2013年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷）
一、填空题( 本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上).
1.函数π3sin(2)4
y x =-的最小正周期为 . 【测量目标】三角函数的周期性.
【考查方式】求解函数sin()y A x ω?=+的最小正周期. 【难易程度】容易 【参考答案】π
【试题解析】函数π3sin(2)4y x =-的最小正周期2π
π2
T =
=. 2.设2
(2i)z =-(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 . 【测量目标】复数的概念和代数形式的四则运算. 【考查方式】给定复数的代数形式，求解复数的模. 【难易程度】容易 【参考答案】5
【试题解析】2(2i)34i z =-=-，所以22
|||34i |3(4)5z =-=+-=.
3.双曲线19
162
2=-y x 的两条渐近线的方程为 .
【测量目标】双曲线的简单几何性质.
【考查方式】给定双曲线的标准方程，求解其渐近线方程. 【难易程度】容易 【参考答案】34
y x =±
. 【试题解析】由双曲线方程可知4,3,a b ==所以两条渐近线方程为34
y x =±. 4.集合{}1,0,1-共有 个子集. 【测量目标】集合的含义.
【考查方式】直接给出集合，求出子集. 【难易程度】容易 【参考答案】8
【试题解析】由于集合中有3个元素，故该集合有3
28=（个）子集.
5.如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 .
第5题图
【测量目标】选择结构和循环结构的程序框图.
【考查方式】给定带有循环结构的算法程序框图，分析每一次执行的结果并判断是否满足条件，最后得出答案. 【难易程度】容易 【参考答案】3
【试题解析】算法流程图执行过程如下：
1,2,20;n a a ==<8,2,20;a n a ==<26,3,20a n a ==>，输出3n =.
6.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 . 【测量目标】数据平均数和方差的计算.
【考查方式】分别计算甲、乙两运动员射击环数的平均数和方差，比较后得出结论. 【难易程度】容易 【参考答案】2
【试题解析】由表中数据计算得90,90,x x ==甲乙且
2222221
[(8790)(9190)(9090)(8990)(9390)]45s =-+-+-+-+-=甲，
2222221
[(8990)(9090)(9190)(8890)(9290)]25
s =-+-+-+-+-=乙.（步骤1）
由于2s 甲>2s 乙，故乙的成绩较为稳定，其方差为2. （步骤2） 7.现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数,(7,9)m n m n 剟可以任意选取，则n m ,都取到奇
数的概率为 . 【测量目标】古典概型概率.
【考查方式】利用集合求出满足的正整数个数，再用古典概型求出概率. 【难易程度】中等 【参考答案】
2063
【试题解析】因为正整数m,n 满足7,9,m n 剟所以(,)m n 所有可能的取值一共有7963
?=（种），（步骤1）
其中m,n 都取到奇数的情况有4520?=（种），因此所求概率为20
63
p =
.（步骤2） 8.如图，在三棱柱111A B C ABC -中，,,D E F 分别是1,,AB AC AA 的中点. 设三棱锥F ADE -的体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V = .
第8题图
【测量目标】三棱柱、三棱锥体积的计算.
【考查方式】通过点,,D E F 为中点得出三棱柱与三棱锥的底面面积以及高之间的关系，然后利用体积公式得出体积之间的比值. 【难易程度】中等 【参考答案】1:24
【试题解析】设三棱柱的底面ABC 的面积为S ，高为h ，则其体积为2V Sh =.（步骤1） 又因为F 为1AA 的中点，所以三棱锥F ADE -的体积为1211111
3422424
V S h Sh V =
?== ，
故12:V V =1:24.（步骤2）
9.抛物线2
y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界） .若点(,)P x y 是区域D 内的任意一点，则2x y +的取值范围是 . 【测量目标】导数的几何意义、直线方程以及线性规划问题.
