第Ⅰ卷(选择题60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 1.复数
(i 为虚数单位)的实部和虚部相等,则实数b 的值为()
A.一1
B.一
2
C.一3
D.1
【答案】A
【解析】
()1bi i b i i i
+=
=-?,因为复数
(i 为虚数单位)的实部和虚部相等,所以b=-1.
2.1
,|0},2
x U A x A x +=≤-R U 已知全集集合={则集合等于e() A.{x|x <-1或x >2} B.{x|x ≤-1或x >2}C.{x|x <-1或x ≥2}D.{x|x ≤-1或x ≥2}
【答案】C 【解析】
10122x x x +≤≤<-得-,所以{}1
|0}|122
x A x x x x +≤=-≤<-集合={,所以{}|12A x x x =<-≥U 或e。
3.在四边形ABCD 中,BC AB ?=0,且DC AB =,则四边形ABCD 是()
A .等腰梯形
B .菱形
C .矩形
D .正方形
【答案】C
【解析】因为DC AB =,所以//=AB DC AB DC 且,所以四边形ABCD 是平行四边形,因为BC AB ?=0,所以∠ABC=
2
π
,所以四边形ABCD 是矩形 4.函数2sin sin cos y x x x =+的最小正周期T=()
A .2π
B .π
C .
2
π
D .
3
π
n
【答案】B
【解析】2
1-cos 2sin sin cos =
sin cos 2
x
y x x x x x =++ 111cos 2sin 2222x x =-+12224x π??=- ?
?
?,所以22T ππ==,所以函数2sin sin cos y x x x =+的最小正周期T=π。 5.右图是一个算法的程序框图,该算法输出的结果是()
A .
21B .3
2 C .
43D .5
4
【答案】C
【解析】第一次循环:11
12,11,2
i i m m n n m i =+==+==+
=?,满足条件4i <,继续循环;
第二次循环:12
13,12,3
i i m m n n m i =+==+==+
=?,满足条件4i <,继续循环;
第三次循环:13
14,13,4
i i m m n n m i =+==+==+=?,不满足条件4i <,结束循环,此时输出n 的值为
34
。 6.设a ,b 是不同的直线,α、β是不同的平面,则下列命题: ①若,,//;a b a b αα⊥⊥则 ②若//,,;a a ααββ⊥⊥则 ③若,,//;a a βαβα⊥⊥则 ④若,,,.a b a b αβαβ⊥⊥⊥⊥则 其中正确命题的个数是 ()
A .0
B .1
C .2
D .3
【答案】B
【解析】①若,,//;a b a b αα⊥⊥则错误,有可能b α?;②若//,,;a a ααββ⊥⊥则错误,a α与可能平行,
可能相交,a 可能在
α内;③若
,,//;a a βαβα⊥⊥则错误,有可能a α?;④若
,,,.a b a b αβαβ⊥⊥⊥⊥则正确。因此正确的有一个,选B 。
7.函数ax x x f +=ln )(存在与直线02=-y x 平行的切线,则实数a 的取值范围是()
A.]2,(-∞
B.)2,(-∞
C.),2(+∞
D.),0(+∞ 【答案】B
【解析】易知函数ax x x f +=ln )(的定义域
{}
|0x x >,又'
1
(
)f x a x
=
+,若函数ax x x f +=ln )(存在与直线02=-y x 平行的切线,则()'
1
()20,f x a x =
+=+∞在内有解,即()120,a x
=-+∞在内有解
,所以202a a -><即。因此选B 。
8.已知1010,310x x y x y x y -≤??
-+≥-??+-≥?
则2的取值范围是()
A.]2,3[-
B.]2,3[--
C.]3,4[--
D.]2,4[- 【答案】D
【解析】画出线性约束条件
101010x x y x y -≤??
-+≥??+-≥?
的可行域,由可行域知:目标函数23z x y =-过点
()1,0取最大
值,且最大值为2;过点
()1,2时取最小值,
且最小值为264z =-=-,所以23x y -的取值范围是]2,4[-。
9.设{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项的和,且S 5<S 6,S 6=S 7>S 8,则下列结论错误..
的是 ()
A .d <0
B .a 7=0
C .S 9>S 5
D .S 6与S 7均为S n 的最大值
【答案】C
【解析】因为前n 项和有最大值,所以d <0,选项A 正确;因为S 6=S 7,所以a 7=S 7--S 6=0,所以选项B 正确;同时选项D 也正确。因此选C 。因为d <0,a 7=0,所以90a <,所以S 9-S 5=67897999530,a a a a a a a S +++=+=<<所以S .
