专题九 不等式
一、考试内容：
不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 二、考试要求：
（1）理解不等式的性质及其证明．
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．
（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ 三、命题热点
高考对该部分主要从以下几个方面考查：一元二次不等式、一元二次不等式组和简单的线性规划问题、基本不等式的应用等。高考在解答题中一般有一道数列题，各地高考的试题不尽相同，但总的趋势是难度在下降；试卷中没有不等式解答题，通常会在小题中设置1到2道，而对不等式的深层考查则在数列解答题、解析几何解答题、函数导数解答题中考查。 四、知识回顾
1. 不等式的基本概念
（1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式.
（4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质
（1）a b b a （对称性）
（2）c a c b b a >?>>,（传递性）
（3）c b c a b a +>+?>（加法单调性）
（4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,.
（7）bc ac c b a 0,（乘法单调性）
（8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘）
(9)0,0a b a b c d c d
>><
>（异向不等式相除）
11(10),0a b ab a b
>>?
<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）
3.几个重要不等式
（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若
（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么
.2
a b +（当仅当a=b 时取等号）
极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：
○
1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○
2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等
.
,3
a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则
a=b=c 时取等号） 0,2b a
ab a b
>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）
2222(6)0||;
||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<->
（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式
（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么
2
112a b a b ++（当仅当
a=b 时
取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：
特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a = b 时，22
2
()22
a b a b ab ++==）
),,,(332
222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈??
? ??+++≥++ ?幂平均不等式：2212
22
21)...(1
...n n a a a n
a a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd a
b
c
d +≤++.
常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n
-==-≥++--
1)n =
=≥
（2）柯西不等式： 时取等号
当且仅当（则
若n
n n n n n n n b a b a b a
b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 3322112
23222122322212332211321321)
)(();,,,,,,,,
（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有
12121212()()
()()(
)(
).22
22
x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或
则称f(x)为凸（或凹）函数.
5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
6.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；
②一元二次不等式ax 2
+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
()()0()
()
0()()0;0()0
()
()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? （3）无理不等式：转化为有理不等式求解
1
()0()0()()f x g x f x g x ?≥?
???≥??
?>?
定义域
○2???<≥????
?>≥≥?>0)(0)()]
([)(0
)(0
)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3?????<≥≥?<2
)]
([)(0
)(0
)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式
()()()()()(1)()();
(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b
>>?>><>>??>
（5）对数不等式：转化为代数不等式
()0
()0log ()log ()(1)()0;
log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>???
?>>?>><????>
?
（6）含绝对值不等式
○
1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○
3应用化归思想等价转化 ??
?>-<>≤?>???<<->?<)
()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)
()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为
注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124
(1)2(1)(1)()22327
x x x x x -=
?--≤=
②2222
2
32(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-?=≤=?≤
类似于2
2
sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2
x x x x x x
+=+≥与同号，故取等
7、二元一次不等式（组）与简单线性规划问题
(一)二元一次不等式表示的区域
对于直线0=++C By Ax (A>0)
当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的下方区域.
当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的上方区域.
（二）线性规划
(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次
不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.
(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.
(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. 线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行
(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.
2.设z =0，画出直线l 0.
3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.
4.最后求得目标函数的最大值及最小值.
(5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.
然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解.
最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.
五、典型例题
例1 在ΔABC 中，已知lgtgA+lgtgc=2lgtgB.求证：
3π≤B ＜2
π. 这个问题的已知是三角形中量的一种相等关系，要求从相等的条件出发，去推证出关于
另一(些)量的不等关系.虽说本题考查的是对数、三角函数、不等式的一些相关基础知识，并要求把分析法、综合法加以综合运用，但问题的实质却是某种“相等关系”向“不等关系”的转化，抓住这一实质特征，就可以找到解决问题的方法.当然要熟练掌握对数、三角函数及不等式的知识，在这里根据题意激活知识也是必不可少的.
简解：lgtgA+lgtgC=2lgtgB=lgtgA ·tgc ?tg 2
B=tgA ·tgc
tgB=tg(π-(A+C))=-B
tg 21tgC
tgA -+
∴tgA+tgC=tgB(tg 2
B －１) ∵tgA+tg
C ≥2tgC tgA ?=2tgB 即 tg 2
B-1≥2
∴tgB ≥3 ∵B ≥
3
π
……
这里，抓住了tg 2
B=tgA ·tgC 这一相等关系及tgB=-
tgC
tgA ?-+1tgC
tgA 隐含关系.通过tgA+tgC
≥2tgC tgA ?这一恒成立的不等式得出关于tgB 的不等式，求解即得结论.
b)“不等”向“相等”的转化.
ⅰ)由实数理论知：若a ≥b 且a ≤b 则必有a=b ，这是由“不等”变为“相等”的典型
模型，在数学运算中经常用到，例如：由(x-y)2≤0及隐含条件(x-y)2
≥0可以导出(x-y)２＝0
ⅱ)添加变量使“不等”变“相等”.例如：由x+y ＞0?y ＞-x 可含y=-x+t ，这里t ＞0，从而把x,y 的“不等”关系转化为某种“相等”关系.
例2 已知a 、b 、c ∈R ，函数f(x)=ax ２
＋bx+c ，g(x)=ax+b ，当-1≤x ≤1时，f(x)≤1 (1)证明：｜c ｜≤｜
(2)证明：当｜x ｜≤1时，｜g(x)｜≤2
(3)设a ＞0，当｜x ｜≤1时，g(x)的最大值是2，求f(x).
本题综合了函数、方程、不等式的知识与方法，由于是以证明不等式为主，对逻辑思维和推理论证能力的要求很高，难度很大，它以二次函数和一次函数为载体，侧重考查函数的概念，含绝对值的不等式的性质，函数的单调性等数学知识的综合灵活运用，并利用函数作为材料，考查恒等变形，放缩变形的方法和技能，等式和不等式的联系和转化.这里仅剖析第(3)小题.
已知告诉我们：对一切x ∈［-1,1］，g(x)≤2恒成立，这是不等的关系，由此(加上“a ＞0”)要得出f(x)的表达式，即给出一组值，使之分别与a 、b 、c 相等，很明显是“不等”向“相等”的转化.