【考查方式】给定函数和切点横坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，然后得到可行域，再利用线性规划问题的一般解法求解最值范围. 【难易程度】中等 【参考答案】1
[2,]2
-
【试题解析】由于2y x '=，所以抛物线在1x =处的切线方程为12(1)y x -=-，即21y x =-.画出可行域（如图）. （步骤1） 设2x y z +=，则1122y x z =-+经过点1
(,0)2A ，(0,1)B -时，z 分别取最大值和最小值，此时最大值max
12z =，最小值min 2z =-，故取值范围是1
[2,]2
-.（步骤2）
第9题图
10.设E D ,分别是ABC △的边BC AB ,上的点，AB AD 21=
,BC BE 3
2
=,若12DE AB AC λλ=+
(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 .
【测量目标】平面向量的几何表示和加法、减法及数乘等线性运算.
【考查方式】在平面图形中利用平面向量的三角形法则和加减法运算法则将向量用不共线的基本向量表示出来，对照已知条件求出待定系数. 【难易程度】中等 【参考答案】
1
2
【试题解析】由题意
212112()323263
DE BE BD BC BA AC AB AB AB AC =-=-=-+=-+
，（步骤1）
于是
121
2,63λλ=-=，故121
2
λλ+=
.（步骤2） 11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2
-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 .
【测量目标】函数奇偶型的应用以及一元二次不等式的求解.
【考查方式】已知函数为奇函数，通过函数的奇偶性求出对应的分段函数，再利用并集运算求出不等式的解集. 【难易程度】较难
【参考答案】(5,0)(5,)-+∞
【试题解析】先求出函数)(x f 在R 上的解析式，然后分段求解不等式()f x x >，即得不等式的解集. 设0,x <则0,x ->于是22()()4()4,f x x x x x -=---=+（步骤1） 由于()f x 是R 上的奇函数，则2()4,f x x x -=+即2()4,f x x x =--（步骤2）
且(0)0,f =于是224,0()0,04,0x x x f x x x x x ?->?
==??--
（步骤3） 当0x >时，由24x x x ->得5x >；当0x <时，由2
4x x x -->得50x -<<，故不等式
的解集为(5,0)(5,)-+∞ （步骤4）
12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(122
22>>=+b a b
y a x ，右焦点为F ,
右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d .若
126d d =，则椭圆的离心率为 .
【测量目标】椭圆的定义.
【考查方式】根据椭圆中焦点到准线和原点到定直线的线段比例关系，设出各基本量,,a b c ，化简求出离心率. 【难易程度】中等
【参考答案】
33
【试题解析】依题意，22
2a b d c c c
=-=.又22BF c b a =+=，所以1bc d a =.（步骤1）
由已知可得26b bc
c a
= .所以26c ab =，即42226()c a a c =-，整理得 223a c =，所以离心率3
3
c e a =
=
.（步骤2） 13.平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数)0(1
>=
x x
y 图象上一动点，
若点A P ,之间最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 . 【测量目标】两点间距离公式、均值不等式、二次函数的最值以及换元法.
【考查方式】已知定点与函数图象中动点的距离最小值，设出点坐标代入距离公式通过换元法和均值不等式，从而求出待定系数. 【难易程度】较难 【参考答案】1,10-
【试题解析】依题意可设1
(,)(0)P x x x
=>， 则2
2
2
2
22111||()()2()2PA x a a x a x a x
x x
=-+-=+-++.（步骤1） 令1
x t x
+
=，则2t …且222||222PA t at a =--+=22()2t a a -+-. （步骤2） 若2a …，则当t a =时，2||PA 取最小值2
2a -，令222(22)a -=，解得10a =（10a =-舍去）；
若2a <，则当2t =时， 2||PA 取最小值2
242a a -+，令22242(22)a a -+=，解得
1a =-（3a =舍去）（步骤4）
综上，满足条件的所有a 的值为1-和10.（步骤5） 14.在正项等比数列{}n a 中，2
1
5=
a ，376=+a a .则满足123123n n a a a a a a a a ++++> 的最大正整数n 的值为 .
【测量目标】等比数列的通项公式、求和公式以及不等式的性质.
