2019届中考数学总复习：代数几何综合问题
【中考展望】
代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键．
题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.
题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口.
【方法点拨】
方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明．
函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等．
函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型．
几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力．
1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现．
2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等．
3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力．
4．解几何综合题应注意以下几点：
（1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系；
（2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化；
（3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法；
（4）注意灵活地运用数学的思想和方法．
【典型例题】
类型一、方程与几何综合的问题
1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________.
【思路点拨】
过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG．求证△BEC≌△BGM，△ABE≌△ABG，设CE=x，在直角△ADE中，根据AE2=AD2+DE2求x的值，即CE的长度．
【答案与解析】
解：过B作DA的垂线交DA的延长线于M，M为垂足，延长DM到G，使MG=CE，连接BG，
∴∠AMB=90°，
∵AD∥CB，∠D CB=90°，
∴∠D=90°，
∴∠AMB=∠DCB=∠D=90°，
∴四边形BCDM为矩形．
∵BC=CD，
∴四边形BCDM是正方形，
∴BC=BM，且∠ECB=∠GMB，MG=CE，
∴Rt△BEC≌Rt△BGM．
∴BG=BE，∠CBE=∠GBM，
∵∠CBE+∠EBA+∠ABM=90°，且∠ABE=45°
∴∠CBE+∠ABM=45°
∴∠ABM+∠GBM=45°
∴∠ABE=∠ABG=45°，
∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10．
设CE=x，则AM=10-x，
AD=12-（10-x）=2+x，DE=12-x，
在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2，
∴100=（x+2）2+（12-x）2，
即x2-10x+24=0；
解得：x1=4，x2=6．
故CE的长为4或6．
【总结升华】
本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和性质，本题中求证△ABE≌△ABG，从而说明AG=AE=10是解题的关键．
类型二、函数与几何问题
2．如图，二次函数y =（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．
【思路点拨】
（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m求出m的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．
【答案与解析】
解：（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m得，
（1-2）2+m=0，
1+m=0，
m=－1，则二次函数解析式为y=（x-2）2-1．
当x=0时，y=4-1=3，
故C点坐标为（0，3），
由于C和B关于对称轴对称，在设B点坐标为（x，3），
令y=3，有（x-2）2-1=3，解得
x=4或x=0．
则B点坐标为（4，3）．
设一次函数解析式为y=kx+b，将A（1，0）、B（4，3）代入y=kx+b中，得
，解得，
则一次函数解析式为y=x-1；
（2）∵A、B坐标为（1，0），（4，3），
∴当kx+b≥（x-2）2+m时，1≤x≤4．
【总结升华】
本题考察了待定系数法求二次函数,一次函数函数解析式以及数形结合法解不等式.求出B点坐标是解题的关键．
举一反三：
【变式】如图，二次函数2(0)
=++≠的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，0），
y ax bx c a
点C（0，5）、D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式． （2）求△MCB 的面积．
【答案】
解：(1)设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，根据题意，得
05
8a b c c a b c -+=??=??++=?， 解之，得145a b c =-??
=??=?
． ∴所求抛物线的解析式为245y x x =-++．
（2）∵C 点的坐标为（0，5）．∴OC ＝5．令0y =，则2450x x -++=，解得121,5x x =-=．
∴B 点坐标为（5，0）．∴OB ＝5．∵22
45(2)9y x x x =-++=--+，∴顶点M 坐标为（2，9）．
过点M 作MN ⊥AB 于点N ，则ON ＝2，MN ＝9．
∴11
(59)9(52)551522
MCB BNM OBC OCMN S S S S ???=+-=+??--??=梯形. 类型三、动态几何中的函数问题
3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （-2，-4），OB=2，抛物线y=ax 2
+bx+c 经过点A 、O 、B
三点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点M 是抛物线对称轴上一点，试求AM+OM 的最小值；
（3）在此抛物线上，是否存在点P ，使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形？若存在，求点
P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）把A 、B 、O 的坐标代入到y=ax 2
+bx+c 得到方程组，求出方程组的解即可；
（2）根据对称求出点O 关于对称轴的对称点B ，连接AB,根据勾股定理求出AB 的长，就可得到AM+OM 的最小值.
（3）①若OB ∥AP ，根据点A 与点P 关于直线x=1对称，由A （-2，-4），得出P 的坐标；②若OA ∥BP ，设直线OA 的表达式为y=kx ，设直线BP 的表达式为y=2x+m ，由B （2，0）求出直线BP 的表达式为y=2x-4，得到方程组，求出方程组的解即可；③若AB ∥OP ，设直线AB 的表达式为y=kx+m ，求出直线AB ，得到方程组求出方程组的解即可. 【答案与解析】
解：（1）由OB=2，可知B （2，0），
将A （-2，-4），B （2，0），O （0，0）三点坐标代入抛物线y=ax 2
+bx+c ，得
4420420a b c a b c c -=-+??
=++??=? 解得：1,21,0.a b c ?
=-??=??=?
?
∴抛物线的函数表达式为y=2
12x x -
+
（2）由y=212x x -+=2
11(1)22
x x --+可得，抛物线的对称轴为直线x=1，且对称轴x=1是线段OB
的垂直平分线，连接AB 交直线x=1于点M ，M 点即为所求．
∴MO=MB ，则MO+MA=MA+MB=AB,
作AC ⊥x 轴，垂足为C ，则|AC|=4，|BC|=4，∴AB=42, ∴MO+MA 的最小值为42. 答：MO+MA 的最小值为42.
