第七章非线性规划 第二节 一维搜索(1)

第一章 非线性规划理论(1)

第一章非线性规划理论（1） 第一节非线性优化规划模型及其解的概念, 第二节凸函数与凸规划, 第三节下降迭代算法 第四节一维搜索方法 第一节非线性优化规划模型及其解的概念 线性规划的目标函数和约束条件都是其自变量的线性函数，如果目标函数或约束条件中含有自变量的非线性函数，则这样的规划问题就是非线性规划。有些实际问题可以表示成线性规划，但有些实际问题则需要用非线性规划模型来表达。 例1 求，使得 （1） 该数学模型中目标函数是一个二次函数，因此它是一个非线性规划。 又如：求，使得 （2） 是一个非线性规划。 1.1 非线性规划问题的数学模型 非线性规划数学模型的一般形式为 （3） 其中是维欧氏空间中的向量（点），是目标函数，为约束条件，、都是元实函数。 说明： （1）由于我们有，当需使目标函数极大化时，只需使其负值极小化即可，因而仅考虑极小化的情况不失一般性。 （2）若某约束条件是“”不等式，仅需要在约束两端乘以“－1”，即可将这个约束变为“”。又由于约束等价于 因而我们可以将非线性规划模型写成下面的形式： （4） 或 （5） 模型中的称为非线性规划的可行域，而中的元素称为可行解。 1.2 二维问题的图解法 当只有两个决策变量时，求解非线性规划也可以像线性规划那样用图解法。 例2

解：先画出可行域 X2 A B C D O x1 可行域 等值线 最优解 画出抛物线 ， 即图中的曲线，再画出 直线，即图中的 直线，得可行域。 画出等值线 ，图中有一条等值线与抛物线 交于B点，当动点从A点出发延 抛物线移动时，动点从A移向B时，目标函数值下降，动点从B移向C 时，目标函数值上升，所以在可行域范围内B点的函数值最小，所以B 点是一个极小点。当动点由C点向D点移动时，目标函数再次下降，在D（4，1）点目标函数值最小，所以D点是最优解。 本例中，B点称为局部极小点，而D点称为全局极小点，即最小点。 1.3 非线性规划的基本概念 1.3.1关局部极小和全局极小的定义 设为定义在维欧氏空间的某一个区域上的元实函数，对于，如果存在某一个使得所有与距离小于的都有，则称为在上的局部极小点，而为局部极小值。如果当时，有，则称为在上的严格局部极小点，而为严格局部极小值。 设为定义在维欧氏空间的某一个区域上的元实函数，如果存在，对于所有，都有，则称为在上的全局极小点，而为全局极小值。如果当时，有，则称为在上的严格全局极小点，而为严格全局极小值。

斐波那契法 一维搜索方法

短后的区间不大于区间[0,10]的5% 。 解：由题意=δ5%，由斐波那契数列δ1 ≥n F ，则n=7， 00=a ，100=b 1t =0b )(0076a b F F --=2180 , 21 130)(00760'1=-+=a b F F a t , 将1t 和'1t 代入函数，比较大小有)()('11t f t f < 则有001==a a ，21801'2==t t ，21130'11==t b ，21 50)(116512=--=a b F F b t ， 将2t 和'2t 代入函数，比较大小有)()('22t f t f < , 则有012==a a ，21502'3==t t ，2180'22==t b ，21 30)(225423=--=a b F F b t ， 将3t 和'3t 代入函数，比较大小有)()('33t f t f >， 则有213033==t a ，2150'34==t t ，218023==b b ，21 60)(33433'4=-+=a b F F a t ， 将4t 和'4t 代入函数，比较大小有)()('44t f t f >， 则有215044==t a ,2160'45==t t ,218034==b b ,21 70)(44324'5=-+=a b F F a t ， 将5t 和'5t 代入函数，比较大小有)()('55t f t f >， 则有216055= =t a ，2170'56==t t ，218045==b b ， 则令105 351)21602180()01.05.0(2160))((55215'6=-?++=-++=a b F F a t ε， 将6t 和'6t 代入函数，比较大小有)()('66t f t f <， 则216056==a a ，105351'66==t b ，区间为：?? ????105351,2160 所以选择6t 为极小点，=)(6t f 89.6)2170( -=f 。