简解如下：
∵a ＞0，∴g(x)=ax+b 是［-1,1］上的增函数，当x=1时，g(x)max =g(1)
即：a+b=g(1)=2=f(1)-f(0) ①
∵-1≤f(0)=f(1)-2≤1-2≤-1 ∴c=f(0)=-1
∵当-1≤x ≤1时f(x)≥-1恒成立，即f(x)≥f(0)
∴直线x=0是抛物线y=f(x)的对称轴，由此可得-a
b
2=0，即b=0代入①得a=2 ∴f(x)=2x 2
-1
2.“相等”与“不等”的构造 从上可以看出，“相等”向“不等”的转化，其关键之处在于构建出相关的不等关系，再将这个不等关系向目标(不等式)作进一步的变形处理即可.
a)在“相等关系”中构造出“不等关系”：
途径：①利用重要不等式：ⅰ)a 2+b 2
≥2ab
ⅱ)a 、b 、c ∈R ＋
，
a+b ≥2ab ，a+b+c ≥33abc ⅲ)
a b +b
a
≥2(a 、b ＞0)等等 ②利用函数单调性：f(x)是区间I 上的增函数，若x 1、x 2∈I ，则f(x ２)＜f(x １)；f(x)是区间I 上的减函数，若x 1、x 2∈I ，则f(x 1)＞f(x 2)；
③利用等量关系中的隐含条件，如
x ２
-１≥0 ｜x ｜≤a y=1-x 2? x 2
+y 2
=a 2
?
y ≥0 ｜y ｜≤a
例3 已知a 、b ∈R 且a 21b -+b 21a -=1，求证a 2
+b 2
=1
这是一道脍炙人口的名题，其证法有多种，常见的方法有：平方法、三角法、几何法等，但另辟蹊径，巧用“相等”与“不等”，又可别开生面，证明如下：
证明：∵a
2
1b
-≤2b -1a 22+ b 2
1a -≤2
a -1
b 22+两式相加得
a 21
b -+b 21a - ≤1又已知a 21b -+b 21a - =1，则上述两不等式必同时取等号即a=21b - ,b=21a -
∴a 2
+b 2
=1
例4 求满足(x 2+2x+3)(y 2
+1)=2的实数x,y
解：∵x 2+2x+3=(x+1)2+2≥2 y 2
+1≥1
∴(x 2+2x+3)(y 2+1)≥2 当且仅当x 2+2x+3=2,y 2
+1=1时成立解之得x=-1且y=0 b)在“不等”关系中构造“相等”关系.
x=rcos θ
途径：①设元构造.例：x 2+y 2
≤1? (0≤r ≤1) y=rsin θ
②数形结合，构造函数(或方程).例：x -4x -52≥x 可设y 1=x -4x -52,y 2=x
例5 求证：
n
n 2＜1-n 2 (n ∈N ，n ≥2) 证明：∵2n =(1+1)n
＝1+n+2
1)-n(n +…
∴n ≥2，n ∈N,右端展开式中的各项为正
∴2n
＞21)-n(n
即n n 2
＜1-n 2
例6 为使不等式x 2
+4xy+4y 2
+10x+ay+b ＞0对任意实数x 、y 恒成立，求实数a 、b 应满
足的条件.
解：为使不等式恒成立，须且仅须x 2+4xy+4y 2
+10x+ay+b 为一个实数的平方加上一个正
增量t ，可令x 2+4xy+4y 2+10x+ay+b=(x+2y+m)2+t=x 2+4xy+4y 2+2mx+4my+m 2
+4
10=2m a=20 根据多项式相等的条件有： a=4m ?
b=m 2
+t(t ＞0) b=25+t ＞25 所以当a=20,b ＞25时，原不等式恒成立.
例7 已知x 2+y 2
≤1，求x+y 的最大值.
分析：这里，量x+y 与x 2+y 2的直接关系可以通过2(x 2+y 2)≥(x+y)2
得出，还可以通过
换元令x=rcos θ，y=rsin θ，则有r 2
≤1
∴0≤r ≤1
∴x+y=rcos θ+rsin θ=2rsin(θ+
4
π
)≤2 r ≤2 得出. 3.由不等进行估算
估计变数或式子的取值范围，对某些数学问题能起到挖掘隐含信息，找到思维的切入点，从而使困难的问题迎刃而解.
x+y=6 例8 求解方程组
z 2
=xy-9
这是二个方程三个变量的方程组，按常规似乎有无数个解.但可对xy 进行估算，可知
xy ＞9，否则z 2
＜0,x+y ＞0
∵x ＞0,且y ＞0且6=x+y ≥2xy ?xy ≤9故z 2
=xy-9≤9-9=0
∴z=0且x=y=3
4.由不等推出矛盾：
反证法是“数学家最精良的武器之一”，它在数学解题中确有奇效，若能有意识地挖掘问题中潜在的不等关系，使两者联手，往往可以及时找到矛盾点——由不等导出矛盾.
例9 已知锐角α，β满足
βαsin cos +α
β
sin cos =2，求证α+β＝2π
证明：假设α+β＞2π，则α＞2π-β，β＞2
π
-α ∵α，β，2π-2，2π-β∈(0，2π
)
∴cos α＜cos(2π
-β)＝sin β
cos β＜cos(2
π
-α)=sin α
从而2=
βαcos cos +αβsin log ＜ββsin sin +α
α
sin sin =2矛盾 故α+β≤
2π，同理α+β≥2π，∴α+β=2
π
(二)不等式与函数、方程的关系
前面谈到“不等”与“相等”的相互依存，转化，在不等式与函数、方程中尤为突出. 1.一元二次不等式与二次函数，一元二次方程的关系
(1)一元二次方程的根(二次函数图像与x 轴交点的横坐标)是对应一元二次不等式解集的端点值，由此可引申出解一元高次不等式的“根轴法”，可以由数形结合，根据函数图像求不等式的解集.
(2)方程的条件根问题可以借助所设辅助函数与关于函数值的不等式，得出等价转化.
例10 2x ２
-3x=k 在［-1,1］内有实根，求实数k 的取值范围.
此题是有关一元二次方程根的个数讨论，通过构造二次函数，讨论其零值点的分布，借助不等式求出k 的范围.
解：设y=2x 2
-3x-k=f(x)
①若方程2x 2
-3x-k=0在［-1，1］上有两根，则 Δ≥0
f(-1)≥0 9+8k ≥0
f(1)≥0 ? 2+3-k ≥0 解之得：-8
9
≤k ≤-1 -1＜
4
3
＜1 2-3-k ≥0 ②若方程2x 2
-3x-k=0在［-1,1］上仅有一根则 Δ＞0 k ＞-
8
9 ? ? -1≤k ≤5 f(-1)f(1)≤0 (5-k)(1-k)≤0 综上可知，k ∈［-
8
9
,5］ 2.不等式与函数最值
(1)求函数的最大值与最小值涉及的范围极为广泛，可使用的方法很多，代数的，三角的，几何的问题中都有大量的求最值问题，求函数的值域也常归结为函数的最值；许多实际问题的应用题也能利用最值解决.
