功的理解和各种题型
知识点一功的理解和正负判断
1．做功两因素：力和物体在力的方向上发生的位移。
2．公式：W＝Fl cos_α
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l是物体对地的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
3．功的正负的判断方法
恒力的功依据力与位移方向的夹角来判断
曲线运动中的功依据力与速度方向的夹角α来判断，0°≤α<90°时，力对物体做正功；90°<α≤180°时，力对物体做负功；α＝90°时，力对物体不做功
能量变化时的功功是能量转化的量度，若有能量转化，则必有力对物体做功。此法常用于判断两个相联系的物体之间的相互作用力做功的判断
[小题练通]
1．(粤教教材原题)用起重机将质量为m的物体匀速吊起一段距离，那么作用在物体上的各力做功情况应是下列说法中的哪一种()
A．重力做正功，拉力做负功，合力做功为零
B．重力做负功，拉力做正功，合力做正功
C．重力做负功，拉力做正功，合力做功为零
D．重力不做功，拉力做正功，合力做正功
解析：选C物体匀速上升，重力方向与位移方向相反，重力做负功，拉力竖直向上，拉力方向与位移方向相同，拉力做正功，物体做匀速直线运动，处于平衡状态，所受合力为零，则合力做功为零；故A、B、D错误，C正确。
2.(多选)如图所示，人站在自动扶梯上不动，随扶梯向上匀速运动，
下列说法中正确的是()
A．重力对人做负功
B．摩擦力对人做正功
C．支持力对人做正功
D．合力对人做功为零
解析：选ACD人随自动扶梯向上匀速运动时，只受重力和竖直向上的支持力，所以重力做负功，支持力做正功，合力为零，所以合力对人做功为零，A、C、D正确；人不受摩擦力作用，所以摩擦力对人不做功，B错误。
3．(2017·全国Ⅱ卷)如图，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直
平面内，在大圆环上套着一个小环。小环由大圆环的最高点从静止开始下
滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力()
A．一直不做功B．一直做正功
C．始终指向大圆环圆心D．始终背离大圆环圆心
解析：选A由于大圆环是光滑的，因此小环下滑的过程中，大圆环对小环的作用力方向始终与速度方向垂直，因此作用力不做功，A项正确，B项错误；小环刚下滑时，大圆环对小环的作用力背离大圆环的圆心，滑到大圆环圆心以下的位置时，大圆环对小环的作用力指向大圆环的圆心，C、D项错误。
4.如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的斜面上，物体与斜面间
的动摩擦因数为μ，在外力作用下，斜面以加速度a沿水平方向向左做匀加
速运动，运动中物体与斜面相对静止。则关于斜面对物体的支持力和摩擦
力的下列说法中错误的是()
A．支持力一定做正功B．摩擦力一定做正功
C．摩擦力可能不做功D．摩擦力可能做负功
解析：选B根据题图可知，支持力方向垂直斜面向上，故支持力一定
做正功。而摩擦力是否存在需要讨论，若摩擦力恰好为零，物体只受重力
和支持力，如图所示，此时加速度a＝g tan θ，当a>g tan θ时，摩擦力沿斜
面向下，摩擦力与位移夹角小于90°，则做正功；当a (1)功是标量，只有大小没有方向。 (2)功的正负既不表示大小，也不表示方向。 (3)公式中l为物体的位移，而不是力作用点的位移。 知识点二功的计算 [方法1：利用定义式计算恒力做的功] (1)恒力做的功：直接用W＝Fl cos α计算。 (2)合力做的功 方法一：先求合力F合，再用W合＝F合l cos α求功。 方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。 [例1](多选)如图所示，水平路面上有一辆质量为M的汽车， 车厢中有一个质量为m的人正用恒力F向前推车厢，在车以加速度 a向前加速行驶距离L的过程中，下列说法正确的是() A．人对车的推力F做的功为FL B ．人对车做的功为maL C ．车对人的作用力大小为ma D ．车对人的摩擦力做的功为(F ＋ma )L [解析] 由做功的定义可知，选项A 正确；对人进行受力分析，人受重力以及车对人的力，合力的大小为ma ，方向水平向左，故车对人的作用力大小应为(ma )2＋(mg )2，选项C 错误；题述过程重力不做功，合力对人做的功为maL ，所以车对人做的功为maL ，由相互作用力及人、车的位移相同可确定，人对车做的功为－maL ，选项B 错误；对人由牛顿第二定律知，在水平方向上有F f －F ＝ma ，摩擦力做的功为(F ＋ma )L ，选项D 正确。 [答案] AD [方法2：利用动能定理求变力做的功] 动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功，也适用于求变力做功。因使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选。 [例2] (2015·海南高考)如图，一半径为R 的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m 的质点自轨道端点P 由静止开始滑下，滑到最低点Q 时，对轨道的正压力为2mg ，重力加速度大小为g 。质点自P 滑到Q 的过程中，克服摩擦力所做的功为( ) A.1 4mgR B.1 3mgR C.1 2 mgR D.π 4 mgR [解析] 在Q 点质点受到竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两力的合力充当向心力，所以有F N －mg ＝m v 2 R ，F N ＝2mg ，联立解得v ＝gR ，下落过程中重力做正功，摩擦力做负功，根据动能定理可得mgR －W f ＝12m v 2，解得W f ＝12mgR ，所以克服摩擦力做功 1 2mgR ，C 正确。 [答案] C [方法3：化变力为恒力求变力做的功] 变力做功一般难以直接求解，但若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用W ＝Fl cos α求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。 [例3] 如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F 拉轻绳，使滑块从A 点起由静止开始上升。若从A 点上升至B 点和从B 点上升至C 点的过程中，轻绳对滑块做的功分别为W 1和W 2，图中AB ＝BC ，则( ) A ．W 1＞W 2 B ．W 1＜W 2 C ．W 1＝W 2 D ．