第四章圆与方程教材分析
本章在“第三章直线与方程”的基础上，在直角坐标系中建立圆的方程，并通过圆的方程，研究直线与圆、圆与圆的位置关系王新敞
在直角坐标系中，建立几何对象的方程，并通过方程研究几何对象，这是研究几何问题的重要方法王新敞通过坐标系，把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合王新敞
一、内容与课程学习目标
本章主要内容是在直角坐标系中建立圆的方程，并通过圆的方程，研究直线与圆、圆与圆的位置关系王新敞通过本章学习，要使学生达到如下学习目标：
1．回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程王新敞
2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系王新敞
3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题王新敞
4．进一步体会用代数方法处理几何问题的思想王新敞
5．通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置王新敞
6．通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式王新敞
二、内容安排
本章内容共分三节，约需9课时，具体课时分配如下（仅供参考）：
4．1 圆的方
程约2课时4．2 直线、圆的位置关系约4课时
4．3 空间直角坐标
系约2课时小结
约1课时
1．“直线与方程”一章研究了直线方程的各种形式、直线之间的位置关系以及直线之间位置关系的简单应用王新敞本章在第三章的基础上，学习圆的有关知识——圆的标准方程、圆的一般方程；继续运用“坐标法”研究直线与圆、圆与圆的位置关系等几何问题；学习空间直角坐标系的有关知识，用坐标表示简单的空间的几何对象王新敞
2．“圆的方程”一节包括圆的标准方程、圆的一般方程两部分王新敞首先提出确定圆的几何要素这个问题，指出圆心和半径是确定一个圆最基本的要素，然后引导学生用代数的语言（方程）描述圆，进而得到圆心为C（a,b），半径为r的圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2＝r2王新敞对圆的标准方程进行变形，可以得出圆的一般方程，它们是表示圆的方程的两种形式王新敞
3．“直线、圆的位置关系”中，先从几何角度指出它们之间的直线与直线、直线与圆的位置关系，然后用方程去描述它们，通过方程研究直线、圆的位置关系王新敞最后安排了直线与圆的方程在解决实际问题和平面几何问题方面的应用王新敞
通过方程，研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的主要内容之一王新敞判断直线与圆、圆与圆的位置关系可以从两个方面入手：
（1）曲线C1与C2有无公共点，等价于由它们的方程组成的方程组有无实数解．方程组有几组实数解，曲线C1与C2就有几个公共点；方程组没有实数解，C1与C2就没有公共点王新敞
（2）运用平面几何知识，把直线与圆、圆与圆的位置关系的结论转化为相应的代数问题王新敞
在本节的最后，进一步指出用坐标方法解决几何问题的“三部曲”：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论王新敞
4．“空间直角坐标系”包括空间直角坐标系的概念，用坐标表示空间中简单的几何对象，以及空间中两点间的距离公式王新敞
5．为了使学生更好地了解“坐标法”，认识信息技术在探求轨迹方面的作用，本章安排了“阅读与思考坐标法与机器证明”和“探究与发现用《几何画板》探求点的轨迹（圆）”王新敞“阅读与思考坐标法与机器证明”介绍了坐标法、笛卡儿、坐标法与机器证明之间的关系、机器证明的思想，以及在机器证明方面作出重大贡献的的我国著名数学家吴文俊先生王新敞目的是拓广学生的知识面，了解我国数学家作出的重大贡献，激发学生进一步深入学习数学的兴趣王新敞“探究与发现用《几何画板》探求点的轨迹（圆）”介绍了《几何画板》在探求点的轨迹，帮助学生猜想、发现方面的作用王新敞
三、几个问题
1．始终贯穿“坐标法”的思想
解析几何的特点是用代数的方法研究几何图形王新敞对于义务教育阶段中判断圆与直线、圆与圆之间的位置关系的方法，学生并不陌生王新敞这里研究问题的方法与以前不同，这就是坐标法．
在建立圆的标准方程时，首先帮助学生回顾确定圆的要素，然后利用坐标法来刻画圆，建立了圆的标准方程；判断圆与直线、圆与圆的位置关系时，首先回顾义务教育阶段如何判断圆与直线、圆与圆的位置关系，然后利用坐标法研究它们王新敞从另一个角度看，既然圆、直线都可以用方程来刻画，那么就可以通过对方程的研究来研究直线与圆、圆与圆的位置关系，这就是两曲线是否有公共点的问题，即它们的方程组成的方程组有没有实数解的问题王新敞本章在进行圆与直线、圆与圆的位置关系判断时，常常采用这两种方法．2．从一个或几个数学问题展开知识内容
问题是数学的心脏王新敞引入知识内容时，常设置一个或几个问题，创设一种情境，一方面引起学生的兴趣，另一方面引起学生解决问题的求知欲望王新敞
比如“4. 1.2圆的一般方程”，提出了两个思考题
思考：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？
实际上，对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方，得（x－1）2＋（y－2）2＝－1，这个方程不表示任何图形王新敞
紧接着，教科书又提出一个让学生探究的问题王新敞
探究：形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程在什么条件下表示圆？
教科书环环相扣，把学生引入一个又一个“愤”与“悱”的境地，使得学生通过问题的解决学习新的知识王新敞
3．关注结论形成的过程，通过思考、探究，得出结论
本章在编写时注意呈现方式，不直接给出结论，让学生证明王新敞而是把结论放在学生经过一系列数学活动之后，通过思考、探究，得出结论王新敞比如，用“坐标法”解决问题的“三部曲”就是通过解决一系列问题
