高中数学选修2----2知识点
第一章 导数及其应用
一．导数概念的引入
1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是
000
()()
lim
x f x x f x x
?→+?-?，
我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000
()()
lim
x f x x f x x
?→+?-?
2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于
P 时，直线PT 与曲线相切。容易知道，割线n PP 的斜率是00
()()
n n n f x f x k x x -=
-，当点n P 趋近于
P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000
()()
lim
()n x n f x f x k f x x x ?→-'==-
3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有
时也记作y ',即0
()()
()lim
x f x x f x f x x
?→+?-'=?
二.导数的计算
1）基本初等函数的导数公式: 2 若()f x x α
=,则1
()f x x
αα-'=;
3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=
4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;
5 若()x
f x a =,则()ln x
f x a a '= 6 若()x
f x e =,则()x
f x e '=
7 若()log x
a f x =,则1
()ln f x x a '=
8 若()ln f x x =,则1
()f x x
'=
2）导数的运算法则
2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+?
3. 2
()()()()()
[
]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''?-?'=
3）复合函数求导
()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=?
三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下＇关系：
在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.
2.函数的极值（局部概念）与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:
(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;
(3) 若f ＇（x ）=0，则在该点函数不增不减，可能为极值，也可能就为一过渡点。 4.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；
（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最
小的是最小值.
可导奇函数的导函数的是偶函数 可导偶函数的导函数的是奇函数
III. 求导的常见方法：
① 常用结论：x
x 1|)|(ln '=
. ②形如))...()((21n a x a x a x y ---=或)
)...()(()
)...()((2121n n b x b x b x a x a x a x y ------=两边同取自然对数，可转化求代数和
形式.
③无理函数或形如x x y =这类函数，如x x y =取自然对数之后可变形为x x y ln ln =，对两边求导可得
x x x x x y y x y y x
x x y y +=?+=??+=ln ln 1
ln '''. 导数中的切线问题
1：已知切点，求曲线的切线方程 2：已知斜率，求曲线的切线方程 3：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 4：已知过曲线外一点，求切线方程
1. 函数)(x f 的定义域为开区间3(,3)2
-，导函数)(x f '在
3
(,3)2
-内的图象如图所示，则函数)(x f 的单调增区间是_____________
2. 如图为函数32()f x ax bx cx d =+++的图象，'()f x 为函数()f x 的导
函数，则不等式'()0x f x ?<的解集为_____ _
3. 若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则其导函数
'()f x 的图象是（ ）
4. 函数()y f x =的图象过原点且它的导函数'()f x 的图象是如图所示的一条直
线，则()y f x =图象的顶点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
)(x f y '=
)
(x f y '=
5.定义在
R上的函数
)
(
x
f满足(4)1
f=．)
(x
f'为)
(x
f的导函数，已知函数)
(x
f
y'
=的图象如右图所示.若两正数b
a,满足
1
)
2(<
+b
a
f，则
2
2
b
a
+
+
的取值范围是（）
A．(,)
32
B．()
(,)3,
2
-∞+∞C．(,3)
2
D．(,3)
-∞-
5.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（）
6.函数2
2
1
ln
)
(x
x
x
f-
=的图象大致是（）
A．B．C．D．
7.设)
('x
f是函数)
(x
f的导函数，将)
(x
f
y=和)
('x
f
y=的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）
A．B．C．D．
8.如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h
随时间t变化的可能图象是（）
x
y
O
x
x
x x y y y
y
O O O
O
O t
h
h
t
O
h
t
O
O t
h正视图侧视图
俯视图
幸福，不能用手去捉摸，只能用心去琢磨，只能静静去体味。细细地品味了，你就享受到了它温馨的暖，或浓或淡的甜！
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幸福，其实很简单。幸福就是口渴时的那杯水，幸福就是饥饿时的那顿饭，幸福就是劳累时的歇歇脚，幸福就是闲暇时的那茶盏，幸福就是困倦时的那场眠，幸福就是相爱的人彼此的牵挂，幸福就是离别的人默默的思念！
幸福，其实很简单。幸福就是平静的呼吸，仔细的聆听，忘情的观看；幸福就是有人爱，有事做，有所期待，有人给温暖；幸福就是不迷茫，不慌乱，生而无悔，活而无憾。幸福，其实就在路上，走一步，有一步的风景；进一步，有一步的欣喜；退一步，有一步的心境；停下步，忆往事，感到舒心的甜。
幸福，其实很简单。当你失落，当你伤心，当你落泪时，有人会走到你身边给你一个拥抱，让你不再心酸，让你顿生温暖。
幸福似一杯香茗，轻饮慢品里，溢出的却是淡淡的清香，沁人心脾，惬意而舒心；幸福似一杯红酒，无论酒的种类是什么，用心细品里，总能品出那缕浓浓的甘醇柔绵；幸福没有明天，幸福也没有昨天，它不怀念过去，也不向往未来，它只在乎眼前。
幸福，其实很简单。别人的幸福在你的眼里，你羡慕甚至嫉妒；可你的幸福也在别人眼里，你如果不觉得，岂不遗憾？