有理数小结与复习
考点呈现
考点1 有理数的概念和分类
例1（2012年乐山市）如果规定收入为正，支出为负，收入500 元记作+500元，那么支出237元应记作（）
A. 500
-元 B.237
-元 C. 237元 D. 500元解析：收入和支出是一对相反意义的量，由题意，收入用“＋”号表示，那么支出应该用“－”号表示，所以支出237元应记作237
-元.故选B.
点评：本题主要考查正、负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，其中之一若用正（负）数表示，则与之相反意义的量则用负（正）数表示.．
例2（2012年广元市）在－1，0，1，2这四个数中，既不是正数也不是负数的是．解析：在有理数范围内，0既不是正数也不是负数．故填0.
考点2 数轴
例3（2012年丽水市）如图1，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（）
A.-4
B. -2
C. 0
D. 4
解析：观察数轴可知，A,B两点之间相隔4个单位长度，因此若A，B表示的数的绝对值相等，则点A表示的数应为-2，点B表示的数应为2.故选B.
考点3绝对值及相反数
例4（1）（2012年株洲市）9
-的相反数是（）
A．9 B．-9 C．1
9
D．
1
9
-
（2）（2012年襄阳市）
3
4
-的绝对值是( )
A．
4
3
-B．
4
3
C．
3
4
-D．
3
4
解析：（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数.我们只需改变前面的性质符号，就会得到原数的相反数.故选A.（2）根据绝对值的概念直接写出即可，选D.
点评：正确理解相反数和绝对值的意义是解答本题的关键.
考点4 倒数
例5（2012年临沂市）
1
6
-的倒数是（）
A．6B．﹣6C．1
6
D．
1
6
-
解析：乘积是1的两个数互为倒数，因为
1 6 -
（）×（﹣6）=1，所以
1
6
-的倒数是﹣6，
故选B.
点评：根据倒数的定义解题．注意“0没有倒数”，“倒数等于本身的数是±1”.
考点5 有理数大小的比较
例6（2012年衢州市）比较大小：2
-（填“＞”、“=”或“＜“）．
-3
解析：因为3
=
-
-而3
,2
2=
3
2<所以-2>-3.故填“＞”.
点评：有理数的大小比较时，正数大于0，0大于负数，正数大于负数.两个负数，绝对值大的反而小.
例7（2012年乐山市）如图2，A，B两点在数轴上表示的数分别为a，b，下列式子成立的是（）
A．ab＞0B．a+b＜0C．（b﹣1）（a+1）＞0D．（b﹣1）（a﹣1）＞0
解析：由a，b两点在数轴上的位置可知：﹣1＜a＜0，b＞1，所以ab＜0，a+b＞0，故选项A，B错误；因为﹣1＜a＜0，b＞1，所以b﹣1＞0，a+1＞0，a﹣1＜0知选项C正确，选项D错误．故选C．
点评：本题考查数轴的特点，根据a，b两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解答此题的关键．
考点6 有理数的运算
例8（2012年南充市）计算2－（－3）的结果是（）
A．5 B．1 C．－1 D．－5
解析：将2－（－3）转化为2+（+3），再利用有理数的加法法则求出结果为5．故选A．点评：根据“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，可以将有理数减法转化为有理数的加法,然后利用加法法则进行运算.
例9 （1）（2011年常德市) 计算：17－23÷（－2）×3；
（2）（2012年金华市）计算：|﹣2|+（﹣1）2012﹣（π﹣4）0.
解析:按照先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的顺序依次进行运算.
（1）原式＝17－8÷(－2)×3
＝17－(－4)×3
＝17－(－12)＝17+12＝29 .
（2）|﹣2|+（﹣1）2012﹣（π﹣4）0=2+1﹣1=2．
点评：有理数运算是数学运算的基础，它是中考的必考题，要提高有理数计算的准确性，必须重视三点：（1）符号问题：先确定符号，再算绝对值；（2）正确的运算顺序；（3）巧用运算律，实现化难为易，提高解题的速度和准确性.