【考查方式】给出等比数列的几项，求出其公比和首项，将通项公式和求和公式运用到不等式中，从而得出n 的范围，最后确定满足条件的最大正整数. 【难易程度】较难 【参考答案】12
【试题解析】设{}n a 的公比，则由已知可得4
121,2
1()3,2
a q q q ?=????+=??解得11,322.a q ?=???=?（步骤1）
于是121
(12)132(21)1232
n n n a a a -+++==-- ，(1)
(1)2
21211()232n n n n n n n a a a a q
--== . （步骤2）
由1212n n a a a a a a +++> 可得(1)211(21)()23232
n n n n -->，整理得2111522
212n n n -+->. （步骤3） 由
2111
522
22
n n n
-+>,可得
2111
522
n n >
-+，即213100n n -+<，解得
13
12913129
2
2
n -+<<
，（步骤4）
取12n =，可以验证当12n =时满足
1212n n a a a a a a +++> ，故n 的最大值为12. （步骤5）
二、解答题(本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区 才域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤).
15.（本小题满分14分）已知(cos ,sin )αα=a ，(cos ,sin )ββ=b ，0πβα<<<. (1) 若||2-=a b ，求证：⊥a b ；
(2) 设(0,1)=c ，若+=a b c ，求α，β的值. 【测量目标】平面向量的坐标运算、诱导公式.
【考查方式】两个垂直的向量转化为向量的数量积为0，代入向量即可求证；给出向量加法运算的坐标关系，利用诱导公式进而求出对应角. 【难易程度】中等
【试题解析】（1）证明：由题意的2||2-=a b ，即222()22-=-+= a b a a b b . （步骤1）
又因为2222||||1====a b a b ，所以222-=a b
，即0=a b ，故⊥a b .（步骤2） （2）因为(c o s c o s ,s i n s i αβαβ=++=a +b , 所以c o s c o s
s i n s i n 1,
αβα
β+
=??
+=?
（步骤3）
由此得，cos cos(π)αβ=-，由0πβ<<，得0ππβ<-<，又0πα<<，故παβ=-（步骤4）
代入sin sin 1αβ+=，得1sin sin 2αβ==，而αβ>，所以5ππ
,66
αβ=
=.（步骤5） 16. （本小题满分14分）
如图，在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥,AS AB =. 过A 作
AF SB ⊥，垂足为F ，点E ,G 分别是侧棱SA ,SC 的中点.
求证：(1) 平面EFG ∥平面ABC ;
(2)BC SA ⊥.
第16题图
【测量目标】面面平行的判定定理和线面垂直的证明. 【考查方式】线面平行?面面平行，线面垂直?线线垂直. 【难易程度】较难 【试题解析】
证明：（1）因为AS AB =，AF SB ⊥，垂足为F ，所以F 是SB 的中点. （步骤1） 又因为E 是SA 的中点，所以EF AB ∥.（步骤2）
因为EF ?平面ABC ，AB ?平面ABC ，所以EF ∥平面ABC （步骤3） 同理EG ∥平面ABC . 又EF EG E = ，所以平面EFG ∥平面ABC .（步骤4） （2）因为平面SAB ⊥平面SBC ，且交线为SB ，又AF ?平面SAB ，AF SB ⊥，所以AF ⊥
平面SBC . （步骤5）
因为BC ?平面SBC ，所以AF BC ⊥. （步骤6）
又因为AB BC ⊥，AF AB A = ，AF ?平面SAB ，BC ⊥平面SAB . （步骤7） 因为SA ?平面SAB ，所以BC SA ⊥.（步骤8）
第16题图
17. （本小题满分14分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()03A ,，直线24l y x =-：.设圆的半径为1，圆心在l 上.
(1) 若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2) 若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.
第17题图
【测量目标】圆的方程、圆的切线方程以及两圆间的位置关系.
【考查方式】利用两直线交点确定其圆的方程，进而由待定系数法求出过定点的圆的切线方程；利用线段关系转化为判断两个圆的有公共点的问题，进而求出未知数的取值范围. 【难易程度】较难
【试题解析】(1)由题设，圆心C 是直线24y x =-和22a =-的交点，解得点(3,2)C ，于是切线的斜率必存在. （步骤1）
设过11P 的圆
C 的切线方程为3y kx =+. 由题意得，
2|31|
11
k k +=+，解得0k =或3
4k =-，
（步骤2）
故所求切线方程为3y =或34120x y +-=.（步骤3）
(2)因为圆心在直线24y x =-上，所以圆C 的方程为22()[2(2)]1x a y a -+--=.（步骤4）
设点(,)M x y ，因为2M A M O =,所以
2222(3)2x y x y +-=+，
化简得
22230x y y ++-=，即22(1)4x y ++=，所以点M 在以(0,1)D -为圆心，2为半径的圆上.
