2012年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试
理 科 数 学
考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试
时间120分钟。
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字
笔书写，字体工整、字迹清楚。
（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无
效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
（4）保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 参考公式：圆锥侧面积S rl π=。
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．集合12x N Z x +
??
∈∈????
中含有的元素个数为 A ．4 B ．6 C ．8 D ．12
2．已知方程
221221
x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 A ．1,22?? ??? B ．()1,+∞ C ．()1,2 D ．1,12?? ???
3．下列有关命题的说法中，正确的是
A ．命题“若2
1x >，则1x >”的否命题为“若2
1x >，则1x ≤” B ．命题“若αβ>，则tan tan αβ>”的逆否命题为真命题
C ．命题“x R ?∈，使得2
10x x ++<”的否定是“x R ?∈，都有2
10x x ++>” D ．“1x >”是“2
20x x +->”的充分不必要条件。
4．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物。右图是据北
京某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的中位数较低的是
A ．甲
B ．乙
C ．甲乙相等
D ．无法确定 5．若
1
1
(2)3ln 2(1)a
x dx a x
+=+>?
，则a 的值是
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
6．某程序框图如右图所示，则输出的结果是
A ．43
B ．44
C ．45
D ．46
7．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c ·a =c ·b =1，，则对任意正实数t ，1
c ta b t
++的最小值是
A ．2
B ．
C ．4
D ． 8．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯
视图是等腰三角形，该几何体的表面积是
A ．16π
B ．8π
C ．16π
D ．8π
9．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点为M ，若?MAB 是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为
A ．
3
2
B ．2
C D
10．如下图，给定两个平面单位向量OA 和OB ，它们的夹角为120°，点C 在以O 为圆心
的圆弧AB 上，且OC xOA yOB =+（其中,x y R ∈），则满足x y +≥
A 1
B ．
3
4 C ．4π
D ．2
π
11．已知定义在R 上的奇函数()f x ，设其导函数为'()f x ，当(,0]x ∈-∞时，恒有
'()()xf x f x <-，令()()F x xf x =，则满足(3)(21)F F x >-的实数x 的取值范围是
A ．()1,2-
B ．11,
2??- ??? C ．1,22?? ???
D ．()2,1- 12．已知24(0)
()(2)(0)a x x x f x f x x --
，且函数()2y f x x =-恰有3个不同的零点，则实数
a 的取值范围是
A ．[4,0]-
B ．[8,)-+∞
C ．[4,)-+∞
D ．(0,)+∞
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在题后的横线上。） 13．已知i 为虚数单位，则复数
133i
i
-+的虚部是__________。 14．已知函数()2sin(2)()f x x ??π=-+<，若5,88ππ??
??
?
是()f x 的一个单调递增区间，则?的值为__________。 15．给出下列不等式：111123+
+>，11131...2372++++>，111
1 (22315)
++++>，1115
1 (23312)
++++>，…，则按此规律可猜想第n 个不等式为__________。
16．在?ABC 中，A =30°，BC =D 是AB 边上的一点，CD =2，?BCD 的面积为4，则AC 的长为__________。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
已知{}n a 为等比数列，11a =，6243a =。n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，13b =，
535S =。
（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设1122...n n n T a b a b a b =+++，求n T 。
18．（本小题满分12分）
哈尔滨冰雪大世界每年冬天都会吸引大批游客，现准备在景区内开设经营热饮等食品的店铺若干。根据以往对500名40岁以下（含40岁）人员和500名40岁以上人员的统计调查，有如下一系列数据：40岁以下（含40岁）人员购买热饮等食品的有260人，不购买热饮等食品的有240人；40岁以上人员购买热饮等食品的有220人，不购买热饮等食品的有280人。请根据以上数据作出2×2列联表，并运用独立性检验思想，判断购买热饮等食品与年龄（按上述统计中的年龄分类方式）是否有关系？
