解一元二次方程（配方法）
教学内容：人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第22章第2节第1课时。
一、教学目标
（一）知识目标
1、充分掌握一元二次方程降幂的实质。
2、掌握运用配方法来解一元二次方程的方法。
（二）能力目标
能熟练的根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。
（三）情感态度及价值观
通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让同学们体会转化的思想方法，获取成功的喜悦，增强学习数学的兴趣。
二、教学重点
用配方法解一元二次方程的一般步骤
三、教学难点
具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。
四、教学过程
（一）复习引入
1、复习：
解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
2、引入：
我们都知道若x2=a (a为非负数），则x叫做a的平方根，即x=±√a 。实际上，x2 =a（a为非负数)就是关于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一
元二次方程。
（二）新课探究
通过实际问题的解答，引出我们所要学习的知识点。通过问题吸引学生的注意力，引发学生思考。
问题1：美化校园，我校决定将校园中心边长为40米的正方形草坪扩为面积为2500平方米的正方形，请同学们计算一下边长应该增加多少？
解：设边长应增加x米，根据题意可列方程_________________________________
同学们思考，怎样解这个方程？
①x2=9 ②x2=6 ③(x+3)2=1
小结：
通过学习，总结以上各题的特点：1.如果一个一元二次方程一边是____________________
另一边是_____________________________就可以用开平方法求解。
用直接开平方法解一元二次方程，实质是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元二次方程来求方程的根。
问题2：
1.观察方程：x2+10x+25=26，左边可以变成______________,原方程变成__________,用开平方法解这个方程。
2.观察方程x2+10x=1,它与上述方程有哪些相同和不同?怎样变化就可以得到方程一的形式
3.总结上述方程解法中，关键是哪一步？具体做法是什么？
__________________________________________________________
4、配方法解一元二次方程
（1）定义：通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法。
（2）配方法解一元二次方程一般步骤：
一化：先将常数移到方程右边，后将二次项系数化为1
二配：方程左右两端都加上一次项系数一半的平方
三式：将方程左边化为一个含有未知数的完全平方式
四开：直接开平方
五写：写出方程的解
（三）应用举例
例1 用配方法解下列方程：
（1） x2-3x-2=0 （2）2x2-3x-6=0
解：（1）移项 x2-3x=2
配方 x2-3x+（3/2）2=2+（3/2）2
（x-3/2）2=17/4
x-3/2=±√17/2
x1= 3/2+√17/2 ， x2=3/2-√17/2
(2) 将二次项系数化为1
x2-3/2x-3=0
x2-3/2x=3
x2-3/2x+（3/4）2=3+（3/4）2
（x-3/4）2=57/16
x-3/4=±√57/4
x1= 3/4+√57/4 ， x2=3/4-√57/4
（四）反馈练习
观察下列用配方法解方程2x2-4x+1=0的两种解答是否正确，若不正确请你
写出正确的解答。
解:（1）配方 2x2-4x+4-4=1，即（2x-2）2=5
所以，2x-2= √5或2x-2= -√5
所以， x1= 1+ √5 /2， x2=1- √5 /2
（2）系数化为1 x2-2x=1/2
配方 x2-2x+1=1/2 即（x-1）2=1/2
所以 x-1=√2 /2或x-1=-√2 /2
五.能力提升：
1.用配方法解方程x(2x-1)=3
2.实际应用：当x取何值时，2x2-3x+1的值等于
3.