一维优化方法

一维优化方法 最优化设计数学模型中的基本概念： 1、设计变量 在机械设计中，区别不同的设计方案，通常是以一组取值不同的参数来表示。这些参 数可以是表示构件形状、大小、位置等的几何量，也可以是表示构件质量、速度、加速度、力、力矩等的物理量。在构成一项设计方案的全部参数中，可能有一部分参数根据实际情 况预先确定了数值，它们在优化设计过程中始终保持不变，这样的参数称为给定参数(或 叫预定参数)或设计常数。另一部分参数则是需要优选的参数，它们的数值在优化设计过 程中则是需要优选的参数，它们的数值在优化计算过程中是变化的，这类参数称为设计变量，它相当于数学上的独立自变量。一个优化问题如果有n个设计变量，而每个设计变量 用xi(i=1,2, ,n)表示，则可以把n个设计变量按一定的次序排列起来组成一个列阵或行 阵的转置，即写成 ??x1? x=?x? 2?=[x1,x2, ,xT ?? ?n] ?x? n? 我们把x定义为n维欧式空间的一个列向量，设计变量x1,x2, ,xn为向量x的n个 分量。以设计变量x1,x2, ,xn为坐标轴展成的空间称为n维欧式空间，用Rn表示。该空 间包含了该项设计所有可能的设计方案，且每一个设计方案就对应着设计空间上的一个设 计向量或者说一个设计点x。 2、目标函数 优化设计是在多种因素下欲寻求使设计者员满意、且适宜的一组参数。“最满意”、“最适宜”是针对某具体的设计问题，人们所追求的某一特定目标而言。在机械设计中， 人们总希望所设计的产品具有最好的使用性能、体积小、结构紧凑、重量最轻和最少的制 造成本以及最多的经济效益，即有关性能指标和经济指标方面最好。 在优化设计中，一般将所追求的目标(最优指标)用设计变量的函数形式表达，称该函 数为优化设计的目标函数。目标函数的值是评价设计方案优劣程度的标准，也可称为准则 函数。建立这个函数的过程称为建立目标函数。一般的表达式为

常用一维搜索算法

无约束优化：不对定义域或值域做任何限制的情况下，求解目标函数的最小值。 这是因为实际应用中，许多情形被抽象为函数形式后均为凸函数，对于凸函数来说局部最小值点即为全局最小值点，因此只要能求得这类函数的一个最小值点，该点一定为全局最小值。 （直接法：又称数值方法，它只需计算目标函数驻点的函数数值，而不是求其倒数，如坐标轮换法，单纯型法等。 间接法：又称解析法，是应用数学极值理论的解析方法。首先计算出目标函数的一阶或一阶、二阶导数，然后根据梯度及海赛矩阵提供的信息，构造何种算法，从而间接地求出目标函数的最优解，如牛顿法、最速下降法共轭梯度法及变尺度法。） 在优化算法中保证整体收敛的重要方法就是线搜索法与信赖域法,这两种算法既相似又有所不同。根据不同的线搜索准则就延伸出不同的线搜索算法,譬如比较常见和经典的最速下降法,牛顿法,拟牛顿法以及共辄梯度法等。 一维搜索又称线性搜索(Line Search),就是指单变量函数的最优化,它是多变量函数最优化的基础,是求解无约束非线性规划问题的基本方法之一。 一维搜索技术既可独立的用于求解单变量最优化问题,同时又是求解多变量最优化问题常用的手段,虽然求解单变量最优化问题相对比较简单,但其中也贯穿了求解最优化问题的基本思想。由于一维搜索的使用频率较高,因此努力提高求解单变量问题算法的计算效率具有重要的实际意义。 在多变量函数的最优化中,迭代格式X k+1=X k+a k d k其关键就是构造搜索方向d k和步长因子a k 设Φ(a)=f(x k+ad k) 这样从凡出发,沿搜索方向d k,确定步长因子a k,使Φ(a)<Φ(0)的问题就是关于步长因子a的一维搜索问题。其主要结构可作如下概括:首先确定包含问题最优解的搜索区间，然后采用某种分割技术或插值方法缩小这个区间，进行搜索求解。 一维搜索通常分为精确的和不精确的两类。如果求得a k使目标函数沿方向d k达到 极小,即使得f (x k+a k d k)=min f (x k+ ad k) ( a>0) 则称这样的一维搜索为最优一维搜索,或精确一维搜索,a k叫最优步长因子; 如果选取a k使目标函数f得到可接受的下降量,即使得下降量f (x k)一f (x k+a k d k)>0是用 户可接受的,则称这样的一维搜索为近似一维搜索,或不精确一维搜索,或可接受一维 搜索。 由于在实际计算中,一般做不到精确的一维搜索,实际上也没有必要做到这一点,因为精确的

