圆锥曲线的原理最详细图解(平面与圆锥面的截线).

平面与圆锥面的截线

一、直观感受：

观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？

改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线（下图由软件《立几画板》制作）：

二、分类探究：

从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：

将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下图：

归纳提升：

定理在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记作β＝0），

则：

（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；

（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；

（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。

三、证明结论：

利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.

如图，利用切线长相等，容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值.

下面证明：β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。

高考数学圆锥曲线与方程章总结题型详解

圆锥曲线与方程 题型一 定义运用 1.．（2017·湖南高考模拟（理））已知抛物线2 2x y = 上一点P 到焦点F 的距离为1，,M N 是直线2y =上 的两点，且2MN =，MNP ?的周长是6，则sin MPN ∠=（ ） A ． 4 5 B ． 25 C ． 23 D ． 13 【答案】A 【解析】由题意，22p = ，则 122p = ，故抛物线22x y = 的焦点坐标是10,2?? ??? ，由抛物线的定义得，点P 到准线1 2y =- 的距离等于PF ，即为1 ，故点P 到直线2y =的距离为132122d ??=---= ??? . 设 点P 在直线MN 上的射影为P' ，则3 '2 PP = . 当点,M N 在P'的同一侧（不与点P'重合）时，35 2=622 PM PN MN ++> ++ ，不符合题意；当点,M N 在P'的异侧（不与点P'重合）时，不妨设()'02P M x x =<<，则'2P N x =- ，故由 2=6PM PN MN ++= ，解得0x = 或2 ，不符合题意，舍去， 综上,M N 在两点中一定有一点与点P'重合，所以 24552 sin MPN <= = ，故选A. 2．（2017·河南高考模拟（文））已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2 :8C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则点A 到抛物线的准线的距离为（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 【答案】A 【解析】由题意得，设抛物线2 8y x =的准线方程为:2l x =-，直线()2y k x =+恒过定点()2,0-， 如图过,A B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，连接OB ， 由2FA FB =，则2AM BN =，点B 为AP 的中点， 因为点O 是PF 的中点，则1 2 OB AF = ，

第二章平面解析几何初步章末总结附解析苏教版必修

第二章平面解析几何初步章末总结（附解 析苏教版必修2） 【金版学案】2015-2016高中数学第二章平面解析几何初步章末知识整合苏教版必修2 一、数形结合思想的应用 若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，且 ∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为________． 解析：本小题考查直线与圆的位置关系和数形结合的方法． y＝kx＋1恒过点(0，1)，结合图知，直线倾斜角为120°或60°. ∴k＝3或－3. 答案：3或－3 规律总结：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将抽象的数学语言和直观的图形相结合，使抽象思维和 形象思维相结合． 1．以形助数，借助图形的性质，使有关“数”的问题直接形象化，从而探索“数”的规律．比如，研究两曲线 的位置关系，借助图形使方程间关系具体化；过定点的 直线系与某确定的直线或圆相交时，求直线系斜率的范

围，图形可帮助找到斜率的边界取值，从而简化运算；对于一些求最值的问题，可构造出适合题意的图形，解题中把代数问题几何化． 2．以数助形，借助数式的推理，使有关“形”的问题数量化，从而准确揭示“形”的性质． ►变式训练 1．若过定点M(－1，0)且斜率为k的直线与圆x2＋4x＋y2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是________． 解析：∵x2＋4x＋y2－5＝0，∴(x＋2)2＋y2＝9是以(－2，0)为圆心，以3为半径的圆．如图所示：令x＝0得y＝±5. ∴点C的坐标为(0，5)． 又点M的坐标为(－1，0)， ∴kMC＝5－00－（－1）＝5. 结合图形得0k5. 答案：(0，5) 2．当P(m，n)为圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点时，若不等式m＋n＋c≥0恒成立，则c的取值范围是________．解析：方法一∵P(m，n)在已知圆x2＋(y－1)2＝1上，且使m＋n＋c≥0恒成立，即说明圆在不等式x＋y＋c≥0