（步骤5）
由题意，点(,)M x y 在圆
C 上，所以圆C 和圆
D 有公共点，则|21|21CD -+剟, 即
22
1(23)3a a +-剟.整理，得285120a a
--剟. （步骤6）
由251280a a -+…，得a ∈R ；由
2
5120a a -…，得12
05a 剟. 所以a
的取值范围为
12
[0,
]5
（步骤7） 18. （本小题满分16分）
如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径. 一种是从沿A 直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C . 现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min. 在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C . 假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，山路AC 长为1260m ，经测量，12cos 13A =，3
cos 5
C =. (1) 求索道AB 的长；
(2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3) 为使两位游客在C 处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
第18题图
【测量目标】正弦定理的实际应用和函数的最值问题.
【考查方式】由已知条件，利用解三角形的方法和正弦定理求出未知线段；利用余弦定理将
甲和乙之间的距离表示为函数，将距离最短问题转化为函数的最小值问题；在三角形中结合不等式，考查变量的取值范围. 【难易程度】中等 【试题解析】
（1）在△ABC 中，因为12cos 13A =，3cos 5C =，所以5sin 13A =，4sin 5
C =. （步骤1）
从而sin sin[π(+)]=sin(+)B A C A C =-5312463
sin cos cos sin 13513565
A C A C =+=?+?=. （步骤2） 由正弦定理
sin sin AB AC C B =, 得12604
sin 1040(m)63sin 565
AC AB C B ==?=
所以索道AB 的长为1040m .（步骤3）
（2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(10050)m t +，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得
22212
(10050)(130)2130(10050)13
d t t t t =++-??+?
2200(377050)t t =-+.（步骤4） 由于10400130t
剟，即08t 剟，故当35
(min)37
t =时，甲、乙两游客距离最短. （步骤5）
（3）由正弦定理sin sin BC AC A B =，得12605
sin 500(m)63sin 1365
AC BC A B ==?= （步骤6）
乙从B 出发时，甲已走了50(281)550(m)?++=，还需走710m 才能到达C . （步骤7） 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得500710
3350
v --剟，解得
1250
625
4314
v 剟， （步骤8）
所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在1250625
[,]4314
（单位：m/min ）范围内. （步骤9） 19. （本小题满分16分）
设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和. 记2n
n nS b n c
=
+，
*n ∈N ，其中c 为实数.
(1) 若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：()2Ν*nk k S n S k ,n =∈；
(2) 若{}n b 是等差数列，证明：0c =.
【测量目标】等差数列的通项公式、前n 项和以及等比数列的定义及性质.
【考查方式】利用首项a 和公差d 将数列n b 表示出来，根据给定的比例关系得出a 和b 的关系，从而验证等式；给定{}n b 是等差数列代入等式中，通过待定系数法得出各值，再利用排除法得出相关结论. 【难易程度】较难 【试题解析】 （1）由0c =，得12
N n S n b a d n -=
=+. 又因为124,,b b b 成等比数列，所以2214b b b = ，即23
()()22
d a a a d +=+，化简得220d ad -=. （步骤1）
因为0d ≠，所以2d a =. 因此，对于所有的*m ∈N ，有2m S m a =. 从而对于所有的
,*k n ∈N ，有2222()nk k S nk a n k a n S ===.（步骤2）
（2）c n a
d n n c n nS b n n ++-=+=22
222)1(
c n a
d n c
a d n c a d n n ++--+-++-=2222)1(22)1(22)1(c
n a d n c a d n ++--+-=2
22)1(22)1((*)（步骤3）
若}{n b 是等差数列，则n n n
B A b +=型．观察(*)式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：022)1(2
=++-c n a
d n c
，（步骤4） 即022)1(=+-a d n c ，而2
2)1(a
d n +-≠0，
故0=c
．经检验，当0=c 时，}{n b 是等差数列．（步骤5）
20. （本小题满分16分）
设函数()ln f x x ax =-，()e x g x ax =-，其中a 为实数.