而最值问题往往归结为不等问题，用不等式的性质以及求解不等式的方法都可用于解决最值问题，代数课本上册P26例2实际上是两个极值定理，有着广泛的应用价值，(课本上虽为二个正数，但可推广到三、四个及多个的情形)在利用它解决问题时，要注意三个条件“一正、二定、三能等”即：①这几个数都必须是正数.例如：当xy=4，如果没有x 、y 都为正数这个条件，就不能说x+y 有最小值4，因为若x=y=-2虽满足xy=4但x+y=-4＜4.②这几个数必须满足条件“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”这个条件，就不能应用这两个定理.例如：当x ＞0时，求y=x 2
+
x 1的最小值，若写成y=x 2
+x
1≥2x
x 12
?
=2x (等号当且仅当x 2=x 1即x=1时y min =21=2)则最小值为2，这是错误的.而
应该是这样的：由于x 2
·
x 21·x 21=4为定值，故y=x 2+x 1=x 2+x 21+x 21≥332
2121x x x ?
?
=2
3
3
2，即y min ＝
2
33
2(显
然(
2
33
2)3=
427＜8 即2
33
2＜2＝
③要保证等号能成立，如果等号不能成立，则求出的仍不是最值，例如：当0＜x ＜
2
π
时求y=sinx+
sinx 4的最小值，尽管y=sinx+sinx 4≥2x
sin 4sin ?=4.但y min ＝４是错误的，因
为当sinx=
sinx
4
时可推出sinx=2(sinx ＞0)不成立，这只能说y ＞4恒成立，因此y min ＞4必成立，实际上由y=t+t
4
在(0，1］上是单调减函数可知，当sinx=1时y min =5
(2)不等式与二次函数y=ax 2
+bx+c(a ≠0)的最椎 x ∈R 时
①当a ＞0时，x=-a b 2时，y min =a 4b -4ac 2；当a ＜0，x=-a b 2时y max =a
4b -4ac 2
②当x ∈［m,n ］(m ＜n ＝时，易画出图像(是抛物线的一部分)“看图说话”. 例11 若a ＞0，y=ax 2
+bx+c 的最值如下表
当a ＜0时，可依上表写出类似结论.
(3)重要函数y=x+c ，(a ＞0,x ＞0)的单调性.
利用不等式的性质可证明，y=x+ f(m) 在(o ，a )上是减函数，在QS ［a ，+∞)上是增函数.
例12 求y=
4
52
2++x x 的最值
解：y=
4
142
2+++x x ＝4x 2++
4
12
+x
令t=4x 2+
≥2，于是y=t+t 1在［1,+∞)单调递增，可知t=2，即x=0时y min =
2
5 (三)不等式与几何的关系
数学关系实质上是反映现实生活中的量与量的关系的，因而往往具有一些实际意义(或几何意义)，不等关系也是这样.
1.构造几何图形证明不等式
1)对于一些含有“A+B ≥C ”结构的不等式问题，可联想“三角形两边之和大于第三边.”构造三角形证明
例13 x 、y 、z ∈R +
，求证：-xy y x 22+ +yz -z y 22+＞
xz y x -+22
简析：
x 2+y 2-xy=x 2+y 2
-2xycos60°
由 y 2+z 2-yz=y 2+z 2
-2yzcos60°联想到余弦定理，构造三棱锥
z 2+x 2-xz=x 2+z 2
-2xzcos60°
o-ABC 得证(如图)，AB=xy -y x 22+ BC=yz -y 2
2z + CA=xz -x 22z +及Δ
ABC 中，AB+BC ＞AC
2)对于一些含有“A ·B 或2
1
(A+B)·C ”结构的不等式问题，可联想面积证明之
例14 设a ＞c,b ＞c ＞0,求证：c)-c(a +)(c b c -≤ab 简析：∵(c -b )2
+(c )2
=(b )2
(c -a )2
+(c )2
=(a )2
即勾股定理，c)-c(a +)(c b c -=c (c -a +c -b )
联想到梯形面积可用补形法构造一个梯形.(如图二)
3)对于含有“a 2+b 2=c 2
”结构的不等式问题，可联想长方体中的对角线与棱长的公式，构造长方体.
4)对于一些含有“(a-m)2
+(b-n)2
”或
2
2
C bB aA B
A +++”结构的不等式问题可用解几中的
两点间的距离，点到直线的距离公式进行构图求证.
5)对含有“a 2+b 2=R 2
且aA+bB+C=0”结构的不等问题，可构造圆与直线的位置关系求证. 2.运用不等式知识解决几何最值
这类问题主要是通过建立目标函数之后，应用不等式知识(如函数单调性，基本不等式等)求出函数最值，这里不作详述.
(四)不等式与其它杂题 1.不等关系的探索.
现实生活中量与量的不等关系是普遍的、大量的，高考中探索性问题即包含对不等关系的探索，下面举例说明之：
例15 已知S n =1+
21+31+…n
1
(n ∈N),设f(n)=S 2n+1-S n+1.试确定m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数，不等式f(n)＞m 恒成立.
分析：依题意f(n)=S 2n+1-S n+1=
2n 1++3n 1++…+1
2n 1
+ (n ∈N)由于f(n)无法求和化简，故应把f(n)看作n 的函数，只须求出f(n)的最小值即可.
略解：∵f(n)=
2n 1++3n 1++…+12n 1+ f(n+1)=3n 1++…+32n 1+ 且f(n+1)-f(n)=22n 1++ 32n 1+-2n 1+=(22n 1+-42n 1+)+(32n 1+-4
2n 1
+)＞0
∴f(n+1)＞f(n) (n ＞1，n ∈
N)
∴f(2)是f(n)(n ＞1，n ∈N)的最小值f(2)=
20
9 要使f(n)＞m 恒成立，只须f(2)＞m 恒成立，故m ＜
20
9 例16 已知等差数列｛a n ｝和等比数列｛b n ｝中，a 1=b 1,a 2=b 2,a 1≠a 2,a n ＞0,n ∈N (1)试比较a 3,b 3及a 4,b 4的大小.
(2)推测a n 与b n 的大小，并证明你的结论. (结论：b n ＞a n 对任意n ∈N ，n ≥3成立)
简析：运用归纳法进行探测，猜出一般性的结果，用数学归纳法证明之.
例17 定义在(-1，1)上的函数f(x)满足(ⅰ)对任意x 、y ∈(-1，1)有f(x)+f(y)=f(
xy
y
x ++1) (ⅱ)当x ∈(-1,0)时，有f(x)＞0，试研究f(51)+f(111)+…
+f(
1
3n n 12++)与f(21
)的关系.