第5章 一维搜索

第5章 一维搜索 §5.1 最优化算法的简单介绍 1．算法概念 在解非线性规划时，所用的计算方法，最常见的是迭代下降算法． 迭代：从一点) (k x 出发，按照某种规则A 求出后继点) 1(+k x ．用1+k 代替k ，重复以上 过程，产生点列}{) (k x 。 规则A 是在某个空间X 中点到点的映射，即对每一个X x k ∈) (，有点 X x A x k k ∈=+)() () 1(． 更一般地，把A 定义为点到集的映射，即对每个点X x k ∈) (，经A 作用，产生一个点 集X x A k ?)() (.任意选取一个点)() () 1(k k x A x ∈+，作为) (k x 的后继点． 定义1: 算法A 是定义在空间X 上的点到集映射，即对每一个点X x ∈，给定－个子集 X x A ?)(. 例1 考虑线性规划： 1 s.t. min 2 ≥x x 最优解1=x ．设计一个算法A 求出这个最优解． ???????

无约束最优化问题可以定义解集合为 }0)(|{=?=Ωx f x 约束最优化问题可以定义解集合为 }T -K 为|{点x x =Ω 2. 算法收敛问题 设Ω为解集合，X X A →:是一个算法，集合X Y ?.若以任一初点Y x ∈) 1(开始， 算法产生的序列其任一收敛子序列的极限属于Ω，则称算法映射A 在Y 上收敛． 收敛速率: 定义2: 设序列}{) (k γ 收敛于* γ，定义满足 ∞<=--≤+∞ →βγ γ γ γp k k k * ) (*) 1(lim 的非负数p 的上确界为序列}{) (k γ 的收敛级． 若序列的收敛级为p ，就称序列是p 级收敛的． 若1=p 且1<β，则称序列是以收敛比β 线性收敛的． 若1>p 或者1=p 且0=β，则称序列是超线性收敛的． 例2 序列{}10 ,<

线性规划的实际应用

线性规划的实际应用 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

线性规划的实际应用 摘要线性规划模型是科学与工程领域广泛应用的数学模型。本文应用线性规划模 型，以某水库输水管的选择为研究对象，以实现输水管的选择既能保证供水，又能使 造价最低为目标，根据水库的特点和实际运行情况，分析了其输水管选择过程中线性 规划模型的建立方法，并分别通过单纯形法和M A T L A B软件进行求解。 关键词线性规划模型单纯形法M A T L A B 一、专著背景简介 《最优化方法》介绍最优化模型的理论与计算方法，其中理论包括对偶理论、非线性规划的最优性理论、非线性半定规划的最优性理论、非线性二阶锥优化的最优性理论；计算方法包括无约束优化的线搜索方法、线性规划的单纯形方法和内点方法、非线性规划的序列二次规划方法、非线性规划的增广L ag ra ng e 方法、非线性半定规划的增广La gr an ge方法、非线性二阶锥优化的增广 La gr an ge方法以及整数规划的L ag ra n ge松弛方法。《最优化方法》注重知识的准确性、系统性和论述的完整性，是学习最优化方法的一本入门书。 最优化方法（也称做方法）是近几十年形成的，它主要运用研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种有的管理问题及其生产经营活动。最优化方法的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为的重要理论基础和的方法，被人们广泛地应用到、、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。本章将介绍最优化方法的研究对象、特点，以及最优化方法模型的建立和模型的分析、求解、应用。主要是线性规划问题的模型、求解（线性规划问题的单纯形解法）及其应用-运输问题；以及动态规划的模型、求解、应用-资源分配问题。 二、专著的主要结构内容 《最优化方法》是一本着重实际应用又有一定理论深度的最优化方法教材，内容包括线性规划、运输问题、整数规划、目标规划、非线性规划（无约束最优化与约束最优化）、动态规划等最基本、应用最广又最有代表性的最优化方