后得出王新敞在例题的呈现时，增加了分析的过程，重点分析解题的思路王新敞在探求点的轨迹时，提倡先用信息技术工具探究轨迹的形状，对问题有一个直观的了解，然后再分析轨迹形成的原因，找出解决问题的方法，使得学生抓住问题的本质，理清思路，制订合理的解题策略王新敞
4．充分利用教科书边空，提出具有一定思考价值的问题，强调重要的数学思想方法
利用教科书边空不失时机地提出一些具有一定思考价值的问题，例如：
（1）当一个问题解决之后，询问“还有其他不同的解法吗？”或者是“有更好的解法吗？”
（2）当同一个问题有两种解法时，要求比较它们的优劣王新敞如“请同学们比较这两种证明方法，并指出各自的特点？”在比较中加深理解，促使学生养成解题后反思的良好习惯．
（3）当同一个问题有多种解法时，要求学生在教科书已经给出一种或两种解法的基础上再给出一种王新敞归纳、抽象是重要的数学思想方法王新敞在问题解决之后，要求学生进行一些简单的归纳王新敞
例如，“4. 1.1圆的标准方程”，在学习了例2与例3之后，提出“比较例2和例3，你能归纳出求任意三角形外接圆的标准方程的两种方法吗？”
通过问题的开放性，触类旁通地提出问题王新敞比如，研究圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0的关系时，把它们的方程相减，得到x＋2y－1＝0王新敞在边空处要求“画出圆C1与C2以及方程x＋2y－1＝0表示的直线，你发现了什么？你能说明为什么吗？”更进一步，能否说，要研究圆C1与圆C2的关系只要研究直线x＋2y－1＝0与C1（或C2）的关系就可以了呢？这一问题，不仅体现了“化归”的思想，而且是颇具思考价值的．
5．注意加强与实际问题、其他学科的联系
本章内容的选择尽可能加强与学生的生活、生产实际的联系王新敞比如，为说明研究直线与圆的位置关系的必要性，设置了一个渔船能否避开台风的问题：
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
在直线与圆的方程的应用部分，设置了与圆拱桥有关的计算题王新敞学习空间直角坐标系时，要求写出食盐晶胞中钠原子在空间直角坐标系中的位置（坐标）等等王新敞
6．介绍科技成果，渗透数学文化
本章通过设置“阅读与思考坐标法与机器证明”栏目，介绍科学家、数学史、数学在现代生活中的应用等，机器证明几何定理是坐标法的精彩应用，我国数学家吴文俊先生在这方面有着重要的贡献，较为详细地介绍了机器证明几何定理研究的历史王新敞
四、对教学的几个建议
1．认真把握教学要求
教学中，注意控制教学的难度，避免进行综合性强、难度较大的数学题的训练，避免在解题技巧上做文章王新敞比如，义务教育阶段“空间与图形”部分涉及的许多结论都可以用坐标法来加以证明，而义务教育阶段的教学要求已经有所改变王新敞因此，用坐标法证明平面几何题要求不宜过高，适可而止王新敞再如，教科书不介绍圆的切线方程x0x+y0y＝r2，这并不是说不涉及圆与直线相切这一位置关系王新敞与直线相切这一位置关系的判断可以有两种方法，一种是利用圆心到直线的距离等于半径长；另一种是利用它们的方程组成的方程组只有一组实数解王新敞
2．关注重要数学思想方法的教学
重要的数学思想方法不怕重复王新敞《普通高中数学课程标准（实验）》要求“坐标法”应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法王新敞在教学中应自始至终强化这一思想方法，这是解析几何的特点王新敞教学中注意“数”与“形”的结合，在通过代数方法研究几何对象的位置关系以后，还可以画出其图形，验证代数结果；同时，通过观察几何图形得到的数学结论，对结论进行代数证明，不应割断它们之间的联系，只强调其一方面王新敞
3．关注学生的动手操作和主动参与
学习方式的转变是课程改革的重要目标之一王新敞教学中，注意提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在自主探索的过程中获得知识、增强技能、掌握基本的数学思想方法王新敞例如，判断直线与圆、圆与圆的位置关系以及它们的简单应用，探究点的轨迹等内容，可以先让学生画一画、想一想，然后进行代数论证王新敞“观察”“思考”“探究”等栏目设置目的之一就是想让学生参与到数学活动中来王新敞采取启发、引导、讨论，先学后教.
4．关注信息技术的应用
平面解析几何是一门典型的数与形结合的学科，信息技术在加强几何直观，促使数与形结合方面有着特殊的作用王新敞借助信息技术，可以形象、直观地帮助学生认识所研究的曲线王新敞在动态演示中，观察曲线的性质，在直观了解的基础上，寻求形成这些性质的原因以及代数表示王新敞通过对方程的研究，了解曲线与曲线的关系时，运用信息技术，可以进一步验证得到的结果，为抽象的认识增添了形象的支持王新敞在探究点的轨迹时，可以借助信息技术，探究轨迹的形状等等王新敞
4.1.1 圆的标准方程
教学目标：
1．掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程王新敞
2．会用待定系数法求圆的标准方程王新敞
3．进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力王新敞
4．通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣王新敞
教学重点：圆的标准方程
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程王新敞
教学方式：启发、引导、讨论，先学后教.
教学过程：
1.情境设置：
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究： 2.探索研究：
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 王新敞
（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件
r = ①
化简可得：2
2
2
()()x a y b r -+-= ②