（3）①如图1，若OB ∥AP ，此时点A 与点P 关于直线x=1对称，由A （-2，-4），得P （4，-4），则得梯形OAPB ．
② 如图2，若OA ∥BP ，
设直线OA 的表达式为y=kx ，由A （-2，-4）得，y=2x ．
设直线BP 的表达式为y=2x+m ，由B （2，0）得，0=4+m ，即m=-4， ∴直线BP 的表达式为y=2x-4. 由12
?
?
???２
ｙ＝２ｘ－４，ｙ＝－ｘ＋ｘ．
解得x 1=-4，x 2=2（不合题意，舍去）, 当x=-4时，y=-12，∴点P （-4，-12），则得梯形OAPB ．
③ 如图3，若AB ∥OP ，设直线AB 的表达式为y=kx+m ，则
4202k m k m -=-+??=+?，． 解得12k m =??=-?
，．
∴AB 的表达式为y=x-2． ∵AB ∥OP ，
∴直线OP 的表达式为y=x ．
由2
,12
y x y x x =???=-+??得 x 2
=0，解得x=0，（不合题意，舍去），此时点P 不存在．
综上所述，存在两点P （4，-4）或P （-4，-12）,使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形． 【总结升华】
本题主要考查对梯形，解二元二次方程组，解一元二次方程，二次函数的性质，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行计算是解此题的关键．
举一反三：
【变式】如图，直线43
4
+-
=x y 与x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）． （1）试说明△ABC 是等腰三角形；
（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．
① 求S 与t 的函数关系式；
② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在，请说明理由；
③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．
【答案】
（1）证明：y=4
43
x -
+ ∵当x=0时，y=4； 当y=0时，x=3， ∴B （3，0），C （0，4）， ∵A （-2，0），
由勾股定理得：BC=22345+= ∵AB=3-（-2）=5， ∴AB=BC=5，
∴△ABC 是等腰三角形； （2）解：①∵C （0，4），B （3，0），BC=5， ∴sin ∠B=
4
0.85
OC BC == 过N 作NH ⊥x 轴于H ．
∵点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度， 又∵AB=BC=5，
∴当t=5秒时，同时到达终点， ∴△MON 的面积是S=1
2
OM NH ?? ∴S=20.4t t
-?
②点M 在线段OB 上运动时，存在S=4的情形．理由如下： ∵C （0，4），B （3，0），BC=5， ∴sin ∠B=
4
0.85
OC BC == 根据题意得：∵S=4， ∴|t-2|×0.4t=4，
∵点M 在线段OB 上运动，OA=2， ∴t-2＞0，
即（t-2）×0.4t=4，化为t 2
-2t-10=0， 解得：111,111(t t =+=-舍去）
∴点M 在线段OB 上运动时，存在S=4的情形，此时对应的t 是（111t =+）秒． ③∵C （0，4）B （3，0）BC=5， ∴cos ∠B=
3
0.65
OB BC == 分为三种情况：
I 、当∠NOM=90°时，N 在y 轴上，即此时t=5；
II 、当∠NMO=90°时，M 、N 的横坐标相等，即t-2=3-0.6t ，解得：t=3.125， III 、∠MNO 不可能是90°，
即在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，t 的值是5秒或3.125秒． 类型四、直角坐标系中的几何问题
4．（2015?阳山县一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（4，3）．平行于对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与矩形OABC 的两边分别交于点M 、N ，直线m 运动的时间为t （秒）． （1）点A 的坐标是 ，点C 的坐标是 ； （2）当t= 秒或 秒时，MN=AC ； （3）设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式．
【思路点拨】
（1）根据BC∥x 轴，AB∥y 轴即可求得A 和C 的坐标；
（2）分成MN 是△OAC 的中位线和MN 是△ABC 的中位线时两种情况进行讨论；
（3）根据时间t 值的范围不同，M,N 与矩形的两边相交构成不同的三角形，画出图形进行分类讨论，然后正确表示出△OMN 的面积即可. 【答案与解析】 解：（1）A 的坐标是（4，0），C 的坐标是（0，3）； （2）当MN 是△OAC 的中位线时，M 是OA 的中点，则t=OA=×4=2； 当MN 是△ABC 的中位线时，如图1． 则△AME∽△OCA，
则AE=OA=×4=2，则E 的坐标是（6，0），即平移了6个单位长度．
故答案是：2或6．
（3）当0＜t≤4时，OA=t ，则ON=t ， 则S △OMN =×t×t=2
3
8
t (0＜t≤4). 即当4＜t ＜8时，如图1．
设直线AC 的解析式是y=kx+b ，根据题意得
，
解得：，
则直线AC 的解析式是y=﹣x+3．
设MN 的解析式是y=﹣x+c ，E 的坐标是（t ，0），代入解析式得：c=t ， 则直线MN 的解析式是y=﹣x+t ．
令x=4，解得y=﹣3+t ，即M 的坐标是（4，﹣3+t ）． 令y=3，解得：x=t ﹣4，则N 的坐标是（t ﹣4，3）． 则S 矩形OABC=3×4=12， S △OCN =OC?CN=×3?（t ﹣4）=
3
6.2t -
S △OAM =OA?AM=×4?（﹣3+t ）=
﹣6．
S △BMN =BN?BM=[4﹣（t ﹣4）][3﹣（﹣3+t ）]=t 2
﹣6t+24． 则S=12﹣（
﹣6）﹣（t ﹣6）﹣（t 2
﹣6t+24），
即S=﹣t 2
+3t(4＜t ＜8).
【总结升华】本题考查了矩形的性质以及待定系数法求一次函数的解析式，直线平行的条件，正确利用
t 表示出M 和N 的坐标是关键．
类型五、几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题
5．一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到(01)，，然后接着按图中箭头所示方向运动,即(00)(01)(11)(10)→→→→，，，，…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是_______.
