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吉林省吉林市普通高中2013届高三上学期期末考试数学文试题

吉林市普通中学2012—2013学年度高中毕业班上学期期末复习检测

数学(文科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考生作答时将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。

注意事项:

1、答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的准考证号,并将条形码粘贴在答题卡指定的位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卡面清洁,不折叠、不破损。

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共12题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

要求的。

1.设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,3,5M =,则M =U e

A .{}2,4,6

B .{}1,3,5

C .{}1,2,4

D .U

2.复数

3223i i

+=-

A .1

B .1-

C .i

D .i -

3.设?

???

??-∈3,2

1,1,1α,则使函数α

x y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为

A.

1,3 B. -1,1 C. -1,3

D. -1,1,3

4.设0,0.a b >>

7a 与7b 的等比中项11a

b

+的最小值为

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A . 1

B.

C. 14

D. 4

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5.设l ,m ,n 均为直线,其中m ,n 在平面α内,“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件

D .既不充分也不必要条件

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6.已知统计某产品的广告费用x (万元)与销售额y (万元)所得的数据如下表所示:

从散点图分析,y 与x 有较强的线性相关性,且∧

+=a x y 95.0,则∧

a 等于 A. 2.6万元

B. 2.4万元

C. 2.7万元

D. 2.5万元

7

.右图是一个几何体的正视图和侧视图。其俯视图是面积为

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A .8

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B. C. 16

D.

163

8.设ω是正实数,函数()2cos f x x ω=在x ∈20,

3π?

?

?

??

?

上是减函数,且有最小值1,那么ω的值可以是

A .2

B .

12

C .

13

D .3

9.已知函数()()0323

22

3>++-

=a x ax x x f 的导数()x f '的最大值为5,则在函数()x f 图像

上的点()()1,1f 处的切线方程是 A .31540x y -+= B. 15320x y --= C. 15320x y -+=

D. 310x y -+=

10. 曲线()02:2

1>=p px y C 的焦点F 恰好是曲线()0,01:

2

22

22>>=-

b a b

y a

x C 的右焦点,且

曲线1C 与曲线2C 交点连线过点F ,则曲线2C 的离心率是

A. 1-

B.

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12

C.

2

D.

1

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11. 已知()x f 是定义在()3,3-上的奇函数,

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当30<

A .()3,0,1,322ππ??

??

--

? ??

???

B .(),10,1,322

-

- ? ??

???

C .()()()3,10,11,3--

D .()()3,0,11,32π?

?

--

??

?

12.平面直角坐标系中,动点111(,),(,)P x y P x y ,向量1

(,),3

a x y =+ (3,)

b x y =-

(3,2),c =

(1,4)d = ,且1(,),OP a c b d =

若1,P P 在同一条直线上运动,则这样的直线

A .不存在 B. 存在无数条 C. 存在两条 D. 存在一条

第Ⅱ卷

二.填空题:本大题共4个小题,每小题5分.

13.已知数列{}n a 为等差数列,若58215a a a -=+,则5a 等于 。

14.若点(,)m n 在圆229x y +=外,则圆心到

直线1m x ny -=的距离d 的取值范围是 .

15.按照右图所示的流程图,能够输出结果的

概率是 .

16.若关于x 的方程

24

x kx x =+有四个不同的

实数解,则k 的取值范围是

三.解答题;解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)

在A B C ?

中,6,sin 2sin BC AC C A ===

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(I)求A B 的值 ; (II )求sin 24A π??

- ??

?

的值。

18. (本小题满分12分)

已知数列}{n a 是等比数列,12a =,且13+a 是41a a 和的等差中项. (I) 求数列}{n a 的通项公式n a ; (II )若2log n n b a =,求数列}1{1

+?n n b b 的前n 项和n S .

19.(本小题满分12分)

如图:四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,∠ACB =90°,PA ⊥平面ABCD ,PA =BC =1,

AB

=,F 是BC 的中点.

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(I) 求证:DA ⊥平面PAC ;

(II )点G 为线段PD 的中点,证明CG ∥平面PAF ; (III)求三棱锥A —CDG 的体积.

20. (本小题满分12分)

某校共有800名学生,高三一次月考之后,为了了解学生学习情况,用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩,按成绩分组,制成如下的频率分布表:

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(I) 李明同学本次数学成绩为103分,求他被抽中的概率p ;

(II) 为了了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态,现决定在第六、七、八组中用分层抽

样方法抽取6名学生的成绩,并在这6名学生中在随机抽取2名由心理老师张老师负责面谈,求第七组至少有一名学生与张老师面谈的概率; (III) 估计该校本次考试的数学平均分。

21.(本小题满分12分)

已知函数()3ln ()f x x a x a R =-∈, (I ) 讨论函数()f x 的单调区间和极值点;

(II )若函数()f x 有极值点0x ,记过点00(,())A x f x 与原点的直线斜率为k 。是否存在a 使

3

k a

=-?若存在,求出a值;若不存在,请说明理由。22.(本小题满分12分)

已知椭圆C :

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>经过点

3

(1,),

2

M离心率为

1

2

(I)求椭圆C的方程;

(II)设直线l与椭圆C相交于A、B两点,以线段OA、OB为邻边作平行四边形OAPB,其中顶点P在椭圆C上,O为坐标原点。求O到直线l的距离的最小值。

命题、校对:董英武 张雷 王玉梅 孙长青

吉林市普通中学2012—2013学年度高中毕业班上学期期末教学质量检测

数学(文科)参考答案与评分标准

一、选择题

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13. 5 14. 1

(0,)3

15. 1-4

π

16.

