第五十七讲空间几何体
一．知识点精讲
1．柱、锥、台、球的结构特征
（1）柱
棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
棱柱与圆柱统称为柱体；
（2）锥
棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。
棱锥与圆锥统称为锥体。
（3）台
棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。
圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。
圆台和棱台统称为台体。
（4）球
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。
（5）组合体
由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。
2. 几种常见凸多面体间的关系：
3.一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质
有两个面互相平行，
余每相邻两个面的交线侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直
棱柱
有一个面是多边形，余各面是有
共顶点的三底面是正多边形，且顶
点在底面的射影是底面
的射影是底面和截面之
用一个平行于
棱锥底面的平
由正棱锥截得的棱台
4. 几种特殊四棱柱的特殊性质
2．空间几何体的三视图
三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。 他具体包括：
（1）正视图：物体从前向后投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度； （2）侧视图：物体从左向右投影所得到的投影图，它能反映物体的高度和宽度； （3）俯视图：物体从上向下投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度； 3．三视图画法规则
高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐 长对正：主视图与俯视图的长应对正 宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等 4．空间几何体的直观图 （1）斜二测画法
①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX ，OY ，建立直角坐标系；
②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O ’X ’,O ’Y ’,使'''
X OY ∠=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；
③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知
图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半； ④擦去辅助线，图画好后，要擦去X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）。 （2）平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。
二．典例解析
题型一：几何体结构
例1．（06江苏）两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体，可放棱
长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个
题型二：斜二测画法
例2．C B A '''?是正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若C B A '''?的面积为3，那么△ABC 的面积为_________。
题型三：三视图
例3．如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是（）
A．①③B．②③④C．③④D．②④
例4（2000全国）如图9—15（1），E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是图9—15（2）的（要求：把可能的图的序号都．填上）.
例5（2007海南宁夏）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）
Ａ．3
4000
cm
3
Ｂ．3
8000
cm
3
Ｃ．3
2000cmＤ．3
4000cm
例6 （2008海南宁夏理12）
某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是
长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别
是长为a和b的线段，则a + b的最大值为（）
A. 2
2 B. 3
2
C. 4
D. 5
2
例7（2009海南宁夏）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积
（单位：2
cm）为
A.48+
B.48+
C.36+
D.36+m
①②③④
A
B C
D
?
??E
F
G
正视图侧视图
俯视图
例8.(2010海南宁夏)正视图为一个三角形的几何体可以是______（写出三种）
例9.(2011全国新课标理理)在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为
三课堂检测
1.下列不正确的命题的序号是 .
①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
④有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥
2．下列结论不正确的是（填序号）.
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥
②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
3．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于 .
5 在棱长为1的正方体ABCD——A1B1C1D1中，若G、E分别为BB1，C1D1的中点，点F是正方形ADD1A1的中心，则四边形BGEF在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为________。
。解析：考察在三组对面上的投影即可。
答案：3
8
1．关于“斜二测”直观图的画法，如下说法正确的是（）
A．等腰三角形的直观图仍为等腰三角形B．梯形的直观图可能不是梯形
C．正方形的直观图为平行四边形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
答案：C。解析：根据斜二测的定义进行判断。
1．如图，模块①—⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①—⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体．则下列选择方案中，能够完成任务的为()
A．模块①，②，⑤B．模块①，③，⑤
C．模块②，④，⑤D．模块③，④，⑤
空间几何体的表面积和体积
一．知识点精讲
1．多面体的面积和体积公式
2．旋转体的面积和体积公式
表中h l ,分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，21,r r 分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径。
3．正四面体的性质： 设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)高a h 3
6=
， (2)全面积：S 全=3a 2； (3)体积：3122a V =；
(4)内切球：利作体积法：正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。 内切球半径：a h r 12641==
，(5)外接球半径 a h R 4
6
43== (6)和正四面体各棱都相切的球的半径：对棱中点连线段的长的一半：a d r 4
2
21==； 4 球的截面 用一个平面去截一个球，截面是圆面.
(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆； (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；
(3)球心和截面距离d ,球半径R ，截面半径r 有关系：22d R r -=.
出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。
【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为
，则体对角线长为
，几何体的外接球直径
为体对角线长 即
【例题】：在四面体
中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面
体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。
解：
因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为的长
即：
所以球的表面积为
（2014山西适应性考试）已知三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，且三棱锥外接球的表面积为π36，则=PA ______
结论：构造法：利用长方体的外接球直径是体对角线，正方体的外接球直径是体对角线 直角四面体的外接球直径是它所在的长体的体对角线
例3 ，则其外接球的表面积是 .
解 是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.
设其外接球的半径为R ，则有()2
2
2
2
29R =
++=.∴294
R =
. 故其外接球的表面积2
49S R ππ==.
（2010海南宁夏）
设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
A 2
a π
B 2
7
3
a π
C
2
113
a π D 2
5a π
一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱 柱的体积为
9
8
，底面周长为3，那么这个球的体积为 _______ (2011全国新课标理理)已知矩形A B C D 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，
且
6,A B B C ==则棱锥O ABCD -的体积为
出现两个垂直关系，利用直角三角形结论。
【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。 例：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，
且
，
，
，
,求球
的体积。
解：
且
，
，
，
, 因为
所以知
所以 所以可得图形为：在中斜边为
在中斜边为取斜边的中点，在中
在
中
所以在几何体中
，即为该四面体的外接
球的球心 所以该外接球的体积为
在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体
ABCD 的外接球的体积为
A.12512π
B.1259π
C.1256π
D.125
3
π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知
OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即
点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径5
2
R OA ==.故
A O D
B
图4
3412536
V R ππ=
=球.选C.
（2013太原一模试题）如图，平面四边形ABCD 中，AB=AD=CD=1，BD BD CD ⊥，将其沿对角
线BD 折成四面体'A BCD -，使平面'A BD ⊥平面BCD ，若四面体'A BCD -顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 （ ）
A ．3π
B ．
2
C ．4π
D ．
4
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
总结：斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解
【例题】：已知在三棱锥中，，，，求
该棱锥的外接球半径。
解：由已知建立空间直角坐标系
由平面知识得