三角函数B
第5课 三角函数的图像和性质（一）
【考点导读】
1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22
ππ
-
上的性质； 2.了解函数sin()y A x ω?=+的实际意义，能画出sin()y A x ω?=+的图像； 3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【基础练习】
1. 已知简谐运动()2sin(
)()32
f x x π
π
??=+<
的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期
T =_____6____；初相?=__________
． 2. 三角方程2sin(2
π
－x )=1的解集为_______________________． 3. 函数),2
,0)(sin(R x x A y ∈π
ω?+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为
______________________
．
4. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π??
=- ?3?
?的图象向右平移__________个单位． 【范例解析】
例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+．
（Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ??-????
上的图象，长度为一个周期；
（Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到． 分析：化为sin()A x ω?+形式．
解：（I ）由x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2
+-=+=
6π
{2,}3
x x k k Z π
π=±∈ )48sin(4π+π-=x y
第3题
π6
)4
2s i n (21)4
s i n 2c o s 4c o s 2(s i n 21π
ππ-
+=-?+=x x x ．
列表，取点，描图：
故函数)(x f y =在区间]2
,2[-上的图象是：
（Ⅱ）解法一：把sin y x =图像上所有点向右平移4π个单位，得到sin()4y x π
=-的图像，再把sin()4y x π=-的图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到sin(2)4
y x π
=-的图像，
然后把s i n (2)4y x π=-的图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到
s i n (2)4y x π=-的图像，再将
)4y x π
=-的图像上所有点向上平移1个单位，即得到
1)4
y x π
=+-的图像．
解法二：把sin y x =图像上所有点的横坐标缩短为原来的1
2
（纵坐标不变），得到sin 2y x =的图像，再把sin 2y x =图像上所有点向右平移
8π个单位，得到sin(2)4y x π=-的图像，然后把sin(2)4
y x π=-的
图像上所有点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到)4
y x π
=-的图像，再将
)4y x π=-的图像上所有点向上平移1个单位，即得到1)4
y x π
=+-的图像．
例2.已知正弦函数sin()y A x ω?=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式1()f x ；
（2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ；
（3）作出函数12()()y f x f x =+的图像的简图．
解：（1）由图知，
A ，22(62)16π
ω
=?+= ，8
π
ω∴=
，即)8
y x π
?=+．
将2x =，y =
sin()4π?+=4π?=，即1()sin()84
f x x ππ
=+．
（2）设函数2()f x 图像上任一点为(,)M x y ，与它关于直线8x =对称的对称点为(,)M x y '''， 得8,2.x x
y y '+?=?
??'=?
解得16,.x x y y '=-??'=?代入1()sin()84f x x ππ''=+中，得2()sin()84f x x ππ=-．
（3）12()()sin()sin()2cos y f x f x x x x πππππ
=+=+-=，简图如图所示．
点评：由图像求解析式，A 比较容易求解，困难的是待定系数求ω和?，通常利用周期确定ω，代入最高点或最低点求?．
【反馈演练】
1．为了得到函数R x x y ∈+=),6
3sin(2π
的图像，只需把函数2sin y x =，x R ∈的图像上所有的点
①向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变）；
②向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变）；
③向左平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）；
④向右平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）． 其中，正确的序号有_____③______． 2．为了得到函数)6
2sin(π
-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向右平移__3
π__个单位长度．
3．若函数()2sin()f x x ω?=+，x ∈R （其中0ω>，2?π
<）的最小正周期是π
，且(0)f =ω=__2____；?=__________． 4．在()π2,0内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为____________________． 5．下列函数： ①sin 6y x π?
?
=+
??
?
； ②sin 26y x π??
=-
??
?
； ③cos 43y x π??
=-
??
?
； ④cos 26y x π??
=-
??
?
． 其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____．
6．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(?ω （1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段时间的函数解析式． 解：（1）由图示，这段时间的最大温差是201030=-℃
（2）图中从6时到14时的图象是函数b x A y ++=)sin(?ω的半个周期
∴
614221-=?ω
π
，解得8πω=
由图示，10)1030(21=-=A 20)3010(2
1
=+=b
这时，20)8
sin(
10++=?π
x y
将10,6==y x 代入上式，可取43π
?= 综上，所求的解析式为20)4
38sin(10++
=π
πx y （]14,6[∈x ） 7．如图，函数π
2cos()(00)2
y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤
≤的图象与y
轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值；
（2）已知点π
02
A ?? ???
