2011年秋季期高三基础知识竞赛试题（理科）
姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题
1 ．在复平面内,复数
i
i -+331对应的点位于 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．实轴上
D ．虚轴上 2 ．下面哪些变量是相关关系 （ ）
A ．出租车费与行驶的里程
B ．房屋面积与房屋价格
C ．身高与体重
D ．铁的大小与质量
3 ．某社区有500个家庭,其中高收入家庭125户,中等收入家庭280户,低收入家庭95户.为
了调查社会购买力的某项指标,要从中抽取1个容量为100户的样本,记作①;某学校高一年级有12名女排运动员,要从中选出3人调查学习负担情况,记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是 （ ） A ．①用随机抽样法,②用系统抽样法 B ．①用分层抽样法,②用随机抽样法 C ．①用系统抽样法,②用分层抽样法 D ．①用分层抽样法,②用系统抽样法
4 ．1个产品要经过2道加工程序，第一道工序的次品率是3%，第2道工序的次品率是2%，
则产品的次品率是（其中加工程序独立） （ ） A ．0.9506 B ．0.0006 C ．0.0494 D ．0.05 5 ．从5 双不同的鞋中任取4 只 , 其中至少有一双的选法共有 （ ）
A ．2
815C C 种
B ．1
41618110410C C C C C -种 C ．
1244
585
2C C C -
D ．44105
2C C -种 6 ．求函数
132)(3+-=x x x f 零点的个数为
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7 ．某个命题与正整数有关,如果当)(*
∈=N k k n 时命题成立,那么可以推得当1+=k n 时命
题也成立,现在已知7=n 时该命题不成立,所以该命题在 （ ）
A ．8=n 时成立
B ．8=n 时不成立
C ．6=n 时成立
D ．6=n 时不成立
8 ．在24
(x -
的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 （ ）
A ．3项
B ．4项
C ．5项
D ．6项
9 ．已知函数
1)(2-=ax x f 且2)1(='f ，则a 的值为
（ ）
A ．1=a
B ．2=a
C ．2=
a
D ．0>a
10．已知
6(1)ax +的展开式中,第2,4,5项的系数依次成等比数列,则
23lim()n n a a a a →∞
++++ 等于
（ ）
A ．
14
B ．
13
C ．
940
D ．
931
11．给出下列命题：①若1~(4,)4
B ξ
，则1,E ξσξ==
；②若~(2,4),12N ξξη=-，则
~(0,1)N η；③若2~(1,)(0)N ξσσ>，且(02)0.8p ξ<<=，则(01)0.4p ξ<<=。
其中真命题的序号是
（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③
12．如图,PAB ?所在的平面
α和四边形A B C D
所在的平面β互相垂直,且,,4,8,6AD BC AD BC AB αα⊥⊥===,若tan 2tan 10ADP BCP ∠+∠=,则点P 在
平面α内的轨迹是
（ ） A ．圆的一部分 B ．椭圆的一部分
C ．双曲线的一部分
D ．抛物线的一部分
二、填空题
13．如图O A
B '''?是OAB ?在斜二测画法下水平放置的直观图,则OAB ?的面积为
______________.
14．已知点,,,A B C D 在同一个球面
上,AB ⊥平面
,B C D B C C D ⊥,
若
6,8AB AC AD ===,则,B C 两点间的球面距离是_________。
15．已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =,()1f x '<,则不等式()
221f x x <+的解集为
______
16．关于函数2,0
()21,0
x e x f x ax x -?-≤=?->? （a 为常数，且0a >）对于下列命题：
β
α
P
A
B
C
D
'
①函数()f x 的最小值为1- ②函数()f x 在每一点处都连续； ③函数()f x 在上R 存在反函数； ④函数()f x 在0x =处可导； ⑤对任意的实数120,0x x <<，且12x x <，恒有1212()()
()22
x x f x f x f ++< 其中正确命题的序号是________________
三、解答题
17．在5
)12(-x 的展开式中,
(1)求含2
x 项的系数; (2)求各项的二项式系数之和;
(3)若55443322105)2()2()2()2()2()12(-+-+-+-+-+=-x a x a x a x a x a a x ,求.531543210的值及a a a a a a a a a +++++++
18．一个盒子内装有八张卡片,每张卡片上面分别写着下列函数中的一
个:1()f x x =,2()2x f x =,3()ln(||3)f x x =+,4()sin f x x =,5()|sin |f x x =,
6()cos f x x =,7()cos ||f x x =,8()3f x =,而且不同卡片上面写着的函数互不相同,每
张卡片被取出的概率相等.