引导学生自己证明222()()x a y b r -+-=为圆的方程，得出结论王新敞
方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程王新敞
3、知识应用与解题研究
例1.写出圆心为(2,3)A -半径长等于5
的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上王新敞
分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手王新敞
探究：点00(,)M x y 与圆222
()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2
r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内
例2. ABC ?的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程
师生共同分析：从圆的标准方程2
2
2
()()x a y b r -+-= 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a b r 、、三个参数.（学生自己运算解决）
例3.已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程.
师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心
为C 的圆经过点(1,1)A 和(2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相
等，
所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上，又圆心C 在直线l 上，因此
圆心
C 是直线l 与直线m 的交点，半径长等于CA 或CB 王新敞
（教师板书解题过程王新敞
） 总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例3可得出ABC ?外接圆的标准方程的两种求法：根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程.根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.
练习：课本127p 第1、3、4题
提炼小结：
1、 圆的标准方程王新敞
2、 点与圆的位置关系的判断方法王新敞
3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法王新敞
作业：课本130p 习题4.1第2、3、4题
4.1.2圆的一般方程 教学目标： 1．在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程022=++++F Ey Dx y x 表示圆的条件．
2．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程王新敞
3．培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力王新敞
4．通过对方程x 2＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力王新敞
5．渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索王新敞
教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D 、E 、F ．
教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用王新敞
王新敞
王新敞
教学方式：启发、引导、讨论，先学后教. 教 具：多媒体、实物投影仪王新敞
教学过程： 课题引入：
问题：求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程王新敞
利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程王新敞
探索研究：
请同学们写出圆的标准方程：()2
22
()x a y b r -+-=，圆心(a ，b)，半径r ．
把圆的标准方程展开，并整理：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2
=0．
取222,2,2r b a F b E a D -+=-=-=得 022=++++F Ey Dx y x ①
这个方程是圆的方程．
反过来给出一个形如x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？
把x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F=0配方得 22224()()224
D E D E F
x y +-+++= ②
(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？
(1)当D 2
＋E 2
－4F ＞0时，方程②表示（1）当042
2>-+F E D 时，表示以（-2
D
，-2E ）为圆
心,
F E D 42
1
22-+为半径的圆； （2）当042
2=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -
=，2
E y -=，即只表示一个点（-2D
，-2E ）;
（3）当042
2<-+F E D 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形王新敞
综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆王新敞
只有当042
2>-+F E D 时，它表示的曲线才是圆.