，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA
当02y =，0ππ2x ??
∈????
，时，求0x 的值．
第6题 3
π
5,44ππ?? ??? 第5题
解：（1）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+得cos θ=， 因为02
θπ
≤≤
，所以6θπ=．
又因为该函数的最小正周期为π，所以2ω=， 因此2cos 26y x π?
?=+
???
．
（2）因为点02
A π
?? ???
，，00()Q x y ，是PA 的中点，0y =
所以点P 的坐标为022x π?-
?．
又因为点P 在2cos 26y x π?
?=+ ??
?的图象上，所以05cos 46x π?
?-= ??
? 因为
02x ππ≤≤，所以075194666
x πππ-≤≤， 从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=． 即023x π=或034
x π
=．
第6课 三角函数的图像和性质（二）
【考点导读】
1.理解三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的性质，进一步学会研究形如函数sin()y A x ω?=+的性质；
2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究． 【基础练习】
1.写出下列函数的定义域： （1
）y =的定义域是______________________________； （2）sin 2cos x y x
=的定义域是____________________． 2．函数f (x ) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________．
3．函数 2
2sin sin 44
f x x x ππ
=+--（
）（）（）的最小正周期是_______
． 4. 函数y =sin(2x +3
π
)的图象关于点_______________对称． 5. 已知函数tan y x ω= 在（－2π，2
π
）内是减函数，则ω的取值范围是______________
． 【范例解析】
例1.求下列函数的定义域： （1
）sin tan x
y x =
+（2
）y = 解：（1）,2tan 0,2sin 10.x k x x ππ?≠+??≠??+≥??即,2,722.
66x k x k k x k πππππππ?≠+??
≠???-≤≤+?
，
故函数的定义域为7{226
6
x k x k π
π
ππ-
≤≤+
且,x k π≠,}2x k k Z ππ≠+∈
（2）122log 0,tan 0.x x +≥????≥?即04,.2
x k x k πππ<≤???≤<+??
故函数的定义域为(0,
)[,4]2
π
π?．
点评：由几个函数的和构成的函数，其定义域是每一个函数定义域的交集；第（2）问可用数轴取交集．
{663,}x k x k k Z πππ≤≤+∈ {,}2x x k k Z ππ≠+∈ π π （3
π，0） 10ω-≤<
例2．求下列函数的单调减区间：
（1）sin(
2)3
y x π
=-； （2）2cos sin()
42
x
y x π=
-；
解：（1）因为222232k x k πππππ-≤-≤+，故原函数的单调减区间为5[,]()1212
k k k Z ππ
ππ-+
∈． （2）由sin(
)042x π
-≠，得{2,}2
x x k k Z π
π≠+∈， 又2cos 4sin()24sin()42
x x y π
π=
=+-，
所以该函数递减区间为3222242x k k πππππ+<+<+，即5(4,4)()22
k k k Z ππ
ππ++
∈． 点评：利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制． 例3．求下列函数的最小正周期： （1）5tan(21)y x =+；（2）sin sin 32y x x ππ?
?
?
?=+
+ ? ??
???
． 解：（1）由函数5tan(21)y x =+的最小正周期为π2，得5tan(21)y x =+的周期2
T π
=． （2）sin()sin()(sin cos cos sin )cos 3233
y x x x x x π
πππ
=+
+=+
2111cos 2sin cos cos sin 222422
x
x x x x +=+=+
1sin(2)23
x π
=
++ T π∴=． 点评：求三角函数的周期一般有两种：（1）化为sin()A x ω?+的形式特征，利用公式求解；（2）利用函数图像特征求解．
【反馈演练】
1．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为 _____________． 2．设函数()sin ()3f x x x π??=+∈ ??
?R ，则()f x 在[0,2]π上的单调递减区间为___________________
． 3
．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是________________． 4．设函数()sin3|sin3|f x x x =+，则()f x 的最小正周期为_______________．
5．函数22()cos 2cos 2
x f x x =-在[0,]π上的单调递增区间是_______________． 6
．已知函数π124()πsin 2x f x x ?
?+- ?
??=?
?+ ?
?