2、如果P与ｑ都是常数，且P2≥4ｑ,你会用配方法解关于x 的一元二次方程x2+Px+ｑ=0吗？试一试。
六、课堂小结
1、本节课主要学习了用配方法解一元二次方程，其中运用到了解一元一次方程，二次根式等方面的知识。
2、重点理解和掌握配方法解一元二次方程一般步骤并会运用配方法解一元二次方程。
七、布置作业。
作业：必做题：教材p36（6） p39 2题的（5）（6）
选作题：若实数x满足条件（x2+4x-5）2+∣x2-x-30 ∣=0，求代数式√（x+2)2+ √(x-1)2的值
八、教学反思
一方面方面：学生上课还是比较感兴趣，比较容易掌握知道要点，在练习中均能完成老师布置的任务，
另一方面：教学方法还的切实可行的，大部分学生基本上了解了老师的思路和方法，达到了教学目的和要求，教学效果比较好。
解一元二次方程练习题(配方法) 1．用适当的数填空： ①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2； ③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2 2．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 3．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 4．把方程x 2+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 5．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ．6．用配方法解下列方程： （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2 -x-4=0 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662 =--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 4、01322=-+x x 5、07232=-+x x 6、01842 =+--x x 7.用直接开平方法解下列一元二次方程。 1、0142 =-x 2、2)3(2=-x 3、()512 =-x 4、()162812 =-x 8.用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232 =- 3、9642=-x x 2 2 2
第二章一元二次方程 1 认识一元二次方程 第1课时一元二次方程的定义 【知识与技能】 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识. 【过程与方法】 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系. 【情感态度】 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 【教学重点】 一元二次方程的概念. 【教学难点】 如何把实际问题转化为数学方程. 一、情境导入,初步认识 问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？ 你能设出未知数，列出相应的方程吗？ 【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫. 二、思考探究，获取新知
你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？ （1）(100-2x)(50-2x)＝3600 （2）（x+6）2+72=102 【教学说明】 分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2. 【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0） 这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 活动中教师应重点关注： (1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点； (2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义； (3)强调定义中体现的3个特征： ①整式；②一元；③2次. 【教学说明】 让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的. 三、运用新知，深化理解 1.下列方程是一元二次方程的有. （1）x2+1/x-5=0（2）x2-3xy+7=0 （3）=4（4）m3-2m+3=0 x2-5=0（6）ax2-bx=4 （5） 2 解答：（5） 2.已知方程（m+2）x2+（m+1）x-m=0，当m满足_______时，它是一元一次方程；当m满足_______时，它是一元二次方程. 解析：当m+2=0，即m=-2时，方程是一元一次方程；当m+2≠0，即m≠
《一元二次方程》教学设计 四川省旺苍县英萃中学校何剑 教学目标： 1、知识与技能目标 （1）通过对实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义，通过观察、归纳一元二次方程的概念。 （2）能对具体情景中的数学信息作出合理的解释，能用方程来描述和刻画事物间的等量关系。 2、过程与方法目标 体验数学与日常生活密切相关的联系，认识到许多问题可以用数学方法解决，体验实际问题“数学化”的过程。 3、情感态度与价值观 体会在解决问题的过程中同学间合作交流的重要性，体验数学活动的成功经验，激发学生的学习激情。 教学重点： 1、理解什么是一元二次方程，以及一元二次方程的有关概念。 2、经历探索等量关系式，列方程的过程。 教学难点： 分析与确定问题中的等量关系，能用方程来描述和刻画事物间的等量关系。 教学方法与教学手段 互动式、合作探究；投影仪