简析：由(ⅰ)、(ⅱ)可知f(x)是(-1，1)上的奇函数且是减函数. f(
13n n 12++)=f(1
-2)1)(n (n 1++)
=f(211111)
21
(11+-?+++-++n n n n ) =f(1n 1+)+f(-2n 1+)
=f(1n 1+)-f(2n 1+)
∴f(51)+f(111)+…+f(13n n 12++)
=［f(21)-f(31)］+［f(31)-f(41)］+…+［f(1n 1+)-f(2n 1+)］
=f(21)-f(2n 1+)＞f(2
1)
(∵0＜2n 1+＜1，∴f(2
n 1
+)＜0)
2.不等式问题中的思维策略
1)反客为主
当从正面按常规方法不易得出问题的解时，可以变换角度从侧面入手寻找突破口.
例18 当｜p ｜≤2时，不等式2x-1＞p(x 2
-1)恒成立，求x 的取值范围
x 2-1=0 x 2-1＞0 x 2
-1＜0 简析：若按常规思路，将问题转化为 或 或 2x-1＞0 1-x 1-2x 2＞2 1
-x 1
-2x 2＜-2 分别解三个不等式组获解，但太繁琐.
若“反客为主”将原不等式化为关于P 的不等式：
(1-x 2)p+(2x-1)＞0构造函数f(p)=(1-x 2
)p+2x-1 问题转化为对一切｜p ｜≤2，f(p)＞0恒成立
当1-x 2
=0时易得x=1
f(-2)＞0 当1-x 2
≠0时，当且仅当 解之得217-＜x ＜2
3
1+且x ≠1 f(2)＞0 综上
217-＜x ＜2
3
1+ 2)以退为进
有时从问题的整体去思考颇为费解，但若退出局部着手，常能轻易找出问题的解决途径. 例19 在锐角ΔABC 中，求证：sinA+sinB+sinC ＞cosA+cosB+cosC
简析：观察此题，求证式整体与局部，三个角的三角函数有轮换的特征可退出局部考察A 、B 的关系是否有sinA ＞sinB
证明：∵A+B=π-C ＞2
π ∴
2π＞A ＞2
π
-B ＞0 ∴sinA ＞sin(2
π
-B)=cosB
同理 sinB ＞cosC
sinC ＞cosA
三式相加得sinA+sinB+siC ＞cosA+cosB+cosC 五、二元一次不等式（组）与简单线性规划问题 （一）二元一次不等式(组)与平面区域 （1）求约束条件及平面区域的面积
例20.双曲线4y x 22=-的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（ ）
A. ?????≤≤≥+≥-3x 00y x 0y x
B. ??
?
??≤≤≤+≥-3x 00y x 0
y x
C. ??
?
??≤≤≤+≤-3x 00y x 0
y x
D. ??
?
??≤≤≥+≤-3x 00y x 0y x
【解题思路】依据平面区域的画法求解.
[解析]双曲线4y x 22=-的两条渐近线方程为x y ±=，两者与直线3x =围成一个三角形区
域时有??
?
??≤≤≥+≥-3x 00y x 0y x ，故选A 。
A
B
C
O y x A C B 430x y -+=
1x = 35250x y +-= l 0 例21.不等式组5000x y x y x -+≥??
+≥??≤?
表示的平面区域的面积为________
【解题思路】作出平面区域,再由平面几何知识求面积.
[解析]不等式50x y -+≥表示直线50x y -+=上及右上方的平面区域,0x y +≥表示直线
0x y += 上及右上方的平面区域,3x ≤表示直线3x =上及左边的平面区域， 所以原不等式表示的平面区域如图8-3-1中的阴影部分ABC ?,其中
55(,)22A -,(3,3),(3,8)B C -,故所求面积11112111224
ABC S ?=??=
（2）求非线性目标函数的最大（小）值
例22 已知2040250x y x y x y -+≥??
+-≥??--≤?，求：（1）221025z x y y =+-+的最小值;（2）
21
1y z x +=
+的
范围．
【解题思路】分别联想距离公式和斜率公式求解
【解析】作出可行域，并求出顶点的坐标(1,3)A 、(3,1)B 、(7,9)C ．
（1）22(5)z x y =+-表示可行域内任一点(,)x y 到定点(0,5)M 的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是92
MN =
． （2）1(22(1)y z x --=?
--表示可行域内任一点(,)x y 到定点1(1,)2Q --连线斜率的两倍； 因为74QA k =，38QB k =．故z 的取值范围为37
[,]42
．
（3）线性规划中求目标函数的最值问题
例24. 设2z x y =+，式中变量,x y 满足条件4335251x y x y x -≤-??
+≤??≥?
，求z 的最大值和最小值.
【解题思路】按解题步骤求解.
[解析]作出可行域如图8-3-6所示,作直线0l :20x y +=上,
作一组平行于0l 的直线l ：2x y z +=，z R ∈， 可知:直线l 往右平移时，t 随之增大。
由图象可知,当直线l 经过点(5,2)A 时，对应的t 最大， 当直线l 经过点(1,1)B 时，对应的t 最小， 所以，max 25212z =?+=，min 2113z =?+=．
（4）线性规划在实际问题中的应用 在线性规划模型下的最优化问题.
例25为迎接2008年奥运会召开，某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志——“中国印·舞动的北京”和奥运会吉祥物——“福娃”.该厂所用的主要原料为A 、B 两种贵重金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A 和原料B 的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A 和原料B 的量分别为5盒和10盒.若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A 、B 的量分别为200盒和300盒.问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大，最大利润为多少？
解析:设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为,x y 套，月利润为z 元，由题意得
????
??
?≥≥≤+≤+.
0,0,300103,20054y x y x y x （,x y N ∈） 目标函数为7001200z x y =+
作出可行域如图所示
目标函数可变形为1200127z x y +-
=，473,51210
-<-<- ∴当7121200z y x -=+通过图中的点A 时，1200z 最大，这时Z 最大。 解45200,310300x y x y +=??+=?
得点A 的坐标为（20,24）
， …………10分 将点(20,24)A 代入7001200z x y =+得max 7002012002442800z =?+?=元
答:该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20，24套时月利润最大，最大利润为42800元.
六、近年高考试题分析
（2011年湖南文科）３．"1""||1"x x >>是的 A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件 答案：A
解析：因"1""||1"x x >?>，反之
"||1""11"x x x >?><-或，不一定有"1"x >。
（2011年湖南文科）14．设1,m >在约束条件1y x y mx x y ≥??