考点7 科学记数法
例10 （2012年宁波市）据宁波市统计局年报，去年我市人均生产总值为104 485元，104 485元用科学记数法表示为（）
A.1.044 85×106元
B.0.104 485×106元
C.1.044 85×105元
D.10.448 5×104元
解析：在用科学记数法a×10n表示一个数时，a的范围是1≤a<10,本题的a取1.044 85，n为整数位数减去1，整数位数为6，所以n=6-1=5.即104 485元=1.044 85×105元.故选C 点评：本题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，表示时关键要正确确定a，n的值．考点8 规律探索题
例11（2011年嘉兴市）一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图3所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）
A.2010
B.2011
C.2012
D.2013
解析:从残余的两段纸环可以看出左边纸环满足一个红黄绿蓝紫的顺序排列后,余下三个红黄绿,即蓝紫两色环被截去了;从右边残余的纸环看只有黄绿蓝紫的顺序排列了四个纸环,即少了一个红色纸环.这样可知至少少了3个纸环或5n+3.从上面的四个选项可以看出:能被5整除且余数是3的数只有2013.故选D.
点评:探究并发现图形所蕴含的规律是求解此类问题的关键.如本题中按照红黄绿蓝紫的顺序排列,5个为一循环,当然还要关心余数.如本题中比5的整数倍还要多3个.
误区点拨
误区一：绝对值问题
例1 已知51=-a ，则a 的值为（ ）
A.6
B.-4
C.6或-4
D.-6或4
错解：由51=-a ，得6,51==-a a 即.故选A.
剖析：1-a 是有理数，可能是正数，也可能是负数。所以分两种情况讨论.
正解：由51=-a ，得6,51=±=-a a 即或4-=a .故选C.
改题心得：绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数，分类讨论是解决绝对值多解问题的根本方法.
误区二：有理数的运算问题
1.符号问题处理不当
例2计算：()366543
127+???
? ??-+--
错解：原式=.783027-21-=--
剖析：错解是括号前面的符号处理不当，可以保持括号前面的负号不变，先对后面运用运算律
正解：原式=()()24243027213665364336127=--=-+--=??
? ???-?+?-- 改题心得：在去括号运算中，最容易发生符号错误，希望同学们在做相应的题目时多加小心.
2. 违背运算顺序
例3 计算：()()()510110155-?÷?
---. 错解：原式=()()()()651552110155-=??
? ??-?---=??? ??-÷?---. 剖析：错解的原因是违背了同级运算从左到右的顺序.
正解：原式=()()()30255510101
55510101
55-=--=???--=-???---.
改题心得：把握运算顺序，是正确进行有理数混合运算的关键.
图1
… …
红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 黄 绿 蓝 紫
例4 计算：()()2
22316327??? ??-÷-+-?+-.
错解：原式 =49+36-36=49.
剖析：27-误算为()4972=-，应为-49，()232-?误算为()[]()3663222=-=-?，应为,1892=?2
31??? ??-误算为61，应为91. 正解：原式 =()???
??÷-+?+-9169249=()961849?-++-=()541849-++-=-85. 例5 计算：322212???
? ??. 错解：322212???
? ??=2516414=? 剖析：没有把212
化成假分数再计算，把32的指数与底数相乘. 正解：322212???? ??=50842522532=?=???
? ??. 3.照猫画虎，套用分配律
例6. 计算：??
? ??-+÷61413112 错解：??
? ??-+÷61413112=611241123112÷-÷+÷=36+48-72=12 剖析：除法没有分配率，即a ÷ (b+c). a ÷b+a ÷c.本题正确解法应先计算括号内的，再做除法运算
正解：??
? ??-+÷61413112=??? ??-+÷12212312412=12512÷=51212?=5144 跟踪训练
1. |－2|的相反数是( )
A. －12
B. －2
C. 12
D. 2 2. 下列说法中，正确的是( )
A. 在数轴上表示－a 的点一定在原点的左边
B. 有理数a 的倒数是1a
C. 一个数的相反数一定小于或等于这个数
D. 如果一个数的绝对值等于这个数的相反数，那么这个数是负数或零
3. 已知a ，b 两数在数轴上对应的点如下图所示，下列结论正确的是（ ）
A.a b >
B.0ab <
C.0b a ->
D.0a b +>
4. 下列运算正确的是（ ）
A.-22÷(-2)2=1
B.