教学过程： 一、情景导入，回顾概念 1、求课桌的长和宽 教师利用投影仪向学生展示：你的课桌面积为0.24m 2,已知长比宽多20cm ，求课桌的长和宽是多少？ 学生根据老师给出的信息，寻找正确答案。 老师提问：你是怎样求出课桌的长和宽的？ 运用方程： 设课桌的宽为xm ，长比宽多0.2m ，则长应为(x+0.2)m ，要求课桌的面积，就要用到矩形面积公式：长×宽＝面积，就可以得到方程：x(x+0.2)=0.24，解出方程就可以求得宽。 2、求握手的人数。 游戏：请4个同学上讲台，每两人握一次手，看一共要握多少次手。 学生根据握手的次数，很容易得到答案是6次。 变式训练：一个小组的女生，每两人握一次手，共握了15次，求这个小组有女生多少人。 运用方程：设有x 个女生，每个女生要与其他剩下的(x-1)个女生握手，所以一共要握x(x-1)次，由于甲和乙握手后就不再需要乙和甲握手，所以共握手次数应为)1(2 1-x x 次，则方程为： 15)1(21=-x x ，整理得302=-x x 解出方程便得到女生人数。 请学生回顾：什么是一元二次方程。
- 1 - 解一元二次方程练习题(配方法) 步骤：（1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 1．用适当的数填空： ①x 2+6x+ =（x+ ）2；② x 2－5x+ =（x － ）2； ③x 2 + x+ =（x+ ）2 ；④ x 2 －9x+ =（x － ）2 2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若 x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则 m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ） A ．（a-2）2+1 B ．（a+2）2-1 C ．（a+2）2+1 D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ） A ．2 B ．-2 C ． D ． 9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ） A ．总不小于2 B ．总不小于7 C ．可为任何实数 D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程： （1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2-x-4=0 （5）6x 2-7x+1=0 （6）4x 2-3x=52 11.用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ；（2）求-3x 2+5x+1的最大值。 12．将二次三项式4x 2－4x+1配方后得（ ） A ．（2x －2）2+3 B ．（2x －2）2－3 C ．（2x+2）2 D ．（x+2）2－3 13．已知x 2－8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式， 其中正确的是（ ） A ．x 2－8x+（－4）2=31 B ．x 2－8x+（－4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2－4x+4=－11 14．已知一元二次方程x 2－4x+1+m=5请你选取一个适当的m 的值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程。 （1）你选的m 的值是 ；（2）解这个方程． 15．如果x 2－4x+y 2 ，求（xy ）z 的值
配方法解一元二次方程的教案 教学内容：本节内容是：人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册第22章第2节第1课时。 一、教学目标 （一）知识目标 1、理解求解一元二次方程的实质。 2、掌握解一元二次方程的配方法。 （二）能力目标 1、体会数学的转化思想。 2、能根据配方法解一元二次方程的一般步骤解一元二次方程。 （三）情感态度及价值观 通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们学习数学的兴趣。 二、教学重点 配方法解一元二次方程的一般步骤 三、教学难点 具体用配方法的一般步骤解一元二次方程。 四、知识考点 运用配方法解一元二次方程。 五、教学过程 （一）复习引入 1、复习：
解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。 2、引入： 二次根式的意义：若x2=a (a为非负数），则x叫做a的平方根，即x=±√a 。实际上，x2 =a（a为非负数)就是关于x的一元二次方程，求x的平方根就是解一元二次方程。 （二）新课探究 通过实际问题的解答，引出我们所要学习的知识点。通过问题吸引学生的注意力，引发学生思考。 问题1： 一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2李林用这桶油漆刚好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 问题1重在引出用直接开平方法解一元二次方程。这一问题学生可通过“平方根的意义”的讲解过程具体的解答出来， 具体解题步骤： 解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为6x2dm2 列出方程：60x2=1500 x2=25 x=±5 因为x为棱长不能为负值，所以x=5 即：正方体的棱长为5dm。 1、用直接开平方法解一元二次方程
《一元二次方程》 2.1一元二次方程教学设计 一、内容和内容解析 （1）内容：一元二次方程的概念, 一元二次方程的一般形式 （2）内容解析：一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数以及高次方程等知识的基础。初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。 二、目标和目标解析 （1）目标：理解一元二次方程的概念；了解一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。（2）目标解析： 1．通过实际问题的解决，让学生体会到未知数相乘（或因面积问题）导致方程的次数升高，从而说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性． 2．将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念。学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件． 三、学情分析 教学对象是九年级学生，他们有强烈的好奇心和求知欲，当他们在解决实际问题时，发现列出的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想需要进一步研究和探索有关方程的问题。而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了一元一次方程及相关概念、整式、分式、二次根式。这就为我们继续研究一元二次方程奠定了基础。 四、教学问题诊断分析