(1)如果从盒子中一次随机取出两张卡片,并且将取出的两张卡片上的函数相加得到一个新函数,求所得新函数是奇函数的概率;
(2)现从盒子中一次随机取出一张卡片,每次取出的卡片都不放回盒子,若取出的卡片上写着的函数是偶函数则停止取出卡片,否则继续取出卡片.设取出了ξ次才停止取出卡片,求ξ的数学期望.
19．已知函数()ln f x x x =.
C E D
B
A P
(Ⅰ)求函数()f x 的极值点;
(Ⅱ)若直线l 过点(0,1)-,并且与曲线()y f x =相切,求直线l 的方程;
(Ⅲ)设函数()()(1)g x f x a x =--,其中a R ∈,求函数()g x 在区间[1,e]上的最小值.(其中e 为自然对数的底数)
20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是一直角梯形，90BAD ∠= ，//AD BC ，
1AB BC ==，2AD =，且PA ⊥平面ABCD ，PD 与底面成30 角. (1) 求证：平面APB ⊥平面CPB ；
(2) 求二面角A PC B --的大小；
(3) 若AE PD ⊥，E 为垂足，求异面直线AE 与CD 所成角的大小。
21．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且n a 、n S 等差中项为1。
(1)写出1a 、2a 、3a ;
(2)猜想n a 的表达式,并用数学归纳法证明; (3)设n n S S S T +++= 21,求n
T n
n 3lim
∞→的值。
22．已知函数1)3ln()(++-=ax x x f 。
（I ）若函数)(x f 在[0，2]上是单调递增函数，求a 的取值范围； （II ）求函数)(x f 在[0，2]上的最大值。
2011年秋季期高三基础知识竞赛试题（理科）参考答案
一、选择题
1. D 错误人数:15/68
2. 注意相关关系与函数关系不同,A 、B 、D 都是函数关系,其中A 一般是分段函数,只有C
是相关关系.故应选C.
3. 解:对于①,总体由高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭差异明显的3部分组成,而所
调查的指标与收入情况密切相关,所以应采用分层抽样法.
对于②,总体中的个体数较少,而且所调查内容对12名调查对象是“平等”的,所以适宜采用随机抽样法. 答案:B 4. C 5. C
6. C
7. D
8. C
9. B 10. D 11. D 12. B 二、填空题 13. 12
14.
43
π 15. ),1()1,(+∞?--∞. 16. ①②⑤ 三、解答题
17. (1)由展开式通项2551
3,)1()2(x r x C T r r r r 时含=-=-+项的系数为-80
(2)各项的二项式系数之和32255
51505==++C C C
(3)令3,11510==-+-=x a a ta x 令得 得各项系数之和3125510=+++a a a
1562531=++a a a
18. (本题主要考查函数的性质、排列组合、古典概型、随机变量的分布列等基础知识,考查
生运用所学知识解决实际应用问题的能力) 解: (1)记事件A 为“任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”,
在所给的八个函数中,奇函数有两个:14(),()sin ;f x x f x x ==
偶函数有五个:
35()(3),()sin ,f x ln x f x x =+= 678()cos ,()cos ,()3;f x x f x x f x ===
既不是奇函数也不是偶函数的 有一个:2()2x f x = 由题意知2811
()28
P A C =
=
答:所得新函数是奇函数的概率等于
128
. (2)ξ可取1,2,3,4,根据题意得15185
(1),8C P C ξ===
1135118715
(2),56C C P C C ξ==?=
1113521118765
(3),56C C C P C C C ξ==??=
11113521111187651
(4).56
C C C C P C C C C ξ==???=
故ξ的分布列为
123485656562
E ξ=?+?+?+?=
19.解:(Ⅰ)()ln 1f x x '=+,0x >,
由()0f x '=得1e x =
, 所以,()f x 在区间1(0,)e 上单调递减,在区间1
(,)e
+∞上单调递增
所以,1
e
x =是函数()f x 的极小值点,极大值点不存在
(Ⅱ)设切点坐标为00(,)x y ,则000ln y x x =,
切线的斜率为0ln 1x +, 所以,000
1
ln 1y x x ++=
, 解得01x =,00y =,
所以直线l 的方程为10x y --= (Ⅲ)()g x =ln (1)x x a x --, 则()ln 1g x x a '=+-, 解()0g x '=,得1