我们把形如02
2=++++F Ey Dx y x 的表示圆的方程称为圆的一般方程王新敞
我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)
①x 2和y 2
的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．
圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显王新敞
知识应用与解题研究：
例1．判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径王新敞
()()2222
14441290;244412110
x y x y x y x y +-++=+-++= 学生自己分析探求解决途径：①用配方法将其变形化成圆的标准形式王新敞
②运用圆的一般方程的判断方法求解
王新敞
但是，要注意对于()2214441290x y x y +-++=来说，这里的
9
1,3,4
D E F =-==而不是D=-4,E=12,F=9.
例2．求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标王新敞
分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程王新敞
解：设所求的圆的方程为：022=++++F Ey Dx y x
∵(0,0),(11A B ，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得
到关于F E D ,,的三元一次方程组，即??
?
??=+++=+++=02024020
F E D F E D F
解此方程组，可得：0,6,8==-=F E D 王新敞
∴所求圆的方程为：0682
2=+-+y x y x 王新敞
542
122=-+=
F E D r ；32,42-=-=-F
D 王新敞
得圆心坐标为（4，-3）.
或将06822=+-+y x y x 左边配方化为圆的标准方程，25)3()4(2
2=++-y x ,从而求出圆的半径
5=r ，圆心坐标为(4,-3) 王新敞
学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：
①根据提议，选择标准方程或一般方程；
②根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组；
③解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程王新敞
例3.已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆上()2
2
14x y ++=运动，求线段AB 的中点M
的轨迹方程王新敞
分析：如图点A 运动引起点M 运动，而点A 在已知圆上运动，
点A 的坐标满足方程()2
2
14x y ++=王新敞
建立点M 与点A 坐标之间的关
系，就可
以建立点M 的坐标满足的条件，求出点M 的轨迹方程王新敞
解：设点M 的坐标是（x,y ）,点A 的坐标是()00,x y
()B 43M AB 由于点的坐标是，且是线段的重点，所以
000043,,24,23
22
x y x y x x y y ++===-=-于是有 ① 因为点A 在圆()2214x y ++=上运动，所以点A 的坐标满足方程()2
214x y ++=,即
()
2
20014x y ++= ②
把①代入②，得
()()2
2
241234,
x y -++-=22
312y ???
?+-= ? ????
?3整理，得x-2
M ??
???
33所以，点的轨迹是以，为圆心，半径长为1的圆22
课堂练习：课堂练习130p 第1、2、3题
小结 ：对方程02
2=++++F Ey Dx y x 的讨论(什么时候可以表示圆) 王新敞
与标准方程的互化王新敞
用待定系数法
求圆的方程王新敞
求与圆有关的点的轨迹王新敞
课后作业：
130p 习题4.1第2、3、6题
4.2.1 直线与圆的位置关系
一、教学目标
1．能说出直线与圆的位置的种类；利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
2. 设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2
,2(E
D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
3. 当r d >时，直线l 与圆C 相离；当r d =时，直线l 与圆C 相切；当r d <时，直线l 与圆C 相交；让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想． 二、教学重点、难点：
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法． 难点：用坐标法判直线与圆的位置关系． 三、教学方式：启发、引导、讨论，先学后教. 四、教学设想
4.2.2 圆与圆的位置关系
一、教学目标
1.知道圆与圆的位置的种类；会利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；会用连心线长判断两圆的位置关系．
２．让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．
二、教学重点、难点：
重点与难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系．
三、教学方式：启发、引导、讨论，先学后教.