! 解一元二次方程配方法练习题 1．用适当的数填空： ①、x2+6x+ =（x+ ）2； ②、x2－5x+ =（x－）2； ③、x2+ x+ =（x+ ）2； ④、x2－9x+ =（x－）2 2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______． ! 4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（） A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（） A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x配方，得（） A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（） 【 A．2．-2．． 9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（） A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数 D．可能为负数 10．用配方法解下列方程： （1）3x2-5x=2．（2）x2+8x=9 #
（3）x 2+12x-15=0 （4）4 1 x 2 -x-4=0 11.用配方法求解下列问题 （1）求2x 2-7x+2的最小值 ； ? （2）求-3x2+5x+1的最大值。 12. 用配方法证明： （1）21a a -+的值恒为正； （2）2982x x -+-的值恒小于0． | 13. 某企业的年产值在两年内从1000万元增加到1210万元，求平均每年增长百分率． \
配方法解一元二次方程 教学目标 1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题． 2、通过复习可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤． 重点：讲清“直接降次有困难”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． 【课前预习】 导学过程 阅读教材部分，完成以下问题 解下列方程 （1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9 填空： （1）x2+6x+______=（x+______）2；（2）x2-x+_____=（x-_____）2 （3）4x2+4x+_____=（2x+______）2．（4）x2-x+_____=（x-_____）2 问题：要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少？
思考？ 1、以上解法中，为什么在方程x 2+6x=16两边加9？加其他数行吗？ 2、什么叫配方法？ 3、配方法的目的是什么？ 这也是配方法的基本 4、配方法的关键是什么？ 用配方法解下列关于x 的方程 （1）2x 2-4x-8=0 （2）x 2-4x+2=0 （3）x 2-21x-1=0 （4）2x 2+2=5 总结：用配方法解一元二次方程的步骤： 【课堂活动】 活动1、预习反馈 活动2、例习题分析 例1用配方法解下列关于x 的方程： （1）x 2-8x+1=0 （2）2x 2+1=3x （3）3x 2-6x+4=0
学生姓名：闫鹏飞郭 新 教师姓名：李双虎授课日期：7月27日授课科目：数学授课时间：8:30 第几课时：第十八课时 本 次 授 课 内 容 及 授 课 目 标 （教师填写）教学目标：了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次 ──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方 法；应用熟练掌握以上知识解决问题． 教学重点：一元二次方程及其它有关的概念． 教学难点：一元二次方程配方法解题．用公式法解一元二次方程时的讨论． 教学过程： 1、1、）长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，?那么门的高和宽各是多 少？ 2、）如图，如果 AC CB AB AC ，那么点C叫做线段AB的黄金分割点． 3、）如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________． 整理得：_________． 3、将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系 数、一次项系数及常数项． 4.将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二 次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 5、求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元 二次方程．
新航线一线教师授课表 备注：请学生、教师根据实际情况认真填写并签字确认，我们将以此为依据，进行教学调整 学生签字： 学习管理师签字： 6、配方：填上适当的数，使下列等式成立： （1）x 2+12x+ =(x+6)2 （2）x 2―12x+ =(x ― )2 （3）x 2+8x+ =(x+ )2 从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。 7、：解方程：x 2+8x ―9=0 8、某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m 2，?上口宽比 渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m 3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 作 业 课 后 单元测试题1----8 思考题1 学生 评语