≤??+≤?
下，目标函数5z x y =+的最大值
为4，则m 的值为 ． 答案：3
解析：画出可行域，可知5z x y =+在点1(
,)11m m m
++取最大值为4，解得3m =。
（2011年湖南理科）10.设,x y R ∈,则2
22
211
()(4)x y y x
++的最小值为 。 答案：9
解析：由柯西不等式可知2
222
211
()(4)(12)9x y y x
+
+≥+=。 七、总结
八、命题预测
高考对该部分主要考查：一元二次不等式、一元二次不等式组和简单的线性规划问题、基本不等式的应用等。高考试卷中没有不等式解答题（选做题除外），通常会在小题中设置1到2道，而对不等式的深层考查则在数列解答题、解析几何解答题、函数导数解答题中考查。
预测1. 设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥??
-≥-??-≤?
．则目标函数z=2x+3y 的最小值为
A ．6
B ．7
C ．8
D ．23
解析：画出不等式3
123
x y x y x y +≥??
-≥-??-≤?
表示的可行域，让目标函数表示直线332z x y +-=在可行域上平移，解方程组?
??=-=+323
y x y x 得)1,2(，知在点（2，1）处目标函数取到最小值，所
以734min =+=z ，选B 。
动向解读：不等式主要考查应用，即应用不等式研究函数的性质、研究直线与曲线的
关系等，利用基本不等式求待定函数的最值，利用不等式表示的平面区域解决线性规划问题。
九、巩固练习
1. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2
1f x x x =--。
（1）求函数()f x 的解析式； （2）求不等式()1f x <的解集。
解：（1） ()f x 是定义在R 上的奇函数， ()00f ∴=。 设0x <，则0x ->，
()()21f x f x x x ∴=--=--+，
()221,0
0,01,0x x x f x x x x x ?-->?
∴==??--+
（2）当0x >时，由211x x --<得02x <<； 当0x =时，符合题意； 当0x <时，由211x x --+<得1x <-； ∴原不等式的解集为()[),10,2-∞- 。
2. 直线l 过曲线22y x =-上一点(,)n n x y ，斜率为2n x ，且l 与x 轴交于点1(,0)n x +，其中
12,.x n N +=∈
⑴试用n x 表示1n x +；
⑵证明：11
(2
n n x x +；
⑶若n x a <对n N +∈恒成立，求实数a 的取值范围。
解：（1）依题意得直线l 的方程为)(2n n n x x x y y -=-，令)(2202
n n n
x x x x y -=-=得，即,0,222
=+=n n n x x x x 若则直线l 的方程为x l y 与,2-=轴无交点，
故.22
,22,02
12n
n n n n n x x x x x x x +=+=
∴≠+即 （2）
(*)2)2(2)12(22)2(212)2()2(21
)2(21??--=---=
-?--=---+n
n n n n n n n n n x x x x x x x x x x
由于212,0,0,0,02,1222132121
≥+=>??>>∴>=+=+=++n
n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x 故 又若,2,21==+n n x x 则从而21221===??==--x x x x n n ，这与21=x 矛盾， 因此)2(2
1
2,0(*),21-?<-∴<>+n n n x x x 故
（3）
{}n n
n n n n n n x x x x x x x x ∴<-=-+=-+,0221
22
1 单调递减，+∈≥=∴N n x x n ,21恒成立，则只需,2>a 故a 的取值范围是),2(+∞.
3. 已知实数x 满足0322
3
2≤--+x
x x x 求函数|1
|)(x x x f +=|的最小值。 解：原不等式等价于),3,1[]2,(0)3()1)(2(2 --∞∈?≤--+x x x x x 于是，???
?
??
?
--∞∈?+-∈+=]
2,()1()3,1[,1)(x x x x x x x f 当x ∈[1，3）时，f （x ）≥2（当且仅当x=1时取等号）；当 x ∈（-∝，-2]时，可证得f （x ）在（-∞，-2]上单调递减，故2
5
)2()(=-≥f x f （当且仅当x=-2时取等号）所以，所求函数的最小值为2。
4. 已知 函数f(x)=))(6(3)4(23R x n mx x m x ∈-+--+的图像关于原点对称，其中m,n 为实常数。
（１） 求m , n 的值； （２） 试用单调性的定义证明：f (x) 在区间[-2, 2] 上是单调函数；
（３） [理科做] 当-2≤x ≤2 时，不等式)log ()(a n x f m -≥恒成立，求实数a 的取值范围。
解： (1)由于f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数, f(-x)=-f(x)
恒成立，
)6(3)4()6(3)4(2323--+---=-++-+-n mx x m x n mx x m x []()()()()()(),
,0,
012022)
12)(()
12()12(,2,2,,12)()1()2(.6,40)6()4(2121222121212122
212
12123
2131212
12132x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x f n m n x m >>-<-++<-≤<≤--++-=---=-<-∈-====-+-即从而，知，由且任取可知由恒成立，必有即
∴f(x)在[-2,2]上是减函数。
（3）由（2）知f(x)在[-2,2]上是减函数，则-22≤≤x 时,()().162-=≥f x f
故-2时，2≤≤x 不等式f(x)a a n m m log )log (-≥恒成立
.4161
08log 2log 0)2)(log 8(log log )log 6(168444444≥≤
5. 已知函数)0()(>+
=t x
t
x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为M 、N ．
（Ⅰ）设)(t g MN =，试求函数)(t g 的表达式；
（Ⅱ）是否存在t ，使得M 、N 与)1 , 0(A 三点共线．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64
, 2[n
n +
内总存在1+m 个实数 m a a a ,,,21 ，1+m a ，使得不等式)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最
大值．
解：（Ⅰ）设M 、N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，
21)(x t
x f -
='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12
1
11x x x t x t x y --=+-， 又 切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(0121
11x x t
x t x --=+
-， 即0212
1=-+t tx x ， ………………………………………………（1） 同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得0222
2=-+t tx x ． (2)
由（1）、（2），可得21,x x 是方程022
=-+t tx x 的两根，
???-=?-=+∴.