【思路点拨】
由题目中所给的质点运动的特点找出规律，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，即可得出第35秒时质点所在位置的坐标．
【答案与解析】
解：质点运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒
1
2 3 x
y
1 2 3 …
数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（5，0）用35秒．故第35秒时质点所在位置的坐标是（5，0）．
【总结升华】
此题主要考查了数字变化规律，解决本题的关键是正确读懂题意，能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间.
举一反三：
【变式】（2016?泰山区一模）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2014次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）
A．（1，4） B．（5，0） C．（6，4） D．（8，3）
【答案】B.
【解析】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），
∵2014÷6=335…4，
∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，
点P的坐标为（5，0）．
故选；B．
【巩固练习】
一、选择题
1.（2017?河北一模）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰Rt△ABC，使∠BAC=90°，设点B的横坐标为x，设点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
A．B．C．D．
2.如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点
A、B不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（）
二、填空题
3. 将抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，得到抛物线ｙ２的图象如图所示，P是抛物线y2对称轴上的一个
动点，直线x＝t平行于y轴，分别与直线y＝x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，求满足的条件的t的值，则t＝．
4. （2017?宝山区一模）如图，D为直角△ABC的斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于E，如果△AED沿DE
翻折，A 恰好与B 重合，联结CD 交BE 于F ，如果AC=8，tanA=，那么CF ：DF= ．
三、解答题
5.一个形如六边形的点阵.它的中心是一个点（算第一层）、第二层每边有两个点，第三层每边有三个点……依次类推.
（1）试写出第n 层所对应的点数； （2）试写出n 层六边形点阵的总点数；
（3）如果一个六边形点阵共有169个点，那么它一共有几层？
6.如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，AC=10cm ，BC=6cm ，现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以2cm/s 的速度，沿AB 向终点B 移动；点Q 以1cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ ．设动点运动时间为x 秒． （1）用含x 的代数式表示BQ 、PB 的长度； （2）当x 为何值时，△PBQ 为等腰三角形；
（3）是否存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于20cm 2
？若存在，请求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．
7.阅读理解：对于任意正实数a 、b ，∵2
()0,a b -≥
20,2,a ab b a b ab ∴-+≥∴+≥
a b =只有当时，等号成立。
结论：在a+b≥2ab （a 、b 均为正实数）中，若a ?b 为定值p ，则a+b≥2p ，只有当a=b 时，
a+b有最小值2p．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m=____________时，ｍ＋1
m
有最小值，最小值为____________；
（2）探究应用：已知A（-3,0）、B（0，-4），点P为双曲线ｙ＝12
x
（ｘ＞０）上的任一点，过点
P作PC⊥ｘ轴于点C，PD⊥ｙ轴于点D，求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
8.（深圳期末）如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+3与坐标轴分别交于A、B两点，直线x=1
交AB于点D，交x轴于点E，P是直线x=1上一动点．
（1）直接写出A、B的坐标；A ，B ；
（2）是否存在点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）是否存在点P使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴和x轴的正半
轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4，
3
2)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找到点M，使得M到D、B的距离之和最小，求出点M的坐标；
（3）如果点P由点A出发沿线段AB以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发沿线段BC以1cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设S=PQ2（cm2）．
①求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
②当S=5
4
时，在抛物线上存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形, 求出点R
的坐标．
y
B A
O x
1
2
21-1
-1C
10．已知：抛物线y ＝－x 2
＋2x ＋m-2交y 轴于点A （0，2m-7）．与直线y ＝2x 交于点B 、C （B 在右、C
在左）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为E ，在抛物线的对称轴上是否存在一点F ，使得BFE CFE ∠=∠，若存在，
求出点F 的坐标，若不存在，说明理由； （3）射线OC 上有两个动点P 、Q 同时从原点出发，分别以每秒5个单位长度、每秒25个单位长
度的速度沿射线OC 运动，以PQ 为斜边在直线BC 的上方作直角三角形PMQ （直角边分别平行于坐
标轴），设运动时间为t 秒，若△PMQ 与抛物线y ＝－x 2
＋2x ＋m-2有公共点，求t 的取值范围．
11. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线42
++=bx ax y 经过A （－3,0）、B （4,0）两点，且与y 轴交于点C ，点D 在x 轴的负半轴上，且BD ＝BC ，有一动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 移动，同时另一个动点Q 从点C 出发，沿线段CA 以某一速度向点A 移动. （1）求该抛物线的解析式；
（2）若经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求此时t 的值；
（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ ＋MA 的值最小？若存在，求出点M 的坐标；若不存
在，请说明理由.
【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】A.
