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为CB 的四等分点且CE ＝ CB 4 1 ，求证：AF ⊥FE ． 7．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 、E 分别为BC 和AC 的中点， AD ＝5，BE ＝102求AB 的长．
河北 周建杰 分类 （2008年南京市）27．（8分）如图，已知O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP =， 射线PN 与 O 相切于点Q ．A B ，两点同时从点P 出发， 点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ． （1）求PQ 的长； （2）当t 为何值时，直线AB 与O 相切？ 以下是河南省高建国分类： （2008年巴中市）已知：如图14，抛物线2 334 y x =- +与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线3 4y x b =-+与y 轴交于点E ． （1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积． （3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积 最大，最大面积是多少？ 答 以下是湖北孔小朋分类： 21．（2008福建福州）（本题满分13分） 如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达 A B Q O P N M
点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式； （3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？ （2008年贵阳市）15．如图4，在126 的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），A 的半径为1，B 的半径为2，要使A 与静止的B 相切，那么A 由图示位置需向右平移个单位． 以下是江西康海芯的分类: 1.（2008年郴州市）如图10，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4， E 为 BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为 F ．FE 与DC 的延长线相交于点 G ，连结DE ，DF ．． （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG ． （2） 当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由． （3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为 y ，请你求出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时,y 有最大值，最大值是多少？ 10分 辽宁省 岳伟 分类 2008年桂林市 如图，平面直角坐标系中，⊙Ａ的圆心在Ｘ轴上，半径为１，直线Ｌ为y=2x-2，若⊙Ａ沿Ｘ轴向右运动，当⊙Ａ与Ｌ有公共点时，点Ａ移动的最大距离是（ ） A B （图4）
勾股定理知识点与常见题型总结
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勾股定理复习 一.知识归纳 1．勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ,斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股,斜边称为弦．早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为:两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,2214()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形,2112S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证
中考数学试题分类解析汇编 勾股定理 一．选择题（共10小题） 1．如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH 的长为（） A．B．2C．D．10﹣5 2．如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（） A．B．C．D． 3．如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（） A．1 B．2 C．3 D．4 4．下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7 5．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（）
A．B．C．D． 6．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A 处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为（） A．60海里B．45海里C．20海里D．30海里 7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（） A．﹣1 B．+1 C．﹣1 D．+1 8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是 BC的垂直平分线，点E是垂足．已知DC=8，AD=4，则图中长为4的线段有（） A．4条B．3条C．2条D．1条 9．△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（） A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．5 10．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（） A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，4
2018中考数学试题分类汇编：考点22 勾股定理 一．选择题（共7小题） 1．（2018?滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】直接根据勾股定理求解即可． 【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4， ∴弦为=5． 故选：A． 2．（2018?枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（） A．B．C．D． 【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案． 【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDA=90°， ∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF， ∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°， ∴FC=FG， ∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°， ∴△BFG∽△BAC，
∴=， ∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC=4， ∴=， ∵FC=FG， ∴=， 解得：FC=， 即CE的长为． 故选：A． 3．（2018?泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（） A．9 B．6 C．4 D．3 【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b， ∵每一个直角三角形的面积为： ab=×8=4， ∴4×ab+（a﹣b）2=25， ∴（a﹣b）2=25﹣16=9， ∴a﹣b=3， 故选：D．
2020年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1.（2020年浙江杭州） 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y = 2 4 1x +1，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标； (2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时. ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值. （第24题）