高考数学中圆锥曲线重要结论的最全总结

高考数学圆锥曲线重要结论 一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。 第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0

平面解析几何初步(知识点 例题)

个性化简案 个性化教案（真题演练）

个性化教案

平面解析几何初步 知识点一：直线与方程 1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. 2. 直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 3．直线方程的五种形式 【典型例题】 例1：已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2 3．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点． 【举一反三】 1. 直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2. 设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3 3. 直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ） A ．7 B ．－ 77 C ．77 D ．－7 4. 直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ． 例2：已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 练习：设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0. 例3：已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1).试求：2 3 ++x y 的最大值与最小值.

苏教版《第二章平面解析几何初步综合小结》word教案

苏教版《第二章平面解析几何初步综合小结》 w o r d教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

数学同步测试—第二章章节测试 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.共150分. 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把 正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．方程x 2 + 6xy + 9y 2 + 3x + 9y –4 =0表示的图形是 （ ） A ．2条重合的直线 B ．2条互相平行的直线 C ．2条相交的直线 D ．2条互相垂直的直线 2．直线l 1与l 2关于直线x +y = 0对称，l 1的方程为y = ax + b ，那么l 2的方程为 （ ） A ．a b a x y -= B ．a b a x y += C ．b a x y 1+= D ．b a x y += 3．过点A (1,－1)与B (－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为 （ ） A ．(x －3)2+(y ＋1)2=4 B ．(x ＋3)2+(y －1)2=4 C ．4(x ＋1)2+(y ＋1)2=4 D ．(x －1)2+(y －1)2= 4．若A(1，2)，B(－2，3)，C(4，y )在同一条直线上，则y 的值是 （ ） A ．2 1 B ．23 C ．1 D ．－1 5．直线1l 、2l 分别过点P （－1，3），Q （2，－1），它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平 行，则1l 、2l 之间的距离d 的取值范围为 （ ） A ．]5,0( B ．（0，5） C ．),0(+∞ D ．]17,0( 6．直线1x y a b +=与圆222(0)x y r r +=>相切，所满足的条件是 （ ） A ．ab r =B ．2222()a b r a b =+ C ．22||ab r a b =+ D ．22ab r a b =+ 7．圆2223x y x +-=与直线1y ax =+的交点的个数是 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．随a 值变化而变化

江苏高考数学圆锥曲线性质总结

高考数学圆锥曲线性质总结 椭圆与双曲线的对偶性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为 122tan 2 F PF S b γ ?=.

8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线 于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ， 则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的角.

人教版数学高二A版选修4-1预习导航第三讲二平面与圆柱面的截线

预习导航 1．定理1 圆柱形物体的斜截口是椭圆 与圆柱OO′的轴斜交，则截口是椭圆 判断截口形状是椭圆 2． (1)定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆． (2)组成元素：如图所示，F1，F2是椭圆的焦点，B1B2是F1F2的中垂线． 我们把A1A2叫做椭圆的长轴，B1B2叫做椭圆的短轴，F1F2叫做椭圆的焦距．如果长轴 为2a，短轴为2b，那么焦距2c (3)Dandelin双球探究椭圆性质：如图所示，设球O1，O2与圆柱的交线(圆)所在的平面分别为α，γ，椭圆所在的斜截面β与它们的交线分别为l1，l2，α，γ与β所成的二面角为θ，母线与平面β的交角为φ.由于α，β，γ都是确定的，因此交线l1，l2也是确定的．