【解析】作AD ∥x 轴，作CD ⊥AD 于点D ，若右图所示，
由已知可得，OB=x ，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC ，点C 的纵坐标是y ， ∵AD ∥x 轴，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°， ∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC ， 在△OAB 和△DAC 中，
，
∴△OAB≌△DAC（AAS），
∴OB=CD，∴CD=x，
∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x的距离1，
∴y=x+1（x＞0）．
故选A．
2．【答案】 A ．
【解析】解：连接OP，
∵OC=OP，
∴∠OCP=∠OPC．
∵∠OCP=∠DCP，CD⊥AB，
∴∠OPC=∠DCP．
∴OP∥CD．
∴PO⊥AB．
∵OA=OP=1，
∴AP=y=2（0＜x＜1）．
故选A．
二、填空题
3.【答案】1或3或5555 22
-+
或；
【解析】解：∵抛物线y1=2x2向右平移2个单位，
∴抛物线y2的函数解析式为y=2（x-2）2=2x2-8x+8，
∴抛物线y2的对称轴为直线x=2，
∵直线x=t与直线y=x、抛物线y2交于点A、B，
∴点A的坐标为（t，t），点B的坐标为（t，2t2-8t+8），
∴AB=|2t2-8t+8-t|=|2t2-9t+8|，
AP=|t-2|，
∵△APB是以点A或B为直角顶点的等腰三角形，
∴|2t2-9t+8|=|t-2|，
∴2t2-9t+8=t-2 ①
2t2-9t+8=-（t-2）②，
整理①得，t 2
-5t+5=0， 解得125555,,2
2
t t -+==
整理②得，t 2
-4t+3=0， 解得t 1=1，t 2=3，
综上所述，满足条件的t 值为：1或3或
5555
22
-+或． 故答案为：1或3或
5555
22
-+或． 4.【答案】6：5．
【解析】∵DE ⊥AB ，tanA ═，∴DE=AD ，
∵Rt △ABC 中，AC ═8，tanA ═，
∴BC=4，AB=
=4
，
又∵△AED 沿DE 翻折，A 恰好与B 重合， ∴AD=BD=2
，DE=
，
∴Rt △ADE 中，AE==5，∴CE=8﹣5=3， ∴Rt △BCE 中，BE=
=5，
如图，过点C 作CG ⊥BE 于G ，作DH ⊥BE 于H ，则 Rt △BDE 中，DH==2， Rt △BCE 中，CG=
=
，
∵CG ∥DH ，∴△CFG ∽△DFH ，
∴===．
故答案为：6：5．
三、解答题 5.【答案与解析】
解：（1）第n 层上的点数为6（n －1）（n ≥2）．
（2）n 层六边形点阵的总点数为＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n －1)＝1＋
2
)
1)](1(66[--+n n ＝3n(n －1)
＋1．
（3）令3n(n －1)＋1＝169，得n ＝8.所以，它一共是有8层．
6.【答案与解析】
解：（1）∵∠B=90°，AC=10，BC=6， ∴AB=8．
∴BQ=x ，PB=8-2x ； （2）由题意，得 8-2x=x ，
∴x=
83. ∴当x=8
3
时，△PBQ 为等腰三角形；
（3）假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于20cm 2
，
则112
2
??６８－ｘ（８－２ｘ）＝２０，
解得x 1=x 2=2．
假设成立，所以当x=2时，四边形APQC 面积的面积等于20cm 2
．
7.【答案与解析】
解：（１）１,２；
（２）探索应用：设P （ｘ，12x ），则C （ｘ，0），D （0，12
x
）， ∴CA ＝ｘ＋３，DB=
12x
+4, ∴S 四边形ABCD =12CA ×DB=12(x+3) ×(12
x
+4),
化简得：S=2(x+9
x
)+12，
∵x>0,
9x >0,∴x+9x ≥29x x ?=6，只有当x=9
x
时，即x=3，等号成立.
∴S ≥2×6+12=24,
∴S 四边形ABCD 有最小值是24.
此时，P(3，4),C(3，0),D(0，4),AB=BC=CD=DA=5， ∴四边形是菱形.
8.【答案与解析】 解：（1）当x=0时，y=3．即A 点坐标是（0，3）， 当y=0时，﹣x+3=0，解得x=4，即B 点坐标是（4，0）； （2）存在这样的P ，使得△AOP 周长最小 作点O 关于直线x=1的对称点M ，
M 点坐标（2，0）连接AM 交直线x=1于点P ， 由勾股定理，得AM=
=
=
由对称性可知OP=MP，C△AOP=AO+OP+AP=AO+MP+AP=AO+AM=3+；
（3）设P点坐标为（1，a），
①当AP=BP时，两边平方得，AP2=BP2，12+（a﹣3）2=（1﹣4）2+a2．
化简，得6a=1．
解得a=．即P1（1，）；
②当AP=AB=5时，两边平方得，AP2=AB2，12+（a﹣3）2=52．
化简，得a2﹣6a﹣15=0．
解得a=3±2，即P2（1，3+2），P3（1，3﹣2）；
③当BP=AB=5时，两边平方得，BP2=AB2，即（1﹣4）2+a2=52．
化简，得a2=16．
解得a=±4，即P4（1，4），P5（1，﹣4）．
综上所述：P1（1，）；P2（1，3+2），P3（1，3﹣2）；P4（1，4），P5（1，﹣4）．
9.【答案与解析】
解：（1）据题意可知：A（0，2），B（2，2），C（2，0）．
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D（4，），
∴，
∴，
∴y=﹣x2+x+2；
（2）点B关于抛物线的对称轴x=1的对称点为A．连接AD，与对称轴的交点即为M．∵A（0，2）、D（4，），
∴直线AD的解析式为：y=﹣x+2，
当x=1时，y=，
则M（1，）；
（3）①由图象知：PB=2﹣2t，BQ=t，AP=2t，∵在Rt△PBQ中，∠B=90°，
∴S=PQ2=PB2+BQ2，
∴=（2﹣2t）2+t2，
即S=5t2﹣8t+4（0≤t≤1）．
②当S=5
4
时，
5
4
=5t2﹣8t+4
即20t2﹣32t+11=0，
解得：t=，t=＞1（舍）
∴P（1，2），Q（2，）．
PB=1．
若R点存在，分情况讨论：
（i）假设R在BQ的右边，如图所示，这时QR=PB，RQ∥PB，
则R的横坐标为3，R的纵坐标为，即R（3，），代入y=﹣x2+x+2，左右两边相等，故这时存在R（3，）满足题意；
（ii）假设R在PB的左边时，这时PR=QB，PR∥QB，
则R（1，）代入y=﹣x2+x+2，左右两边不相等，
则R不在抛物线上
综上所述，存点一点R，以点P、B、Q、R为顶点的四边形只能是口PQRB．
则R（3，）．
此时，点R（3，）在抛物线=-x2+x+2上．
2019-2020年中考数学复习检测第2部分专题突破专题十解答题突破—代数几何综合题(涉及二次函数) 类型一以几何图形为背景的综合题 【例1】(xx·苏州一模)如图1①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD ＝6 cm，DC＝8 cm，BC＝12 cm.动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2 cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1 cm.两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)． (1)求线段AB的长． (2)当t为何值时，MN∥CD? (3)设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式． (4)如图1②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由． 图1
【例2】(xx·吉林)如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8 2 cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以 2 cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM＝90°(点M，C位于PQ异侧)．设点P的运动时间为x(s)，△PQM与△ADC重叠部分的面积为y(cm2) 图2 备用图 (1)当点M落在AB上时，x＝____________； (2)当点M落在AD上时，x＝____________； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
1．(xx·宁夏)如图3，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC 向点C移动，连接QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒 (0＜x≤3)，解答下列问题： (1)设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值； 图3 (2)是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由． 2．(xx·梅州)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M 从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN. 图4 (1)若BM＝BN，求t的值； (2)若△MBN与△ABC相似，求t的值； (3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．
