定积分论文

§ 1 定积分概念

教学要求： 知道定积分的客观背景——曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；

教学重点：深刻理解并掌握定积分的思想.

一、问题背景： 1. 曲边梯形的面积； 2. 变力所作的功 二、定积分的定义

从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如

∑

=?n

i i i x f 1

)(ξ

的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义

定义 设 )(x f 是定义在区间],[b a 上的一个函数，在闭区间],[b a 上任取

n-1个分b x x x x a n i i =<<<<<<- 11

把 [a,b] 分成 n 个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的一个分割，用T 表示, 分割的细度用}max{||||i x T ?=表示，在分割T 所属的各个小区间内各取一点],[1i i i x x -∈ξ称为介点，作和式

∑

=?n

i i

i x f 1

)(ξ 以后简记为 ∑)(T f

此和式称为)(x f 在],[b a 上属于分割T 的积分和（或黎曼和，设J 是一个确定的数，若对任意0>ε总存在某个0>δ，使得 ],[b a 上的任何分割T ，只要它的细度δ<||||T ，属于分割T 的所有积分和 ∑)(T f 都有

ε<-∑

|)(|J T f

则称)(x f 在],[b a 上可积，称J 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分(或黎曼积

分)，记作?b

a

f(x)dx

其中)(x f 称为积分函数，x 称为积分变量，],[b a 称为积分区间，b a ,分别称为积分 的上限和下限。

利用积分的定义，前面提到曲边梯形面积可简洁的表示为

?

=

b

a

dx x f S )(

变力作功问题可表示为

?=b

a

dx x F W )(

三．理解定积分定义要注意以下三点：

1）定积分定义与我们前面讲的函数极限的“δε-”定义形式上非常相似，但是两者之间还是有很大差别的。对于定积分来说，给定了细度||||T 以后，积分和并不唯一确定，同一细度分割由无穷多种，即使分割确定，介点i ξ仍可以任意选取，所以积分和的极限比前面讲的函数极限要复杂的多。

2）定积分是积分和的极限，积分值与积分变量的符号无关

?

?

?=

=

b

a

b

a

b

a

du u f dx x f dt t f )()()(

3) 0||||→T 表示分割越来越细的过程，0||||→T 分点个数∞→n ，但反

过来∞→n 并不能保证 0||||→T ， 所以 ∑

=→?=n

i i

i T x f J 1

||||)(lim

ξ不能写成

∑

=∞

→?=n

i i

i n x f J 1

)(lim

ξ

四、举例:

已知函数在区间上可积 .用定义求积分

例1

.

等分区间作为分法, . 取

解取

.=

.

上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 .

由函数在区间

例2已知函数在区间上可积 ,用定义求积分.

解分法与介点集选法如例1 , 有

.

上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分.

§2 牛顿—莱布尼茨公式

教学目标：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式． 教学内容：牛顿—莱布尼茨公式．

(1) 基本要求：熟练掌握和应用牛顿-莱布尼茨公式． (2) 较高要求：利用定积分的定义来处理一些特殊的极限．

用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。

定理9-1 若函数)(x f 在],[b a 上连续，且存在原函数)(x F ，则)(x f 在]

,[b a 上可积，且

?

-=b

a

a F

b F dx x f )()()(

这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为?-==b

a

b

a a F

b F x F dx x f )()()()(。

证： 给定],[b a 任意一个分割：b x x x a n =<<<=? 10:，

[]∑

∑==-?=

-=

-n

k k

k n

k k k

x f x F x

F a F b F 1

1

1)()()()()(η，

这里1--=?k k k x x x ，],[1k k k x x -∈η，用了Lagrange 中值定理。],[)(b a C x f ∈，由Cantor 定理，f 在],[b a 一致连续，所以0>?ε，0>?δ，只要],[,b a ∈ηξ，

δ

ηξ<-，就有a

b f f -<

-ε

ηξ)()(。

于是，当

δ

λ

k x 1max 时，对],[1k k k x x -∈?ξ，有

[][]ε

ηξ

ξ

--?∑∑

==n

k k k k

n

k k k x f f a F b F x f 1

1

)()()()()(。

注1：在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如)(x F ：在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且),(),()(b a x x f x F ∈='。而)(x f 只要在],[b a 上可积即可。

注2：本定理对)(x F 的要求是多余的。

设)(x f 在],[b a 可积（不一定连续），又设)(x F 在],[b a 上连续，并且在),(b a 上，)()(x f x F ='，则)

()()

()(a F b F x F dx x f b a

b

a

-==?。

证： 任给],[b a 一分割b x x x a n =<<<=? 10:，由Lagrange 中值定理

∑

=?=

-n

k k

k x f a F b F 1

)()()(η，),(1k k k x x -∈η。

因f 在],[b a 可积，令0

max 1→?=≤≤k n k x λ，则上式右边

?

→b a

dx

x f )(。所以

?

=

-b a

dx

x f a F b F )()()(。

例 1、 利用牛顿—莱布尼茨公式计算下列定积分： 1）?b

a n dx x （n 为整数）； 2）?

b

a

x

dx 2

（0

a

x dx e ；

4）?π0

sin xdx ； 5）?-2

24dx x x .

§3 可积条件

教学目标：理解定积分的充分条件，必要条件和充要条件． 教学内容：定积分的充分条件和必要条件；可积函数类

(1) 基本要求：掌握定积分的第一、二充要条件． (2) 较高要求：掌握定积分的第三充要条件． 一、可积的必要条件

定理9-2 若函数)(x f 在],[b a 上可积，则)(x f 在],[b a 上必有界。 证： （反证法） 若函数

()

f x 在

[],a b 上无界，对于[],a b 的任意分法

:?012n x a x x x b

=<<<<=

则至少存在一个子区间，不妨设为

1[,]

i i x x -，

()

f x 在其上无界。对于任取的

{}

k ξξ=，注意到

()

11

1

1

,()()()()n i n

k k i i k k k k k k k i S f x f x f x f x ξξξξξ-===+?=

?=?+

?+

?≥

∑

∑

∑

1

1

1

()(()())i n

i i k k k k k k i f x f x f x ξξξ-==+?-?+

?=

∑∑

()i i f x A

ξ?-

其中

1

1

1

()()i n

k k k k

k k i A f x f x ξξ-==+=

?+

?∑

∑

。于是对于任意取定的1[,]k k k x x ξ-∈，1,2,,1,1,,k i i n =-+ 。因

()

f x 在1[,]k k x x -上无界，对于任意给定

0M >1

[,]i i i

x

x

ξ-?∈，，使得

()i k

M A f x ξ+≥

?

可见对于

[],a b 的任意分法?，{}

k ξ

ξ?=，使得

()(),i i i i

M A S f x A x A M

x ξ

ξ+?≥?-=

?-=?