【答案】B
【解析】从点A 向抛物线的准线引垂线,交抛物线与点P ,此时的点P 满足PA PF +最小,所以点P
的
纵坐标应为2,代入抛物线方程的横坐标也为2,因此选C 。
11.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后,有下列四个结论:
(1)BD AC ⊥(2)ACD ?是等边三角形
(3)AB 与平面BCD 的夹角成60°(4)AB 与CD 所成的角为60° 其中正确的命题有()
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个 【答案】C
【解析】连接AC 与BD 交于O 点,对折后如图所示,令OC=1,则O (0,0,0),A (1,0,0),B (0,1,
0),C (0,0,1),D (0
,-1,0)则AC u u u r =(-1,0,1),BD u u u r =(0,-2,0),∵0AC BD ?=u u u r u u u r ,∴AC ⊥
BD ,故(1)正确;∵2AC AD CD ===u u u r u u u r u u u r
,∴△ACD 为正三角形,故(2)正确;∵OA u u u r 为平面BCD
的一个法向量,根据正方形的性质,易得AB 与平面BCD 所成角为45°,故(3)错误;AB u u u r
=(-1,1,
0),CD u u u r =(0,-1,-1),则1cos 2
AB CD AB CD AB CD ??==?u u u r u u u u r
u u u r u u u u r u u u r u u u u r ,∴AB 与CD 所成角为60°,故(4)正确;
故正确的命题为:(1)(2)(4)
12.已知双曲线2
2
22
1x y a b -=,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M 、N 两点,O 是坐标原点.若
OM ON ⊥,则双曲线的离心率为() 12+13+15+17
+ 【答案】C
【解析】把x=c 代入双曲线方程22221x y a b -=,得
2b y a =±,要使OM ON ⊥,需2
b
c
a =,即22-=0c a ac -,两边同除以2a ,得:21=0e e --,解得15+15
-,因此选C 。
第Ⅱ卷(非选择题90分)
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分. 13.已知函数()sin()f x x ωφ=+)2
||,0,,(π
φω<>∈R x 的部分图象如图所
示,则)(x f 的解析式是 【答案】sin(2)3
y x π
=+
【解析】由图像知函数的周期为52,==266T ππππωπ
??=
--= ???所以,所以()sin(2)f x x φ=+,把点-06π??
?
??
,代入,得sin(-)=0-=,=+333k k πππφφπφπ++,所以即,因为||2π?<,所以=3πφ,所以()sin(2)3
f x x π
=+。
14.设21,F F 分别是椭圆)10(1:2
22
<<=+b b y x E 的左、右焦点,过1F 的直线与E 相交于B A ,两点,且|||,||,|22BF AB AF 成等差数列,则||AB 的长为.
【答案】
43
【解析】因为|||,||,|22BF AB AF 成等差数列,所以222||||||AB AF BF =+,又由椭圆的定义知:
212122||||||||4,||||||4AF AF BF BF AF BF AB +++=++=即,所以4
3=43
AB AB =
,即。 15.已知球O 的表面积为,点A ,B ,C 为球面上三点,若,且AB=2,则球心O 到平面ABC 的
距离等于__________________. 【答案】2
【解析】因为球O 的表面积为
,,所以
2420,5r r ππ==即。
取AB 的中点D ,连接OD ,因为
,
所以OD ⊥面ABC ,即OD 为球心O 到平面ABC 的距离,易知
22512
OD OA AD =-=-=。
16.在ABC ?中,内角C B A ,,的对边分别是a b c ,,,若2
2
3a b bc -=,sin 23C B =,则A = 【答案】
6
π
【解析】因为sin 23C B =,所以由正弦定理得:23c b =,又因为2
2
3a b bc -=26b =,所以由
余弦定理得:
2223cos 2223b c a A bc b b
+-===?,所以A =6π
。
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M 名学生作为样本,得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下:
(Ⅰ)求出表中,M p 及图中a 的值;
(Ⅱ)若该校高一学生有360人,试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数; (Ⅲ)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人,求至多一人参加社区服
务次数在区间[20,25)内的概率. 18.(本小题满分12分)已知函数132)(2
3
+-=ax x x f .
(1)若1=x 为函数)(x f 的一个极值点,试确定实数a 的值,并求此时函数)(x f 的极值; (2)求函数)(x f 的单调区间.
19.(本题满分12分)
如图,三棱锥A —BPC 中,AP ⊥PC ,AC ⊥BC ,M 为AB 中点,D 为PB 中点,且△PMB 为正三角形. (Ⅰ)求证:DM //平面APC ; (Ⅱ)求证:平面ABC ⊥平面APC ;
(Ⅲ)若BC =4,AB =20,求三棱锥D —BCM 的体积.
20.(本小题满分12分)
{}n a 是等差数列,{}n b 是各项都为正数的等比数列,且111a b ==,3521a b +=,5313a b +=.
分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25 [15,20) 25 n
[20,25) m
p
[25,30)
2 0.05 合计 M
1
频率/组距
15
25
20
10
30 次数
a
(Ⅰ)求{}n a 、{}n b 的通项公式;
(Ⅱ)求数列{
}n
n
a b 的前n 项和n S 。 21.(本小题满分12分)
已知椭圆1:2222=+b
y a x C (a >b >0)的焦距为4,且与椭圆1222=+y x 有相同的离心率,斜率为k 的直线
l 经过点M (0,1),与椭圆C 交于不同两点A 、B . (1)求椭圆C 的标准方程;
(2)当椭圆C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆内时,求k 的取值范围.