代数几何综合题 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。 例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作P C P B ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。 解：（1） P C P B B O P O ⊥⊥, ∴∠+∠=?∠+∠ ∴∠=∠C P A O P B P B O O P B C P A P B O 90, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=? B O P P A C 90 ∴??B O PP A C ~ ∴ =P O A C B O P A ，∴=+||||||x y x 2 2 ， x y x y x <<∴= -002 2，，∴=-+y x x 122 （2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 , 当x =-1时，y =- 32，∴=CA 3 2
B O a B O Q C A Q O Q A Q B O C A //~,，∴∴=?? 设Q 点坐标为()m ，0，则A Q m =-2 ∴-=∴=m m m 2232 8 7 ， ∴Q 点坐标为()8 7 0， 说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。 练习 1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ；（3分） (2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。（4分） B
代数几何综合题 x<0，连 1、如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（x，0）() ⊥交过点A的直线a于点C（2，y） 结BP，过P点作PC PB （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标。 2．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，⊙O的直径BD为6，连结CD、AO. (1)求证：CD∥AO； (2)设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若AO＋CD＝11，求AB的长. B
3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2 +2x+m-3=O 的两根，且x 1<0 1、已知抛物线)0(22 >--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。 （1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）； （2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。 2、如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴、y 轴分别相交于 A （－1，0）、 B （3，0）、 C （0，3）三点，其顶点为 D ． （1）求：经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积； （3）试判断△BCD 与△COA 是否相似若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由． A B D C o x y 一次函数与几何图形综合专题讲座 思想方法小结 ： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． （2）数形结合法． 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用． 知识规律小结 ： （1）常数k ，b 对直线y =kx +b (k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b =0时，直线经过原点； 当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即－k b ＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b =0时，即－ k b =0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即－k b ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b =0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b =0时，图象经过第二、四象限； 当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y =kx +b （k ≠0）与直线y =kx (k ≠0)的位置关系． 直线y =kx +b (k ≠0)平行于直线y =kx (k ≠0) 当b ＞0时，把直线y =kx 向上平移b 个单位，可得直线y =kx +b ； 当b ﹤O 时，把直线y =kx 向下平移|b |个单位，可得直线y =kx +b ． （3）直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②?? ?=≠2 12 1b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2） ； ③???≠=21 21,b b k k ?y 1与y 2平行； ④?? ?==2 121, b b k k ?y 1与y 2重合. 例题精讲： 1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB (1) 求AC (2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC 于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系， 并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M ,BP 交AC 于N ,下面两个结论：①(MQ +AC )/PM x y 代数几何综合题 【题型特征】代数、几何知识相结合的综合题是以几何知识为主体,以代数知识为工具(背景),来确定图形的形状、位置、大小(坐标)的问题.解答时往往需要从代数几何的结合点或在几何图形中寻找各元素之间的数量关系或在代数条件中探讨各个量的几何模型,进行数与形之间的互相转化,使问题得到解决. 为了讲解方便,我们将代数几何综合题按题目叙述的背景分为:坐标系、函数为背景的代数几何综合题和以几何图形为背景的代数几何综合题. 【解题策略】几何图形为背景的代数几何综合题,建立函数表达式的常见思路是:利用图形的面积公式建立函数表达式;或利用勾股定理或解直角三角形知识建立函数表达式;或利用相似三角形的线段成比例建立函数表达式. 类型一坐标系、函数为背景 典例1(2015·湖南怀化)如图(1),在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y. (1)求y与x之间的函数表达式; (2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O'C',与OA相交于点G,如图(2),求经过G,O,B三点的抛物线的表达式; (3)现有一动点P在(2)中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积S=8的情况?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由. (1) (2) 【全解】 (1)∵AB=OB,∠ABO=90°, ∴△ABO是等腰直角三角形. ∴∠AOB=45°. ∵∠yOC=45°, ∴∠AOC=(90°-45°)+45°=90°. ∴AO⊥CO. ∵C'O'是CO平移得到, ∴AO⊥C'O'. ∴△OO'G是等腰直角三角形. ∵射线OC的速度是每秒2个单位长度, ∴OO'=2x. ∴其以OO'为底边的高为x. ∴点G的坐标为(3,3). 设抛物线表达式为y=ax2+bx, 中考数学代数几何综合题2 Ⅰ、综合问题精讲： 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式显现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝1 2 BC·CE； ⑶假如AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。 解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB ⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图) ∵A 是BDC 中点，∴HC＝HB ＝1 2 BC ， ∵∠CAE＝900，∴AC 2 ＝CH·CE＝12 BC·CE ⑶∵A 是BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2 ① ∵AC 2 ＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ② ①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2 ＝17 ∵EC 2 ＝AC 2 ＋AE 2 ，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠AEC ＝AE AC ＝13 2 点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的专门突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就专门关键. 