可见积分和(),S ξ?无界，从而函数()f x 在

[],a b 上不可积，此与假设相矛盾。

注：该定理指出任何可积函数一定是有界，但要注意的是：有界函数不一定可积。

例1、 证明狄利克雷函数???=为无理数

当为有理数当x ，，x x D 0,1)(在]10[，上有界但不可积。

证：对于

[]0,1的任意分法

:?01201n x x x x =<<<<=

根据有理数和无理数在数轴上的稠密性，在[]0,1的没一个子区间上既有有理数，

也有无理数。 若取

{}

k ξξ=，且

k

ξ是

1[,]

k k x x -上的有理数，则积分和

(),S ξ?=

()1

1

1

n

n

k

k

k

k k D x

x

ξ==?=

?=∑∑

若取{}k ξξ''

=，且k ξ'是1[,]k k x x -上的无理数，则积分和

(),S ξ'?=

()1

1

00

n

n

k

k

k

k k D x

x

ξ=='?=

?=∑∑

从而

()()0

lim ,1

d S ξ?→?=，

()()0

lim ,0

d S ξ?→'?=，根据定义3知，()D x 在[]0,1上不可积。

二、 可积的的充要条件

要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值。 设T={i

x ?n

i ,,2,1 =}为对[a ,b]的任一分割。由)(x f 在[a ,b]上有界知，

它在每个i x ?上存在上、下确界： i

x x i x f M ?∈=)(sup ,i

x x i x f m ?∈=)(inf ,n i ,,2,1 =.作

和∑=?=

n

i i

i

x M

T S 1

)(，∑=?=

n

i i

i

x m

T s 1

)(，

分别称为)(x f 关于分割T 的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）任给i i x ?∈ξ，n i ,2,1 =，显然有)()()(T S x f T s i i ≤?≤

∑

ξ。

说明：与积分和相比，达布和只与分割T 有关，而与点i ξ的取法无关。 定理9-3（可积准则） 函数)(x f 在],[b a 上可积?对0>?ε，T ?，使得

ε

<-)()(T s T S 。

设i i i m M -=ω，并称为)(x f 在i x ?上的振幅，有必要时记为f i ω。则有

i

n

i i

x T s T S ?=

-∑=1

)()(ω

。

定理9-3' 函数)(x f 在],[b a 上可积?对0>?ε，T ?，使得εω

i i x 1

。

不等式ε<-)()(T s T S 或εω

i i x 1

的几何意义：若函数)(x f 在],[b a 上可

积，则下图中包围曲线)(x f y =的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要

分割充分的细；反之亦然。 三、 可积函数类

定理9-4 若函数)(x f 为],[b a 上的连续函数，则)(x f 在],[b a 上可积。 证：根据在闭区间上连续函数性质，()f x 必在

[],a b 上一致连续，即0

ε

?>，

0δ?>，对于,[,]x x a b '''?∈，只要x x δ

'''-<，有

()()f x f x b a

ε

'''-<

-

对于

[],a b 的任意分法

?

，只要()d δ?<，注意到[]1(),k k f x C x x -∈，

[]

1,,k k x x ξξ-'''?∈，使得()k k m f ξ'=，()k k M f ξ''

=，从而有

()()k k k k k M m f f b a

ε

ωξξ'''=-=-<

- 1,2,,k n =

所以 1

1

n

n

k

k k

k k x x b a

ε

ω

ε

==?≤

?=-∑∑

即 ()0

1

lim

n

k

k d k x ω

?→=?=∑

由定理9-3'知，

[]

(),f x R a b ∈。

如果把定理9.4的函数连续性条件稍微放宽一点，还有如下结论： 定理9-5 若)(x f 是区间],[b a 上只有有限个间断点的有界函数，则)(x f 在

],[b a 上可积。

证：由假设

()

f x 在

[],a b 有界，即0

M

?>，使

(),

f x M ≤[,]

x ab ?∈，从而

()

f x 在[],a b 上的振幅

sup {()}inf {()}2a x b

a x b

f x f x M

ω≤≤≤≤=-≤。又已知

()

f x 在

[],a b 上有有限

个间断点，不妨设有m 个间断点12,,,m

ξξξ 。对于

[],a b 的任意分法:

?

0121n n x a x x x x b -=<<<<<= ，在其分割成的n 个小区间

01

12

1

[,

],[,],,[

]

n n

x x x x x x - 中至多有2m 个含有间断点，于是将振幅和分成两个部分

1

n

k

k k k k k

k x x x ω

ωω='''?=∑?+∑?∑

其中k k x ω'

∑?是相应于分法?含有间断点的那些小区间的振幅和，其项数至多为2m

项。k k x ω''

∑?是相应于分法?不含有间断点的那些小区间的振幅和。

因为

k k

x ω'∑?的

项数至

多为

2m

项，故

()1

1

1

0,0,8d m M

ε

εδδδ

?>?><

?<且，当时，有

1222482k k k x M x M m m M m M ε

ε

ωδ''∑?≤∑?≤<=

因为在k k x ω''

∑?对应的那些小区间上()f x 连续，从而必一致连续。故

()22

0,0,d εδδ?>?>?<当时，()f x 在这些小区间的振幅都小于2()b a ε

-。于是

()2()

2()

2()

2k k k k x x x b a b a b a b a εεεεω''''

''∑?<∑?=

∑?≤

-=

---

取

12m in{,}

δδδ=，对于

[],a b 的任意分法?，只要()d δ?<，有

1

22

n

k k k k k k k x x x ε

ε

ωωωε

='''?=∑?+∑?<

+

=∑

即 ()0

1

lim

n

k

k d k x ω

?→=?=∑

从而

[]

(),f x R a b ∈。

下面我们再介绍一类简单的可积函数，即单调函数。

定理9-6 若)(x f 是区间],[b a 上的单调函数，则)(x f 在],[b a 上可积。 证： 不妨设

()

f x 单调增加。若

()()

f a f b =，则

()()

()

[]

,f

x f a f b C

a

b

==∈，从而由定理9.4，

[]

(),f x R a b ∈。若

()()f a

f b <，

ε?>()()f b f a ε

δ?=

-，对于满足()d δ?<的任意分法?，有

1

1

[()()][()()]n n

k

k k k k k x f x f x f b f a ωδδε

==?<-=-=∑∑

由此即推知

[]

(),f x R a b ∈。

§4 定积分的性质

教学目标：掌握定积分的性质．

教学内容：定积分的基本性质；积分第一中值定理．

(1) 基本要求：掌握定积分的基本性质和积分第一中值定理． (2) 较高要求：较难的积分不等式的证明．

我们在9.1、9.3节的基础上将推导出定积分的以下性质。

性质1（线性性质）： 若函数()1f x ，()2f x ∈[],R a b ，12,k k ?R

∈，则函数()

11k f x +()22k f x ∈[],R a b ，且

()()1122b

a

k f x k f x dx +?????=()11b a k f x dx ?+()22b

a k f x dx ?

（2）

证： 作函数

()

11k f x +()22k f x 的积分和

()()1

1

2

21

n

k

k k k f k

f ξξ=+????∑k x ?=

1

k ()

1

1

n

k

k f ξ=∑k x ?+2

k ()

21

n

k k f ξ=∑

k

x ?