31128327??-=- ??? C.1
352535-÷?=- D. 133( 3.25)6 3.2532.5
44?--?=-
5.成都地铁二号线工程即将竣工，通车后与地铁一号线呈“十”字交叉，城市交通通行和转换能力将成倍增长．该工程投资预算约为930 000万元，这一数据用科学记数法表示为（ ）
A ． 59.310? 万元
B ． 69.310?万元
C ．49310?万元
D ． 60.9310?万元
6.大于311-且小于2的所有整数是 .
7. 有理数1,321,2.1,73,0,31,5.0+---
-按从小到大的顺序排列是 . 8. 计算：20122013)5()51(-?-= .
9.若,0)4(|2|4=-+-b a 那么ab 2= .
10. 观察式子：11×3＝12????1－13，13×5＝12????13－15，15×7＝12????15－17，…. 由此计算：11×3＋13×5
＋15×7＋…＋12 009×2 011
＝________. 11. 计算：
(1)－22×7－(－3)×6＋5；
(2)－14＋???
?1124－????38＋16－34×24÷5.
12. 若(a －1)2与(b ＋2)2互为相反数，求(a ＋b )2 012＋a 2 011的值．
13. 张红靠勤工俭学的收入支付上大学的费用，下表是张红一周的收支情况(收入为正，支
(1)(2)照这样计算，一个月(按30天计算)张红能有多少结余？
有理数小结与复习
跟踪训练： 1. B 2. D 3. A 4. D 5. A
6. －1,0,1
7. 73,5.0,321---2.1,1,0,31+- 8. 51
- 9.16 10. 1 0052 011
11. (1)－5； (2)524
. 12. 解：由题意，得a ＝1，b ＝－2.
原式＝[1＋(－2)]2 012＋12 011＝2.
13.解： (1)15－8＋10－12＋0－19＋20－10＋15－9＋10－11＋14－8＝7(元)；
(2)7÷7×30＝30(元)，
答：一个月张红能结余30元．
有理数知识总结 ???????? ???????????? ?????????? ???????? ?意义；科学计数法乘方运算顺序混合运算法则加、减、乘、除的运算有理数的运算近似数；精确度数的大小运用：几何意义、比较概念绝对值相反数小、利用数轴比较数的大运用：在数轴上表示数概念 数轴有关概念有理数;; 1. 相反意义的量 向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。 2. 正数和负数 像+ 2 1 ，+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。 像-5，-2.8，-4 3 等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。 【注】0既不是正数也不是负数。 3. 有理数 （1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类 1) 按有理数的定义分类 2）按正负分类 正整数 正整数 整数 0 正有理数 有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 【注】有限小数、无限循环小数也叫做分数。 4. 数轴 （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可。 2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数。 （2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
5. 相反数 （1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。 （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义） （3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 （5）数a 的相反数是—a 。 （6）多重符号化简 多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负； 如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 6. 绝对值 （1）在数轴上表示数a 的点与原点的距离，叫做数a 的绝对值。 （2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． ?? ? ??<-=>=0,0 ,00,a a a a a a （3）绝对值的主要性质 一个数的绝对值是一个非负数，即a ≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零． （4）两个相反数的绝对值相等。 （5）运用绝对值比较有理数的大小 两个负数，绝对值大的反而小. （6）比较两个负数的方法步骤是： 1）先分别求出两个负数的绝对值； 2）比较这两个绝对值的大小； 3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断． 7. 有理数的加法 （1）有理数加法法则 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 3）互为相反数的两个数相加得零。 4）一个数与0相加，仍得这个数。 （2）有理数加法的运算律 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法结合律：(a +b )+c =a +(b +c ) 8. 有理数的减法 减去一个数等于加上这个数的相反数。a -b =a +(-b ) 9. 有理数的加减混合运算 （1）省略加号和的形式：在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写。例如：把-8+（+10）+（-6）+（-4）写成省略加号和的形式为-8+10-6-4。读作“负8，正
第一章有理数 单元总结【思维导图】 【知识要点】 知识点一有理数基础概念 有理数（概念理解） 有理数的分类（两种）（见思维导图）