?． （Ⅰ）求()f x 的定义域； （Ⅱ）若角α在第一象限且3
cos 5
α=，求()f α． 解：（Ⅰ） 由πsin 02x ??
+
≠ ??
?
得ππ2x k ≠-+，即ππ2x k ≠-()k ∈Z ． 故()f x 的定义域为π|π2
x x k k ?
?∈≠-∈???
?
R Z ，．
（Ⅱ）由已知条件得4sin 5α===．
从而π124()πsin 2f ααα?
?+- ?
??=??
+ ?
??
ππ1cos 2cos sin 2sin 44cos ααα
?++?
??= 21cos 2sin 22cos 2sin cos cos cos ααααααα
+++==
2
π
[,0]6
π
-
32π
[,]3
π
π 2[,]63ππ，75[,]63ππ
142(cos sin )5
αα=+=
． 7． 设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=?π?图像的一条对称轴是直线8
π
=x ．
（Ⅰ）求?；
（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像
解：（Ⅰ）)(8
x f y x ==
是函数π
的图像的对称轴，,1)8
2sin(±=+?∴?π
,.4
2
k k Z π
π
?π∴
+=+
∈ .4
3,0π
??π-
=<<- （Ⅱ）由（Ⅰ）知).4
32sin(,43ππ?-=-
=x y 因此 由题意得.,2
243222Z k k x k ∈+≤-
≤-π
ππππ 所以函数.],85,8[)432sin(Z k k k x y ∈++-=πππππ的单调增区间为 （Ⅲ）由知)
32sin(π-=x y 故函数上图像是在区间
],0[)(πx f y =
第7课 三角函数的值域与最值
【考点导读】
1.掌握三角函数的值域与最值的求法，能运用三角函数最值解决实际问题；
2.求三角函数值域与最值的常用方法：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图像法求解；（3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解；（4）换元法． 【基础练习】
1.函数x x y cos 3sin +=在区间[0,
]2π
上的最小值为 1 ．
2.函数)(2cos 2
1
cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于 ．
3.函数tan(
)2
y x π
=-(4
4
x π
π
-
≤≤
且0)x ≠的值域是___________________
． 4.当20π
< x x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ． 【范例解析】 例1.（1）已知1 sin sin 3 x y += ，求2sin cos y x -的最大值与最小值． （2）求函数sin cos sin cos y x x x x =?++的最大值． 分析：可化为二次函数求最值问题． 解：（1）由已知得：1sin sin 3y x = -，sin [1,1]y ∈- ，则2 sin [,1]3x ∈-． 22111sin cos (sin )212y x x ∴-=--，当1sin 2x =时，2sin cos y x -有最小值1112-；当2 sin 3x =-时， 2sin cos y x -有最小值4 9 ． （2）设sin cos x x t + =(t ≤，则21sin cos 2 t x x -?=，则21122y t t =+- ，当t =时，y 有最大值为 1 2 + 点评：第（1）小题利用消元法，第（2）小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题；但要注意变量的取值范围． 例2.求函数2cos (0)sin x y x x π-= <<的最小值． 分析：利用函数的有界性求解． 43 (,1][1,)-∞-?+∞ 解法一：原式可化为sin cos 2(0)y x x x π+=<<)2x ?+=，即 sin()x ?+= ， 1≤，解得y ≥y ≤，所以y 解法二：2cos (0)sin x y x x π-= <<表示的是点(0,2)A 与(sin ,cos )B x x -连线的斜率，其中点B 在左半圆 221(0)a b a +=<上，由图像知，当AB 与半圆相切时，y 最小，此时AB k =y 点评：解法一利用三角函数的有界性求解；解法二从结构出发利用斜率公式，结合图像求解． 例3.已知函数2 π()2sin 24f x x x ??=+- ???，ππ42x ?? ∈???? ，． （I ）求()f x 的最大值和最小值； （II ）若不等式()2f x m -<在ππ42x ?? ∈???? ，上恒成立，求实数m 的取值范围． 分析：观察角，单角二次型，降次整理为sin cos a x b x +形式． 解：（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ?? ??=-+=+ ??????? ∵ π12sin 23x ? ?=+- ?? ?． 又ππ42x ?? ∈????，∵，ππ2π 2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ? ? +- ?? ?≤≤， max min ()3()2f x f x ==，∴． （Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x - x ??∈???? ，， max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+， 14m <<∴，即m 的取值范围是(14)，． 点评：第（Ⅱ）问属于恒成立问题，可以先去绝对值，利用参数分离转化为求最值问题．本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力． 【反馈演练】 1．函数))(6 cos( )3 sin( 2R x x x y ∈+--=π π 的最小值等于____－1_______． 2．当04x π <<时，函数22cos () sin x f x x x =-的最小值是______4 _______． 3．函数sin cos 2 x y x =+的最大值为，最小值为________. 4．函数cos tan y x x =?的值域为 . 5．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ??-???? 上的最小值是2-，则ω的最小值等于_________． 6．已知函数()2cos (sin cos )1 f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84 ?? ???? ，上的最小值和最大值． 解：（Ⅰ）π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ? ?=-+=-=- ?? ? ． 因此，函数()f x 的最小正周期为π． （Ⅱ）因为π()sin 24f x x ??