,22121t x x t x x ………………（ * ） 22211221)()(x t x x t x x x MN --+
+-=])1(1[)(22
1221x x t x x -+-= ])1(1][4)[(2
2
1212
21x x t x x x x -
+-+=，
把（ * ）式代入,得t t MN 20202+=
,
因此，函数)(t g 的表达式为)0( 2020)(2>+=
t t t t g ．
（Ⅱ）当点M 、N 与A 共线时，NA MA k k =，∴
01111--+
x x t x ＝0
122
2--+x x t x ，
即
2
1
1
2
1x x t x -+＝
2
2
2
2
2x x t x -+，化简，得0])()[(211212=-+-x x x x t x x ，
21x x ≠ ，1212)(x x x x t =+∴． (3)
把（*）式代入（3），解得2
1
=
t ． ∴存在t ，使得点M 、N 与A 三点共线，且 2
1
=
t ． （Ⅲ）解法1：易知)(t g 在区间]64
,2[n
n +
上为增函数， ∴)64
()()2(n
n g a g g i +
≤≤)1,,2,1(+=m i ， 则)64()()()()2(21n
n g m a g a g a g g m m +?≤+++≤? ． 依题意，不等式)64
()2(n
n g g m +
n m +++
()n 64[(n 612n
n m +++<
对一切的正整数n 恒成立，． 1664
≥+
n n ， 3136]1616[61)]64()n 64[(n 6122=+≥+++∴n n ， 3
136
<
∴m ． 由于m 为正整数，6≤∴m ．
又当6=m 时，存在221====m a a a ，161=+m a ，对所有的n 满足条件． 因此，m 的最大值为6． 解法2：依题意，当区间]64
,2[n
n +
的长度最小时，得到的m 最大值，即是所求值．
101. C B A '''?是△ABC 在平面α上的射影，那么C B A '''∠和∠ABC 的大小关系是 ( ) (A) C B A '''∠<∠ABC (B) C B A '''∠>∠ABC (C) C B A '''∠≥∠ABC (D) 不能确定 解析：D 一个直角，当有一条直角边平行于平面时，则射影角可以等于原角大小，但一般情况不等． 102. 已知: 如图, △ABC 中, ∠ACB = 90?, CD ⊥平面α, AD , BD 和平面α所成的角分别为30?和45?, CD = h , 求: D 点到直线AB 的距离。 解析：1、先找出点D 到直线AB 的距离, 即过D 点作 DE ⊥AB , 从图形以及条件可知, 若把DE 放在△ABD 中不易求解。 2、由于CD ⊥平面α, 把DE 转化到直角三角形中求解, 从而转化为先求DE 在平面α内的射影长。 解: 连AC , BC , 过D 作DE ⊥AB , 连CE , 则DE 为D 到直线AB 的距离。 ∵CD ⊥α ∴AC , BC 分别是AD , BD 在α内的射影。 ∴∠DAC , ∠DBC 分别是AD 和BD 与平面α所成的角 ∴∠DAC = 30?, ∠DBC = 45? 在Rt △ACD 中, ∵CD = h , ∠DAC = 30? ∴AC = 3h 在Rt △BCD 中 ∵CD = h , ∠DBC = 45?
∴BC = h ∵CD ⊥α, DE ⊥AB ∴CE ⊥AB 在Rt △ACB 中 AB AC BC h =+=222 S AC BC AB CE =?=1212 · ∴CE AC BC AB h h h h =?==3232· ∴在Rt △DCE 中, DE DC CE h h h =+=+=22223272 () ∴点D 到直线AB 的距离为72 h 。 103. 已知a 、b 、c 是平面α内相交于一点O 的三条直线，而直线l 和α相交，并且和a 、b 、c 三条直线成等角． 求证：l ⊥α 证法一：分别在a 、b 、c 上取点A 、B 、C 并使AO = BO = CO ．设l 经过O ，在l 上取一点P ，在△POA 、△POB 、△POC 中， ∵ PO 公用，AO = BO = CO ，∠POA =∠POB =∠POC ， ∴ △POA ≌△POB ≌△POC ∴ PA = PB = PC ．取AB 中点D ．连结OD 、PD ，则OD ⊥AB ，PD ⊥AB ， ∵ D OD PD =I ∴ AB ⊥平面POD
专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取
第二部 数学（模拟题1） 一、单项选择题 1．设集合M={-2,0,2}, N={0}, 则 ( ) A ．N=? B. N ∈M C ．N ?M D ．M ?N 2．下列不等式中正确得到是 ( ) A ．5a>3a B ．5+a>3+a C ．3+a>3-a D ． a 3a 5> 3．函数56x y 2+-=x 的定义域为是（ ） A ．),5[]1,-(+∞∞Y B ．),51,-(+∞∞（）Y C ．),5]1,-(+∞∞（Y D ．),5[1,-(+∞∞Y ） 4．若}1,0,1{x 12f(x )2-∈+=，且x 则f （x ）的值域是( ) A ．}1,0,1{- B ） （3,1 C ．]3,1[ D ．}1,3{ 5．函数x x y )31(3y ==与的图像关于（ ） A ．原点对称 B ．x 轴对称 C ．直线y=1对称 D ．y 轴对称 6．若角α是第三象限角，则化简αα2sin -1tan ?的结果为（ ） A ．αsin - B ．αsin C ． αcos D ．αcos - 7．已知点A (5,-3),点B （2,4）则向量BA ( ) A ．）7,1( B ．） 3,7(- C ．）7,3(- D ．)1,7( 8．空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是（ ） A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．以上三种情况都有 二、填空题（本大题共4小题） 9．21-x >的解集是 ． 10.若角a 的终边上的一点坐标为（-2,1），则cosa 的值为 ． 11.在4和16之间插入3个数a ，b ，c ，使4，a ，b ，c,16成等差数列，则b 的值是 ． 12.学校餐厅有10根底面周长为3.6m ，高是5m 的圆柱形柱子，现在要刷上油漆，每平方米用油漆0.5kg ，则刷这些柱子需要用 kg 。
高考数学不等式知识点总结及解题思路方法 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不等式知识要点 1.不等式的基本概念 （1）不等（等）号的定义：. - = < ? a< ? b ? > > - = - b ; 0b ; a a a b b a b a （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a >（对称性） ? a< b b （2）c ? > >,（传递性） a> c a b b （3）c + ? > >（加法单调性） c a+ a b b （4）d + > >,（同向不等式相加） a+ > ? d b c a c b
（5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>?<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2a b +（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等 . ,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2222(6)0||; ||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<->
目录 第七章数列 (2) 第一节等差数列 (2) 题型73、等差数列基本运算 (2) 题型74、等差数列判定与证明 (3) 题型75、等差数列性质及结论的应用 (4) 题型76、等差数列前n项和的最值 (5) 第二节等比数列 (6) 题型77、等比数列基本运算 (6) 题型78、等比数列的判定与证明 (6) 题型79、等比数列的性质和结论 (8) 第三节数列的通项公式和前n项和公式 (9) 题型80、数列求通向公式 (9) 80.1、累加法： (9) 80.2、累乘法： (10) 80.3、待定系数法： (11) 80.4、对数变换法： (16) 80.5、倒数变换法： (17) 80.6、阶差法（逐项相减法）： (17) 题型81、数列求前n项和 (20) 81.1、利用常用求和公式求和 (20) 81.2、错位相减法求和 (21) 81.3、分组法求和 (22) 81.4、裂项法求和 (23) 81.5、反序相加法求和 (25) 81.6、分段求和 (26)
第六章 数列 第一节 等差数列 题型73、等差数列基本运算 ? 知识点摘要： ? 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做 等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)． ? 等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． ? 等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b 2，其中A 叫做a ，b 的等差中项． ? 等差中项的推论：在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)． 若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)． ? 前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n ) 2. ? 等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 1. 集合当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列． 2. 公差不为0时，S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0. ? 典型例题精讲精练： 1. (2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )B A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 2. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( )D A ．3 B ．7 C ．9 D ．10 3. (2019·开封高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )B A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1>0，则S 20＝( )D A ．420 B ．340 C ．－420 D ．－340 5. 在等差数列{a n }中，已知a 5＋a 10＝12，则3a 7＋a 9＝( )C A ．12 B ．18 C ．24 D ．30