①当点P 在椭圆的任意位置时，过P 作l 1的垂线，垂足为Q ，过P 作平面α的垂线， 垂足为K 1，连接K 1Q ，得Rt △PK 1Q ，则∠QPK 1＝φ.从而有PF 1PQ ＝PK 1PQ ＝cos_φ＝定值． ②椭圆上任意一点到焦点F 1的距离与到直线l 1的距离之比为定值cos_φ.我们把直线l 1叫做椭圆的一条准线． ③椭圆上任意一点到焦点F 2的距离与到直线l 2的距离之比也为定值cos φ，所以l 2是椭圆的另一条准线． ④记e ＝cos φ，我们把e 叫做椭圆的离心率． 名师点拨 e 的几何意义是，椭圆上一点到焦点的距离与它到准线的距离的比．当e 越接近于1时，c 越接近于a ，从而b 越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，从而b 越接近于a ，椭圆越接近于圆．当e ＝0时，c ＝0，a ＝b ，两个焦点重合，图形就是圆了．可见离心率是刻画椭圆圆扁程度的量． 思考 Dandelin 双球探求椭圆性质的过程是怎样的？ 提示：通过一条直线与相离的两个等圆的内公切线的情形，类比为两个半径相等的球在一个平面的两侧均与球相切的情形，从而得到定理1及有关结论，因而对于平面内直线与两个相离的等圆的内公切的情形要注意研究，这有助于理解椭圆和下一节的知识． 圆柱内嵌入两个球，使它们分别位于斜截面的上方和下方，并且与圆柱和斜截面均相切，这是证明定理的关键．这种方法是数学家Dandelin 创立的，故将嵌入的两球称为Dandelin 双球．要注意对于Dandelin 双球的研究．

平面解析几何初步典型例题整理后

平面解析几何初步 §7.1直线和圆的方程 经典例题导讲 ［例1］直线l 经过P （2,3）,且在x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程. 解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:2 3 0203=--= k , ∴直线方程为y= 2 3x 综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y= 2 3 x . ［例2］已知动点P 到y 轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P 的轨迹方程. 解： 接前面的过程,∵方程①化为(x-52 )2+(y-3)2 = 214 ,方程②化为(x+12 )2+(y-3)2 = - 34 , 由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P 的轨迹方程为: (x-52 )2+(y-3)2 = 214 (x ≥ 0) ［例3］m 是什么数时，关于x,y 的方程（2m 2+m-1）x 2+（m 2-m+2）y 2 +m+2=0的图象表示一个 圆？ 解：欲使方程Ax 2+Cy 2 +F=0表示一个圆，只要A=C ≠0， 得2m 2+m-1=m 2-m+2，即m 2 +2m-3=0，解得m 1=1，m 2=-3， (1) 当m=1时，方程为2x 2+2y 2 =-3不合题意，舍去. (2) 当m=-3时，方程为14x 2+14y 2=1,即x 2+y 2=1 14 ,原方程的图形表示圆. ［例4］自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2 -4x-4y+7＝0相切，求光线L 所在的直线方程. 解：设反射光线为L ′,由于L 和L ′关于x 轴对称，L 过点A(-3，3)，点A 关于x 轴的对称点A ′(-3，-3)， 于是L ′过A(-3，-3). 设L ′的斜率为k ，则L ′的方程为y-(-3)＝k ［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0， 已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2 ＝1，圆心O 的坐标为(2，2)，半径r ＝1 因L ′和已知圆相切，则O 到L ′的距离等于半径r ＝1 即 1 1k 5 k 51k 3 k 32k 22 2 =+-= +-+- 整理得12k 2 -25k+12＝0 解得k ＝ 34或k ＝4 3 L ′的方程为y+3＝34(x+3);或y+3＝4 3 (x+3)。 即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0 因L 和L ′关于x 轴对称 故L 的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0. ［例5］求过直线042=+-y x 和圆01422 2 =+-++y x y x 的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：