由假设

()

1f x ，

()

2f x ∈[],R a b ，故

()0l i m

d ?→()1

1n

k

k f ξ=∑k

x

?与

()0lim

d ?→()

21

n

k k f ξ=∑

k

x ?存在。

于是由极限性质知

()0

l i m

d ?→()()1

1

221

n

k

k k k f k

f ξξ=+????

∑k

x ?存在，从而

()

11k f x +()22k f x ∈

[]

,R a b ，且

()0lim

d ?→()()1

1

2

21

n

k

k k k f k f ξξ=+????

∑=1

k ()0lim

d ?→()1

1

n

k

k f ξ=∑k

x

?+2

k ()0lim

d ?→()

21

n

k k f ξ=∑

k

x ?

即

()()1122b a

k f x k f x dx

+?????

=

()11b

a

k f x dx

?+

()22b

a k f x dx

?

如果式（2）中，令()1f x ()

f x =，

()

2f x 1=；1k k =，20k =，可得

推论1：若函数()f x ∈[],R a b ，k R ∈，则()kf x ∈[],R a b ，且

()()b b

a

a

kf x dx k f x dx

=?

?

（3）

性质2（可加性质）： 设I 为一个有限闭区间，,,a b c I ∈，若()f x

在I 上可积，则()f x 在

[],a b 、[],a c 、[],c b 上均可积，且 ()b a

f x dx

?

=

()()c b

a

c

f x dx f x dx

+

?

?

（4）

证：利用函数可积充要条件式，可以证明()f x

在I 的任一子区间上均可积。

若

()

,c a b ∈，则对

[],a b 的任意分法?，总有

()0

lim

d ?→(),S ξ?=

()b a

f x dx

?

（5）

这时将c 始终作为分法?的一个分点，则

(),S ξ?=()

1

n

k

k f ξ=∑k x ?=

()

[]

,k

a c f ξ∑k

x ?()

[]

,k

c b f ξ+∑k

x ?

（6）

这里()

[]

,k

a c f ξ∑k

x ?与()

[]

,k

c b f ξ∑k

x ?分别表示相应于分法?函数

()

f x 在

[],a c 与

[],c b 上的积分和，由()f x [],R a c ∈、()f x [],R c b ∈及式（5）和式（6）

，有

()b

a

f x dx

?=

()()c b

a

c

f x dx f x dx

+

?

?

若c 在

[],a b 之外，不妨设c b >，则()f x [],R a c ∈，由上面的讨论，有

()()()c b c

a

a

b

f x dx f x dx f x dx

=

+

?

?

?

从而 ()b

a

f x dx

?=

()()c c

a

b

f x dx f x dx -?

?()()c b

a

c

f x dx f x dx

=

+

?

?

总之不论a 、b 、c 在区间I 的位置如何，总有式（4）成立。

性质3：（单调性质）： 若函数()f x ，()g x ∈[],R a b ，且()f x ()g x ≤，[],x a b ∈，

则

()b

a

f x dx ?()b a

g x dx

≤

?

（7）

推论2：若函数()f x ∈[],R a b ，且()m f x M ≤≤，[],x a b ∈，则

()()()

b a

m b a f x dx M b a -≤

≤-?

（8）

推论3：若函数()f x ∈[],R a b ，且()()00f x ≥≤，[],x a b ∈，则

()b

a

f x dx ?()

00≥≤ （9）

性质4：若函数()f x ∈[],R a b ，则()f x ∈[],R a b ，且

()()b b a

a

f

x dx

f

x dx

≤

?

?

（10）

证： 分别记函数()f x

与()f x 在区间上的振幅为()k f ω与()k f ω，由于

()k

f ω=[]1,,sup

k k x x x

x -'''∈()

(){

}f

x f

x '''-≤

[]

1,,sup

k k x x x x -'''∈()(){

}f

x f x '''-=()

k f ω

于是

()1

0n

k

k

k f x

ω=≤

?≤

∑()1

n

k

k

k f x

ω=?∑0

→ ()(

)

0d ?→

即()0

lim

d ?→()1

n

k

k

k f x

ω=?=∑，所以

()

f

x []

,R a b ∈。

又注意到，对任意函数()

f x ，总有

()

()()

f

x f

x f

x -≤≤

再根据性质3，有

()()()b b b a

a

a

f x dx f x dx f x dx

-≤

≤

?

?

?

可见式（6）成立

性质5（积分第一中值定理）： 若函数()f x [],C a b ∈，函数()g x 在区间

[],a b 上

可积且不变号，则在

[],a b 上至少存在一点ξ，使得

()()()()b

b

a

a f x g x dx f g x dx

ξ=?? （15）

证：首先由性质4，函数乘积()()[,]f x g x R a b ∈。不妨设()0f x ≥。记

m i n {()}a x b

m f x ≤≤=，

min{()}

a x b

M f x ≤≤=，则

()()()

()mg x f x g x M g x ≤≤ [,]x a b ∈

根据性质5，有

()()()()b

b b a

a

a

m g x dx f x g x dx M

g x dx

≤

≤??

?

（1

6）

由性质5的推论2，有()0

b

a

g x dx ≥?。如果这个积分为0，由不等式（12）推知

()()0

b

a

f x

g x dx =?

此时，对任意的[,]a b ξ∈，均有式（11）成立；如果这个积分大于0，则对式（12）两端同除以该积分值以后，得

()()/()b b

a

a

m f x g x dx g x dx M

≤

≤?

?

再由闭区间上连续函数的性质，在[,]a b 上至少存在一点ξ， 使

()()()/()b b

a

a

f f x

g x dx g x dx

ξ=

?

?

即 ()()()()b

b a

a

f x

g x dx f g x dx

ξ=??

特别，如果()1g x =，由性质3.7得： 推论4：若函数()[]

,f x C a b ∈，

则在

[],a b 上至少存在一点ξ，使得

()()()

b

a

f x dx f b a ξ=-? （17）

式（13）通常称为积分中值公式。对此可作如下几何解释：若函数()[]

,f x C a b ∈，

且

()0

f x ≥，那么如图3.1所示，积分

()b a

f x dx

?

表示曲线

()

y f x =下面曲线梯形ABCD 的面积，而积分中值公式说明，

它等于同底但高为()f ξ的矩形ABEF 的面积。()f ξ称为()f x 在

[],a b 上的平均

值。

例1、 证明：若函数()[],f x C a b ∈，非负，且[]0,x a b ?∈，使()00

f x >，

则()0

b

a

f x dx >?

证：不妨设()

0,x a b ∈，由于()

f x 在点0

x 处连续，取

()00

2

f x ε=

>，

000((,)(,))

x x a b δδδ?>-+?，当0(,)x U x δ∈时，有

()()()002

f x f x f x ε-<=

即

()

()()0032

2

f x f x f x <<

0(,)

x U x δ∈

于是由定积分的可加性质（性质4）和单调性质（性质6），有

0000()()()()b x x b a

a

x x f x dx f x dx f x dx f x dx δδδ

δ

-+-+=++≥??