注：要求达到99.9%的把握才能认定为有关系。
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面ABB 1A 1是菱形，且∠A 1AB =60°，M 是A 1B 1的中点，MB ⊥AC 。 （1）求证：MB ⊥平面ABC ；
（2）求二面角A 1—BB 1—C 的余弦值。
20．（本小题满分12分）
已知椭圆M 的中心为坐标原点，且焦点在x 轴上，若点M 的一个顶点恰好是抛物线y 2=8x 的焦点，M 的离心率1
2
e =
，过M 的右焦点F 作与坐标轴垂直的直线l ，交M 于A ，B 两点。 （1）求椭圆M 的方程。
（2）设点N （t ，0）是一个动点，且()NA NB AB +⊥，求实数t 的取值范围。
21．（本小题满分12分） 已知函数2
()ax
f x x b
=
+在x =1处取得极值为2，设函数()y f x =图象上任意一点00(,())x f x 处的切线斜率为k 。
（1）求实数k 的取值范围；
（2）若对于任意1201x x <<<，存在k ，使得2121
()()
f x f x k x x -=-，求证102x x x <<。
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22．（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲
如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，AB 是⊙O 2
的直径，过A 点作⊙O 1的切线交⊙O 2于点E ，并与BO 1的延长线交于点P ，PB 分别与⊙O 1、⊙O 2交于C ，D 两点。
求证：（1）P A ·PD =PE ·PC （2）AD =AE
23．（本小题满分10分）
选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线L ：2
sin 2cos ρθθ=，过点(5,)A α（α为锐角且3
tan 4
α=）作平行于()4
R π
θρ=
∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点。
（1）以极点为原点，极轴为x 的正半轴，取与极坐标相同的单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； （2）求BC 的长。
24．（本小题满分10分）
已知关于x 的不等式2211log x x a +--≤（其中0a >）。 （1）当a =4时，求不等式的解集； （2）若不等式有解，求实数a 的取值范围。
2012年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题：
二、填空题： 13．1- 14．4π
15．211
21312111+>
-+++++n n 16．22或4 三、解答题：
17．（Ⅰ）13-=n n a （3分） 12+=n b n （6分） （Ⅱ）()()123123123513--?++?-++?+?=n n n n n T ① ()()n n n n n T 3123123533312?++?-++?+?=
- ②
①-②得：()
()n n n n T 31233323212?+-+++?+=-- （9分） 整理得：n n n T 3?= （12分） 18． 由题得22?列联表
（4分）
()2
21000260280220240500500480520
K ?-?=
???410.6≈ 828.10< （10分）
所以没有99.9％的把握认定为有关系． （12分） 19．（Ⅰ）∵侧面11A ABB 是菱形且o
601=∠AB A ∴11A BB ?为正三角形 又∵点M 为11A B 的中点 ∴11BM A B ⊥
A 1
C
B
A
B 1
C 1
M
H
∵AB ∥11A B ∴BM AB ⊥
由已知AC MB ⊥ ∴⊥MB 平面ABC （4分） （Ⅱ）（法一）连接M C 1，作1BB MH ⊥于H ，连接H C 1
由（Ⅰ）知⊥M C 1面11ABB A ，∴11BB M C ⊥ 又1BB MH ⊥ ∴⊥1BB 面MH C 1 ∴H C BB 11⊥ ∴MH C 1∠为所求二面角的平面角 （8分） 设菱形11A ABB 边长为2，则31=
M C
在MB B Rt 1?中，由MB MB BB MH ?=?11知：2
3
=
MH 在MH C Rt 1?中， 2tan 11==
∠MH
M C MH C ∴55
cos
1=∠MH C
即二面角11A BB C -- （12分）
（法二）如图建立空间直角坐标系
设菱形11A ABB 边长为2
得(10,B -
，()0,2,0A
)
C
，(1A
则
(1BA =，()0,2,0BA =
(10,BB =-，(
)
3,1,0BC =
设面11A ABB 的法向量()1111,,n x y z
=，由1n BA ⊥,11n BA ⊥得
11120
y y =???
=??，令11x =，得()11,0,0n = （8分） 设面11BB C C 的法向量()2222,,n x y z =
， 由21n
BB ⊥，2n BC ⊥得
22220
y y ?-+=??
+=??,令32=y ，得()
1,3,12-=n （10分）
B 1
得5
55
11-
=?-=
=
. 又二面角11A BB C --
（12分） 20．（Ⅰ）椭圆M 的标准方程：13
42
2=+y x （4分） （Ⅱ）设()11,y x A ，()22,y x B ，设1:+=my x l ()0,≠∈m R m
?????=++=134
1
22
y x
my x ?()0964322=-++my y m 由韦达定理得4
362
21+-
=+m m
y y ① （6分） ⊥+)(?NB NA =?