北师大版数学高二-选修4试题 平面与圆柱面的截线

平面与圆柱面的截线 ?一层练习 1．设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为3c (c 为半焦距)的点，且|F 1F 2|＝|F 2P |，则椭圆的离心率是( ) A.3－12 B.12 C.5－12 D.22 答：D 2．用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.33 C.3 2 D ．非上述结论 答：A 3．已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成45°角，则截线椭圆的焦距为( ) A ．22 B ．2 C ．4 D ．4 2 答：C 4．一平面截球面产生的截面形状是________；它不垂直底面所

截圆柱面产生的截面形状是________． 答：圆 圆或椭圆 ?二层练习 5．下列说法不正确的是( ) A ．圆柱面的母线与轴线平行 B ．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面 C ．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关 D ．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径 答:D 6．一平面与半径为3的圆柱面截得椭圆，若椭圆的两焦球球心的距离为10，截面与圆柱面母线的夹角为θ，则cos θ＝________. 答：45 7．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为________． 解析：由2r 6＝sin 45°得r ＝3sin 45°＝322. 答案：32 2

8．已知一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴长，短轴长和离心率． 解析：由题意可知，椭圆的短轴长2b ＝2×2， ∴短轴长为4. 设长轴长为2a ，则有2b 2a ＝sin 30°＝12 . ∴2a ＝4b ＝8，c ＝a 2－b 2＝2 3. ∴e ＝c a ＝234＝32 . ∴长轴长为8，短轴长为4，离心率为3 2 . ?三层练习 9．已知圆柱底面半径为b ，平面π与圆柱母线夹角为30°，在圆柱与平面交线上有一点P 到一准线l 1的距离是3b ，则点P 到另一准线l 2对应的焦点F 2的距离是________． 解析：依题意知，短轴长为2b ，

必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案

1直线的倾斜角与斜率： (1 )直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做 直线的倾斜角? 倾斜角[0,180 ), 90斜率不存在■ (2)直线的斜率：k y2 X2 —^(为X2), k X1 tan . ( R(X1, yj、巳佑y：)) 2 ?直线方程的五种形式: (1)点斜式: 注：当直 y y1 k(x X1)(直线1过点R(X1,y1)，且斜率为k ). 1■线斜率不存在时，不冃匕用点斜式表示，此时万程为X X0 . (2)斜截式：y kx b ( b为直线1在y轴上的截距). (3)两点式： y y1 x X1 ( (% y2, X1 X2). y2 y1 X2 X1 注：①不能表示与x轴和y轴垂直的直线； ②方程形式为：(x2 x1)(y y1) (y2y1 )(x x1) 0时，方程可以表示任意直线. (4)截距式： X y 1 ( a,b分别为x轴y轴上的截距，且a 0,b 0). a b 注：不能表示与x轴垂直的直线，也不能表示与y轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线. (5) —般式：Ax By C 0 (其中A、B不同时为0). AC A 一般式化为斜截式：y x ，即，直线的斜率：k B B B 注：(1)已知直线纵截距b，常设其方程为y kx b或x 0. 已知直线横截距x0,常设其方程为x my x0(直线斜率k存在时，m为k的倒数)或y 0 . 已知直线过点(X。，y°)，常设其方程为y k(x x°) y或x x°. (2)解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. (1 )直线在两坐标轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点. (2 )直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点. (3 )直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点. 4.两条直线的平仃和垂直: (1 )若11 : y k1x b1,12 ： y k2X b2 ① 11//12k1k2,b1 b2 ;② 1112k1k2 1 (2 )若11 : A1x B1y C1 0, 1 2 : A Q X B2 y C2 0,有 ① 11 //12 A i B2 A2 B i 且 A C? A2C1.② 11 12 A i A2 B i B2 0 . 5.平面两点距离公式：