1

+4

∞(,) 三、解答题

17解: (1)sin 2sin C A = ,根据正弦定理,

A

BC C

AB sin sin =

, (2分)

sin 2sin B C A B C

B C A

∴=== (4分)

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(2)解:在ABC ? 中,根据余弦定理,得

AC

AB BC

AC

AB

A ?-+=

2cos 2

2

2

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5

=

(6分)

于是A A 2

cos

1sin -=

=55

从而5

3sin

cos

2cos ,5

4cos sin 22sin 2

2

=

-===A A A A A A (8分)

10

24

sin

2cos 4

cos

2sin )4

2sin(=

-=-

π

π

π

A A A (10分)

18解: (1)设数列}{n a 的公比为q (0)q ≠ (1分) 13+a 是41a a 和的等差中项

3142(1)a a a ∴+=+ 解得q =2

又因为1=2a 所以2n

n a = (6分)

(2)221

1111log log 2(

)(1)1

n

n n n n b a n b b n n n n +===∴

=

=-

?++

11111

1112

2

3

1

1

1

n n

S n

n n n ∴=-

+-++-

=-=

+++ (12分)

19解:(1)证明:Q 四边形是平行四边形,∴090ACB DAC ∠=∠=,

Q P A ⊥平面A B C D ∴P A D A ⊥,又AC D A ⊥,AC PA A =I ,

∴D A ⊥平面PAC . (4分)

(2)P D 的中点为G ,在平面PAD 内作G H PA ⊥于H ,则G H 平行且等于

12

A D ,连

接F H ,则四边形F C G H 为平行四边形, (6分)

∴G C ∥F H ,Q F H ?平面P A E ,C G ?平面P A E ,

∴C G ∥平面P A F 。 (8分)

(3)设S 为A D 的中点,连结G S ,则G S 平行且等于

112

2

P A =

Q P A ⊥平面A B C D ,∴G S ⊥平面A B C D ,

∴113

12

A C D G G A C D A C D V V S G S --==

=

V . (12分)

20解:

因为频率和为1 所以0.18,b = (1分) 因为频率=频数/样本容量 所以100,15,c a == (3分) (1)每位学生成绩被抽取的机会均等 100

1

800

8

p =

= (5分)

(2) 在第六、七、八组共有30个样本,用分层抽样方法抽取6名学生的成绩,每个被抽取的概率为

5

1。第七组被抽取的样本数为1

1025

?=。

将第六组、第八组抽取的样本用a,b,c,d 表示,第七组抽出的样本用E,F 表示。 抽取2个的方法有ab ac ad aE aF bd bc bE bF cd cE cF dE dF EF , 共15种。 至少含E 或F 的取法有 9种,概率为3

5 (9分)

(3)75x0.04+85x0.06+95x0.2+105x0.22+115x0.18

+125x0.15+135x0.1+145x0.05=110.4 估计平均分为110.4分 (12分) 21解: (1)因为()'

3(0)a f

x x x

=-

> (1分)

所以,

0a ≤时 ()'

0f

x >恒成立。因此0()(0,)()a f x f x ≤+∞时在上递增;无极值点. (3分)

0a >时在'

'

(0,

)()0;(

,)()03

3

a a x f x x f x ∈<∈+∞>上,上

因此()(0,)(,)()3

3

a

a

f x f x +∞在上递减,

上递增;的极小值点是3

a x = (5分)

(2)由(1)可知,在3

a x =

处()f x 存在极小值. (

,ln

)3

3

a a A a a -

∴ln

3=33(ln ln 3)3

a

a a O A a a ---斜率为

,由条件3k a =-

∴3=33(ln ln 3)3ln ln 270a a a a ----+=即 (7分) (注:此处也可以用换元法,转证t-lnt=0(t=a/3)无解。采分相同) 设()3ln ln 27h a a a =-+(0a >) (8分)

'

3()10h a a

=-

= 时3a =,且当(0,3)a ∈时'

()0h a <,()h a 递减;

当(3,)a ∈+∞时'()0h a >,()h a 递增; (10分)

()h a ∴在3a =处取得最小值,(3)3h =;()3ln ln 27h a a a =-+无零点.

即3ln ln 270a a -+=无解,

所以不存在a 使过点00(,())A x f x 与原点的直线斜率3k a =- (12分)

22解:(1)由已知,2

14

e =

所以2234a b =.

又点3(1,)2

M 在椭圆C 上,可以得

2

2

1914a

b

+

=

所以椭圆方程为

2

2

14

3

x

y

+

= (4分)

(2)当直线l 有斜率时,设方程为y kx m =+

则由22143y kx m

x y =+???+=?

?消去y ,得222

(34)84120k x km x m +++-=

设点A 、B 、P 的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、

、 则012012122

2

86=,()23434km m x x x y y y k x x m k

k

+=-

=+=++=

++ (7分)

P 00(,)x y 在椭圆上,可得

2222

2

2

2

16121(34)

(34)

k m

m

k k +

=++,化简得22

34=4k m +

需满足2

2

48(34)0k m =+->

又点O 到直线l 的距离为d

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2

=≥

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当且仅当k=0时等号成立。

当直线l斜率不存在时,由对称性知,点P一定在x轴上,

从而P(-2,0)(2,0),直线l为x=1或x=-1,所以点O

到直线l的距离为1.

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所以点O到直线l

(12分)

2

(直接写出P为短轴端点,并求出距离,但未证明的给4分)