(1) 若()f x 在()1,+∞上是单调减函数，且()g x 在()1,+∞上有最小值，求a 的范围； (2) 若()g x 在()1,-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论. 【测量目标】函数的单调性、极值、最值、零点等性质以及函数与导数的联系.
【考查方式】将减函数转化为导函数为负数，函数在定义域上有最小值转化为导函数的零点来求解函数中的未知数; 由导函数恒正得出未知数的范围，再进行分类讨论，来研究函数的零点.
【难易程度】较难 【试题解析】 （1）令11()0ax f x a x x
-'=
-=<，（步骤1） 考虑到()f x 的定义域为(0,)+∞，故0a >，进而解得1
x a ->，即()f x 在1(,)a -+∞上是单
调减函数. 同理，()f x 在1(0,)a -上是单调增函数. （步骤2）
由于()f x 在(1,)+∞上是单调减函数，故(1,)+∞1(,)a -?+∞，从而1
1a -…，即1a …. （步骤3）
令()e 0x g x a '=-=，得ln x a =. 当ln x a <时，()0g x '<；当ln x a >时，()0g x '>. 又
()g x 在(1,)+∞上有最小值，所以ln 1a >，即e a >.
综上所述两种情况，得(e,)a ∈+∞.（步骤4）
（2）当0a …时，()g x 必为单调增函数； 当0a >时，令()e 0x g x a '=->，解得e x a <，
即ln x a >. （步骤5）
因为()g x 在(1,)-+∞上是单调增函数，类似（1）有ln 1a -…，即0e x
a <….
结合上述两种情况，得1
e a -….（步骤6） ○
1当0a =时，由(1)0f =以及1
()0f x x
'=>，得()f x 存在唯一的零点；（步骤7） ○
2当0a <时，由于(e )e (1e )0a a a f a a a =-=-<，(1)0f a =->，且函数()f x 在[e ,1]a
上的图象连续，所以()f x 在(e ,1)a
上存在零点. （步骤8）
另外，当0x >时，1
()0f x a x
'=->，故()f x 在(0,)+∞上是单调增函数，所以()f x 只有一个零点. （步骤9）
○
3当1
0e a -<…时，令1
()0f x a x
'=-=，解得1x a -=；当10x a -<<时，()0f x '>；当1x a ->时，()0f x '<，所以1x a -=是()f x 的最大值点，且最大值为1()ln 1f a a -=--.
（步骤10）
a. 当ln 10a --=，即1
e a -=时，()
f x 有一个零点e x =.（步骤11）
b. 当ln 10a -->，即1
0e a -<<时，()f x 有两个零点. 实际上，对于1
0e a -<<，由于
11(e )1e 0f a --=--<，1()0f a ->，且函数()f x 在11[e ,]a --上的图象连续，所以()
f x 在11(e ,)a --上存在零点. 另外，当1(0,)x a -∈时，1
()0f x a x
'=->，故()f x 在1(0,)a -上只有一个零点. （步骤12） 下面考虑()f x 在1(,)a -+∞上的情况.
先证1
1
2(e )(e )0a a f a a ---=-<. 为此，我们要证明：当e x >时，2
e x x >.
设2()e x h x x =-，则()e 2x h x x '=-，再设()()e 2x
l x h x x '==-，则()e 2x l x '=-.