必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案

1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着 交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式： 1 21 121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示 任意直线． （4）截距式： 1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示 过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的 倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． 3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0. （1）直线在两坐标轴上的截．距相等．．．?直线的斜率为1-或直线过原点． （2）直线两截距互为相反数．．．．．．．?直线的斜率为1或直线过原点． （3）直线两截距绝对值相等．．．．．．．?直线的斜率为1±或直线过原点． 4．两条直线的平行和垂直： （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ① 212121,//b b k k l l ≠=?； ② 12121l l k k ⊥?=-. （2）若0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l ，有 ① 1221122121//C A C A B A B A l l ≠=?且．② 0212121=+?⊥B B A A l l ． 5．平面两点距离公式： (111(,)P x y 、222(,)P x y )，2212212 1)()(y y x x P P -+-=．x 轴上两点间距离：

(完整word版)平面解析几何初步复习课教学设计.doc

平面解析几何初步复习课教学设计 （一）教材分析 解析几何的主要内容为直线与圆，圆锥曲线，坐标系与参数方程。根据课程标准要 求，在必修 2 解析几何初步中，学生学习的最基本内容为直线与直线方程，圆与圆的方 程，并初步建立空间坐标系的概念。这一内容是对全体学生设计的，大部分学生在选修 中还将进一步学习圆锥曲线，坐标系与参数方程等有关内容。因此，本章要求学生掌握 解析几何最基本的思想方法--------用代数的方法研究曲线的几何性质，并学习最基本 的直线，圆的方程，并通过方程研究他们的图形性质。这样的安排，一方面降低了解析 几何的难度，多次反复又逐步提高学生对解析几何的认识，另一方面对部分在解析几何 学习上有较高要求的学生，可以在选修部分拓广加强。 因此教学中，要体会必修 2 的 4 个特点①是学习立体几何与解析几何的初级阶段②仅 仅是初步③是螺旋式上升的开始④ . 感性认识到理性认识的过渡期。 ( 二 )课程内容标准（教学大纲与课程标准比较） 《教学大纲》《课程标准》主要变化点 直线和圆的方程 (22 课时 ) 平面解析几何初步 ( 约 18 课时 ) 1．平面解析几何分 直线的倾斜角和斜率。直线(1) 直线与方程层为三块：初步（必 方程的点斜式和两点式。直①在平面直角坐标系中，结合具体修）、圆锥曲线（必 线方程的一般式。图形，探索确定直线位置的几何要选）和坐标系与参数 两条直线平行与垂直的条素。方程（自选）。 件。两条直线的交角。点到②理解直线的倾斜角和斜率的概2．线性规划问题移 直线的距离。念，经历用代数方法刻画直线斜率到《数学 5》“不等 用二元一次不等式表示平面的过程，掌握过两点的直线斜率的式”部分；原立几 B 区域。简单线性规划问题。计算公式。教材“空间直角坐 实习作业。③能根据斜率判定两条直线平行标系”移至解几初 曲线与方程的概念。由已知或垂直。步。 条件列出曲线方程。④根据确定直线位置的几何要素，3．注重过程教学，

高考数学圆锥曲线知识点总结

高考数学圆锥曲线知识点总结 方程的曲线： 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C 上?f(x0,y 0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C 上?f(x0,y0)≠0。 两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点 ?{0),(0 ),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有 交点。 二、圆： 1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x2+y2=r2 (2)一般方程：①当D2+E2-4F ＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为 )2,2(E D -- 半 径是 2422F E D -+。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+ 2D )2+(y+2E )2= 44F -E D 22+ ②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E ); ③当D2+E2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x0,y0)，则｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内，其中｜MC ｜= 2 020b)-(y a)-(x +。 直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交?有两个公共点；直线与圆相切?有一个公共点；直线与圆相离?没有公共点。 ②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离 2 2 B A C Bb Aa d +++= 与半径r 的大小关系来判定。 三、圆锥曲线的统一定义： 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之 比是一个常数e(e ＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率。当0＜e ＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e ＞1时，轨迹为双曲线。 四、椭圆、双曲线、抛物线：