?

?

0000000()()()2()0

2

2

x x x x f x f x f x dx dx f x δδδ

δ

δδ++--≥=

?=?>?

?

§5 微积分学基本定理 定积分的计算（续）

教学目标：掌握微积分学基本定理．

教学内容：变上限的定积分；变下限的定积分；微积分学基本定理；换元积分法；分部积分法；

一、变限积分与原函数的存在性

设)(x f 在],[b a 上可积，则对],[b a x ∈?，)(x f 在],[x a 上也可积，于是，由

?

=

Φx

a

dt t f x )()(， ],[b a x ∈

定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分。

类似地，可定义变下限的定积分：

?

=

ψb

x

dt t f x )()(，],[b a x ∈

)(x Φ和)(x ψ统称为变限积分。

说明：由于 ??-=x

b

b x

dt t f dt t f )()(，因此，只要讨论变上限积分即可。

定理9-9 若)(x f 在],[b a 上可积，则?

=

Φx

a

dt t f x )()(在],[b a 上连续。

证明： 利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。

定理9-10（原函数存在定理） 若函数)(x f 在],[b a 上连续，则

?

=

Φx

a

dt t f x )()(在],[b a 上处处可导，且)()()(x f dt t f dx

d x x

a

==

Φ'?

，],[b a x ∈。

证明：利用导数的定义及定积分的性质即可得。

说明：此定理沟通了导数与定积分之间的关系；同时也证明了连续函数必有原函数这一结论，并以积分的形式给出了)(x f 的一个原函数。因此，该定理也称之为微积分学基本定理。且得用它可以给出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明。 二 、 定积分的换元积分法和分部积分法

定理9-12 （定积分的换元积分法）若函数)(x f 在],[b a 上连续，)(x ?在],[βα上连续可微，且满足

a =)(α?，

b =)(β?，b t a ≤≤)(?，],[βα∈t ，

则有定积分的换元积分公式： ???=

'=

β

ε

β

α

????)())(()())(()(t d t f dt t t f dx x f b

a

。

证：由假设()[],f x C a b ∈，()f x 必有原函数，不妨设()()

F x f x 是的一个

原函数，即

()()[]

,,F x f x x a b '=∈。根据牛顿－莱布尼兹公式，有

()()

()b

a

f x dx F b F a =-?

另一方面，由复合函数求导法则及复合函数的连续性，有

(){}()()()()F t F F F b F a ??β?α'

=-=-????????????

由以上两式知

()()()b

a

f x dx f t t dt

β

α

??'=??????

注意：在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处。

例1、计算dx x ?-1

021。

解题要领： 令t x sin =或t x cos =即可。

例2、计算?20

2cos sin π

tdt t 。

解题要领：令t x cos =，逆向应用换元积分公式即可。

定理9-13 （定积分的分部积分法） 若)(x u 、)(x v 为],[b a 上的连续可微函数，则有定积分的分部积分公式： ?

?

'-

='b

a

b

a b

a dx x v x u x v x u dx x v x u )()()

()()()(，

或 ??-=b

a

b a

b

a

x du x v x v x u x dv x u )()()()()()(。

证：由于 ()()()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+???

?及牛顿-莱布尼兹公式，有 ()()()()()()

b a

b u x v x v x u x dx u x v x a

''+=?????

从而，根据定积分的线性性质，有

()()()()

()()b b a

a

b u x v x dx u x v x u x v x dx

a

''=-

?

?

从这个例子，我们可以看出定积分和不定积分换元有两点区别：

1）不定积分换元是作为整体的变量替换，定积分是作为一个特定区间上的变量替换，有时前者行不通而后者却可以进行；

2）不定积分换元后必须换回去，而定积分换元不必，只要把定积分值算出来就行了。

1. ],[)(a a C x f -∈偶函数，则 ?

?

?

--+

=

00

)()()(a

a a a

dx

x f dx x f dx x f

?

?

--

=

00

)()(a

a dt t f dx x f ?=a dx

x f 0

)(2。

2.

],[)(a a C x f -∈，奇函数 ，则 0

)(=?-a

a

dx x f 。

例3、

?

?

=

=

20

20

cos

sin

π

π

dx

x dx x I n

n

n

解：

?--=20

1

cos sin

π

x

d x I n n

?

--+

-=20

1

20

1

sin cos cos sin

π

π

x

d x x

x n n

?--=20

2

2

cos

sin

)1(π

dx

x x n n

??---=-20

20

2

sin )1(sin

)1(π

π

dx

x n dx x n n

n ，

)

2(12

≥-=

-n I n

n I n n

2

0π

=

I ， 11=I 。

所以

2!

)!2(!)!12(2πk k I k -=

，

!)!12(!)!2(12+=

+k k I k 。

(完整版)定积分的证明题

题目1证明题 容易 。证明 )()()()(a f x f dt t f t x dx d x a -='-? 解答_ 。 )()()()()()()()()()()()() ()()()( a f x f x f a f dt t f t x dx d dt t f a f x a dt t f a x t f t x t df t x dt t f t x x a x a x a x a x a -=+-='-=∴ +-=+-=-='-????? 题目2证明题 容易 。 利用积分中值定理证明 0sin lim :40 0=?→dx x n n π 解答_ 。 使 上存在点在由积分中值定理 0sin lim 0 sin lim 1sin 0sin lim 4 ]4 [0, ( )04( sin lim sin lim ,]4 ,0[, 40 00 40 =∴=∴<

定积分的概念(教学内容)

授课题目定积分的概念 课时数1课时 教学目标理解定积分的基本思想和概念的形成过程，掌握解决积分学问题的“四步曲”。 重点与难点重点：定积分的基本思想方法，定积分的概念形成过程。难点：定积分概念的理解。 学情分析我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基 于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒 体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化， 引导学生探索性学习。 教材分析本次课是学生学习完导数和不定积分这两个概念后的学习，定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺 垫，起到了承上启下的作用。而且定积分概念的引入体 现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变 代变”的基本思想。所以无论从内容还是数学思想方面， 本次课在教材中都处于重要的地位。 教学方法根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲 解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的 积极性。

教学手段 传统教学与多媒体资源相结合。 课程资源 同济大学《高等数学》（第七版）上册 教学内容与过程 一、定积分问题举例 1、曲边梯形的面积 设)(x f y =在区间],[b a 上非负连续。由)(,0,,x f y y b x a x ====所围成的图形称为曲边梯形（见下图），求其面积A ，具体计算步骤如下： （1）分割：在区间],[b a 中任意插入1-n 个分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210Λ 把],[b a 分成n 个小区间 ],[,],,[],,[12110n n x x x x x x -Λ 它们的长度依次为：n x x x ???,,,21Λ （2）近似代替：区间],[1i i x x -对应的第i 个小曲边梯形面积,)(i i i x f A ?≈?ξ ]).,[(1i i i x x -∈?ξ （3）求和：曲边梯形面积∑∑==?≈?=n i i i n i i x f A A 1 1 )(ξ （4）取极限：曲边梯形面积,)(lim 10∑=→?=n i i i x f A ξλ其中 }.,,m ax {1n x x ??=Λλ 2、变速直线运动路程 设物体做直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上的非负连续函数，计算这段时间内物体经过的路程s ，具体计算步骤与上相似 x a b y o 1x i x 1-i x i ξ