= - ???在区间π3π88??????，上为增函数，在区间3π3π84????? ?，上为减函数，又π08f ?? = ???，3π8f ?? = ??? 3π3πππ14244f ???? =-==- ? ????? ， 故函数()f x 在区间π3π84?????? ，1-． 3 2 3- (1,1)- 第８课 解三角形 【考点导读】 1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形； 2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化． 【基础练习】 1．在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC 2．在ABC ?中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是______________. 3．在ABC △中，若1tan 3 A =，150C = ，1BC =，则AB = ． 【范例解析】 例1. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，已知20a c +=，2C A =，3 cos 4 A = ． （1）求 c a 的值；（2）求b 的值． 分析：利用2C A =转化为边的关系． 解：（1）由sin sin 23 2cos sin sin 2 c C A A a A A = ===． （2）由20, 3.2 a c c a +=???=??得8,12.a c =??=?．由余弦定理222 2cos a b c bc A =+- 得： 2 18800b b -+=，解得：8b =或10b =， 若8b =，则A B =，得4 A π = ，即3 cos 24 A = ≠矛盾，故10b =． 点评：在解三角形时，应注意多解的情况，往往要分类讨论． 例2.在三角形ABC 中，已知2222 ()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，试判断该三角形的形状． 解法一：(边化角)由已知得：22 [sin()sin()][sin()sin()]a A B A B b A B A B --+=---+， 化简得2 2 2cos sin 2cos sin a A B b B A =， 由正弦定理得：2 2 sin cos sin sin cos sin A A B B B A =，即sin sin (sin cos sin cos )0A B A A B B -=， 又,(0,)A B π∈，sin sin 0A B ∴?≠，sin 2sin 2A B ∴=． 又2,2(0,2)A B π∈，22A B ∴=或22A B π=-，即该三角形为等腰三角形或直角三角形． 3π 2 解法二：(角化边)同解法一得：22 2cos sin 2cos sin a A B b B A =， 由正余弦定理得：222222 2 222b c a a c b a b b a bc ac +-+-=， 整理得：22222()()0a b c a b ---=，即a b =或222 c a b =+， 即该三角形为等腰三角形或直角三角形． 点评：判断三角形形状主要利用正弦或余弦定理进行边角互化，从而利用角或边判定三角形形状． 例3.如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB =AD ，记∠CAD =α，∠ABC =β. （1）证明：sin cos 20αβ+=； （2）若AC ，求β． 分析：识别图中角之间的关系，从而建立等量关系. （1）证明：C βα=+ ，2 C B π = -，22 π βα∴= +， sin cos 20αβ∴+= （2）解： AC ，2sin βαββ∴==. (0,)2πβ∈ ，sin β∴=，3πβ∴=. 点评：本题重点是从图中寻找到角之间的等量关系，从而建立三角函数关系，进而求出β的值. 【反馈演练】 1．在ABC ?中，,75,45,300===C A AB 则BC =_____________ ． 2．ABC ?的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且2c a =，则c o s B =_____． 3．在ABC ?中，若2a b c =+，2 sin sin sin A B C =，则?的形状是____等边___三角形． 4．若ABC ?的内角A 满足2 sin 23 A =，则sin cos A A += ． 5．在ABC ?中，已知2AC =，3BC =，4 cos 5 A =-． （Ⅰ）求sin B 的值； （Ⅱ）求sin 26B π?? + ??? 的值． B D C α β A 例4 33- 3 4 3 解：（Ⅰ）在ABC ? 中，3sin 5A ===，由正弦定理， sin sin BC AC A B =．所以232 sin sin 355 AC B A BC ==?=． （Ⅱ）因为4 cos 5 A =-，所以角A 为钝角，从而角 B 为锐角，于是 cos 5B ===， 2217 cos 22cos 12125 B B =-=?-=， 2sin 22sin cos 25525 B B B ==??= ． sin 2sin 2cos cos 2sin 666B B B πππ? ?+=+ ?? ?171252= ?= 6．在ABC ?中，已知内角A π = 3 ，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值． 解：（1）ABC ?的内角和A B C ++=π，由00A B C π= >>3，，得20B π <<3 ． 应用正弦定理，知sin sin 4sin sin sin BC AC B x x A = ==π3 ， 2sin 4sin sin BC AB C x A π?? = =- ?3?? ． 因为y AB BC AC =++， 所以224sin 4sin 03y x x x ππ???=+-+<< ??3???， （2 ）因为1 4sin sin 2y x x x ??=++ ? ??? 5s i n 3x x ππ ππ? ??=++ <+< ??66 66???， 所以，当x ππ + =62 ，即x π=3时，y 取得最大值 7．在ABC ?中，1tan 4A = ，3tan 5 B =． （Ⅰ）求角 C 的大小；（Ⅱ）若ABC ? 解：（Ⅰ）π()C A B =-+ ，13 45tan tan()113145 C A B + ∴=-+=-=--?． 又0πC << ，3 π4 C ∴=． （Ⅱ）3 4 C =π ，AB ∴ 边最大，即AB =． 又tan tan 0A B A B π??<∈ ?2?? ，，，，∴角A 最小，BC 边为最小边． 由22sin 1tan cos 4sin cos 1A A A A A ? ==???+=? ，， 且π02A ?? ∈ ???，， 得sin A = sin sin AB BC C A = 得：sin sin A BC AB C == 所以，最小边BC ． 1 A 2A 乙 例1（1） 第9课 解三角形的应用 【考点导读】 1.