第二节基本不等式及其应用 考纲解读 1. 了解基本不等式错误！未找到引用源。的证明过程. 2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 3. 利用基本不等式证明不等式. 命题趋势探究 基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题. 预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断，求取值范围问题. 本专题知识的考查综合性较强，解答题一般为较难题目，每年分值为58分. 知识点精讲 1. 几个重要的不等式 （1）错误！未找到引用源。 （2）基本不等式：如果错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“”). 特例：错误！未找到引用源。同号. （3）其他变形： ①错误！未找到引用源。(沟通两和错误！未找到引用源。与两平方和错误！未找到引用源。的不等关系式) ②错误！未找到引用源。(沟通两积错误！未找到引用源。与两平方和错误！未找到引用源。的不等关系式) ③错误！未找到引用源。(沟通两积错误！未找到引用源。与两和错误！未找到引用源。的不等关系式) ④重要不等式串：错误！未找到引用源。即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件). 2. 均值定理 已知错误！未找到引用源。. （1）如果错误！未找到引用源。(定值)，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果错误！未找到引用源。(定值)，则错误！未找到引用源。(当且仅当“错误！未找到引用源。”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 题型归纳及思路提示 题型91 基本不等式及其应用 思路提示 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证. 例7.5“错误！未找到引用源。”是“错误！未找到引用源。”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D
弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a
高考数学复习练习题全套 (附参考答案) 1. 已知：函数()()2411f x x a x =+-+在[)1,+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ． 2. 设,x y 为正实数，且33log log 2x y +=，则 11 x y +的最小值是 . 3. 已知：()()()()50050A ,,B ,,C cos ,sin ,,αααπ∈． （1）若AC BC ⊥，求2sin α． （2）若31OA OC +=OB 与OC 的夹角． 4. 已知：数列{}n a 满足()2 1 123222 2 n n n a a a a n N -+++++= ∈……． （1）求数列{}n a 的通项． （2）若n n n b a =，求数列{}n b 的前n 项的和n S ．
姓名 作业时间： 2010 年 月 日 星期 作业编号 002 1. 2 2 75157515cos cos cos cos ++的值等于 ． 2. 如果实数.x y 满足不等式组22 110,220x x y x y x y ≥??-+≤+??--≤? 则的最小值是 ． 3. 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x 元（x ∈N *）． （1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y （元）与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式（并写出这个函数的定义域）； （2）当每枚纪念销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y （元）最大，并求出这个最大值． 4. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数． (1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值； (2)判断函数()21x g x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明； (3)若函数()f x 为理想函数，假定?[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证 00()f x x =．
基本不等式专题 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ （6），、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； （7）)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++
临河一职对口高考模拟试题 命题人：王春江 一、选择题（本大题共10个小题，满分50分，每小题5分 ） 1 若M N 是两个集合，则下列关系中成立的是 A ．?M B ．M N M ??)( C ．N N M ??)( D ．N )(N M U 2 若a>b ，R c ∈，则下列命题中成立的是 A ．bc ac > B ．1>b a C ．22bc ac ≥ D ．b a 1 1< 3 下列等式中，成立的是 A ．)2 cos()2sin(x x -=-π π B ．x x sin )2sin(-=+π C ．x x sin )2sin(=+π D ．x x cos )cos(=+π 4 “a=0”是“ab=0”的 A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5对于实数0λ≠，非零向量a →及零向量0→ ，下列各式正确的是（ ） A 00=?→ a B →→=0a λ C a a →→-＝0 D a a →→-＝0→ 6 下列通项公式表示的数列为等差数列的是 A ．1 +=n n a n B ．12-=n a n C ．n n n a )1(5-+= D ．13-=n a n 7 直角边之和为12的直角三角形面积的最大值等于 A ．16 B ．18 C ．20 D ．不能确定 8 若f(x)是周期为4的奇函数，且f （－5）=1，则 A ．f(5)=1 B ．f(－3)=1 C ．f(1)=－1 D ．f(1)=1 9 若021 log >a ，则下列各式不成立的是 A ．31 log 21log a a < B ．3a a < C ．)1(log )1(log a a a a a a ->+ D ．)1 (log )1(log a a a a a a -<+ 10已知 m 、 n 、 l 为三条不同的直线, α、 β为两个不同的平面，则下 列命题中正确的是 // , , //m n m n αβαβ??? , //l l βαβα⊥⊥?C ． , //m m n n αα⊥⊥? D ．// , ,l n l n αβαβ⊥??⊥ 第II 卷（非选择题，共100分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请把答案填在题中的横线上） 11 点（－2，1）到直线3x －4y －2=0的距离等于_________ 12 在],[ππ-内，函数)3 sin(π -=x y 为增函数的区间是__________ 13若)2 ,0(,5 4sin π αα∈=，则cos2α等于__________ 14函数1 1 )(+-= x x x f 的定义域是__________ 15不等式21<-x 的解集是 . 三、解答题（满分75分，解答应写出文字说明和演算步骤） 16（9分） 求25lg 50lg 2lg )2(lg 2+?+的值 17（10分已知5,4==→→b a ，→a 与→ b 的夹角为ο 60，求→ →-b a 。 18（10分）在等比数列{}n a 中，1a 最小，且128,66121==+-n n a a a a ，前n 项和126=n S ，求n 和公比q