?数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 ?数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点） 任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。 ?数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数. ?相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数） ?绝对值 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。（互为相反数的两个数的绝对值相等。）?比较大小 （1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 （2）方法总结： 两个正数比较大小，与小学一致；正数与零比较，正数大于零；正数与负数比较，正数大于负数；负数与零比较，负数小于零；两个负数比较，绝对值大的反而小。 【典例分析】 1．x=7，则x=___7或-7____. 【解析】绝对值概念的理解。 2．按从小到大的顺序用“＜”号把下列各数连接起来：_-3<-1.6<0<1.6<3___． 1.6，﹣1.6，0，3，﹣3． 【解析】 方法一：在数轴上标出，右边的数字大于左边的。
方法二：利用绝对值比较大小（注意两个负数如何比较大小）。 3．若∣2x-4∣+(3y+9)2=0,则x+y=_____-1________ 【解析】本题考查非负数的应用及代数式的求值。根据已知条件可知，2x-4=0和3y+9=0，求得x ，y 的值。 4．当m=___-1___时，代数式3m-1与2(1-m)的值互为相反数。 【解析】本题考查相反数的概念和解一元一次方程，根据已知条件，列出方程求解即可。 知识点二 有理数的加减法 ? 有理数的加法（重点） 有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值） ◆ 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ◆ 异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ◆ 互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数） ◆ 一个数同0相加，仍得这个数。 有理数的加法运算律： ◆ 两个数相加，交换加数的位置，和不变。即a b b a +=+； ◆ 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即 ()()a b c a b c ++=++。 ? 有理数的减法 有理数的减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数。即()a b a b -=+-。 注：两个变化：减号变成加号；减数变成它的相反数。
有理数 一、学习目标： ● 理解正负数的意义，掌握有理数的概念和分类； ● 理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行有理数的运算； ● 通过熟练运用法则进行计算的同时，能根据各种运算定律进行简便运算； ● 通过本章的学习，还要学会借助数轴来理解绝对值，有理数比较大小等相关知识。 二、重点难点： ● 有理数的相关概念，如：绝对值、相反数、有效数字、科学记数法等,有理数的运算； ● 有理数运算法则尤其是加法法则的理解；有理数运算的准确性和如何选择简便方法进行简便运 算。 三、学习策略： ● 先通过知识要点的小结与典型例题练习，然后进行检测，找出漏洞，再进行针对性练习，从而达 到内容系统化和应用的灵活性。 四、知识框架： 五、知识梳理 1、知识点一：有理数的概念 （一）有理数： （1）整数与分数统称__________________ 按定义分类： _______________???????????????????? _ _ _ _ _ _ _ _ _有理数 _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 按符号分类： __________??????????????? _ _ _ _ _ _ _ _有理数零 _ _ _ _ _ _ _ _
注：①正数和零统称为_______________；②负数和零统称为_______________③正整数和零统称为_______________；④负整数和零统称为_______________. （2）认识正数与负数： ①正数：像1，1.1，17 ，2008等大于_______________的数，叫做_______________. 5 ，-2008等在正数前面加上“－”（读作负）号的数，叫__________注意：_________ ②负数：像-1，-1.1，-17 5 都大于零，___________都小于零.“0”即不是_________，也不是__________. （3）用正数、负数表示相反意义的量： 如果用正数表示某种意义的量，那么负数表示其___________意义的量，如果负数表示某种意义的量，则正数表示其___________意义的量.如：若-5米表示向东走5米，则+3米表示向____________走3米；若+6米表示上升6米，则-2米表示____________；+7C表示零上7C，-7C则表示____________ . （4）有理数“0”的作用： 作用举例 表示数的性质0是自然数、是有理数、是整数 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表 表示没有 示 表示某种状态00C表示冰点 表示正数与负数的 0非正非负，是一个中性数 界点 （二）数轴 （1）概念：规定了______________ 、______________和______________的直线 注：①______________、______________、______________称为数轴的三要素，三者缺一不可. ②单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的，后者指所取度量单位的，即是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变. （2）数轴的画法及常见错误分析 ①画一条水平的______________； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为______________： ③确定向右的方向为______________，用______________表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的要一致.