（步骤13）
当1x >时，()e 2e 20
x
l x '=->->，所以()()l x h x '=在(1,)+∞上是单调增函数. （步骤14）
故当2x >时，2()e 2(2)e 40x h x x h ''=->=->，从而()h x 在(2,)+∞上是单调增函数，（步骤15）
进而当e x >时，2e 2
()e (e)=e e 0x h x x h =->->，即当e x >时，2
e x x >.（步骤16）
当10e a -<<，即1
e a
->时，1
1
1
12(e )e (e )0a a a f a a a a -----=-=-<. 又1()0f a ->，
且函数()f x 在1
1[,e ]a a --上的图象连续，所以()f x 在1
1(,e )a a --上存在零点. （步骤17）
又当1
x a ->时，1
()0f x a x
'=
-<，故()f x 在1(,)a -+∞上是单调减函数，所以()f x 在1(,)a -+∞上只有一个零点. （步骤18）
综合○1○2○3可知，当0a …或1e a -=时，()f x 的零点个数为1；当1
0e a -<<时，()
f x 的零点个数为2. （步骤19）
数学Ⅱ（附加题）
21.[选做题]（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答. 若多做，则按照前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） A. ［选修4-1：几何证明选讲］（本小题满分10分）
如图，AB 和BC 分别于圆O 相切于点,,D C AC 经过圆心O ,且2BC OC =，求证：
2AC AD =.
第21题图
【测量目标】几何证明选讲.
【考查方式】结合三角形和圆相交的一些条件，运用三角形相似的性质从而得出线段间的比例关系.
【难易程度】中等
【试题解析】证明：连结OD , 因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点,D C ，所以
90ADO ACB ∠=∠= . （步骤1）
又因为A A ∠=∠, 所以Rt ADO △∽Rt ACB △ 所以BC AC
OD AD
=. 又22BC OC OD ==，故2AC AD =.（步骤2）
第21题图
B. ［选修4-2：矩阵与变换］（本小题满分10分） 已知矩阵1002-???
???A =，1206????
??
B =, 求矩阵-
A B . 【测量目标】矩阵与行列式初步.
【考查方式】给出两矩阵，利用矩阵与逆矩阵相乘为单位矩阵的性质求出对应参数. 【难易程度】中等
【试题解析】设矩阵A 的逆矩阵为a b c d ???
???
，则10100201a b c d -??????
=??????
?????? ，（步骤1）即 102201a b c d --????=????????
，故1
1,0,0,2a b c d =-===，（步骤2） 从而A 的逆矩阵为10=102--????????A ，所以101212=1060302--??
--??????=??????????
??
A B .（步骤3） C. ［选修4-4：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1
2x t y t =+??=?
（t 为参数），曲线C 的参数方程为
22tan 2tan x y θ
θ
?=?
=?（θ为参数）. 试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标. 【测量目标】坐标系与参数方程.
【考查方式】给定直线和曲线的参数方程，用代入法消去参数t 化为普通方程，联立方程求出公共点的坐标. 【难易程度】中等
【试题解析】因为直线l 的参数方程为1
2x t y t
=+??
=?（t 为参数），由1x t =+得1t x =-，代入
2y t =，得到直线l 的方程为220x y --=. （步骤1）
同理得到曲线C 的普通方程为22y x =. 联立方程组2
2(1)
2y x y x
=-??
=?解得公共点的坐标为1
(2,2),(,1)2
-.（步骤2）
D.［选修4-5：不等式选讲］ (本小题满分10分).
a b …＞0，求证：332222a b ab a b --….
【测量目标】不等式选讲.
【考查方式】用作差比较法证明不等式. 【难易程度】较难
【试题解析】证明：∵3
3
2
2
22a b ab a b --+=3223
(22)()a ab a b b -+-=
22222()()a a b b a b -+-22()(2)a b a b =-+()()(2)a b a b a b =+-+,（步骤1）
又∵a b …＞0， ∴b a +＞0，0a b -…20a b +>,∴()()(2)0a b a b a b +-+…（步骤2） ∴3
322220a b ab a b --+…∴332222a b ab a b --….（步骤3）
22. （本小题满分10分）
如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AC AB ⊥,2==AC AB ,41=AA ,点D 是BC 的中点（1）求异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值. （2）求平面1ADC 与1ABA 所成二面角的正弦值
.
第22题图
【测量目标】异面直线、二面角、空间向量及其运算、空间直角坐标系和空间向量的应用. 【考查方式】建立空间直角坐标系求异面直线的余弦值和两平面间二面角的正弦值. 【难易程度】较难
【试题解析】（1）以{}
1,,AA AC AB 为单位正交基底建立空间直角坐标系xyz A -，
则)0,0,0(A ,)0,0,2(B ，)0,2,0(C ,)4,0,0(1A ,)0,1,1(D ,)4,2,0(1C .