【例2】（2005，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分 别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内 作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○ 。过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长； （2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。 二次函数与几何综合 代数几何综合题 1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0） ()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。 2．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ； (2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长. 3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2+2x+m -3=O 的两根，且x 1<0 2019届中考数学总复习：代数几何综合问题 【中考展望】 代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键． 题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题. 题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口. 【方法点拨】 方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明． 函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等． 函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型． 几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力． 1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现． 2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等． 3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力． 4．解几何综合题应注意以下几点： （1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系； （2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化； （3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法； （4）注意灵活地运用数学的思想和方法． 【典型例题】 类型一、方程与几何综合的问题 1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________. 代数几何综合 1、（2013年潍坊市压轴题）如图，抛物线c bx ax y ++=2 关于直线1=x 对称，与坐标轴交于C B A 、、三点，且4=AB ,点?? ? ??232，D 在抛物线上，直线是一次函数 ()02≠-=k kx y 的图象，点O 是坐标原点. （1）求抛物线的解析式； （2）若直线平分四边形OBDC 的面积，求k 的值. （3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于N M 、两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不论k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由. 答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0), 由点D(2，1.5)在抛物线上，所以? ??=++=+-5.1240 c b a c b a ，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5, 又12=- a b ，即b=-2a,代入上式解得a =-0.5,b =1,从而c=1.5,所以2 3 212++-=x x y . （2）由（1）知2 3 212++-=x x y ，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB, 令kx -2=1.5,得l 与CD 的交点F(23 ,27k )， 令kx -2=0，得l 与x 轴的交点E(0,2 k )， 根据S 四边形OEFC =S 四边形EBDF 得：OE+CF=DF+BE, 即： ,5 11),272()23(272=-+-=+k k k k k 解得 （3）由（1）知,2)1(2 1 232122+--=++-=x x x y 所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为2 2 1x y - = 假设在y 轴上存在一点P(0，t)，t ＞0，使直线PM 与PN 关于y 轴对称，过点M 、N 分别向y 轴作垂线MM 1、NN 1，垂足分别为M 1、N 1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt △MPM 1∽Rt △NPN 1, 1 中考第一轮复习 代数与几何综合初步 本讲包括两个方面：数形结合思想、方程函数与几何的综合. 数形结合思想从解题方法上主要分为两类：一是用“形”来解决“数”的问题，体现在数列计算、公式证明等方面；二是用“数”来解决“形”的问题，体现在用方程、函数最值等来解决图形中的计算或最值问题. 方程函数与几何的综合这部分主要侧重在题型上，将代数式、方程、各种函数及各种几何图形综合在一起，不仅将第一轮复习的内容很好的综合，也能锻炼同学们灵活运用各种知识点、方法解决问题的能力. 一、数形结合思想 【例1】 （1）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂 分家万事非”，如图，在边长为1 的正方形纸板上，依次贴上面积为 2 1 ， 41，81 ，…，n 2 1的长方形彩色纸片（n 为大于1的整数），请你用“数 形结合”的思想，依数形变化的规律，计算+++81 4121…+n 2 1=___________. （2）利用图形可以计算正整数的乘法，请根据以下四个算图所示规律在右图中画出232312? 的算图（标出相应的数字和曲线） . （2009海淀初三期中） （3）数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想，利用这种思想，可以将代数 问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题．通过数形结合将代数与几何完美的结合在一起，可以大大降低解题的难度，提高效率和正确率，甚至还可以达到令人意想不到的效果．教科书中利用几何图形证明乘法公式 () 2 222a b a ab b +=++的做法，就是一个非常典型的例子： 如图，a 、b 分别表示一条线段的长度，则a+b 可以表示两条线段之和，那么()2 a b + 就可以表示正方形的面积．同样， a b b a b 代数儿何综合题一、基础题 （大兴，2010期末，18） 18.已知：如图，在山8C中，ZC = 90°,P为43上一点，且 点p不与点刀重合，过点户作PE1AB交刀C边于点点厅不与点。 重合，若力3 = 10,4。= 8,设，户的长为x,四边形PEC3周长为*. （1）求证：/^APE s MCB ； （2）写出y与x的函数关系式，并在直角坐标系中画出图象 （丰台，2010期末，21） 22.（本小题满分6分） 已知：如图，渔船原本应该从A点向正南方向行驶回到港口P,但由于受到海风的影响，渔船向西南方向驶去，行驶了240千米后到达B点，此时发现港口P在渔船的南 偏东60°的方向上，问渔船现在距港口P多远？（结果精确到0.1千米）（参考数据: V2M.41, V3M.73,际"24, ^6^2.45) （丰台，2010期末，25） 25.（本小题满分7分） RtAABC在平面直角坐标系中的初始位置如图1所示，ZC=90°, AB=6, AC=3,点A在x轴上由原点。开始向右滑动，同时点B在y轴上也随之向点O滑动，如图2所示；当点B滑动至与点。重合时，运动结束.在上述运动过程中，OG始终是一个以 AB为直径的圆. （1）试判断在运动过程中，原点。与OG的位置关系，并说明理由； （2）设点C坐标为（x,y）,试求出y与x的关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）根据对问题（1）、（2）的探究，请你求出整个过程中点C运动的路径的长. 二、提高题 （吕平，2010期末，25） 25. （7分）已知，抛物线y^ax1轴的两个交点分别 为A（1,0）, B（4, 0）,与y轴的交点为C. （1）求出抛物线的解析式及点C的坐标； （2）点P是在直线x=4右侧的抛物线上的一动点，过P作PM lx轴，垂足为M,是否存在P点，使得以A, P,M为顶点的三角形与AOCB相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. （朝阳，2010期末，24） 24.（本小题7 分）如图，在z^ABC 中,ZA=90°, AB=8, 过M点作MN〃BC交AC于点N.以MN为 直径作。0,并在。0中作内接矩形AMPN.令 AM=x. （1）用含x的代数式表示AIVINP的面积S； （2）当x为何值时，。。