一元二次方程的解法（二）配方法—知识讲解（基础） 【学习目标】 1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 2．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能 力. 【要点梳理】 知识点一、一元二次方程的解法---配方法 1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程： 将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式： . (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 知识点二、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 【典型例题】
第1课时 21.1一元二次方程(教学设计) 课型：新授课 编制：张媚 九年级（ ）班 姓名 学习目标： 1、知识与技能： 了解一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)，应用一元二次方程概念解决一些简单问题。 2、过程与方法： 通过独立思考，小组交流，探究一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式。 3、情感与态度： 培养学生自学能力与小组合作的意识。 重点： 一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0) 难点：一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)转化。 学情分析：本节课以实际问题为例，通过自主学习，小组探究交流讨论，引出一元二次方程的概念，有利于学生感受和理解，对每个知识点，进行归纳整理，设计适当练习，加深对知识理解，发展学生的能力，突破重点，降低难点。但现有 学生运算能力较差，将一元二次方程的化为一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一定困 难，对实际问题列一元二次方程也会出现困难。 导学过程： 一、自学指导： 阅读教材第1至4页，并完成预习内容.. 问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积 为3 600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为 ，宽为 .得方程 ， 整理得 化简，得 .① 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为 设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他 个队各赛1场，所以全部比赛共 ____ 场. 列方程_ ____ = . 化简整理得 .② 知识探究 (1)方程①②中未知数的个数各是多少？ 个 (2)它们最高次数分别是几次？ 次 方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是整式，只含有 未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 的整式方程. 自学反馈 1.一元二次方程的概念. 2.一元二次方程的一般形式: 自学检测： 下列方程中哪些是一元二次方程？（看课件） 二、合作探究（例题学习） 活动1小组讨论 例1将方程3x （x －1）＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. 05212 =+-x x )(
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校
2.1.2用配方法解一元二次方程 教学目标 【知识目标】 使学生会用配方法解一元二次方程。 【技能目标】 经历列方程解决实际问题的过程，熟练地运用配方法解一元二次方程，使学生理解转化变形思想，掌握一些转化的技能。 【情感目标】 通过配方法的探索活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性。 教学重点难点 【重点】用配方法解一元二次方程 【难点】配方的过程 教法：引导、观察、归纳、探究 教具：多媒体、课件 教学过程： 一、复习回顾 上一节我们学习了配方法，首先我们回顾上一节学习的内容： 1、配方法的具体步骤是什么？ 对二次三项式ax 2+bx+c 配方的一般步骤是： (1)把ax 2+bx+c 变形为a （x 2+a b x ）+c (2)配方为：a[x 2 +a b x+(a b 2)2-224a b ]+c
(3)整理成a(x+a b 2)2+a b a c 442 的形式 议一议：配方的关键是什么？ 点拨：配方的关键是把x 2+a b x 加上一次项系数一半的平方（a b 2）2。 2、将下列各式配成完全平方式。 （1）a 2+12a+ 62 =(a+ 6 )2； （2）x 2 - x +41=(x- 2 1 )2 二、讲授新课 这一节我们就来学习一下用配方法解一元二次方程 （一） 提出问题 归纳定义 1、 提出问题 如图 现有长方形的纸片一张，长20cm ，宽14cm ，在其四个角上各剪去一个边长相等的小正方形，然后把四边折起，如果恰好能将其做成底面积是72cm 2的无盖长方体纸盒，求剪去的小正方形边长是多少？ 分析： 设剪去的小正方形的边长是xcm ，则盒子底面长方形的长是（20-2x ）cm,宽是（14-2x ）cm 。根据题意，列出方程