几类定积分不等式的证明

万方数据

万方数据

几类定积分不等式的证明 作者：王阳， 崔春红 作者单位：河北农业大学中兽医学院,河北定州,073000 刊名： 和田师范专科学校学报 英文刊名：JOURNAL OF HOTAN TEACHERS COLLEGE 年，卷(期)：2009，28(3) 被引用次数：0次 参考文献(4条) 1.白银凤微积分及其应用 2001 2.刘连福.许文林高等数学 2007 3.詹瑞清高等数学全真课堂 2003 4.沈燮吕.邵品宗数学分析纵横谈 1991 相似文献(10条) 1.期刊论文杜红敏.Du Hong-min浅谈定积分在不等式证明与因式分解中应用-中国科教创新导刊2009,""(3) 定积分是高中新课程体系中一个新增加的重要内容,很多教师在该部分内容的教学时都与高中其他知识点割裂开未,殊不知,定积分在高中阶段解题中具有广泛的应用,本文以定积分在不等式证明和因式分解中应用为例,探讨定积分在高中解题中的应用. 2.期刊论文陈欢定积分的一个不等式及其应用-福州大学学报(自然科学版)2003,31(6) 线性是定积分最重要的性质之一,在此基础上定性地分析了形如gfn的函数的定积分的随着n的变化趋势,得到一个定理,并利用这个定理重新证明了Holder不等式. 3.期刊论文嵇国平.Ji Guoping定积分在不等式上的应用-常州师范专科学校学报2003,21(2) 不等式的证明是中学教学的一个重要内容,同时也是一个数学难点.由于微积分部分内容逐步渗透到中学数学中,用定积分方法解决不等式证明已成为可能. 4.期刊论文张惠玲.ZHANG Hui-ling定积分中不等式性质的研究-西安航空技术高等专科学校学报2009,27(3) 关于不等式的性质结论中等号成立的问题,在定积分中,进行了研究与探讨,并举例说明了它的应用. 5.期刊论文冯其明含∑nk=1f(k/n)的不等式的一种证法-高等数学研究2003,6(4) 利用定积分的定义及其几何意义可证明一些含∑nk=1f(k)/(n)的不等式. 6.期刊论文侯晓星.HOU Xiao-xing含定积分的不等式证明-泰州职业技术学院学报2005,5(4) 定积分不等式的证明是常见的一种题型.通过对典型例题的分析,利用换元法将被积函数转化为非负函数,或将定积分不等式视为数值不等式,再利用函数的单调性等,论述了含定积分的不等式证明的一般规律及求证方法. 7.期刊论文程仁华.李丽定积分的定义与某些重要不等式的推广应用-景德镇高专学报2004,19(4) 本文通n个正数的调和平均值、几何平均值、算术平均值及k次幂平均值的关系,并利用定积分的定义和连续函数极限的性质推导出函数的上述四种平均值之间的类似关系. 8.期刊论文沈凤英.孙存金.SHEN Feng-ying.SUN Cun-jin Schwarz不等式及旋转体侧面积的计算问题-苏州市职业大学学报2006,17(4) 文章应用Schwarz不等式的知识,给出了旋转体侧面积计算公式的一个新颖的证明,并同时指出用定积分计算旋转体侧面积时应该避免发生的错误. 9.期刊论文林银河关于Minkowski不等式的讨论-丽水师范专科学校学报2003,25(5) 在有关定积分不等式中,Minkowski不等式占有重要地位.将<数学分析>中提到的Minkowski不等式推广到更加一般的情形,从而改进已有的结论. 10.期刊论文刘放不等式(1/n+1+1/n+2+…+1/2n)2《1/2的六种不同证法-宜宾学院学报2003,6(6) 给出了不等式((1)/(n+1)+(1)/(n+2)+…+(1)/(2n))2＜(1)/(2)的六种不同证法. 本文链接：https://www.doczj.com/doc/2c9102249.html,/Periodical_htsfgdzkxxxb-hwb200903135.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：05ca550e-ea59-4c55-8af2-9da600b00ff2，下载时间：2010年7月 1日

定积分的性质与计算方法

定积分的性质与计算方法 摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常 丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。 关键词:定积分 性质 计算方法 定积分的定义 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ]，其中x 0=a ，x n =b 。可知各区间的长度依次是：△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。在每个子区间(x i-1,x i ]中任取一点i ξ（1,2,...,n ），作和式1()n i i f x ι=ξ?∑。设λ=max{△x 1, △x 2, …, △x n }（即λ是 最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为: ()b a f x dx ?。 其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。 对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件， ()f x 在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件： 定理1： 设()f x 在区间[a,b]上连续，则()f x 在[a,b]上可积。 定理2： 设()f x 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则 ()f x 在[a,b]上可积。 例：利用定义计算定积分1 20x dx ?. 解：因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此，为了 便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i i x n = ，1,2,,1i n =?-;这样，

定积分不等式

第三章 一元积分学 第三节 定积分值的估计及不等式 定积分值的估计及不等式证明是一个较难的问题，方法多样，用到的知识（微分学的知识，积分学的知识等）也很多。总的说来： （1）主要用积分学的知识，除了定积分的性质、积分中值定理、计算方法外，以下几个简单的不等式也是有用的： （i ）若]),[( )()(b a x x g x f ∈≤，则?? ≤b a b a dx x g dx x f )()( . （ii ）? ?≤b a b a dx x f dx x f |)(||)(| . （iii ）若b d c a b a x x f ≤≤≤∈≥]),,[( 0)(,则?? ≤b a d c dx x f dx x f )()(. (iv)(柯西不等式)??? ≤b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([ 222 (2)主要用微分学的知识,包括前面己讲过的利用微分学知识证明不等式的一切方法. (3)利用二重积分、级数等．值得注意的是：题目的解法往往有多种，同一题目其解答过程中往往要用到各种知识和方法． 例１．判断积分 ? π 20 2sin dx x 的符号 分析：这个积分值是求不出来的．如果被积函数在积分区间上有确切的符号，那么积分值的符号很容易判断．如果被积函数在积分区间上有正、有负，那么应根据被积函数的正、负情况将积分区间分成部分区间，然后利用积分学等方面的知识比较在这些部分区间上的积分值（实际上是比较积分值的绝对值）．本题中被积函数2 sin x 在积分区间上有正、有负，先作换元：2 x t =，把积分变为 dt t t dx x ?? =ππ 2020 2 sin 21sin 后，问题更清晰，因而想到 dt t t dx x ?? = ππ 2020 2sin 21sin +=?π0sin (21dx t t )sin 2?π π dt t t 至此积分的符号凭直觉已经能判断了．但严格说明还需做一些工作，上式右端两个积分 的积分区间不一样，为了方便比较，应将两个积分放在同一积分区间上进行比较．有了这些分析和思路后，解答就容易了． 解：令2 x t =，则 dt t t dx x ?? = ππ 2020 2sin 21sin ＝ +=?π0sin (21dx t t )sin 2?π π dt t t 对上式右端后一积分换元π+=u t 得 ? ? ?+-=+-=π π π π π π 2sin sin sin dt t t du u u dt t t 从而 =? π 20 2sin dx x -= ?π0sin (21dx t t )sin 0 ? +π π dt t t