()=+-2121y t x ()2222y t x +-? ()()()022*******=-+-+-y y t x x x x
将111+=my x ，122+=my x 代入上式整理得：
()()()()[]
0221212
21=-+++-t m y y m y y ，由21y y ≠知
()
()()0221212
=-+++t m y y m ，将①代入得4
312+=
m t （10分）
所以实数t ??
? ??∈41,0 （12分）
21．（Ⅰ）()()
2
22
b x ax ab x f +-='
由()01='f 及()21=f 得，1,4==b a （2分）
()()
???
?
??
?
?+-+='=2
02
2
0011
12
4x x x f k 设
t x =+2011，(]1,0∈t 得??
?
???-∈4,21k （4分）
（Ⅱ）()()
2
22
144x
x x f +-='，令()()1,10-∈?>'x x f ()x f 的增区间为()1,1-，故当1021<< ()()01 212>--x x x f x f . 即0>k ，故()1,10-∈x （6分） (法一)由于）00()(x f x f -'='，故只需要证明()1,00∈x 时结论成立 由()() 1 212x x x f x f k --= ，得()()1122kx x f kx x f -=-， 记kx x f x h -=)()(，则)()(12x h x h = k x f x h -'=')()(，则0)(0='x h ， 设()()()1,0,112 ∈+-= x x x x g ，()0) 1(3 3 <+-= 'x x x g ， ()x g 为减函数，故()x f ' 为减函数 故当0x x >时有k x f x f ='<'） 0()(，此时0)(<'x h ，()x h 为减函数 当0x x <时0)(>'x h ，()x h 为增函数 所以)(0x h 为)(x h 的唯一的极大值，因此要使)()(12x h x h =，必有201x x x << 综上，有201x x x <<成立 （12分） （法二） 由已知： ()()()( ) 1 111 112 22 1 2 12 020 20 ++-= ++-x x x x x x x ① 下面以反证法证明结论： 假设120x x x >≥，则212 0x x x >， 因为()1,10-∈x ，()1,0,21∈x x ，所以212 0110x x x -<-<， 又()()( ) 1 11 1 1 02 22 1 2 20 ++< +< x x x ，故 ()()()( ) 1 111 112 22 1 2 12 020 20 ++-< ++-x x x x x x x 与①式矛盾 假设210x x x <≤，同理可得()()()( ) 1 111 112 22 1 2 12 020 20 ++-> ++-x x x x x x x 与①式矛盾 综上，有201x x x <<成立 （12分） 22．（Ⅰ）PB PE 、 分别是⊙2O 的割线∴PB PD PE PA ?=? ① （2分） 又PB PA 、 分别是⊙1O 的切线和割线∴PB PC PA ?=2 ② （4分） 由①，②得PC PE PD PA ?=? （5分） （Ⅱ）连结AC 、ED 设DE 与AB 相交于点F ∵BC 是⊙1O 的直径 ∴?=∠90CAB ∴AC 是⊙2O 的切线. （6分） 由（Ⅰ）知 PD PC PE PA = ，∴AC ∥ED ∴AB ⊥DE , ADE CAD ∠=∠ （8分） 又∵AC 是⊙2O 的切线，∴ AED CAD ∠=∠ 又ADE CAD ∠=∠，∴ADE AED ∠=∠ ∴AE AD = （10分） 23．（Ⅰ）由题意得，点A 的直角坐标为()3,4 (1分) 曲线L 的普通方程为：x y 22 = （3分） 直线l 的普通方程为：1-=x y （5分） （Ⅱ）设B （11,y x ）C （22,y x ） ???-==1 22x y x y 联立得0142=+-x x 由韦达定理得421=+x x ，121=?x x （7分） 由弦长公式得621212 =-+=x x k BC （10分） 24．（Ⅰ）当4=a 时，2)(≤x f ， P 21- 4-<≤-x （1分） 121≤≤-x 时，23≤x ，得3 2 21≤≤-x （2分） 1>x 时，0≤x ，此时x 不存在 （3分） ∴不等式的解集为? ?? ???≤ ≤-324x x （5分） （Ⅱ）∵设=)(x f ??? ? ? ???? >+≤≤- -<--=--+1 ,212 1 , 32 1,2112x x x x x x x x 故?? ? ???+∞- ∈,23)(x f ，即)(x f 的最小值为23- （8分） 所以a x f 2log )(≤有解，则2 3 log 2- ≥a 解得42 ≥a ，即a 的取值范围是??? ????+∞,42 （10分）
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