21.1 一元二次方程 一、教学内容：认识一元二次方程 二、教材分析： 教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法．一般形式也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果； 三、学情分析： 初中阶段是智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展。从年龄特点来看，初中学生好动、好奇、好表现，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住学生这一特点，一方面要运用直观生动的生活实例，激发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。促进学生个性发展。从认知基础上看，学生已经学习了一元一次方程、平方根、因式分解等知识，为本章的学习奠定了基础。学生在利用方程解决实际问题的过程中，会发现仅用这些知识是不能够解决的，因此迫切的需要一元二次方程这个解决问题的工具。 四、教学目标 （一）知识与技能 1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的. 2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式 3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根 （二）过程与方法 通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.
（三）情感态度价值观 通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式. 五、教学重难点 教学重点：一元二次方程的一般形式和一元二次方程的根的概念 教学难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型 六、教学方法和手段： 讲授法、练习法 七、学法指导 讲授指导 八、教学过程 一、复习引入 小学学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次 方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念. 二、探究新知 （一）探究课本问题2 分析： 1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？ 2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x 个队参赛，如何用含x 的 代数式表示全部比赛场数？ 整理所列方程后观察： 1.方程中未知数的个数和次数各是多少？ 2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？ 4x+3=0；0422=-+x x ；042=-+y x ；0350752=+-x x ；0621=-+x x
? 解一元二次方程（直接开平方法、配方法） 1. 用直接开平方法解下列方程： （1）2225x =； （2）2 1440y -=． 2. 解下列方程： （1）2 (1)9x -=； （2）2(21)3x +=； ( （3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=． 3. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2） 21(31)644 x +=； 【 （3）26(2)1x +=； （4）2 ()(00)ax c b b a -=≠，≥ … 4. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2 ． （2）223 x x - +（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2． 5. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；
2x px -+ ＝(x - 2) % 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 6. 用配方法解下列方程 1）．210x x +-= 2）．23610x x +-= 3）．21(1)2(1)02 x x ---+= ' 7. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ． 8. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= ? 9. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 10. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 11. 用配方法解方程 （1）210x x --=； （2）23920x x -+=． （ 12. 用适当的方法解方程 （1）23(1)12x +=； （2）2 410y y ++=；
配方法解一元二次方程 知识点一、配方法解一元二次方程 利用完全平方公式222 ()2a b a ab b ±=±+ 将一元二次方程一般式20ax bx c ++= 转换成2x p = 或2()x m n += 的形式。 知识点二、配方法解一元二次方程的一般步骤： ① 移项（常数项右移） ② 等式两边同除以二次项系数a (或等式两边同乘 1a ) ③ 等式两边同加2 ()2b ④ 合并成2x p = 或2()x m n += ⑤ 直接开平方法 例1：2210x x +-=（配方法） 解： 222222212210 21 1122 1111()()2424 19()416 1344 1,12x x x x x x x x x x x x +-=+=+ =++=++=+=±==-