无法确定W 1和W 2的大小关系 [解析] 轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做的功转化为恒力做的功；因轻绳对滑块做的功等于拉力F 对轻绳做的功，而拉力F 为恒力，W ＝F ·Δl ，Δl 为轻绳拉滑块过程中拉力F 的作用点移动的位移，大小等于滑轮左侧轻绳的缩短量，由题图可知，Δl AB ＞Δl BC ，故W 1＞W 2，A 项正确。 [答案] A [方法4：利用微元法求变力做的功] 将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和。此法常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。 [例4] 如图所示，在水平面上，有一弯曲的槽道AB ，槽道由半径分别为R 2和R 的两个半圆构成。现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F 的方向时刻与小球运动方向一致，则此过程中拉力F 所做的功为( ) A ．0 B ．FR C ．2πFR D.3 2 πFR [解析] 因为F 的方向不断改变，不能用W ＝Fl cos α求解，但由于F 的方向时刻与小球运动方向一致，可采用微元法，把小球的位移分割成许多小段，在每一小段位移上作用在小球上的力F 可视为恒力，F 做的总功即为F 在各个小段上做功的代数和，由此得：W ＝F 12·2π·R 2＋12·2πR ＝3 2 πFR ，D 正确。 [答案] D [方法5：利用平均力求变力做的功] 若力的方向不变，而大小随位移(注意不是随时间)均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F ＝F 1＋F 22 的恒力作用，然后用公式W ＝F l cos α求此变力所做的功。 [例5] (多选)如图所示，n 个完全相同、边长足够小且互不粘连的 小方块依次排列，总长度为l ，总质量为M ，它们一起以速度v 在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块做功的大小为( ) A.1 2M v 2 B ．M v 2 C.1 2 μMgl D ．μMgl [解析] 总质量为M 的小方块在进入粗糙水平面的过程中，滑动摩擦力由0均匀增大，当全部进入时摩擦力达最大值μMg ，总位移为l ，平均摩擦力为F f ＝1 2μMg ，由功的公式可 得W f ＝－F f ·l ＝－12μMgl ，摩擦力对所有小方块做功的大小为1 2μMgl ，C 正确，D 错误； 用动能定理计算，则为：W f ＝0－12M v 2＝－12M v 2，摩擦力对所有小方块做功的大小为1 2M v 2， A 正确， B 错误。 [答案] AC [方法6：用F -x 图像求变力做的功] 在F -x 图像中，图线与x 轴所围“面积”的代数和表示力F 在这段位移所做的功，且位于x 轴上方的“面积”为正，位于x 轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。 [例6] 某物体在变力F 作用下沿水平方向做直线运动，物体的质量m ＝10 kg ，F 随物体的坐标x 的变化情况如图所示。若物体从坐标原点由静止出发，不计一切摩擦。借鉴教科书中学习直线运动时，由v -t 图像求位移的方法，结合其他所学知识，根据图示的F -x 图像，可求出物体运动到x ＝16 m 处时的速度大小为( ) A ．3 m /s B ．4 m/s C ．2 2 m/s D.17 m/s [解析] 力F 在运动过程中所做的总功W F ＝10×4 J ＝40 J ，由动能定理得：W F ＝1 2m v 2 －0，解得物体运动到x ＝16 m 处的速度大小为v ＝2 2 m/s ，C 正确。 [答案] C [方法7：利用W ＝Pt 求变力做的功] W ＝Pt 适用于变力的功率恒定或平均功率已知的情形。 [例7] 汽车质量为m, 输出功率恒为P , 沿平行公路前进距离x 的过程中， 其速度由v 1增至最大速度v 2，假设汽车在运动过程中所受阻力恒定， 则汽车通过距离x 所用的时间为多少？ [解析] 牵引力做功W 等于汽车增加的动能ΔE k 和克服摩擦力所做的功W f W ＝ΔE k ＋W f ΔE k ＝12m v 22－1 2 m v 12 速度达到最大值v 2时，牵引力等于摩擦力F f 由P ＝F v 2＝F f v 2得：F f ＝P v 2 克服摩擦力所做功： W f ＝F f x ＝xP v 2 W ＝12m v 22－1 2m v 12＋xP v 2 由于汽车以恒定功率P 行驶，W ＝Pt 所以经历的时间 t ＝W P ＝12 m v 22－1 2m v 12＋ xP v 2P ＝m v 22－m v 122P ＋x v 2。 [答案] m v 22－m v 122P ＋x v 2 用友维护人员常用SQL 脚本 --查询用友版本号 use ufsystem go select * from UA_Version go ----------------------------------------------------------------- --查看系统用户信息表 use ufsystem select cUser_Id as 操作员编码, cUser_Name as 操作员名称, nState as 是否停用 , iAdmin as 是否帐套主管理, cDept as 所属部门, cBelongGrp as 所在组, nState as 是否停用 from UA_User --查看具有帐套主管身份的操作员 select cUser_Id as 操作员编码, cUser_Name as 操作员名称 from UA_User where iAdmin=1; --查看被停用的操作员 select cUser_Id as 操作员编码, cUser_Name as 操作员名称 from UA_User where nState=1; --帐套主子表相关信息 use ufsystem --帐套主表 select cAcc_Id as 账套号, cAcc_Name as 账套名称, cAcc_Path as 账套路径, iYear as 启用会计期年, iMonth as 启用会计期月, cAcc_Master as 账套主管, cCurCode as 本币代码, cCurName as 本币名称, cUnitName as 单位名称, cUnitAbbre as 单位简称, cUnitAddr as 单位地址, cUnitZap as 邮政编码, cUnitTel as 联系电话, cUnitFax as 传真,
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