基于matlab的一维搜索

最优化理论与算法 基于matlab 的一维搜索——0.618试探法 2 m in ()21def f x x x =-- ， 初始区间11[,][1,1]a b =-,精度0.16L ≤ clc clear %设定初始值 L=0.16; k=1; b=1; a=-1; r=a+0.382*(b-a); u=a+0.618*(b-a); fr=fun(r); fu=fun(u); c=[]; while b-a>L if fr>fu a=r; b=b; r=u; u=a+0.618*(b-a); fr=fun(r); fu=fun(u); else a=a; b=u; u=r; r=a+0.382*(b-a); fr=fun(r); fu=fun(u); end k=k+1; c=[c,[a,b,r,u,fr,fu]]; end k jieguo=reshape(c,6,k)’ s=[a,b] l=b-a jieguo = -1.0000 1.0000 -0.2360 0.2360 -0.6526 -1.1246 -0.2360 1.0000 0.2360 0.5278 -1.1246 -0.9706 -0.2360 0.5278 0.0558 0.2360 -1.0496 -1.1246 0.0558 0.5278 0.2360 0.3475 -1.1246 -1.1060 0.0558 0.3475 0.1672 0.2360 -1.1113 -1.1246 0.1672 0.3475 0.2360 0.2787 -1.1246 -1.1234 0.1672 0.2787 0.2098 0.2360 -1.1218 -1.1246

一维搜索问题

优化设计方法第一次大作业（一维搜索问题） 学院：航空制造工程学院 专业名称：机械工程 班级学号： 1200852010 XX 学生姓名：吴XX 指导教师：孙XX （教授） 二O一三年四月二十八号

???? ??????? ??? ????某车间有两台机床甲和乙，可用于加工3种工件。假定这两台机床的可用台时数分别为700和800，3种工件的数量分别为300，500，和400，且已知用两台不同机床加工单位数量的不同工件所需的台时数和加工费用（如下表所示）。问怎样分配机床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使总加工费用最低。 机床加工情况表 解：设在甲机床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，在乙机床上加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6,根据3种工件的数量限制: 对工件1有：x1+x4=300 对工件2有：x2+x5=500 对工件3有：x3+x6=400 再根据机床甲和乙的可用总台时限制，可以得到其他约束条件。以总加工费用最少为目标函数，组合约束条件，可以得到下面的数学模型： Min z=13x1+9x2+10x3+11x4+12x5+8x6 x1+x4=300 x2+x5=500 x3+x6=400 0.4x1+1.1x2+x3≤700 0.5x4+1.2x5+1.3x6≤800 xi ≥0 利用MATLAB 软件中最优化工具箱可完成此模型解法。在MATLAB 软件中，新建M 文件，输入下列系数： f=[13 9 10 11 12 8]; A=[0.4 1.1 1 0 0 0;0 0 0 0.5 1.2 1.3]; b=[700;800]; Aeq=[1 0 0 1 0 0; 0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1]; beq=[300;500;400]; lb=zeros(6,1); 然后调用linprog 函数 [x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb) 运行过程与结果如下： M 文件： 机床类型 单位工作所需加工台时数 单位工件的加工费用 可用 台时数 工件1 工件2 工件3 工件1 工件2 工件3 甲 0.4 1.1 1.0 13 9 10 700 乙 0.5 1.2 1.3 11 12 8 800

三点一维搜索法报告

三点一维搜索法报告 姓名：张攀班级：2009211102 学号：09210048 算法的基本思想： 三点一维算法是从0.618法衍生而来的，0.618算法使用从两点a,b间选择两个点c,d将原来区域分为三个，抛弃不符合所求数值趋势的两个区域，不断逼近所求值，当|b-a|

实例分析： 选择函数：f[x] := Sin[x^4] + Cos[x] 该函数在[0,1]范围内有极小值，令a=0,b=1，p=0.1,e选取1*10^(-9)，运算后结果在x=0.4904089750976563时有最小值0.939949。运算次数为22次， P值选取效率的影响： 在该函数中，[0,1]内函数波动较为平缓，从中间缓慢向两边扩展显然速度较快，因为所求点接近终点，当p增大的时能很快覆盖到所求点效率将变高，如果区域远超过所求点则效率将变低。 P取值以及逼近次数i的关系: P=0.1,i=22 P=0.2,i=26 P=0.25,i=19 P=0.3,i=19 P=0.35,i=21 P=0.4,i=23 P=0.5,i=26 P=0.6,i=30 P=0.7,i=36 P=0.8,i=57 可见最好的取值应为0.25到0.3之间。 总结： 三点一维算法实际通过多次比较，减少了0.618法对点的移动，和对区域的选择，比0.618法稳定。在比较区域大时三点一维算法比起0.618法更加优秀。