2.（2020年浙江湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、 D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于E （1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围． B C 第25题
3.（2020年浙江嘉兴市）如图，已知抛物线y＝－1 2 x2＋x＋4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B． （1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式； （2）设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．
4.（2020年浙江金华）如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t。求：Array（1）C的坐标为▲； （2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？ （3）△HCR面积S与t的函数关系式； 并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形 时t的值及S的最大值。
1?如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为10cm，在容器 内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm 的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 A. 13cm B . 2,61cm D . 2,34 cm 2. 如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3 个面爬到点B，如果它 运动的路径是最短的，则AC的长为_____________ 3. 我国古代有这 样一道数学问题：“枯木一根直立地上’高二丈 周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？， 题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆 柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕五 周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤5YNMH% 4. 如图，在等腰Rt A 0AA1中，/ OAA1=90 ° OA=1,以0A1为直角边作等腰Rt A OA1A2, 以0A2为直角边作等腰
5. 如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道?为了加快施工进度，想在小山的另 一侧同时施工?为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB 的垂线L,过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量/ ABD=135 ° BD=800米，求直线L 上距离D点多远的C处开挖？（血勺.414，精确到1米） 6. 勾股定理神秘而美妙， 它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用面积法
1所示摆放，其中 / DAB=90 °求证: 2 2 2 a +b =c 证明：连结 DB ，过点D 作BC 边上的高 DF ，贝U DF=EC=b - a . 1, 2 12 1 S 四边形 ADCB =S A ACD +S A ABC =7；b +^ab . 又T S 四边形 JL2 1 』2 1 / 、 ??僧 F ab 詞 c p a (b - a ) 2 ??? a 2+b 2=c 2 请参照上述证法，利用图 2完成下面的证明. 将两个全等的直角三角形按图 2所示摆放，其中/ DAB=90 求证：a 2+b 2=c 2 来证明，下面是小聪利用图 1证明勾股定理的过程: 将两个全等的直角三角形按图
勾股定理典型分类练习题 题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC C ∠=?． ?中，90 ⑴已知6 BC=．求AB的长 AC=，8 ⑵已知17 AC=，求BC的长 AB=，15 变式1：已知，△ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明△ABC 是等腰三角形。 变式2：已知△ABC的三边a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13, △ABC是否是直角三角形？你能说明理由吗？ 题型二：利用勾股定理测量长度 例1如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ 例2如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0. 5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.
题型三：勾股定理和逆定理并用 例3 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4 1 那么 △DEF 是直角三角形吗？为什么 题型四：旋转中的勾股定理的运用： 例4、如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能及 △ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。 变式：如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长. 分析：利用旋转变换，将△BPA 绕点B 逆时针选择60°，将三条线段集中到同一个三角形中，根据它们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形. 题型五：翻折问题 例5：如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿 AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长. P A P C B
2020年中考数学试题分类汇编之十一 四边形 一、选择题 1．（2020广州）如图5，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，6AB =，8BC =，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE EF +的值为（ * ）． （A ） 485 （B ）325 （C ）24 5 （D ） 12 5 【答案】C 2．（2020陕西）如图，在?ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8．E 是边BC 的中点，F 是?ABCD 内一点，且∠BFC ＝90°．连接AF 并延长，交CD 于点G ．若EF ∥AB ，则DG 的长为（ ） A ． B ． C ．3 D ．2 【解答】解：∵E 是边BC 的中点，且∠BFC ＝90°， ∴Rt △BCF 中，EF ＝BC ＝4， ∵EF ∥AB ，AB ∥CG ，E 是边BC 的中点， ∴F 是AG 的中点， ∴EF 是梯形ABCG 的中位线， ∴CG ＝2EF ﹣AB ＝3， 又∵CD ＝AB ＝5， ∴DG ＝5﹣3＝2， 故选：D ． 图5 O F E D C B A
3.（2020乐山）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，120BAD ∠=?，O 是对角线BD 的中点，过点O 作OE CD ⊥ 于点E ，连结OA ．则四边形AOED 的周长为（ ） A. 9+ B. 9+ C. 7+ D. 8 【答案】B 【详解】∵四边形ABCD 是菱形，O 是对角线BD 的中点， ∵AO∵BD ， AD=AB=4，AB∵DC ∵∵BAD=120o， ∵∵ABD=∵ADB=∵CDB=30o， ∵OE∵DC ， ∵在RtΔAOD 中，AD=4 ， AO=1 2 AD =2 ，= 在RtΔDEO 中，OE= 1 2 OD =，3=， ∵四边形AOED 的周长为 故选：B. 4.（2020贵阳）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ） A. 5 B. 20 C. 24 D. 32 【答案】B 【详解】解：如图所示，根据题意得AO ＝1842 ?=，BO ＝1 632?=， ∵四边形ABCD 是菱形， ∵AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AC∵BD ， ∵∵AOB 是直角三角形， ∵AB 5==， ∵此菱形的周长为：5×4＝20． 故选：B ．