探讨定积分不等式的证明方法

探讨定积分不等式的证明方法 摘要：文章针对被积函数的特性，给出了几种关于定积分不等式的有效证明方法。 关键词：定积分 不等式 证法 不等式的证明在高等数学的学习中很常见，但关于定积分不等式的证明却一直是一个难点。要证明定积分不等式，首先要看被积函数，其性质确定证明方法。本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证法。 1．运用定积分中值定理证明 定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与该区间长度的乘积，即将定积分转化为函数来证明不等式。 例1：设)(x f 在[0,1]上连续且单调不增，证明a ?∈[0,1]有? a dx x f 0 )(≥? 1 )(dx x f a ． 证明：由原不等式变形得 ? a dx x f 0 )(≥??+1 ))()(dx x f dx x f a a （, 即是要证：? -a dx x f a 0 )() 1(≥?1 )(dx x f a , 对左式，)(x f 在[0,1]上连续，

故 由定积分中值定理知： [] a ，01∈?ξ使 )()1()()110 ξf a a dx x f a a -=-?（, 同理对右式：[]12，a ∈ ?ξ使)()1()(2 1 ξ f a a dx x f a -=?, 显然，ξ1＜ξ2又f(x)在[0,1]上单调不增， ∴f (ξ1)≥f (ξ2) 故原不等式 ? a dx x f 0 )(≥?1 )(dx x f a 成立. 定积分中值定理的运用直观易懂，它的条件也极其简单，易于掌握。 2．运用辅助函数证明 构造辅助函数F(x)证明不等式，首先是做函数将要证结论中的积分上限（下限）换成x ，移项使不等式的一边为零，另一边的表达式即是辅助函数。然后再求F ’(x)，并运用单调性及区间端点值特性证明不等式。 例2：设)(x f 在[a ，b]上连续,且)(x f >0. 试证：2b )() (1 )(a b dx x f dx x f a b a -≥?? 证明：构造辅助函数2)() (1 )()(a x dt t f dt t f x F x a x a --= ? ? （将b 换成x ）， 则??--+=x a x a a x dt t f x f dt t f x f x F )(2)() (1)(1)()('

第五章_第一节_不定积分的概念、性质.

经济数学——微积分 4 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题 经济数学——积分 二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或 dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间 /内原函数?(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是 cos 兀的原函数. (inx) =— (X >0) X In X 是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节 五、

定理原函数存在定理： 如果函数八X)在区间内连续, 那么在区 间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) = f(x). 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1)原函数是否唯一？ (2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f 例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx (C为任意常数) 经济数学一微积分 关于原函数的说明: (1) (2) 证 说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学一微积分

经济数学——微积分 不定积分（indefinite integral ）的定义： 在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I 可内的 不定积分，记为f/（xMr ? 经济数学——微积分 6 =X% /. fx^dx =—— 十 C. J 」 6 例2求f --------- dr. J 1 + X- / J 解?/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2 被积函数 『积分号 积分变量 寒积表达式 F(x)

用微积分理论证明不等式的方法

用微积分理论证明不等式的方法 高等数学中所涉及到的不等式，大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量)．对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数，从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似． 微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为函数的问题，利用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式． 一、用导数定义证明不等式法 1．证明方法根据－导数定义 导数定义：设函数)(x f y =在点。0x 的某个邻域内有定义，若极限 x y x x x x x x f x f ??→?→=--lim lim 0) ()(0 存在，则称函数)(x f 在0x 可导，称这极限为函数)(x f y =在点0 x 的导数，记作)(0x f y '=． 2．证明方法： (1)找出0x ，使得)(0x f y '=恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已知条件去研究． 3．例 例1:设函数nx a x a x a x f n sin 2sin sin )(21+++= ，其中n a a a ,,21都为实数， n 为正整数，已知对于一切实数x ，有x x f sin )(≤，试证：1221≤+++n na a a ． 证 明 ： 因 nx na x a x a x f n cos 2cos 2cos )(21+++=' ．则 n na a a f +++=' 212)0(． 得：x x f x x f x f x f f x x x ) ()(lim 0)0()()0(lim lim 00 →→→==--= '．由于x x f sin )(≤． 所以1sin )0(lim =≤ '→x x f x ．即1221≤+++n na a a ． 4.适用范围 用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系．有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的． 二．用可导函数的单调性证明不等式法

定积分的基本概念

定积分的基本概念 摘要：定积分的概念,原理,思想方法。 关键词：分割,求和,取极限。 通过了一个学期的学习，我们的专业课数学分分析从开始接触时的一窍不通到现在的马马虎虎。使我迷茫的学习慢慢的清晰起来，其中给我学以致用的就是定积分了。可以用来做很多方面的问题。下面来和大家分享一下我学习定积分的感悟。 定积分的概念 1)定积分概念的引入 2）“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 3)定积分的数学定义 重点：定积分的数学定义 难点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立 定积分概念的引入 在熟悉定积分的概念的同时我们应该明确定积分的基础思想。 在灵活运动定积分可以求曲边梯形的面积和变力所做的功，下面来分别的求它们的面积。我们可以从中比较一下，以给我们带来启发。 1曲边梯形的面积 中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。

近似看成多边形面积来计算。现在我们来计算一下溢流坝上部断面面积。 我们分别取n=10, 50, 100用计算机把它的图像画出来，并计算出面积的近似值： 1.当n=10时，用10个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则S10 0.7510。（见下图）

2.当n=50时，用50个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则S50≈0.6766。 3.当n=100时，用100个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则S100≈0.6717。 由此可知，分割越细，越接近面积准确值，而这个和求极限也是同出一则。把它这样简化来理解也就不再那么的难了。 再看一个变力做功的问题。 设质点m受力F（x）的作用，沿直线由A点运动到B点，求力 F（x）的做的功。 F虽然是变力，但在很短一段时间内△x，F的变化不大，可近似看着是常