线性规划问题Matlab求解

用MATLAB优化工具箱解线性规划 命令：x=linprog（c，A，b） 命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq） 注意：若没有不等式：存在，则令A=[ ]，b=[ ]. 若没有等式约束, 则令Aeq=[ ], beq=[ ].命令：[1] x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB） [2] x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB, X0） 注意：[1] 若没有等式约束, 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. [2]其中X0表示初始点 4、命令：[x,fval]=linprog(…) 返回最优解x及x处的目标函数值fval. 例1 解编写M文件小如下： c=[ ]; A=[ ; 0 0 0 0;0 0 0 0;0 0 0 0 ]; b=[850;700;100;900]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0;0;0;0;0]; vub=[]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 例2 解: 编写M文件如下： c=[6 3 4]; A=[0 1 0]; b=[50]; Aeq=[1 1 1]; beq=[120]; vlb=[30,0,20]; vub=[]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub 例3 （任务分配问题）某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。 假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、 600和500，且已知用三种不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工 费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使 加工费用最低 解设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为x1、x2、x3，在乙车床上 加工工件1、2、3的数量分别为x4、x5、x6。可建立以下线性规划模型： 编写M文件如下: f = [13 9 10 11 12 8]; A = [ 1 0 0 0 0 0 0 ]; b = [800; 900]; Aeq=[1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1]; beq=[400 600 500]; vlb = zeros(6,1); vub=[];

黄金分割法 二次插值 牛顿 matlab 程序一维搜索方法比较

一维搜索方法应用比较 一、黄金分割法 （1）黄金分割法的起源 黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为"金法"，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为"各种算法中最可宝贵的算法"。这种算法在印度称之为"三率法"或"三数法则"，也就是我们现在常说的比例方法。 其实有关"黄金分割"，我国也有记载。虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度。经考证。欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的。 因为它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的长宽设计中，采用这一比值能够引起人们的美感，在实际生活中的应用也非常广泛，建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，舞台上的报幕员并不是站在舞台的正中央，而是偏在台上一侧，以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观，声音传播的最好。就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的西方和合适的工艺条件。正因为它在建筑、文艺、工农业生产和科学实验中有着广泛而重要的应用，所以人们才珍贵地称它为"黄金分割"。我国数学家华罗庚曾致力于推广优选法中的"0.618法"，把黄金分割应用于生活实际及科学应用中。 黄金分割〔Golden Section〕是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取0.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样。 由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。 公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。 公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。 中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。 到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或0.618法，是由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。

第三章 非线性规划

第三章 非线性规划 §1 非线性规划 1.1 非线性规划的实例与定义 如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规划问题。一般说来，解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且，也不象线性规划有单纯形法这一通用方法，非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法，各个方法都有自己特定的适用范围。 下面通过实例归纳出非线性规划数学模型的一般形式，介绍有关非线性规划的基本概念。 例1 （投资决策问题）某企业有n 个项目可供选择投资，并且至少要对其中一个项目投资。已知该企业拥有总资金A 元，投资于第),,1(n i i 个项目需花资金i a 元，并预计可收益i b 元。试选择最佳投资方案。 解 设投资决策变量为 个项目 决定不投资第，个项目 决定投资第i i x i 0, 1，n i ,,1 ， 则投资总额为 n i i i x a 1 ，投资总收益为 n i i i x b 1 。因为该公司至少要对一个项目投资，并 且总的投资金额不能超过总资金A ，故有限制条件 n i i i A x a 1 另外，由于),,1(n i x i 只取值0或1，所以还有 .,,1,0)1(n i x x i i 最佳投资方案应是投资额最小而总收益最大的方案，所以这个最佳投资决策问题归结为总资金以及决策变量（取0或1）的限制条件下，极大化总收益和总投资之比。因此，其数学模型为： n i i i n i i i x a x b Q 11max s.t. n i i i A x a 1 .,,1,0)1(n i x x i i 上面例题是在一组等式或不等式的约束下，求一个函数的最大值（或最小值）问题，其中目标函数或约束条件中至少有一个非线性函数，这类问题称之为非线性规划问题，简记为（NP ）。可概括为一般形式 )(min x f q j x h j ,,1, 0)(s.t. (NP) p i x g i ,,1, 0)(

第三章 一维搜索

第三章 常用一维搜索方法 第节维搜索概述 第一节 一维搜索概述一、下降迭代算法的基本思想、下降迭代算法的基本思想 不失一般性，考虑如下的优化问题 min ()x S f x ∈ （3.1） 其中:n f S R R ?→. 下降迭代算法的的基本思想：给定一个初始点1n x R ∈，按 }k 使得当}k 是有限点列时照某种迭代规则产生一个点列{x ，使得当{x 其最后一个点是最优化问题的最优解；当{}k x 是无穷点列时，它有极限点，且其极限点是优化问题的最优解.