配方法巩固练习 1. 配方 22_____(__)x x x ++=+ 228_____(__)x x x ++=+ 223-_____(-__)2x x x += 227_____(__)3 x x x ++=+ 2248_____(__)x x x ++=+ 229-18_____(__)x x x +=+ 2. 最值 已知代数式223x x ++ ，配方可得________________，代数式有_____值，最值为____ 3. 非负性 证明：2246130x y x y ++++≥ 课堂练习 一、选择题 1.用配方法解方程2 680x x --=时，配方结果正确的是（ ） A.2(3)17x -= B. 2(3)14x -= C.2(6)44x -= D. 2(3)1x -= 2.已知方程22160x x m -+= 可配方成2 (8)0x -=的形式，则m 的值为（ ） A.8 B.-8 C.±8 D.16 3.用配方法解2+410x x =的根是（ ） A.222- D,2-4.把2-1x x =配方得（ ） A.21 3()24x -= B. 2(1)2x -= C. 215()24x += D. 25(1)4 x -= 5. 已知方程240x x m -+= 可配方成2(2)0x -=的形式，则m 的值为（ ） A.2 B.4 C.±2 D.±4
八年级数学教学设计 课题：一元二次方程的解法（配方法）第1课时设计人审核人执教人教学预设时间 一、学习目标 1．正确理解并会运用配方法将形如x2＋px＋q＝0方程 变形为（x＋m）2＝n（n≥0）类型． 2.会用配方法解形如ax2＋bx＋c=0（a≠0）一元二次方程． 3．了解新、旧知识的内在联系及彼此的作用． 二、学习“三点”： 重点：用配方法解一元二次方程． 难点：正确理解把x2＋ax型的代数式配成完全平方式 易错点：忽视了二次项的系数 三、教学准备：多媒体课件 四、教学注意事项： 1、温故的针对性要强，梯度不能过大 2、重难点把握准确：二次项系数不能忽视 五、课堂流程： 第一环：温故导新 (一) 温故 1、直接开平方： 2、完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2．课前修订或操作注意事项 () 20 x a a =≥ x a =±
3、填空： 1）x2-2x+（）＝[x＋（）]2 2）x2＋6x＋（）＝[x-（）]2 （二）导新 怎样解方程， 方程如何解呢？ 第二环：自主合作新知初探 （三）指导自学 自学教材23-24页的内容（8-10分） 1、对于配方法的探索先由自主学习、小组合作、分析、 交流、总结。 2、学生自主学习例1完成解题过程 第三环：师生对话探究新知 （四）点拨拓展 1、将方程x2-2x-3=0化为（x-m）2=n的形式，指出m，n 分别是多少？ 练习：把下列方程化为（x＋m）2＝n的形式 概念点拨：通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。课前修订或操作注意事项 ()2 215 x-= 2692 x x ++=
2、例题板演，生纠错。 3、引导学生观察例题的求解过程，总结出配方法解一元二次方程的一般步骤： 1、 化二次项系数为1； 2、 移项； 3、 配方；（构建完全平方） 4、 开方。 配方的关键-----方程两边都加上一次项系数一半的平方。 4、对于x 2+ax 型的代数式，只需再加上一次项系数一半的 平方即可完成上述转化工作． （五）强化训练 教材p25练习1、2题； 归一总结： 1．本节课学习用配方法解一元二次方程，其步骤如下： （1）化二次项系数为1． （2）移项，使方程左边为二次项，一次项，右边为常数项． （3）配方．依据等式的基本性质和完全平方公式，在方程的左 右两边同时加上一次项系数一半的平方． （4）用直接开平方法求解． 配方法的关键步骤是配方．配方法是解一元二次方程的通法． 2．配方法的理论依据是完全平方公式： a 2±2a b ＋b 2＝（a ±b ）2，配方法以直接开平方法为基础 课前修订或操作 注意事项
5.1.认识二元一次方程组 教学目标： 1.知识与技能：通过实例了解一元二次方程，一元二次方程组及其解的概念，会判断一组数是不是一个二元一次方程组的解。 2教学思考：通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。. 3解决问题：培养学生能够使用数学知识解决生活实际问题的能力，同时发展学生的观察、归纳、概括的能力。 4.情感态度与价值观：激发学生的求知欲，培养他们勇于探索的精神。 教学重难点： 重点：对二元一次方程，二元一次方程组及其解的理解。 难点：二元一次方程，二元一次方程组及其解的个数。 课时安排： 一课时 教学设计 教学准备 幻灯片 教学流程 （一）复习： 1.一元一次方程的定义. 例：下例哪些方程式一元一次方程？ 2(1)35(2)16(3) 32(4)6(5) 3x x y x x xy x π=+==+==+ 注 ： 一元：一个未知数 一次：含有未知数的项的次数都是1次 整式：分母中不含字母 2.方程的解：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解 例：x=5是方程3x+5=20的解吗？为什么？ 3.方程2x+y=8是一元一次方程吗？若不是，那又什么呢？ （二）新课讲授 1、老牛与小马 分析：审题 A ：数量问题 B ： 2= -小马老牛 C ：设老牛驮了x 个包裹， 小马驮了 y 个包裹。 ）（小马 老牛121-=+
想一想 2x y -= 12(1)x y +=- 上面所列方程各含有几个未知数? 2个未知数 含有未知数的项的次数是多少? 次数是1 二元一次方程定义：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程. 判断点：1、未知数几个？ 2个 判断点：2、含未知数项的次数是几次？ 1次 判断点：3、整式 分母中不含未知数 练一练： 1.请判断下列各方程中，哪些是二元一次 方程，哪些不是？并说明理由. ()()()()21390; 232120; (3)20 1(4)315347; 62100. x y x y xy y x y a b x +-=-+=+=-=-=+= 2.如果方程12231m m n x y -+-=是二元一次方程，那么m ＝___________，n ＝______________ . 做一做 6,2x y ==适合方程 8x y +=吗?5,3x y ==呢? 4,4x y ==呢?你还能找到其他 x,y 的值适合方程8x y += 吗? 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解 例如: 6,2x y ==是方程8x y +=的一个解,记作6,2.x y =??=? 练一练： 1.在下列四组数值中，哪些是二元一次方程 31x y -=的解？ （A ） 2,3.x y =??=? （B ） 4,1.x y =??=? （C ）10,3.x y =??=? （D ）5,2.x y =-??=-?