22.(本小题满分10分)
如图,已知⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点,AD 为⊙M 的直径,直线BD 交⊙O 于点C ,点G 为?BD
中点,连结AG 分别交⊙O 、BD 于点E 、F 连结CE . (1)求证:GD CE EF AG ?=?;
(2)求证:.2
2
CE
EF AG GF =
· ·
A B
C
D
G
E F
O M
乌鲁木齐市第一中学2012--2013学年第一学期
2013届高三年级第三次月考
数学(文)试卷参考答案 一、选择题
二、填空题
18.解:(1)∵f (x )=2x 3
-3ax 2
+1,∴()f x '=6x 2
-6ax .依题意得(1)f '=6-6a =0,解得a =1.
所以f (x )=2x 3-3x 2+1,()f x '=6x (x -1).令()f x '=0,解得x =0或x =1.列表如下:
X (-∞,0)
0 (0,1)
1 (1,+∞)
f ′(x ) + 0 - 0 + f (x )
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以当x =0时,函数f (x )取得极大值f (0)=1; 当x =1时,函数f (x )取得极小值f (1)=0.
(2)∵()f x '=6x 2-6ax =6x (x -a ),
∴①当a =0时,()f x '=6x 2
≥0,函数f (x )在(-∞,+∞)上单调递增;
②当a >0时,()f x '=6x (x -a ),()f x '、f (x )随x 的变化情况如下表:
x (-∞,0)
0 (0,a )
a
(a ,+∞)
f ′(x ) + 0 - 0 + f (x )
↗
极大值
↘
极小值
↗
由上表可知,函数f (x )在(-∞,0)上单调递增,在(0,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增;
③同理可得,当a <0时,函数f (x )在(-∞,a )上单调递增,在(a ,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
综上所述,当a =0时,函数f (x )的单调递增区间是(-∞,+∞);
当a >0时,函数f (x )的单调递增区间是(-∞,0)和(a ,+∞),单调递减区间是(0,a ); 当a <0时,函数f (x )的单调递增区间是(-∞,a )和(0,+∞),单调递减区间是(a ,0).
19.(本题满分12分)
解:(Ⅰ)∵M 为AB 中点,D 为PB 中点,
∴MD//AP ,又∴MD ?平面ABC ∴DM//平面APC ……………3分
(Ⅱ)∵△PMB 为正三角形,且D 为PB 中点。 ∴MD ⊥PB
又由(Ⅰ)∴知MD//AP ,∴AP ⊥PB 又已知AP ⊥PC ∴AP ⊥平面PBC , ∴AP ⊥BC ,又∵AC ⊥BC
∴BC ⊥平面APC ,∴平面ABC ⊥平面PAC ……………8分 (Ⅲ)∵AB=20 ∴MB=10∴PB=10
又BC=4,.2128416100==
-=PC
∴.21221244
1
4
121=??=?==??BC PC S S PBC BDC 又MD .3510202
12122=-==
AP ∴V D-BCM =V M-BCD =710352123
1
31=??=??DM S BDC ………………12分
22111
12122122
22n n n ---??=+?++++- ???L
111
1212221212
n n n ---
-=+?--12362n n -+=-.
21.解:(1)∵焦距为4,∴c =2………………………………………………1分 又∵1222
=+y x 的离心率为
2
2………………………………2分 ∴2
22===a a c e ,∴a =22,b =2…………………………4分
∴标准方程为14
822=+y x ………………………………………6分 (2)设直线l 方程:y =kx +1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),
由???
??=++=1481
22y x
kx y 得064)21(22=-++kx x k ……………………7分
∴x 1+x 2=2214k k +-,x 1x 2=2216k +-
由(1)知右焦点F 坐标为(2,0),
∵右焦点F 在圆内部,∴BF AF ?<0………………………………8分 ∴(x 1-2)(x 2-2)+y 1y 2<0
即x 1x 2-2(x 1+x 2)+4+k 2x 1x 2+k (x 1+x 2)+1<0……………………9分 ∴2
22221185214)2(216)1(k k k k k k k +-=++-?-++-?
+<0……………11分 ∴k <8
1………………………………………………………………12分 经检验得k <8
1时,直线l 与椭圆相交,
∴直线l 的斜率k 的范围为(-∞,81) (13)
22.证明:(1)连结AB ,AC , ∵AD 为M e 的直径,∴090ABD ∠=, ∴AC 为O e 的直径,∴CEF AGD ∠=∠, ∵DFG CFE ∠=∠,∴ECF GDF ∠=∠, ∵G 为弧BD 中点,∴DAG GDF ∠=∠, ∵ECB BAG ∠=∠,∴DAG ECF ∠=∠, ∴CEF ?∽AGD ?,∴
CE AG
EF GD
=
,
GD CE EF AG ?=?∴………………5分
(2)由(1)知DAG GDF ∠=∠,G G ∠=∠,
∴D G F ?∽AGD ?,∴2DG AG GF =g ,
· ·
A B
C
D
G
E F O M
由(1)知2222EF GD CE AG =,∴2
2
GF EF AG CE
=. ………………10分