2019-2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步章末归纳总结(含解析)新人教B版必修2

2019-2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步章末归纳总结（含 解析）新人教B 版必修2 一、选择题 1．下列说法中，正确说法的个数是( ) ①任何一条直线都有惟一的倾斜角； ②任何一条直线都有惟一的斜率； ③倾斜角为90°的直线不存在； ④倾斜角为0°的直线只有一条． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [答案] B [解析] ①正确；对于②，当直线的倾斜角为90°时，该直线的斜率不存在；对于③，倾斜角为90°的直线与x 轴垂直，有无数条；对于④，倾斜角为0°的直线与x 轴平行或重合，这样的直线有无数条，故选B. 2．斜率为3的直线经过(2,1)、(m,4)、(3，n )三点，则m ＋n ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 [答案] C [解析] 由题意得3＝4－1m －2＝n －1 3－2， ∴m ＝3，n ＝4， ∴m ＋n ＝7. 3．已知直线l 1∥l 2，它们的斜率分别记作k 1、k 2.若k 1、k 2是方程x 2 ＋2ax ＋1＝0的两个根，则a 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D ．无法确定 [答案] C [解析] ∵直线l 1∥l 2，∴它们的斜率相等，即k 1＝k 2.又k 1、k 2是方程x 2 ＋2ax ＋1＝0的两个根， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2a )2 －4×1×1＝0，即a 2 ＝1， ∴a ＝1或－1，故选C ． 4．方程x 2 ＋y 2＋4x －2y ＋5m ＝0不表示圆，则m 的取值范围是( )

A ．(1 4，1) B ．(－∞，1) C ．(－∞，1 4) D ．[1，＋∞) [答案] D [解析] 由题意知42＋(－2)2 －20m ≤0，解得m ≥1，故选D. 5．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2 ＋y 2 ＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则 a ＝( ) A ．－12 B ．1 C ．2 D ．1 2 [答案] A [解析] 圆的圆心为(1,0)，由(2－1)2 ＋22 ＝5知点P 在圆上，所以切线与过点P 的半径垂直，且k ＝2－02－1＝2，∴a ＝－1 2 .故选A ． 6．(xx·全卷Ⅱ理，7)过三点A (1,3)、B (4,2)、C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10 [答案] C [解析] 解法一：由已知得k AB ＝3－21－4＝－13，k CB ＝2＋7 4－1＝3，∴k AB ·k CB ＝－1，∴AB ⊥CB ， 即△ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1，－2)，半径为5，∴外接圆方程为(x －1)2 ＋(y ＋2)2 ＝25，令x ＝0，得y ＝±26－2，∴|MN |＝46，故选C ． 解法二：设圆的方程为x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则有 ???? ? 1＋9＋D ＋3E ＋F ＝016＋4＋4D ＋2E ＋F ＝01＋49＋D －7E ＋F ＝0 ，解得???? ? D ＝－2 E ＝4 F ＝－20 . ∴圆的方程为x 2 ＋y 2 －2x ＋4y －20＝0，令x ＝0，得 y ＝±26－2， ∴|MN |＝4 6. 二、填空题 7．过两点(1,2)和(3,1)的直线在y 轴上的截距为________．

人教新课标版数学高二人教A选修4-1试题 3.2平面与圆柱面的截线

3.2 平面与圆柱面的截线 ?一层练习 1．设F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为3c (c 为半焦距)的点，且|F 1F 2|＝|F 2P |，则椭圆的离心率是( ) A. 3－12 B.12 C.5－12 D.22 答：D 2．用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.33 C.32 D ．非上述结论 答：A 3．已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成45°角，则截线椭圆的焦距为( ) A ．22 B ．2 C ．4 D ．4 2 答：C 4．一平面截球面产生的截面形状是________；它不垂直底面所截圆柱面产生的截面形状是________． 答：圆 圆或椭圆 ?二层练习 5．下列说法不正确的是( ) A ．圆柱面的母线与轴线平行 B ．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面 C ．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关 D ．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径 答:D

