第六节 多元函数的极值及其求法
一、二元函数的极值
二、二元函数的最值
三、条件极值 拉格朗日乘数法
极大值和极小值的定义
设)(X f u =在n
R X ?)U(0内有定义.
若,)(U ?0
X X ∈?总有)
()(0X f X f <)
)()((0X f X f >则称)(0X f 为函数)(X f 的极大值(极小值).
0X 称为函数的极大值点(极小值点).
函数的极大值和极小值统称为函数的极值. 函数的极大值和极小值统称为函数的极值.
现在对已有的结果进行分析,
看能否得到一点什么. 现在对已有的结果进行分析, 看能否得到一点什么.
进行分析：进行分析：
z=上半单位球面上半单位球面
进行分析：进行分析：
上半空间中的圆锥面 上半空间中的圆锥面
将以上对两例的分析与极值的定义综合起来,
你能得出什么样的结论？ 将以上对两例的分析与极值的定义综合起来, 你能得出什么样的结论？
先以二元函数为例, 叙述结果, 然后将它推广到一般的 n
元函数. 先以二元函数为例, 叙述结果, 然后将它推广到一般的 n 元函数.
使函数)(X f u =的一阶偏导数全为
极值点的判别法.
x
+y
= D
解方程组
???=???=′=???=′0
)4(),(0
)4(2),(2
22
y x y x x y x f y x y x xy y x f y x 得区域内唯一驻点
,
且
)1,2(=f ,
再求,(y
x f 在边界上的最值，
在边界
=
x 和
上
,
x 6(),(2
=x y x f 2)6(42
+?=′x x x f x ,0=
=x x
1lim 22+++∞→y x y x x
对自变量附加一定条件的极值问题就是有约束极值问题 .
三. 有约束极值（条件极值）
实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他
购买 张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为．设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果．
x y y x y x U ln ln ),(+=问题的实质：求
在条件 下的极值点．
y x y x U ln ln ),(+=200108=+y x
拉格朗日乘数法
问题： 求函数),,(z y x f u =在
0),,(=z y x ?下的极值.
条件