设已迭代到点k x 处，则下一次迭代会出现以下两种情况之一： （1） 从k x 出发沿任何方向移动，目标函数不再下降； 出发至少存在个方向使标数有所 （2）从k x 出发至少存在一个方向使目标函数()f x 有所下降.这时，从中选取一个下降方向k d ，即k d 满足 ()0k T k f x d ?<，然后在直线 k k x x d λ=+上适当的确定一个新点 1k k k k x x d λ+=+，使得1()()()k k k k k f x f x d f x λ+=+<，此时就说完成了第1k +次迭代. 基本迭代格式 1k k k k x x d λ+=+ 本代格式 k d ------搜索方向 k λ-----步长因子或搜索步长

最优化问题的求解步骤 最优化问题的求解步骤：（1）选取初始点1x ，令1k =； （2）构造搜索方向k d .依照一定的规则，构造()f x 在点 k x 处的下降方向或可行下降方向作为搜索方向k d ； （3）确定搜索步长k λ.以k x 为起点沿搜索方向k d 选取的 λ适当步长k ，使得目标函数值有某种意义的下降，通常使 ()()k k k k f x d f x λ+<. 1k +令1k k k + （4）求出新的迭代点x .令k x x d λ=+（5）检验终止条件.判定1 k x +是否满足终止条件，若满足 停止迭代输出近似最优解否则令转 停止迭代，输出近似最优解1k x +；否则，令:1k k =+，转（2）.

matlab线性规划详解

用MATLAB 优化工具箱解线性规划 命令：x=linprog （c ，A ，b ） 2、模型： beq AeqX b AX ..min =≤=t s cX z 命令：x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq ） 注意：若没有不等式：b AX ≤存在，则令A=[ ]，b=[ ]. 若没有等式约束, 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. 3、模型： VUB X VLB beq AeqX b AX ..min ≤≤=≤=t s cX z 命令：[1] x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq, VLB ，VUB ） [2] x=linprog （c ，A ，b ，Aeq,beq, VLB ，VUB, X0） 注意：[1] 若没有等式约束, 则令Aeq=[ ], beq=[ ]. [2]其中X0表示初始点 4、命令：[x,fval]=linprog(…) 返回最优解ｘ及ｘ处的目标函数值fval. 例1 max 6543216.064.072.032.028.04.0x x x x x x z +++++= 85003.003.003.001.001.001.0..654321≤+++++x x x x x x t s 70005.002.041≤+x x 10005.002.052≤+x x 90008.003.063≤+x x 6,2,10 =≥j x j 解 编写M 文件小xxgh1.m 如下： c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6]; A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08]; b=[850;700;100;900]; Aeq=[]; beq=[]; vlb=[0;0;0;0;0;0]; vub=[]; [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) min z=cX b AX t s ≤..1、模型：

一维搜索算法(二)

项目二 一维搜索算法（二） [实验目的] 编写抛物线插值法的程序。 [实验学时] 2学时 [实验准备] 1、掌握二分法的思想及迭代步骤 2、掌握抛物线插值法的思想及迭代步骤。 [实验内容及步骤] 编程解决以下问题： 1、用二分法求解 )2()(min +=t t t ?， 已知初始单谷区间]5,3[],[-=b a ，要求按精度3.0=ε，001.0=ε分别计算． 2、用抛物线插值法求解 3728)(m in 23+--=x x x x f ， 已知初始单谷区间001.0]20[][==ε，，， b a ．取初始插值点为x=1