运用正余弦定理等知识与方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 2.综合运用三角函数各种知识和方法解决有关问题，深化对三角公式和基础知识的理解，进一步提高三角变换的能力． 【基础练习】 1．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为_________m ． 2 ．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值为_______________ km ． 3．一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 60 ，行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15 ． 4．如图，我炮兵阵地位于A 处，两观察所分别设于B ，D ，已知ABD ?为边长等于a 的正三角形，当目标出现于C 时，测得45BDC ∠= ，75CBD ∠= ，求炮击目标的距离AC 解：在BCD ?中，由正弦定理得： sin 60sin 45a BC =?? ∴BC = 在ABC ?中，由余弦定理得：2 2 2 2cos AC AB BC AB BC ABC =+-??∠ ∴AC = 答：线段AC ． 【范例解析】 例 .如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105 方向的1B 处，此时两船相距2020分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120 方向的2B 海里，问乙船每小时航行多少海里？ 分析：读懂题意，正确构造三角形，结合正弦定理或余弦定理求解． A B C D 第4题 23或3 3400 解法一：如图(2)，连结12A B ，由已知22A B = 1220 60 A A ==，1222A A A B ∴=， 又12218012060A A B =-= ∠，122A A B ∴ △是等边三角形， 1212A B A A ∴==， 由已知，1120A B =，1121056045B A B =-= ∠， 在121A B B △中，由余弦定理， 22212111211122cos45B B A B A B A B A B =+- 2220220=+-??200=． 12B B ∴= 60=（海里/小时）． 答：乙船每小时航行海里． 解法二：如图（3），连结21A B ， 由已知1120A B =，1220 60 A A ==112105 B A A = ∠， cos105cos(4560)=+ cos 45cos60sin 45sin 60=- = sin105sin(4560)=+ sin 45cos60cos 45sin 60=+ = ． 在211A A B △中，由余弦定理， 222 21111211122cos105A B A B A A A B A A =+- 2220220=+-?100(4=+． 2110(1A B ∴=． 由正弦定理1112111221sin sin 2A B A A B B A A A B = == ∠∠， 12145A A B ∴= ∠，即121604515B A B =-= ∠，cos15sin105== ． 1A 2 A 例1（2） 1A 2 A 例1（3） 在122B A B △ 中，由已知22A B = 22212212221222cos15B B A B A B A B A B =+- 22210(1210(1=+-??200=． 12B B ∴= 60=（海里/小时） ． 答：乙船每小时航行海里． 点评：解法二也是构造三角形的一种方法，但计算量大，通过比较二种方法，学生要善于利用条件简化解题过程． 【反馈演练】 1．江岸边有一炮台高30m 45?和30?， 而且两条船与炮台底 部连线成30?角，则两条船相距m ． 2．有一长为1km 的斜坡，它的倾斜角为20?，现要将倾斜角改为10?，则坡底要伸长____1___km ． 3．某船上的人开始看见灯塔在南偏东30?方向，后来船沿南偏东60?方向航行45海里后，看见灯塔在正 西方向，则此时船与灯塔的距离是海里． 4．把一根长为30cm 的木条锯成两段，分别作钝角三角形ABC 的两边AB 和BC ，且120ABC ∠=?，则 第三条边AC 的最小值是cm ． 5．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天 从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系： 经长期观察，函数)(t f y =的图象可以近似地看成函数)sin(?ω++=t A k y 的图象.下面的函数中, 最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 （ A ） A ．]24,0[,6 sin 312∈+=t t y π B ．]24,0[),6 sin(312∈++=t t y ππ C ．]24,0[,12 sin 312∈+=t t y π D ．]24,0[),2 12 sin( 312t t y π π + += 高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa 三角函数知识点复习 §1.1.1、任意角 1、正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角终边相同的角的集合： . §1.1.2、弧度制 1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 . 3、弧长公式：. 4、扇形面积公式：. §1.2.1、任意角的三角函数 1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么： 2、 设点为角终边上任意一点，那么：（设），，， 3、 ，，在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 5、特殊角0°，30°，45°，60°， 1、平方关系：. 2、商数关系：. 3、倒数关系： §1.3、三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限”） 1、 诱导公式一： （其中：） 2、 诱导公式二： 3、诱导公式三： 4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6、诱导公式六： §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大 最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. 