与直线BC相切？ （3）在点M的运动过程中，设△MNP与梯形BCNM重合的 面积为V，求y关于x的函数关系式，并求x为何值时，y 的值最大，最大值是多少？/ P \ B ------------------ C （第24题） （朝阳，2010期末，25） 25.（本小题8分） 已知：在/XABC中，ZACB=90°, CD_LAB于点D,点E在AC上，BE交CD于点G, EF1BE交AB于点F. 代数几何综合 一、选择题 1. （2012浙江义乌3分）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在【 】 A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 【答案】B 。 【考点】算术平方根，估算无理数的大小。 【分析】∵一个正方形的面积是15， ∵9＜15＜16＜4。故选B 。 2. （2012浙江杭州3分）已知抛物线()3y k x 1x k ? ?=+ ??? -与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是【 】 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】B 。 【考点】抛物线与x 轴的交点。 【分析】根据抛物线的解析式可得C （0，﹣3），再表示出抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，再根据ABC 是等腰三角形分三种情况讨论，求得k 的值，即可求出答案： 根据题意，得C （0，﹣3）． 令y=0，则()3k x 1x 0k ? ?+= ??? -，解得x=﹣1或x=3k 。 设A 点的坐标为（﹣1，0），则B （3k ，0）， ①当AC=BC 时，OA=OB=1，B 点的坐标为（1，0），∴ 3k =1，k=3； ②当AC=AB 时，点B 在点A 的右面时， ∵AC =B 1，0）， ∴31,k k == ③当AC=AB 时，点B 在点A 的左面时，B 0）， ∴ 3k k == 。 ∴能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是3条。故选B 。 3. （2012浙江湖州3分）如图，已知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于【 】 A C ．3 D ．4 【答案】A 。 【考点】二次函数的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】过B 作BF⊥OA 于F ，过D 作DE⊥OA 于E ，过C 作CM⊥OA 于M ， ∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM。 ∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA= 12OA=2。 由勾股定理得： 设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ， ∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE。 ∴BF OF CM AM DE OE DE AE == ，，即F C M 2x 22-，解得：) 2x BF CM 2 -==，。 A 。 4. （2012浙江嘉兴、舟山4分）已知△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于【 】 A ． 40° B ． 60° C ． 80° D ． 90° 【答案】A 。 中考数学代数几何综合题 Ⅰ、综合问题精讲： 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是?BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且??BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝12 BC·CE； ⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。 解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵??BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB ⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图) ∵A 是?BDC 中点，∴HC＝HB ＝12 BC ， ∵∠CA E ＝900，∴AC 2＝CH·CE＝12 BC·CE ⑶∵A 是?BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2 ① ∵AC 2＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ② ①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2＝17 ∵EC 2＝AC 2＋AE 2，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠A EC ＝AE AC ＝132 点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就非常关键. 【例2】（2005，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分 别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内 作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○。过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长； （2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。 2020年中考复习之提高篇——二次函数压轴题（含答案） 1．(2019抚顺）（12分）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数334 y x =-+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于B 点，抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，在第一象限的抛物线上取一点D ，过点D 作DC x ⊥轴于点C ，交直线AB 于点E ． （1）求抛物线的函数表达式 （2）是否存在点D ，使得BDE ?和ACE ?相似？若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，F 是第一象限内抛物线上的动点 （不与点D 重合），点G 是线段AB 上的动点．连接DF ，FG ，当四边形DEGF 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G 的坐标． 2（2019沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点． （1）求直线DE和抛物线的表达式； （2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF面积是7时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2√2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标． 3（2018年辽宁本溪）.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； （3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF 沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上． 中考冲刺：代几综合问题—知识讲解（提高） 【巩固练习】 一、选择题 1. 如图，正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A出发，沿图中所示方向按滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（） A. 2 B. 4－ C． D． 2. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的 影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函 数关系的图象大致为（） 二、填空题 3.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC 是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为______________． 4.如图，(n+1)个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2 的面积为S2，…，△B n+1D n C n的面积为S n，则S2=______________；S n=__________________ (用含的式子表示）． 三、解答题 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）． （1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由； （2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？ （3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形． ，即t DH=﹣﹣（ ，∴，即 ，∴t= ，即BM= t=t （t ，∴，即CN=t t=10t t t t t t 化简得：t t= t=． t=秒或t=秒时， °， DE= ， ＜ DFE=，∴∠ == MN ，即MN= BD﹣ （x ﹣ NF= MN MN+x=MN MN= AB BF ×x ＜=（=﹣ y= y=﹣、 争分夺秒 分秒必争 我的人生 我做主 只要认真做事 一切皆有可能 东升求实学校2015 分析：（1）令y=0，解方程x 2 ﹣x ﹣3=0可得到A 点和D 点坐标；令x=0，求出y=﹣3，可确定C 点坐标； （2）根据抛物线的对称性，可知在在x 轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x 轴上方，存在两个点，这两个点分别到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离； （3）根据梯形定义确定点P ，如图所示：①若BC ∥AP 1，确定梯形ABCP 1．此时P 1与D 点重合，即可求得点P 1的坐标；②若AB ∥CP 2，确定梯形ABCP 2．先求出直线CP 2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P 2的坐标． 解：（1）∵y=x 2 ﹣x ﹣3，∴当y=0时，x 2 ﹣x ﹣3=0， 解得x 1=﹣2，x 2=4．当x=0，y=﹣3． ∴A 点坐标为（4，0），D 点坐标为（﹣2，0），C 点坐标为（0，﹣3）； （2）∵y=x 2 ﹣x ﹣3，∴对称轴为直线x= =1． ∵AD 在x 轴上，点M 在抛物线上， ∴当△MAD 的面积与△CAD 的面积相等时，分两种情况： ①点M 在x 轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M 与点C 关于直线x=1对称， ∵C 点坐标为（0，﹣3），∴M 点坐标为（2，﹣3）； ②点M 在x 轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M 点到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离3．当y=4时，x 2 ﹣x ﹣3=3，解得x 1=1+，x 2=1﹣ ， ∴M 点坐标为（1+，3）或（1﹣，3）． 综上所述，所求M 点坐标为（2，﹣3）或（1+ ，3）或（1﹣ ，3）； （3）结论：存在． 如图所示，在抛物线上有两个点P 满足题意： ①若BC ∥AP 1，此时梯形为ABCP 1． 由点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，可知BC ∥x 轴，则P 1与D 点重合， ∴P 1（﹣2，0）．∵P 1A=6，BC=2，∴P 1A ≠BC ，∴四边形ABCP 1为梯形； ②若AB ∥CP 2，此时梯形为ABCP 2． ∵A 点坐标为（4，0），B 点坐标为（2，﹣3），∴直线AB 的解析式为y=x ﹣6， ∴可设直线CP 2的解析式为y=x+n ，将C 点坐标（0，﹣3）代入，得b=﹣3， ∴直线CP 2的解析式为y=x ﹣3．∵点P 2在抛物线y=x 2 ﹣x ﹣3上， ∴x 2 ﹣x ﹣3=x ﹣3，化简得：x 2 ﹣6x=0，解得x 1=0（舍去），x 2=6， ∴点P 2横坐标为6，代入直线CP 2解析式求得纵坐标为6，∴P 2（6，6）． ∵AB ∥CP 2，AB ≠CP 2，∴四边形ABCP 2为梯形． 综上所述，在抛物线上存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P 的坐标为（﹣2，0）或（6，6）． 专题训练十 解答题突破 ——代数几何综合题(涉及二次函数) 1．(2016·新疆)如图1，抛物线y ＝ax 2 ＋bx －3 (a ≠0)的顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A 、B 两点， 与y 轴交于点C ，且BO ＝OC ＝3AO ，直线y ＝－1 3 x ＋1与y 轴交于点D ． 图1 (1)求抛物线的解析式； (2)证明：△DBO ∽△EBC ； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P 点坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图2，图3，在每一个四边形ABCD 中，均有AB ∥DC ，AD ⊥AB ，∠ABC ＝30°，CD ＝6，AB ＝12. 图2 图3 (1)如图图2，点M 是四边形ABCD 边AB 上的一点，求△DMC 的面积； (2)点M 是四边形ABCD 边AB 上的任意一点，请你求出△DMC 周长的最小值； (3)如图3，如果点M 在AB 上，是以1个单位/秒的速度从A 向点B 运动，是否存在一个时刻t ，使得△MCB 是等腰三角形？如存在，请求出此时的t 值；如不存在，请说明理由． 3．(2016·青羊区模拟)如图4所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成△AC 1D 1和△BC 2D 2两个三角形(如图5所示)．将纸片△AC 1D 1沿直线D 2B (A →B 方向)平移(点A ，D 1，D 2，B 始终在同一直线上)，当D 1与点B 重合时，停止平移．在平移的过程中，C 1D 1与BC 2交于点E ，AC 1与C 2D 2，BC 2分别交于点F ，P . 2016中考分类汇总（28）代几综合题 （2016安徽）22．如图，二次函数bx =2的图象经过点)4,2(A与)0,6(B． ax y+ （1）求b a,的值； （2）点C是该二次函数图象上B A,两点之间的一动点，横 坐标为)6 x．写出四边形OACB的面积S关 （2016毕节）如图，已知抛物线bx x y +=2 与直线42+=x y 交于A(a,8)、B 两点， 点P 是抛物线上A 、B 之间的一个动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线AB 交于点C 和点E. （1）求抛物线的解析式； （2）若C 为AB 中点，求PC 的长； （3）如图，以PC,PE 为边构造矩形PCDE ，设点D 的 坐标为（m,n ）,请求出m,n 之间的关系式。 （2016滨州）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C （1）求点A，B，C的坐标； （2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积； （3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 二次函数（2016长春）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°.点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.当点E不与点A重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作EG∥AD交AC于点G，过点G作GH⊥AD交AD（或AD的延长线）于点H，得到矩形EFGH.设点E 运动的时间为t秒. （1）求线段EF的长.（用含t的代数式表示）一次函数的与几何图形综合的题目(含答案)
初三数学代数几何综合题
中考数学代数几何综合题2
二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)
题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的 代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以 想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二 是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐 心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 （1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式，属于送分题。 （2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练 掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题 目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。 （3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目 所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条 件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系， 再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用， 这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一 步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这 一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底， 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C代数几何综合题含答案
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