e
a x -=,
所以,在区间1(0,e )a -上,()g x 为递减函数, 在区间1(e ,)a -+∞上,()g x 为递增函数 当1
e
1a -≤,即1a ≤时,在区间[1,e]上,()g x 为递增函数,
所以()g x 最小值为(1)0g = 当1
1 当1 e e a -≥,即2a ≥时,在区间[1,e]上,()g x 为递减函数, 所以()g x 最小值为(e)e e g a a =+- 综上,当1a ≤时,()g x 最小值为0;当12a <<时,()g x 的最小值1 e a a --;当2 a ≥时,()g x 的最小值为e e a a +-. 20.解：(1) 证明：∵,//AD AB AD BC ⊥，∴BC AB ⊥.……………………………1分 ∵PA ⊥底面ABCD ，∴BC PA ⊥.………………………………………2分 又∵PA AB A = ，∴BC ⊥平面APB .…………………………………3分 ∵BC ?平面CPB ，∴平面APB ⊥平面CPB .…………………………4分 (2) 解：作AF PB ⊥，垂足为F . ∵平面APB ⊥平面CPB ，平面APB 平面CPB PB =， ∴AF ⊥平面CPB . 作FT PC ⊥，垂足为T ，连结AT ，由三垂线定理，得AT PC ⊥， ∴ATF ∠是二面角A PC B --的平面角.………………………………6分 ∵PD 与底面ABCD 成30 角，∴30PDA ∠= . ∴tan30 PA AD AC === ∴PB PC == 在Rt PAB △ 中， PA AB AF PB ? ===，……………………7分在Rt PAC △ 中， PA AC AT PC ? ===8分∴在Rt AFT △ 中，sin AF ATF AT ∠==. 因此，二面角A PC B -- 的平面角为.…………………9分 (3) 设G、H分别为ED、AD的中点，连结BH、HG、GB，则// HG AE. ∵// BC HD，且BC HD =，∴四边形BCDH为平行四边形，∴// BH CD. ∴BHG ∠或它的补角就是异面直线AE与CD所成角.……………11分∵,, AB AD AB PA AD PA A ⊥⊥= ，∴AB⊥平面PAB. 又∵AE PB ⊥，∴PB BE ⊥. ∵sin301 AE AD == ，∴ 11 22 HG AE ==. ∵BH BG==12分 ∴在BHG △ 中， 222 cos 2 BH HG BG BHG BH HG +- ∠== ?? …………13分因此，异面直线AE与CD 所成角为……………………14分 21.解:(1)依题意:2 = + n n a S,计算得1 1 = a, 2 1 2 = a, 4 1 3 = a (2)猜想1 ) 2 1 (- =n n a以下用数学归纳法证明: 当n=1时,1 ) 2 1 (1= - n,1 1 = a,猜想成立 假设当n=k时,猜想成立,即1 ) 2 1 (- =k k a,则当1 + =k n时, ∵ 2 1 1 = + + +k k a S,2 = + k k a S两式相减得0 ) ( 1 1 = - + - + +k k k k a a S S 即k k a a =+12,∴ k k k k a a )2 1()21(21111=== -++ ∴ 当n =k +1时,猜想也成立,综上所述,对N ∈n 时,1 )2 1 (-=n n a (3)∵ 2=+n n a S ,∴ n n a S -=2 )2()2()2()2(321321n n n a a a a S S S S T -++-+-+-=++++= 1)2 1 (222-+-=-=n n n S n ∴ n n n T n n n n 3)21(22lim 3lim 1-∞→∞→+-=3 2]3)21 (3232[lim 1 =+-=-∞→n n n m 22.解：（1）20031 )(≤≤≥+--= 'x a x x f 对 恒成立. 2031 ≤≤-≥ ∴x x a 对恒成立 1≥∴a （2）①若1)3ln()(,0++-=≤ax x x f a 则在[0，2]上是减函数，13ln )0()(max +==f x f ②若0>a ，则由（1）得：当0)(,1 3,0)(,13≤'-≥≥'-≤x f a x x f a x 时当时 01 3,310≤-≤<∴a a 时当，此时)(x f 在[0，2]上是减函数，13ln )0()(max +==f x f 当1≥a 时，)(x f 在[0，2]上是单调增函数，12)2()(max +==a f x f 1 2)2()(,1;ln 3)(,13 1 ; 13ln )0()(,3 1 ln 31)1 3(ln )13()(,131max max max max +==≥-=<<+==≤-=+-+-=-=< a a a f x f a 时时当时综上时当
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