∴)4,0,2(1-=B A ,1(1,1,4)C D =--
（步骤1）
∴11111118310
cos ,102018A B C D A B C D A B C D
<>==
=?
, ∴异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值为
10
10
3.（步骤2） （2）)0,2,0(=AC 是平面1ABA 的的一个法向量,
设平面1ADC 的法向量为(,,)x y z =m ，∵)0,1,1(=AD ,)4,2,0(1
=AC ,（步骤3）
由1,AD AC ⊥⊥ m m ,
∴
???=+=+0
420
z y y x 取1=z ，得2,2=-=x y ，∴平面1A D C 的法向量为(2,2,1)=-m
（步骤4）
设平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角为θ,
∴42cos cos ,233AC AC AC θ-=<>===?
m m m
， 得35
sin =θ. ∴平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值为
3
5
.（步骤5）
第22题图
23. （本小题满分10分）
设数列{}1223334444n a ：，-，-，，，，-，-，-，-，，
11
11k k k k k --
个
（-），，（-），即当1122
k k k k n -+<（）（）…()k +∈N 时，1
1k n a k -=（-），记12n n S a a a =++ ()n +∈N ，对于l +
∈N ，定义集合1P ={n n S 是n a 的整数倍，n +
∈N ，且1n l 剟}.net]{[{
（1）求集合11P 中元素的个数； （2）求集合2000P 中元素的个数.
【测量目标】集合、数列的概念和运算，计数原理，数学归纳法.
【考查方式】给出数列的规律，由此求出数列相应的项及各项之和，采用列举法写出所满足的元素；由特殊形式推广到一般形式，采用计数原理和数学归纳法来证明得之. 【难易程度】较难
【试题解析】
（1）由数列{}n a 的定义得：11a =，22a =-，32a =-，43a =，53a =，63a =，74a =-，
48-=a ，49-=a ，410-=a ，511=a ,
∴11S =，21S =-，33S =-，40S =，53S =，66S =，72S =，82S =-，96S =-，
1010S =-，115S =-（步骤1）
∴111S a = ，440S a = ，551S a = ，662S a = ，11111S a =- ,（步骤2） ∴集合11P 中元素的个数为5.（步骤3）
（2）证明：用数学归纳法先证)12()12(+-=+i i S i i , 事实上，
①当1i =时，(21)31(21)3i i S S +==-?+=-故原式成立;
②假设当i m =时，等式成立，即(21)(21)m m S m m +=-+ 故原式成立.（步骤4） 则：1i m =+，时，(1)[2(1)1](1)(23m m m m S S +++++=）2
2
(21)(21)(22)m m S m m +=++-+
22(21)(21)(22)m m m m =-+++-+2(253)m m =-++(1)(23)m m =-++,（步骤5）
综合①②得：(21)(21)i i S i i +=-+ 于是
2(1)[21](21(21)i i i i S S i +++=++）2(21)(21)(21)(1)i i i i i =-+++=++,（步骤6）
由上可知：(21)i i S +是(21)i +的倍数，
而(1)(21)21(1,2,,21)i i j a i j i +++=+=+ ，所以(21)(21)(21)i i j i i S S j i +++=++,（步骤7） 是(1)(21)i i j a +++(1,2,,21)j i =+ 的倍数，又(1)(21)(1)(21)i i S i i ++=++不是22i +的倍数， 而(1)(21)(22)i i j a i +++=-+(1,2,,22)j i =+ ,
所以(1)(21)i i j S +++(21)(1)(22)i i j i =++-+(1)(21)(1)(21)(22)i i j i i S S j i +++++=-+不是
(1)(21)(1,2,,22)i i j a j i +++=+ 的倍数,（步骤8）
故当(21)l i i =+时，集合l P 中元素的个数为2
1321i i +++-= （）,（步骤9） 于是当(21)121l i i j j i =+++（
）剟时，集合l P 中元素的个数为2
i j +,
又200031231147=?
?++（）, 故集合2000P 中元素的个数为2
31471008+=.（步骤10）