[实验教案] 例1 用二分法求f(x)=8x^3-2*x^2-7*x+3 的局部最优解．允许误差ε=0.0001 ，初始点设区间为[0，1]． #include using namespace std; float f(float x) { return (8*x*x*x-2*x*x-7*x+3); } float f1(float x) { return (24*x*x-4*x-7); } void main() { float a=0,b=1,c,delta=0.0001; do { c=(a+b)/2; if(f1(c)>=0) { b=c; } else { a=c; } }while((b-a)/2>delta); cout<<"该问题的最优解为"<<(a+b)/2<<",最优值为"<

[例题2] 用抛物线插值法求解 30min ()32t t t t ?≥=-+， 已知初始单谷区间[0,3]．0.05ε=，取初始插值点为t=1 #include #include using namespace std; double Alpha(double x1,double x2,double x3); double faiPhi(double t); double faiPhi(double t) //求3()32x t t ?=-+ { return (t*t*t-3*t+2); } double Alpha(double x1,double x2,double x3) //求α { double x,y; x=(x2*x2-x3*x3)*faiPhi(x1)+(x3*x3-x1*x1)*faiPhi(x2)+(x1*x1-x2*x2)*faiPhi(x3); y=(x2-x3)*faiPhi(x1)+(x3-x1)*faiPhi(x2)+(x1-x2)*faiPhi(x3); return (0.5*x/y); } void main() { double a=0,b=3,t=2,Epsilon=0.05,t1; do { t1=Alpha(a,t,b); if(fabs(t-t1)t) { if(faiPhi(t1)<=faiPhi(t)) { a=t;t=t1; } else { b=t1; } } else { if(faiPhi(t1)<=faiPhi(t)) { b=t;t=t1; } else { a=t1; } } } }while(1); }

MATLAB解决一维搜索

姓名：楼金波 学号：064090316 实验二 无约束优化方法（改进的鲍威尔法） 一、实验目的 通过实验，进一步理解无约束优化的概念和各类方法的基本原理，同时锻炼学生运用理论知识解决实际问 题的能力。 本次实验重点在于学会运用通用性较强的无约束优化方法——改进的鲍威尔法，来求解实际问题。 二、实验内容 用改进的鲍威尔法编程求解下述问题： 2212min ()4(5)(6)f x x x =-+- 最优解：*[5x 6]，*()0f x = 三、实验原理 （1）鲍威尔基本算法（参见课本P83—84）。 （2）鲍威尔改进算法：在鲍威尔基本算法中，每一轮迭代都用连结始点和终点所产生出的搜索方向去替代原向量组中的第一个向量，而不管它的“好坏”，这是产生向量组线性相关的原因所在。因此在改进的算法中首先判断原向量组是否需要替换。如果需要替换，还要进一步判断原向量组中哪个向量最坏，然后再用新产生的向量替换这个最坏的向量，以保证逐次生成共轭方向。具体步骤详见课本P85。 四、实验程序（改进的鲍威尔法，精度设为J=0.005） #include "stdio.h" #include "math.h" #define J 0.005 #define M 2 #define N 100 double function(double x[][M],int i) { double s; s=4*(x[i][0]-5)*(x[i][0]-5)+(x[i][1]-6)*(x[i][1]-6); return s; } /*自定义函数1:求函数值*/ double *add(double a[][M],double b[][M],double c[][M],double d,int i) { int e,h; h=i-1; for(e=0;e

无约束线性规划问题

求解无约束最优化问题的方法主要有两类，即直接搜索法（Search method）和梯度法（Gradient method） 直接搜索法适用于目标函数高度非线性，没有导数或导数很难计算的情况，由于实际工程中很多问题都是非线性的，直接搜索法不失为一种有效的解决办法。常用的直接搜索法为单纯形法，此外还有Hooke-Jeeves搜索法、Pavell共轭方向法等，其缺点是收敛速度慢。 在函数的导数可求的情况下，梯度法是一种更优的方法，该法利用函数的梯度（一阶导数）和Hessian矩阵（二阶导数）构造算法，可以获得更快的收敛速度。函数f(x)的负梯度方向-▽f(x)即反映了函数的最大下降方向。当搜索方向取为负梯度方向时称为最速下降法。当需要最小化的函数有一狭长的谷形值域时，该法的效率很低，如Rosenbrock函数 9.2.3.2 相关函数介绍 fminunc函数 功能：求多变量无约束函数的最小值。 数学模型： 其中，x为一向量，f(x)为一函数，返回标量。 语法格式： x = fminunc(fun,x0) x = fminunc(fun,x0,options) x = fminunc(fun,x0,options,P1,P2,...) [x,fval] = fminunc(...) [x,fval,exitflag] = fminunc(...) [x,fval,exitflag,output] = fminunc(...) [x,fval,exitflag,output,grad] = fminunc(...) [x,fval,exitflag,output,grad,hessian] = fminunc(...) 描述： fminunc给定初值，求多变量标量函数的最小值。常用于无约束非线性最优化问 题。 x = fminunc(fun,x0)给定初值x0，求fun函数的局部极小点x。x0可以是标量、 向量或矩阵。 x = fminunc(fun,x0,options)用options参数中指定的优化参数进行最小化。 x = fminunc(fun,x0,options,P1,P2,...)将问题参数p1、p2等直接输给目标函数fun， 将options参数设置为空矩阵，作为options参数的缺省值。 [x,fval] = fminunc(...)将解x处目标函数的值返回到fval参数中。 [x,fval,exitflag] = fminunc(...)返回exitflag值，描述函数的输出条件。 [x,fval,exitflag,output] = fminunc(...)返回包含优化信息的结构输出。 [x,fval,exitflag,output,grad] = fminunc(...)将解x处fun函数的梯度值返回到grad