定积分的证明题

题目1证明题 容易 d X 证明 (x -t) f (t)dt = f (x) - f (a) dx J a 解答_ X a (x-t)f (t)dt X = [(X —t)df(t) X X =(X 一 t)f(t) a + [ f(t)dt X = (^-X) f (a) + [ f (t)dt d X ^X a (X -t)f(t)dt --f(a) f(x) f (x) - f (a)。 题目2证明题 容易 由积分中值定理，在[0,…]上存在点',使 4 Iim 4 Sin n XdX= Iim Sin n ( 0) G 三[0,] n 》：：0 n 匚 4 4 Iim Sin n 4 J 0 Q 0 . sin ：： 1 .Iim Sin n =0 n _O π .Iim 4 Sin n XdX= 0。 —0 0 题目3证明题 一般 b 设函数 f (x)在［a,b ］内可导，且 f(a)=0, f(x)dx = 0 -a 证明：在［a,b ］内至少存在一点?使f 「)=0。 解答_ 由积分中值定理，在(a,b)存在一点'1，使 b ［ f (x)dx = f (： 1)(b -a) = 0 f ( 1 ) =0 在区间［a ， 1］上,应用罗尔定理，可知存 在一点 二(a ， ' 1) (a,b)使f ( J=0b 题目4证明题 一般 设 f (x) = f (x +a)， na a 证明：当n 为正整数时 0 f (x)dx = n .°f(x)dx 解答 利用积分中值定理证明 解答 π :Ijm 4 Sin n XdX 二 0 n 0 0

定积分计算公式和性质

第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x 为上的任一点， 于是， 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动，则对 于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数，我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看，也很显然。因为X 是上一个动点， 从而以线段 为底的曲边梯形的面积，必然随着底数 端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10） 图 5-10

定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数，那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即 是 一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数 的原函数 ， 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般 方法： 设函数在闭区间上连续， 是 的一个原函数， 即 ，则 图 5-11

这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以 得到定积分以下几个简单性质： 图 5-12

2076字定积分中的几何证明方法与证明

定积分中的几何直观方法与不等式的证明 摘要：一些高指数的不等式，如果借助算术—几何均值不等式或者通过分解因式再进行放缩的话，一般都要分01p <<与1p >进行讨论证明，往往证明起来很麻烦，若借助数学分析中的定积分来进行证明的话，会大大简化其证明工序，也很简单，灵活的选取合适的初等函数进行定积分，再求和会得到意想不到的效果。 关键词：高指数；不等式；算术—几何均值；定积分；数列 1 引言 文[1]中给出了一个不等式： 11 2(11)21n i n n i =+-<<-∑ （1n >） （1） 田寅生对（1）进行了指数推广，其结果是 命题1【2】 设p R ∈且0p >，1p ≠，1n >，则有 1111111[(1)1]1111n p p p k n n p k p p --=+-<<-+---∑ （2） 文[2]的证明方法是借助于算术—几何均值不等式，分01p <<与1p >进行讨论证明，读者不难看出，不仅过程繁琐，而且对其证明思路难以把握。文[3] 中利用微分中值定理给出了它的另一种证法。 文[4]借助定积分的方法，给出了一种很自然的证明【4】： 命题1的证明【4】 当0p >，1k ≥时，对于1k x k <<+，有(1)p p p k x k <<+，即 111 (1)p p p k x k <<+，

两边取积分，得 1 111 11(1) k k k p p p k k k d x d x d x k x k +++<<+? ??， （3） 即得 11111[(1)](1)1p p p p k k k p k --<+-<+- （4） 对（3）两边分别求和，即得 111 1111[(1)1]1111n p p p k n n p k p p --=+-<<-+---∑ （5） 命题1得证。 该证明方法简单自然，几何意义直观。不等式（3）的几何意义是：如图1，以1 p y x = 为边的曲边梯形的面积介于两个矩形的面积之间，根据定积分的几何意义，即知上面不等式中三部分分别代表了它们的面积。 （图1） 在文[5]中，又把（1）式推广为： 命题2【５】 已知{}n a 为等差数列且10a >，公差0d >，则 1111 1221 ()()n n i n i a a a a a d d a +=-<<-+∑ （6） 其证明方法与文[1]本质上是一样的。本文将借鉴[4]中方法，即利用定积分的几何直观方法，把有关结果作进一步的推广。

定积分的基本概念

教 学 内 容 方法与手段 定积分的概念 大家好，这节课我们开始学习定积分的概念，主要分 为三个内容： 定积分概念引入 定积分的定义 定积分的几何性质 首先我们来看第一部分 一、定积分概念引入 说起定积分的思想，其萌芽是特别早的，可以追溯至古代，最具有代表人物就是阿基米德（公元前287年—公元前212年），我们比较熟悉的就是他的浮力原理，其实阿基米德还和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，是个非常牛的牛人，有兴趣的可以找找这个人的一些资料，当时他就开始思考定积分问题。那么到底定积分问题是什么样子的呢我们先看一个例子。 1曲边梯形的面积问题： 我们知道矩形面积：S ah = 梯形的面积：() 2 a b S h += 曲边梯形的面积：设()y f x =在区间[a,b]上非负连续，由直线x=a,x=b,y=0及曲线()y f x =所围成的面积。 导入 幻灯 幻灯 幻灯 幻灯 详讲 详讲 详讲 幻灯

那么这样的问题怎么求呢 首先，我们考虑用一个矩形去近似计算其面积。a,b 的区间长度代表其宽，b点的函数值代表其高。我们可以得到一个近似的面积值。 好，现在我们将[a,b] 区间分为两个，同样我们用这两个区间的长度代表其宽，两个区间的右端点代表其高，然后计算这两个矩形的面积求和，作为曲边梯形的面积，可以发现，通过切分，其面积更接近曲边梯形的面积。我们就有这样的思考，是不是切分的越多，其面积越近似我们再将其分为四份，我们发现好像面积越来越接近真实面积。下面就是根据这个思想用计算机对其划分过程进行了模拟，通过观察我们可以发现其面积在分割份数特别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。 事实上我们如果对其切割的份数取极限，让切割的份数趋于无穷，这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积值。 好，下面，我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法描述一下。 解决步骤： 大化小：在区间中任意插入个分点 ，用直线将一个曲边梯形分成个小的曲边梯形；详讲总结

探讨定积分不等式的证明方法

探讨定积分不等式的证明方法 摘要：文章针对被积函数的特性，给出了几种关于定积分不等式的有效证明方法。 关键词：定积分 不等式 证法 不等式的证明在高等数学的学习中很常见，但关于定积分不等式的证明却一直是一个难点。要证明定积分不等式，首先要看被积函数，其性质确定证明方法。本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证法。 1．运用定积分中值定理证明 定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与该区间长度的乘积，即将定积分转化为函数来证明不等式。 例1：设)(x f 在[0,1]上连续且单调不增，证明a ?∈[0,1]有 ? a dx x f 0 )(≥ ?1 )(dx x f a ． 证明：由原不等式变形得? a dx x f 0 )(≥??+1 ))()(dx x f dx x f a a （, 即是要证：? -a dx x f a 0 )() 1(≥?10 )(dx x f a , 对左式，)(x f 在[0,1]上连续， 故 由定积分中值定理知： [] a ，01∈?ξ使 )()1()()110 ξf a a dx x f a a -=-?（, 同理对右式：[]12，a ∈ ?ξ使)()1()(2 1 ξ f a a dx x f a -=?,