第一章有理数 1．1正数和负数(2课时) 第1课时正数和负数的概念 了解正数和负数的产生；知道什么是正数和负数；理解正负数表示的量的意义；知道0既不是正数，也不是负数． 重点 正、负数的意义． 难点 1．负数的意义． 2．具有相反意义的量． 一、新课导入 活动1：创设情境，导入新课 教师投影展示教材第2页图片，让学生体验自然数的产生，分数的产生离不开生产和生活的需要，可以让学生自由发表意见和感想． 二、推进新课 活动2：体验负数的引入的必要性 教师出示温度计： 安排三名同学进行如下活动：研究手中的温度计上刻度的确切含义，一名同学手持温度计，一名同学说出其中三个刻度，一名同学在黑板上速记． 教师根据活动情况，如果学生不能引入符号表示，教师也可参与活动，逐步引入负数．强调：0既不是正数，也不是负数． 活动3：分组活动，感受正负数的意义 各组派一名同学进行如下活动：按老师的指令表演，看哪一组获胜． 1．老师说出指令：向前2步，向后3步，向前－2步，向后－3步，学生按老师的指令表演． 2．各小组互相监督，派一名同学汇报完成的情况． 活动4：深入理解正负数的意义，提高分析解决问题的能力
师投影展示问题，讲解课本例题． 例：1.一个月内，小明体重增加2千克，小华体重减少1千克，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值． 2．某年，下列国家的商品进出口总额比上一年的变化情况是： 美国减少6.4%，德国增长1.3%， 法国减少2.4%，英国减少3.5%， 意大利增长0.2%，中国增长7.5%. 写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率． 学生讨论后解决． 活动5：练习与小结 练习：教材第3页练习． 小结：这堂课我们学习了哪些知识？你能说一说吗？ 活动6：作业 习题1.1第4，5，6，8题 本课是有理数的第一课时，引入负数是数的范围的一次重要扩充，学生头脑中关于数的结构要做重大调整(其实是一次知识的顺应过程)，而负数相对于以前的数，对学生来说显得更抽象，因此，这个概念并不是一下就能建立的．为了接受这个新的数，就必须对原有的数的结构进行整理。负数的产生主要是因为原有的数不够用了(不能正确简洁地表示数量)，书本的例子或图片中出现的负数就是让学生去感受和体验这一点． 第2课时正数、负数以及0的意义 进一步理解正、负数及0的意义，熟练掌握正负数的表示方法，会用正、负数表示具有相反意义的量． 重点 进一步理解正、负数及0表示的量的意义． 难点 理解负数及0表示的量的意义．
有理数知识点总结 0的数叫做正数。 1. 0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，一、正数和负数自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） 2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 有理数：整数和分数统称有理数。 概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。 分数：正分数、负分数统称分数。 （有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非 负整数，负整数和零统称为非正整数。 ⑵按整数、分数分类： 正有理数正整数正整数 正分数整数0 零有理数负整数 负有理数负整数分数正分数 负分数负分数 1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 三、数轴 比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 3.应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 （注意不带“+”“—”号） 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。
1.概念（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 四、相反数 两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。 3.多重符号的化简 多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数， 当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号 1.概念：乘积为1的两个数互为倒数。 （倒数是它本身的数是±1；0没有倒数） 五、倒数 2.性质若a与b互为倒数，则a·b=1；反之，若a·b=1，则a与b互为倒数。 若a与b互为负倒数，则a·b=-1；反之，若a·b= -1则a与b互为负倒数。 a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0 a = 0，|a|=0 |a|＝﹣a，则a≦0 a＜0，|a|=‐a 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 |a|≥0。几个非负数之和等 于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 七、比较大小 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 1.加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