在上的五个关键点为： §1.4.3、正切函数的图象与性质 图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质 图象 定 义 域 值 域 [-1,1][-1,1] 最 值 周 期 性 奇 偶 性 奇偶 单调性在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心 1、记住正切函数的图象： 2、记住余切函数的图象： 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： x y + O — — + # x y O — + + — + y O ) | — + + — sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：αα cos sin =tan α （z k k ∈+≠ ,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ' ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 三角函数公式大全关系： 倒数 tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式 （sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角），那么 i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦： sin α=∠α的对边/∠α的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — 定义式 ） ct 函数关系 倒数关系：；； 商数关系：；． 平方关系：；；．诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作 锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用： 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A -cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式：sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 三角函数常见题 1、A，B，C为三角形内角，已知1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC，求角A 解：1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC 2cos2A-1-2cos2B+1+2sin2C=2sinBsinC cos2A-cos2B+sin2(A+B)=sinBsinC cos2A-cos2B+sin2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC cos2A-cos2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC 2cos2AsinB+2sinAcosAcosB=sin(180-A-B) 2cosA(cosAsinB+sinAcosB)-sin(A+B)=0 Sin(A+B)(2cosA-1)=0 cosA=1/2 A=60 2、证明：(1+sinα+cosα+2sinαcosα)/(1+sinα+cosα)=sinα+cosα <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+(sina+cosa)2 <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+1+2sinacosa <===>0=0恒成立 以上各步可逆，原命题成立 证毕 3、在△ABC中,sinB*sinC=cos2(A/2),则△ABC的形状是? sinBsin(180-A-B)=(1+cosA)/2 2sinBsin(A+B)=1+cosA 2sinB(sinAcosB+cosAsinB)=1+cosA sin2BsinA+2cosAsin2B-cosA-1=0 sin2BsinA+cosA(2sin2B-1)=1 sin2BsinA-cosAcos2B=1 cos2BcosA-sin2BsinA=-1 cos(2B+A)=-1 因为A，B是三角形内角 2B+A=180 因为A+B+C=180 所以B=C 三角形ABC是等腰三角形 4、求函数y=2-cos(x/3)的最大值和最小值并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合 -1≤cos(x/3)≤1 -1≤-cos(x/3)≤1 1≤2-cos(x/3)≤3 值域[1,3] 当cos(x/3)=1时即x/3=2kπ即x=6kπ时，y有最小值1此时{x｜x=6kπ,k∈Z} 当cos(x/3)=-1时即x/3=2kπ+π即x=6kπ+3π时，y有最小值1此时{x｜x=6k π+3π,k∈Z} 5、已知△ABC，若(2c-b)tanB=btanA，求角A [(2c-b)/b]sinB/cosB=sinA/cosA 正弦定理c/sinC=b/sinB=2R代入 高中数学必修三角函数知 识点与题型总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 三角函数典型考题归类 1．根据解析式研究函数性质 例1（天津理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84?? ????，上的最小值和最大值． 【相关高考1】（湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ????? ?=-++++ ? ? ?????? ?． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间． 【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ? ?=+ ?? ?，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 2．根据函数性质确定函数解析式 例2（江西）如图，函数π 2cos()(00)2 y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点(0，且 该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值； （2）已知点π02A ?? ??? ，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当0y = 0ππ2x ?? ∈???? ，时，求0x 的值． 【相关高考1】（辽宁）已知函数2 ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω??? ?=++--∈ ? ???? ?R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域；（II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交 点间的距离为 π 2 ，求函数()y f x =的单调增区间． 