6．一平面与半径为3的圆柱面截得椭圆，若椭圆的两焦球球心的距离为10，截面与圆柱面母线的夹角为θ，则cos θ＝________. 答：45 7．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为________． 解析：由2r 6＝sin 45°得r ＝3sin 45°＝322 . 答案：322 8．已知一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴长，短轴长和离心率． 解析：由题意可知，椭圆的短轴长2b ＝2×2， ∴短轴长为4. 设长轴长为2a ，则有2b 2a ＝sin 30°＝12 . ∴2a ＝4b ＝8，c ＝ a 2－ b 2＝2 3. ∴e ＝ c a ＝234＝32 . ∴长轴长为8，短轴长为4，离心率为 32. ?三层练习 9．已知圆柱底面半径为b ，平面π与圆柱母线夹角为30°，在圆柱与平面交线上有一点P 到一准线l 1的距离是3b ，则点P 到另一准线l 2对应的焦点F 2的距离是________． 解析：依题意知，短轴长为2b ， 长轴长为2a ＝ 2b sin 30°＝4b ， ∴c ＝ a 2－ b 2＝3b . ∴e ＝3b 2b ＝32 . 设P 到F 1距离为d .则 d 3b ＝32， d ＝32 b . 又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4b ，

平面与圆锥面的截线

平面与圆锥面的截线 一、教学目标： 1. 知识与内容： （1）通过观察平面截圆锥面的情境，体会定理2 （2）利用Dandelin双球证明定理2中情况（1） （3）通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解 2. 过程与方法： 利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin两球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维，培养学生的几何直观能力，重视直觉的培养和训练，直觉用于发现，逻辑用于证明。 3. 情感态度价值观： 通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题。 二、教学重点难点 重点：（1）定理2的证明 （2）椭圆准线和离心率的探究 难点：椭圆准线和离心率的探究 三、教学过程 椭圆是生活中常见的图形，是圆锥曲线中重要的一种。生成椭圆的方法有许多，例如：（1）圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆，如图1； （2）椭圆的定义 （3）平面内到定点和定直线的距离之比等于常数(0

图1 如果用一平面去截一个正圆锥，所得截口曲线是椭圆吗？还有其他情况吗？让我们共同来探究平面与圆锥面的截线。 ()()()()()391,,.,(0).:?2 1;2; 3AD ABC BAD l AD P AD l AB AB AC l AB l BA AC απββαβ-∠=<<如图是等腰三角形底边上的高直线与相交于点且与的夹角 为试探究当与满足什么关系与或的延长线、都相交与不相交与的延长线、思考：都相交 .利用几何画板实验探索 ()391-图 ()392,:-如图可以有如下结论 ()()1,(),. ,; ,,().l AB AB AC l AB AB E AC F AEP l AB AB AC ββαβα?>>当与或的延长线、都相交时设与或的延长线交于与交于 因为是的外角所以必然有 反之当时与或的延长线、都相交 ()2,//,; ,,//,.l AB l AB l AB l AB βαβα==当与不相交时则这时有 反之当时那么与不相交 ()3,,l BA AC l BA G 当与的延长线、都相交时设与的延长线交于 ,;,APG l BA AC αβαβα?<<因为是的外角所以如果那么与的延长线、都相交 思考：39,,310.--将图中的等腰三角形拓广为圆锥直线拓广为平面则得到图 会出现哪些情况呢？ A B C P D l αβαβl C D B A P E F G ()392-