怎样学好有理数？ 从小学到初中，由算术到代数，是中学生学习进程中一个新的转折点.代数第二章“有理数的主要内容是有理数的概念和有理数的运算.”准确理解概念，熟练掌握运算是学好这 个章的关键和主要标志. 一、要准确理解有理数的几个概念 有理数一章的主要概念有：正数和负数、相反数、倒数、绝对值、数轴.此外还有两数同号(异号)、非负数、非负整数、奇偶数，以及乘方(幂)、近似数与有效数字等概念.准确理解上述概念，是学好代数的基础.不要死背概念.要做到真正理解，才会真正使用. 1.要准确理解与使用相反数、倒数和绝对值三个重要概念 第一，掌握定义，并能根据定义准确而迅速地回答诸如下述问题： 例1 求下列各数的相反数、倒数与绝对值： 注意零没有倒数，a与-b是否有倒数要实行讨论. 第二，掌握定义的其它描述形式.诸如 设a，b是两个有理数，那么a，b互为相反数的条件是a+b=0(即a=-b)，ab互为倒数的条件是a×b=1. 第三，根据定义，掌握相反数、倒数、绝对值的一些基本性质，如 (1)正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是其自身.正数的倒数是正数，负数的倒数是负数. (2)正数或者负数的绝对值是正数，零的绝对值是零.所以： ①任何一个有理数的绝对值是非负数，如果用a表示有理数，那么必有|a|>0或|a|=0，即|a|≥0. ②非零的有理数的绝对值一定是正数，即当a≠0时，有|a|>0. 第四，善于利用数轴，直观、形象地理解相反数与绝对值这两个概念，并能熟练地对有理数大小实行比较. 2.要理解两数同号，两数异号的准确含义
“两数同号”就是两数同时为正数，或者同时为负数，“两数异号”就是有一个为正数，另一个为负数. ab两数同号的条件是a·b>0，它包含两种情况： ① a>0且b>0， ② a<0且b<0. 两数异号的条件是a·b<0，它也包含两种情况： ① a>0且b<0， ② a<0且b>0. 3.要注意某些概念的扩充 初一学生学习数，范围由非负有理数(正有理数和零)扩充到有理数，要注意小学中某些概念的相对应的扩充.如奇数和偶数这两个概念，在小学，偶数可表示为2n(n表示正整数).奇数可表示为2n-1(n表示正整数).在整数范围有：正整数包括(正)奇数和(正)偶数.中学里的整数，仍包括奇数和偶数，不过要注意：这里的奇数(2n-1)包含正奇数(1，2，3，…)与负奇数(-1，-2，-3…)两类.偶数(2n)包含正偶数(2，4，6，…)，负偶数(-2，-4，-6，…)与零三类. 二、要熟练掌握有理数的运算 中学里的有理数运算跟小学里学过的数的运算不同，它不但要求出数值的大小，而且还要确定结果的符号，掌握好有理数的运算，做到熟练而准确，是学习代数这个章的中心任务，它是学好整个代数的基础.这里关键有两条：一是掌握有理数的运算法则，二是掌握有理数的运算律. 要掌握好加、减、乘、除与乘方五种运算法则.有理数的加法法则是按两数同号、两数异号、有零三种情况分别规定的，其中异号两数相加，是难点所在，要提醒学生格外留心.要解决这个难点，就必须掌握好绝对值的概念.此外，特别是省略加号的代数和，要有准确的理解和合理运算.在实行有理数运算时，运算规律是不可少的. 例2 计算：11-39.5+10-2.5-4+19
课题：小结与思考（2） 教学目标: 1.会运用有理数的运算法则、运算律,熟练进行有理数的运算； 2.用四舍五入法,按要求(有效数字或精确度)确定运算结果； 3.会利用计算器进行有理数的简单计算和探索数的规律. 教学重点：在学生自主归纳的过程中，感受数学的整体性. 教学难点：鼓励学生主动观察、归纳，提出猜想，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略. 教学过程 一、创设情境： 这章我们学习的有理数,教材从引入负数开始,首先介绍有理数的基本概念,然后讲解了有理数的运算.通过今天的复习,相信同学们对有理数有更系统、更深刻的理解.本堂课我们将对后一部分作一具体复习. 二、探究归纳 根据知识结构复习相关的知识要点，并回答以下问题。 1．有理数的加、减、乘、除、乘方的法则各是什么？ 2．在有理数运算中，有哪些运算律？混合运算的顺序是什么？ 3．什么是科学计数法？怎样进行科学计数法？ 三、实践应用 例1 计算：