三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|ο ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180|οοββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 高中数学第四章-三角函数知识点汇总 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：2 11||2 2 s lr r α= = ?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r y =α sin ； r x = αcos ； x y = α tan ； y x = α cot ； x r = α sec ；. y r = α csc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： SIN \C O S 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 (3) 若 o 高一三角函数知识 §1.1任意角和弧度制 ?? ? ??零角负角：顺时针防线旋转正角：逆时针方向旋转 任意角..1 2.象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3.. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合：{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：Z k k ∈-=，βα 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与角β的关系：Z k k ∈-+=，βα 180360 ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则α与角β的关系：Z k k ∈+=，βα 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则α与角β的关系：Z k k ∈++=， 90180βα 4. 弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角所对 的弧长为l ，则其弧度数的绝对值|r l = α,其中r 是圆的半径。 5. 弧度与角度互换公式： 1rad ＝（π 180）°≈57.30° 1°＝180 π 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 6.. 第一象限的角：? ?? ? ??∈+< 三角函数计算公式大全-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 三角函数公式 三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。 定义式 锐角三角函数任意角三角函数 图形 直角三角形 任意角三角函数 正弦（sin） 余弦（cos） 正切（tan或t g） 余切（cot或ct g） 正割（sec） 余割（csc） 表格参考资料来源：现代汉语词典[1]． 函数关系 倒数关系：①；②；③ 商数关系：①；②． 平方关系：①；②；③． 诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限[2]．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 高考三角函数 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： sin α cos α tan α x y + O — — + x y O — + + — + y O — + + — 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：α α cos sin =tan α （z k k ∈+≠ ,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2παα??+= ???，cos sin 2παα??+=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 三角函数历年高考题汇编 一.选择题 1、（2009）函数22cos 14y x π? ?=-- ?? ?是 A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π 的偶函数 2、（2008）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（ ） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为 2π 的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2 π 的偶函数 3.（2009浙江文）已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（ ） 4.(2009山东卷文)将函数sin 2y x =的图象向左平移4 π 个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ). A. 22cos y x = B. 22sin y x = C.)4 2sin(1π + +=x y D. cos 2y x = 5.（2009江西卷文）函数()(13tan )cos f x x x =+的最小正周期为 A ．2π B ． 32π C ．π D ．2 π 6.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3 π 中心对称， 那么φ的最小值为 A. 6π B.4π C. 3π D. 2π 7.（2008海南、宁夏文科卷）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（ ） A. －3，1 B. －2，2 C. －3， 3 2 D. －2， 32 8.（2007海南、宁夏）函数πsin 23y x ??=- ???在区间ππ2?? -???? ，的简图是（ ） 二.填空题 1.（2009宁夏海南卷文）已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则 712 f π ?? = ??? 。 2.（2009年上海卷）函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ . 3.（2009辽宁卷文）已知函数()sin()(0)f x x ω?ω=+>的图象如图所示,则ω ＝ 三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． 角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<
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