21.2 解一元二次方程 教学目标 1. 掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本步骤和过程． 2. 了解一元二次方程求根公式的推导过程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等． 3. 了解一元二次方程的根与系数的关系． 4. 能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理． 教学重点 1. 掌握配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本步骤和过程，明确各种解法的来源和特点． 2. 一元二次方程求根公式的推导过程． 教学难点 1. 在具体问题时，如何根据方程的特点恰当选择解方程的基本方法． 2. 一元二次方程求根公式的推导过程． 课时安排 7课时． 第1课时 教学内容 21.2.1 配方法（1）． 教学目标 1．能运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 2．通过实例，合作探讨，建立数学模型，掌握直接开平方法的的基本步骤． 3．在经历用直接开平方法解一元二次方程的过程中，进一步体会化归思想． 教学重点 运用开平方法解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程，领会降次—转化的数学思想． 教学难点 通过根据平方根的意义解形如x2＝p的方程，然后知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程． 教学过程 一、导入新课 问题：一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 通过问题，导入新课的教学． 二、新课教学 1．解决问题． 学生思考、讨论，教师引导，汇报解题过程和步骤． 设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，根据一桶油漆可刷的面积，列出方程
公式法解一元二次方程 一、教学目标 （1）知识目标 1.理解求根公式的推导过程和判别公式； 2.使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程. （2）能力目标 1.通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思 想． 2．结合的使用求根公式解一元二次方程的练习，培养学生运用公式解决问题的能力，全面培养学生解方程的能力，使学生解方程的能力得到切实的提高。 (3)德育目标 让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感． 二、教学的重、难点及教学设计 （1）教学的重点 1.掌握公式法解一元二次方程的一般步骤. 2.熟练地用求根公式解一元二次方程。 （2）教学的难点： 理解求根公式的推导过程及判别公式的应用。 （3）教学设计要点 1.情境设计 上课开始，通过提问让学生回忆一元二次方程的概念及配方法解一元二次方程的一般步骤。利用昨天所学“配方法”解一元二次方程，达到“温故而知新”的目的和总结配方法的一般步骤，为下一步解一般形式的一元二次方程做准备。 然后让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 能否用配方法求出它的解？引出本节课的内容。 2.教学内容的处理 （1）回顾配方法的解题步骤，用配方法来解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。 （2）总结用公式法解一元二次方程的解题步骤，并补充理解判别公式的分类与应用。 （3）在小黑板上补充课后思考题：李强和萧晨刚学了用公式法解一元二次方程,看到一个关于x 的一元二次方程x2+(2m-1)x+(m-1)=0, 李强说:“此方程有两个不相等的实数根”,而萧晨反驳说:“不一定，根的情况跟m的值有关”.那你们认为呢?并说明理由. 3.教学方法 在教学中由特殊的解法（配方法）引导探究一般形式一元二次方程的解的形
解一元二次方程配方法练习题 1．用适当的数填空： ①、x2+6x+ =（x+ ）2； ②、x2－5x+ =（x－）2； ③、x2+ x+ =（x+ ）2； ④、x2－9x+ =（x－）2 2．将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______． 4．将一元二次方程x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，?所以方程的根为_________． 5．若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是（） A．3 B．-3 C．±3 D．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a2-4a+5变形，结果是（） A．（a-2）2+1 B．（a+2）2-1 C．（a+2）2+1 D．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x配方，得（） A．（x-2）2=7 B．（x+2）2=21 C．（x-2）2=1 D．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x2+4x=10的根为（） A．2±10B．-2±14C．-2+10D．2-10 9．不论x、y为什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（） A．总不小于2 B．总不小于7 C．可为任何实数D．可能为负数10．用配方法解下列方程： （1）3x2-5x=2．（2）x2+8x=9 （3）x2+12x-15=0 （4） 4 1 x2-x-4=0 11.用配方法求解下列问题 （1）求2x2-7x+2的最小值； （2）求-3x2+5x+1的最大值。 - 1 -
用配方法解一元二次方程练习题答案: 1．①9，3 ②2.52，2.5 ③0.52，0.5 ④4.52，4.5 2．2（x-3 4）2-49 8 3．4 4．（x-1）2=5，1±55．C 6．A 7．?C 8．B 9．A 10．（1）方程两边同时除以3，得x2-5 3x=2 3 ， 配方，得x2-5 3x+（5 6 ）2=2 3 +（5 6 ）2， 即（x-5 6）2=49 36 ，x-5 6 =±7 6 ，x=5 6 ±7 6 ． 所以x1=5 6+7 6 =2，x2=5 6 -7 6 =-1 3 ． 所以x1=2，x2=-1 3 ． （2）x1=1，x2=-9 （3）x1=-6+51，x2=-6-51； 11．（1）∵2x2-7x+2=2（x2-7 2x）+2=2（x-7 4 ）2-33 8 ≥-33 8 ， ∴最小值为-33 8 ， （2）-3x2+5x+1=-3（x-5 6）2+37 12 ≤37 12 ，? ∴最大值为37 12 ． - 2 -