第2讲 一元二次不等式及其解法 A 级 基础演练 (时间：30分钟 满分：55分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2012·南通二模)已知f (x )＝????? x 2 ，x ≥0， －x 2＋3x ，x <0， 则不等式f (x ) 3．设a >0，不等式－c 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ． 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--< 第二部分 数学（模拟题1） 一、单项选择题.(每题5分，共8小题，共40分) 1．x +1=0是(x -2)(x +1)=0的( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．无法确定 2．函数2)(2-=x x f 的值域是（ ） A ．R B ．），（2-∞ C ．)2[∞+-， D ．)2[∞+， 3．下列函数在定义域内是增函数的是( ) A ．y =x 2+3 B. y =-2x +1 C.y =0.8x D ．y =lgx 4．=）（4 13-t πan （ ） A ．1 B ．-1 C ．±1 D ．3- 5．已知→a =2,→b =4,→a ?→b =-4,则→a 与→ b 的夹角为（ ） A.1200 B.600 C. 3 2-π D.34π 6．半径为2，且与x 轴相切于原点的圆的方程为（ ） A ．(x +2)2+y 2=4 B ．(x -2)2+y 2=4 C ．x 2+(y +2)2=2 D ．x 2+(y -2)2=4 7.下列命题不正确的是（ ） A 在空间中，互相垂直的两条直线不一定是相交直线。 B 过空间一点与已知直线垂直的直线有无数条。 C 空间内垂直同一条直线的两条直线一定平行。 D 平行于同一条直线的两条直线必平行。 8.小明从一副54张的扑克牌中任抽取一张，抽中3的概率是（ ） A ．541 B ．5413 C ．41 D ．27 2 二、填空题（本大题共5小题，每题6分，共30分） 9.已知某器械内的转子逆时针旋转，每秒钟旋转80圈，问该转子1分钟内转过的圆心角为 ；（用弧度制表示） 10.已知直线l 1: x -y+2=0与l 2: x -2y -1=0的交点坐标为(a,b),则a -b= ； 11.已知一副扑克牌有54张，那么任抽一张是红心的概率是= ．（保留分数） 12.已知矩形ABCD ，AB =4cm ，BC =3cm ，现以BC 为旋转轴旋转一周，得到一个 圆锥曲线 一、填空题 1、(201５年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中,P 为双曲线2 2 1x y -=右支上的一个动点,若P 到 直线10x y -+=的距离大于ｃ恒成立,则ｃ的最大值为＿ __ 2 _____＿____。 ２、（2013年江苏高考)双曲线19162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、(2０１3年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(122 22>>=+b a b y a x , 右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ,若126d d = ，则椭圆C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模)在平面直角坐标系ｘoy 中,已知抛物线C ：y x 42 =的焦点为F,定 点)0, 22(A ，若射线FA 与抛物线C 相交于点M,与抛物线Ｃ的准线相交于点N,则ＦM ：ＭN ＝ 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研(二））已知双曲线22 221(,0)x y a b a b -=>的离心率等于2， 它的焦点到渐近线的距离等于１，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线 22 14x y m -= 的渐近线方程为2y x =±，则m = ▲ 7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线2 8y x =的焦点F 与双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线＼F(x ２ ,a 2 )-＼F(ｙ2 ,b 2 )＝１(a ＞0,b >0)的渐近线方程 为y =±＼R(，3）x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研)已知双曲线 2 2 15 x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 1０、（南京市、盐城市 高三)若双曲线2 2 2 (0)x y a a -=>的右焦点与抛物线2 4y x =的焦点重合,则a = ▲ ． Y 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1。若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1，43 B 。? ???? 12，43 C 。? ? ???1，74 D 。? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4。 综上,12＜a ＜7 4,故选D 。 2。已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A 。(a －1)(b －1)＜0 B 。(a －1)(a －b )＞0 C 。(b －1)(b －a )＜0 D 。(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(－3,1)∪(3,＋∞) B 。(－3,1)∪(2,＋∞) C 。(－1,1)∪(3,＋∞) D 。(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3。由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 不等式 (必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________. 解析 由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0， 解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2. 答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞) (2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件???x －y ＋1≥0， x ＋y －3≥0，x －3≤0， 则 z ＝x －2y 的最小值为 ________. 解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5. 答案 －5 (2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件???2x －y ＋1≥0， x －2y －1≤0，x ≤1， 则z ＝2x ＋3y －5的最小值为_____. 解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知， 当直线y ＝－23x ＋53＋z 3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10. (2017·西安检测)已知变量x ，y 满足???2x －y ≤0， x －2y ＋3≥0，x ≥0， 则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________. 解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的纵截距最大，此时m 最大，故z 最大.由?????2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，解得?????x ＝1，y ＝2， 即A (1，2).代入目标函数z ＝(2)2x ＋y 得，z ＝(2)2×1＋2＝4. 答案 4 (2016·北京卷)若x ，y 满足???2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0， 则2x ＋y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 解析 画出可行域，如图中阴影部分所示， 令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (1，2)时，z 最大，z max ＝4. 答案 C (2016·山东卷)若变量x ，y 满足???x ＋y ≤2， 2x －3y ≤9，x ≥0， 则x 2＋y 2的最大值是( ) 专题20 不等式训练 【训练目标】 1、掌握不等式的性质，能利用不等式的性质，特殊值法等判断不等式的正误； 2、熟练的解一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式，对数不等式，指数不等式，含根式的不等式； 3、掌握分类讨论的思想解含参数的不等式； 4、掌握恒成立问题，存在性问题； 5、掌握利用基本不等式求最值的方法； 6、掌握线性规划解决最优化问题； 7、掌握利用线性规划，基本不等式解决实际问题。 【温馨小提示】 在高考中，不等式无处不在，不论是不等式解法还是线性规划，基本不等式，一般单独出现的是线性规划或基本不等式，而不等式的解法则与集合、函数、数列相结合。 【名校试题荟萃】 1、若实数且，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据函数的图象与不等式的性质可知：当时，为正确选项，故选C． 2、已知，，则（） A. B. C. D. 【答案】A 3、，设，则下列判断中正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】令，则，故选B 4、若，且，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 . 5、袋子里有大小、形状相同的红球个，黑球个（）.从中任取个球是红球的概率记为.若将红球、黑球个数各增加个，此时从中任取个球是红球的概率记为；若将红球、黑球个数各减少个，此时从中任取个球是红球的概率记为，则（） A. B. C. D. 【答案】D 6、若，，则下列不等式错误的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为，，所以，，故A、B正确；由已知得， ，所以，所以C错误；由，得，，所以 成立，所以D正确．故选C．2017-18全国卷高考真题 数学 不等式选修专题
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