江苏省苏州市第五中学高中数学第2章平面解析几何初步复习与小结教案苏教版必修2

江苏省苏州市第五中学高中数学第 2 章平面解析几何初步复习与小 结教案苏教版必修2 教学目标： 1．复习《平面解析几何初步》的相关知识及基本应用；2．掌握典型题型及其处理方法． 教材分析及教材内容的定位：本章研究平面直角坐标系中直线与圆的有关知识以及空间直角坐标系，容，也是高考的高频考点；充分体现了高中数学的坐标法方程法的解题思想． 是高中知识的重点内教学重点： 《平面解析几何初步》的知识梳理和题型归类． 教学难点： 《平面解析几何初步》的重点题型的处理方法． 教学方法： 导学点拨法． 教学过程： 一、问题情境 1．情境； 2．问题：本章我们学了哪些内容？ 二、学生活动 1．回顾本章所学内容； 2．在教师引导下归纳本章知识结构； 3．在教师引导下做例题和习题． 三、建构数学 1．知识分析；

平 面 解 析 几 何 2.直线的方程. (1)直线方程的几种特殊形式. 直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是直线方程的特殊形式?在特殊形式中，点斜式是最基本最重要的，其余三种形式都可以由点斜式推出. 以上几种特殊形式的直线方程都有明显的几何意义，当具备这些几何条件时便能很容易的写 出其直线方程，所以在解题时要恰当地选用直线方程的形式. 一般地，已知一点，通常选择点斜式；已知斜率，选择点斜式或斜截式；已知截距或两点，选择截距式或两点式.

与直线的截距式有关的问题: ①与坐标轴围成的三角形的周长|创十|引十丁/十沪; ②直线与坐标轴围成的三角形的面积为丄I ab| ； 2 ③直线在两坐标轴上的截距相等*则i=-b或直线过原点. (2 )直线方程的一般形式. 和直线方程的特殊形式比较，直线方程的一般形式适用于任何位置的直线，特别地，当B C =0，且A丰0时，可化为x= A，它是一条与x轴垂直的直线；当A = 0且B丰0时，可 C 化为y=—B，它是一条与y轴垂直的直线. (3)直线在坐标轴上的截距. 直线的斜截式方程和截距式方程中提到的“截距”不是“距离”，“截距”可取一切实数，而 “距离”是一个非负数?如直线y = 3x—6在y轴上的截距是—6,在x轴上的截距是2. 因此，题目的条件中若出现截距相等这一条件时，应分为①零等；②非零等这两种情形进行 讨论；题目的条件中若是出现截距的绝对值相等这一条件，应分为①零等；②同号等；③异 号等这三种情形进行讨论，以防漏解. 3?两条直线的位置关系. 对于坐标平面内的任意两条直线，它们的位置关系从特殊到一般依次是重合，平行和相交，其中相交里面有一种特殊情况是垂直. 因此，教材里面首先研究了两条直线相交，进而研究 两条直线的平行和垂直，遵循了由一般到特殊的原则. 两条直线的平行和垂直，作为两条直线之间的特殊关系，对于研究其他曲线的性质，有着非常重要的作用.因此，两条直线的平行和垂直的条件要熟练掌握，并充分认识到它的地位和 作用. 4.点到直线的距离. 解析几何里所研究的曲线实际上就是点按照某种规律运动形成的轨迹，研究点的运动规律，往往要以已知的点或直线作为参照，研究动点相对于这些已知点(定点)或直线(定直线) 相对位置关系.点到直线的距离便是重要的参考量之一，在解析几何中处于重要位置起着不 可替代的作用?熟练掌握这个知识点有利于提高对今后所学有关曲线知识的理解深度. 5.圆的方程. 圆的标准方程和一般方程中都有三个独立的参数，因此，要确定一个圆必须具备三个独立的 条件，确定这三个参数的方法一般要用待定系数法. 由于圆是对称优美的图形，具有丰富的几何性质，因此，充分利用圆的几何性质可以找到更为简洁的解题方法. 直线与圆的位置关系问题在初中几何的学习中已经得出了结论，现在就是要把这些几何形式 的结论转化为代数方程的形式. 但是，在解决直线与圆的位置关系的问题的时候，还要充分 考虑圆的几何性质，以便使问题获得更快、更好的解决. 同样，在解决有关圆与圆的位置关 系的问题时，也遵循这个基本思想.