(1) 7)1.10()4 1 ()21(1.4+-+-+++ (2) )16 1(94412)81(-??÷- 例2 计算： (1) []24)2(231)5.01(1--?? --- (2) 433)2(2 .01)1.0(12323-----+--- 例3 填空： (1)504.03是由四舍五入所得的近似数，这个近似数精确到 ，有效数字是 ，用科学记数法可表示为 . (2)如果a 为有理数,那么在|a |, -|-a |， ， , -, -这几个数中,一定是非负数的是 . 例4 阅读理解 计算： 100 991321211?++?+? 解：原式= )100 1991()3121()211(-++-+- = 100 199********-++-+- = 100 9910011=- 仿照这种算法，计算101991531311?++?+? 四、交流反思
有理数混合运算法则小 结 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
有理数的加法法则（一）运算顺序： 有理数的混合运算法则大体与整数混合运算相同：先算乘方或开方,再算乘法或除法,后算加法或减法,有括号时、先算小括号里面的运算、再算中括号、然后算大括号。 （二）运算律： ①加法交换律：a＋b＝b＋a。 ②加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。 ③乘法交换律：ab＝ba。 ④乘法结合律：（ab）c＝a（bc）。 ⑤乘法对加法的分配律：a（b＋c）＝ab＋ac。 ⑵有理数的加法法则： 同号两数相加，和取相同的符号，并把绝对值相加； 绝对值不等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 一个数与零相加仍得这个数； 两个互为相反数相加和为零 ⑵有理数的减法法则： 减去一个数等于加上这个数的相反数 补充：去括号与添括号： 去括号 前面是时，去掉括号，括号内的不变。 括号前面是时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号。
法则的依据实际是注: 要注意括号前面的符号,它是后括号内各项是 否变号的依据. 去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉. 要注意,括号前面是"-"时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不 能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号. 若括号前是数字时,应利用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再,以免发生错误. 遇到多层一般由里到外,逐层去括号,也可由外到里.数"-"的个数. 3.一定要注意，若括号前面是，不能直接去除除号. 添括号法则 1.如果括号前面是或乘号,加上括号后,括号里面的符号不变。 2.如果括号前面是减号或除号,加上括号后,括号里面的符号全部改为 与其相反的符号。 3.添括号可以用去括号进行检验。 添括号时，如果括号前面是或乘号，括到括号里的各项都不变符号； 如果.括号前面是减号或除号，括到括号里的各项都改变符号。 字母公式 +b+c=a+(b+c); =a-(b+c) 2a+b+c=2a+(b+c); =a-(b+c)a+b+c=a+(b+c); =a-(b+c) ⑶有理数的乘法法则： ①?两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； ②?任何数与零相乘都得零；
有理数基础知识 正数和负数 ⒈正数和负数的概念 负数：比0小的数正数：比0大的数0既不是正数，也不是负数 注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ 3.0表示的意义 ⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人； ⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。如： 有理数 1.有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。 理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 注意：引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。 2.有理数的分类 ⑴按有理数的意义分类⑵按正、负来分 正整数正整数 整数 0 正有理数 负整数正分数 有理数有理数 0 （0不能忽视） 正分数负整数 分数负有理数 负分数负分数 总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0统称为非正整数 ③正有理数、0统称为非负有理数 ④负有理数、0统称为非正有理数