四、教学设想
4.2.3 直线与圆的方程的应用
一、教学目标
１．会叙述直线与圆的位置关系的几何性质；利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；会用“数形结合”的数学思想解决问题．
２．让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．
二、教学重点、难点：直线与圆的方程的应用．
三、教学方式：启发、引导、讨论，先学后教.
四、教学设想
4.3.1 空间直角坐标系
教学目标
1. 让学生经历用类比的数学思想方法探索空间直角坐标系的建立方法，进一步体会数学概念、方法产生和发展的过程，学会科学的思维方法．
2. 理解空间直角坐标系与点的坐标的意义，掌握由空间直角坐标系内的点确定其坐标或由坐标确定其在空间直角坐标系内的点，认识空间直角坐标系中的点与坐标的关系．
3. 进一步培养学生的空间想象能力与确定性思维能力．
教学方式：启发、引导、讨论，先学后教.
任务分析
这节课是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是以后学习“空间向量”等内容的基础．通过建立空间直角坐标系，可以将空间内任一点用有序数组来表示；反过来，任一有序数组就对应一个点，这样空间直角坐标系中的点就有了坐标表示．在空间中引入坐标的目的和物理学中引入单位制一样，是提供一个度量几何对象的方法．因此，研究空间图形就可以代数化，实现了形向数的转化，将数与形紧密地结合起来．这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角、二面角的平面角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用．
点在三维空间内位置的确定是一个比较抽象的过程，学生在这个方面还没有形成清晰的认识，教学时应充分类比以往点在直线、点在平面内位置的确定方式．通过实例，激发学生的学习兴趣与探索欲望，充分发挥学生的主体作用，引导学生顺理成章地得出通过建立空间直角坐标系利用点的坐标来确定点在空间内的位置．要特别强调点与坐标的一一对应关系，来强化对点的坐标的理解．围绕在空间直角坐标系中点的坐标的确定这一教学重点，通过巩固与练习反复强化如何在坐标系中利用点的坐标的概念来确定点的坐标这一过程，以巩固学生对新知识的理解，实现从感性认识到理性认识的飞跃．
教学设计
一、问题情景
1. 确定一个点在一条直线上的位置的方法．
2. 确定一个点在一个平面内的位置的方法．
例：如图26-1，要在一块长10cm、宽5cm的铁板上钻一个孔．若孔中心到铁板左边为2cm，到下边为4cm （铁板摆放位置已定），问孔中心的位置是否确定．
3. 如何确定一个点在三维空间内的位置？
例：如图26-2，在房间（立体空间）内如何确定电灯位置？
在学生思考讨论的基础上，教师明确：确定点在直线上，通过数轴需要一个数；确定点在平面内，通过平面直角坐标系需要两个数．那么，要确定点在空间内，应该需要几个数呢？通过类比联想，容易知道需要三个数．要确定电灯的位置，知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．
（此时学生只是意识到需要三个数，还不能从坐标的角度去思考，因此，教师在这儿要重点引导）
教师明晰：在地面上建立直角坐标系xOy，则地面上任一点的位置只须利用
x，y就可确定．为了确定不在地面内的电灯的位置，须要用第三个数表示物体离地面的高度，即需第三个坐标z．因此，只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．例如，若这个电灯在平面xOy上的射影的两个坐标分别为4和5，到地面的距离为3，则可以用有序数组（4，5，3）确定这个电灯的位置（如图26-3）．
这样，仿照初中平面直角坐标系，就建立了空间直角坐标系O—xyz，从而确定了空间点的位置．
二、建立模型
1. 在前面研究的基础上，先由学生对空间直角坐标系予以抽象概括，然后由教师给出准确的定义．
从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O—xyz，点O 叫作坐标原点，x轴、y轴、z轴叫作坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xO平面，yO平面，zOx平面．
教师进一步明确：
（1）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向则称这个坐标系为右手坐标系，课本中建立的坐标系都是右手坐标系．
（2）将空间直角坐标系O—xyz画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴成135°，而y轴垂直于z轴，y轴和z
轴的单位长度相等，但x轴上的单位长度等于y轴和z轴上的单位长度的，这样，三条轴上的单位长度直观上大致相等．
2. 空间直角坐标系O—xyz中点的坐标．