一维搜索算法(一)

项目一 一维搜索算法（一） [实验目的] 编写进退法、对分法、Newton 法的程序。 [实验学时] 2学时 [实验环境] Matlab 或VC++6.0 [实验目的] 1．掌握一维收搜索中搜索区间的进退法的思想及迭代步骤； 2．掌握0.618法的思想及迭代步骤； 3．掌握Fibonaci 法的思想及迭代步骤。 [实验内容及步骤] 编程解决以下问题： 1．用进退法确定一维最优化问题 12)(min 30+-=≥t t t t ? 的搜索区间，要求选取2,1,000===αh t ． 2．用0.618法求解 12)(min 3+-=t t t ?， 已知初始单谷区间]1,0[],[=b a ，要求精度01.0=ε． 3．用Fibonaci 法求解 12)(min 3+-=t t t ?， 已知初始单谷区间]1,0[],[=b a ，要求精度01.0=ε．

[实验教案] 例1 设f(x)=x^2-2*x+4 ，试用进退法确定初始搜索区间。#include using namespace std; float f(float x) { return (x*x-2*x+4); } void main() { int k=0; float a0,h,t,aerfa,a1,a,b; cout<<"初始数据为: "; cout<<"初始点a0="; cin>>a0; cout<<"\t\t始步长h="; cin>>h; cout<<"\t\t加倍系数t="; cin>>t; do { a1=a0+h; if(f(a1)

Excel求解线性规划问题实验教程.

数学与信息科学学院 Excel求解线性规划问题实 验教程 二零一三零八月

目录 1.关于“规划求解” (1) 2.如何加载“规划求解” (2) 3.“规划求解”各参数解释和设置 (3) 4.“规划求解”的步骤 (6) 5.Excel求解线性规划问题 (8) 6.Excel求解运输问题 (14) 7.Excel求解目标规划问题 (18) 8.Excel求解整数规划问题 (22)

1.关于“规划求解” “规划求解”是Excel中的一个加载宏，借助“规划求解”，可求得工作表上某个单元格（被称为目标单元格）中公式（公式:单元格中的一系列值、单元格引用、名称或运算符的组合，可生成新的值。公式总是以等号（=）开始）的最优值。“规划求解”将对直接或间接目标单元格中公式相关联的一组单元格中的数值进行调整，最终在目标单元格公式中求得期望的结果。“规划求解”通过调整所指定的可更改的单元格（可变单元格）中的值，从目标单元格公式中求得所需的结果。在创建模型过程中，可以对“规划求解”中的可变单元格数值应用约束条件（约束条件：“规划求解”中设置的限制条件。可以将约束条件应用于可变单元格、目标单元格或其它与目标单元格直接或间接相关的单元格。而且约束条件可以引用其它影响目标单元格公式的单元格。使用“规划求解”可通过更改其它单元格来确定某个单元格的最大值或最小值。） Microsoft Excel的“规划求解”工具取自德克萨斯大学奥斯汀分校的Leon Lasdon 和克里夫兰州立大学的Allan Waren共同开发的Generalized Reduced Gradient(GRG2)非线性最优化代码。线性和整数规划问题取自Frontline Systems公司的John Watson 和Dan Fylstra提供的有界变量单纯形法和分支边界法。