显然，ξ1＜ξ2又f(x)在[0,1]上单调不增， ∴f (ξ1)≥f (ξ2) 故原不等式 ? a dx x f 0 )(≥?1 )(dx x f a 成立. 定积分中值定理的运用直观易懂，它的条件也极其简单，易于掌握。 2．运用辅助函数证明 构造辅助函数F(x)证明不等式，首先是做函数将要证结论中的积分上限（下限）换成x ，移项使不等式的一边为零，另一边的表达式即是辅助函数。然后再求F ’(x)，并运用单调性及区间端点值特性证明不等式。 例2：设)(x f 在[a ，b]上连续,且)(x f >0. 试证：2b )() (1 )(a b dx x f dx x f a b a -≥?? 证明：构造辅助函数2)() (1 )()(a x dt t f dt t f x F x a x a --=? ? （将b 换成x ）， 则??--+=x a x a a x dt t f x f dt t f x f x F )(2)() (1)(1)()(' = ??? -+x a x a x a dt dt x f t f dt t f x f 2) ()()() ( =dt x f t f t f x f x a )2) ()()()((-+? ∵)(x f ＞0，∴ 02) () ()()(≥-+x f t f t f x f ， 又a

定积分基本公式

定积分基本公式 定积分是高等数学中一个重要的基本概念，在几何、物理、经济学等各个领域中都有广泛的应用.本章将由典型实例引入定积分概念，讨论定积分性质和计算方法，举例说明定积分在实际问题中的具体运用等. 第二节 微积分基本公式 一、变上限的定积分 设函数()f x 在[[,]a b ] 上连续,x ∈[,]a b ，于是积分()d x a f x x ?是一个定数， 这种写法有一个不方便之处，就是 x 既表示积分上限，又表示积分变量.为避免 t ，于是这个积分就写成了 ()d x a f t t ? . x 值,积分()d x a f t t ?就有一个确定的的一个函数，记作 ()Φx =()d x a f t t ? （ a ≤x ≤ b ）通常称函数 ()Φx 为变上限积分函数或变上限积分，其几何意义如图所示. 定理1 如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则变上限积分 ()Φx =()d x a f t t ?在[,]a b 上可导，且其导数是 d ()()d ()d x a Φx f t t f x x '= =?（ a ≤x ≤ b ）. 推论 连续函数的原函数一定存在. 且函数()Φx =()d x a f t t ?即为其原函数.

例1 计算()Φx =2 0sin d x t t ?在x =0 ,处的导数. 解 因为2 d sin d d x t t x ?=2sin x ,故 2 (0)sin 00Φ'==； πsin 242Φ'==. 例2 求下列函数的导数： (1) e ln ()d (0)x a t Φx t a t =>? ； 解 这里()Φx 是x 的复合函数，其中中间变量e x u =，所以按复合函数求导 法则，有 d d ln d(e )ln e (d )e d d d e x x u x x a Φt t x x u t x ===?. (2) 2 1()(0) x Φx x θ=>? . 解 21d d d d x Φx x θ=-?2 2()x x ='=2sin 2sin 2x x x x x =- ?=-. 二、牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz ）公式 定理2 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，又 ()F x 是()f x 的任一个原函数，则有()d ()() b a f x x F b F a =-? . 证 由定理1知，变上限积分 ()()d x a Φx f t t =?也是()f x 的一个原函数，于 是知0()()Φx F x C -=, 0C 为一常数, 即 0 ()d ()x a f t t F x C =+?.

定积分计算例题

第5章 定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。 A ． ()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（ ）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（ ）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B. ()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为 （ ）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。 A. ? -1 1 2dx x B. ? 1 2dx x C. ? 1 dy y D.? 1 2 dy y

高等数学第五章定积分及自测题

第五章定积分 一、基本要求： 1.理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质. 2.理解积分上限的函数，并掌握其求导法则. 3.掌握牛顿——莱布尼兹公式. 4.掌握定积分的换元法和分布积分法. 5.理解反常积分(广义积分)的概念，会计算反常积分，了解反常积分的审敛法. 6.了解定积分的近似计算方法. 二、主要内容

Ⅰ. 定积分概念： 1. 定积分定义：设()f x 在区间[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=.把[,]a b 分成n 个小区间1[,],(1,2, ,)i i x x i n -=，小 区间的长度记为1,(1,2, ,)i i i x x x i n -?=-=，在1[,]i i x x -上任意取一点i ξ，作1 ()n i i i f x ξ=?∑， 若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=??∑ 1(max{})i i n x λ≤≤=?存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分. 记为 1 ()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ→==??∑? 当上述极限存在时，称()f x 在[,]a b 上可积. 2. 若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积。 3. 若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ. 定积分的几何意义 定积分 ()b a f x dx ? 在几何上表示：由曲线()y f x =，直线x a =和x b =以及x 轴所围图形面 积的代数和 (x 轴上方的面积取正，x 轴下方的面积取负) Ⅲ. 定积分的性质 1. 补充规定：(1)当a b =时， ()0b a f x dx =? (2)当a b >时, ()()b a a b f x dx f x dx =-?? 2. 性质： (1) [()()]()()b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx - -+=+? ?? (2) ()(),()b b a a kf x dx k f x dx k =? ?为常数 (3) ()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+? ?? (4) b a dx b a =-? (5) 若在[,]a b 上，()0f x ≥，则 ()0,()b a f x dx a b ≥

定积分证明题方法总结六

定积分证明题方法总结六篇 定积分是历年数学的考查重点，其中定积分的证明是考查难点，同学们经常会感觉无从下手，小编特意为大家总结了定积分的计算方法，希望对同学们有帮助。 篇一：定积分计算方法总结一、不定积分计算方法 1. 凑微分法 2. 裂项法 3. 变量代换法 1) 三角代换 2) 根幂代换 3) 倒代换 4. 配方后积分 5. 有理化 6. 和差化积法 7. 分部积分法（反、对、幂、指、三） 8. 降幂法 二、定积分的计算方法 1. 利用函数奇偶性 2. 利用函数周期性 3. 参考不定积分计算方法 三、定积分与极限

1. 积和式极限 2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限 3. 洛必达法则 4. 等价无穷小 四、定积分的估值及其不等式的应用 1. 不计算积分，比较积分值的大小 1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 f(x)>=g(x),则 >= ()dx 2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a) b) 当0 2. 估计具体函数定积分的值 积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则 M(b-a) 3. 具体函数的定积分不等式证法 1) 积分估值定理 2) 放缩法 3) 柯西积分不等式 ≤ % 4. 抽象函数的定积分不等式的证法 1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性 2) 积分中值定理 3) 常数变易法 4) 利用泰勒公式展开法

五、变限积分的导数方法 篇二：定积分知识点总结 1、经验总结 (1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限 (2)定积分几何意义： ①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积 ab ②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a 反数 (3)定积分的基本性质： ①kf(x)dx=kf(x)dx aabb ②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa ③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac (4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb ①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义 ’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba 篇三：定积分计算方法总结 1、原函数存在定理 ●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上