精心整理 4.有一组数：4，7，10，13,…请观察这组数的 构成规律，用你发现的规律确定 第n 个数为 ． 5.有一组数：11，20，29，38，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定 第n 个数为 ． 二、等比型数列规律 1.有一组数：1，2，4，8，16，……，请观察 这组数的构成规律，用你发现的规律 确定第8个数为 ,第n 个数为 ． 2.有一组数：1，4，16，64，……，请观察这 n 个数 n 个数 确定第8个数为 ,第n 个数为 ． 2.有一组数：2，6，12，20，30，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律 确定第8个数为 ,第n 个数为 ． 3.有一组数：1，3，6，10，15，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律 确定第8个数为 ,第n 个数为 ． 4.有一组数：0，2，6，12，20，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律 确定第8个数为 ,第n 个数为 ． 四、其它数列规律列举 1.有一组数：1，2，3，5，8，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律 确定第7个数为 , 2.有一组数：-2，3，1，4，5，…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律 确定第7个数为 , 3.观察下列面一列数：1，-2，3，-4，5，-6，…
第1个图第2个图第3个图第4个图根据你4.k 个数是5.6.第k 1.已知21==322.3,3321==…推测到位数字是；3.若11 13 a =-2014a 1.已244415+= b 2.学报?? ? ??+121 3.求1+2+22+23+…+22013的值，可令S=1+2+22+23+…+2 2013 ， 则2S=2+22+23+24+…+22013 ， 因此2S ﹣S=22013 ﹣1．仿照以上推理，计算出 1+5+52+53+…+52013 的值为： 4.研究下列算式，你会发现什么规律？ 1×3+1=22；2×4+1=32；3×5+1=42；4×6+1=52…………， （1）请用含n 的式子表示你发现的规律： ___________________. 算 1 3 + 4变式题） -3,4，关系？ (3)取每行的第10个数，计算这三个数的和． 2.观察下面一列数：1，2，3，4，5，6，7，．．．将 这列数排成下列形式： 按照上述规律排下去，那么第10行从左边第4 个数是： 八、几何图形型 1．观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第16个图形共有个★． 2.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是． 3．如图，用同样大小的黑色棋子按图所示的方 式摆图案，按照这样的规律摆下去， 第 100个图案需棋子 枚． 4．如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有个，第n 幅 图案1 图案2 图案3 ……
????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 第一章《有理数》知识点 1、具有相反意义的量 ①在实际中表示意义相反的量上升5米记为：5， -8则表示下降8米。 ②正数：大于0的数。 ③负数：在正数的前面加上“-”。 ④0既不是正数也不是负数。把正数和0统称为非负数。 ⑤有理数的分类 1、按正数与分数分 正整数 整数 0 负整数 有理数 正分数 分数 负分数 2、数轴 ①三要素：原点、正方向、单位长度。通常原点用“O”表示，向右的方向为正方向，单位长度为1. ②如何画数轴 1、画直线（一般画成水平的），定原点，标出原点“O”； 2、取原点向右的方向为正方向，并标出箭头； 3、选适当的长度为单位长度，并标出-3，-2，-1,1,2,3……各点。 ③数轴上的点与有理数： （1）数轴上的点与有理数一一对应（2）右边的数＞左边的数 3、相反数 ①只有符号不同的两个数，叫做互为相反数。0的相反数是0。
②a的相反数-a ③a与b互为相反数：a+b=0 ④a-b的相反数是：-a+b或b-a ⑤a+b的相反数是：-a-b ⑥求一个数的相反数方法：在这个数的前面加“-”号. ⑦在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 4、绝对值 一个正数的绝对值等于它本身；（1）当a是正数时，︱a︱=a； 一个负数的绝对值等于它的相反数；（2）当a是负数时，︱a︱=-a； 0的绝对值等于0。（3）当a=0时，︱a︱=0。 互为相反数的两个数的绝对值相等。 几何意义：从数轴上看，一个数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。 5、有理数的大小比较 正数大于负数，0大于负数；两个负数比较，绝对值大的的反而小。 在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 比较一群数的大小时，先将数分成三类：正数、0、负数。 6、有理数的运算 ①有理数的加法： 加法一般步骤： 1、确定符号：同号取相同的符号。 异号取绝对值大的加数的符号。 2、确定绝对值：同号将绝对值相加。 异号用较大的绝对值减去较小的绝对值。 互为相反数的两个数相加得0。一个数与0相加，仍得这个数。 用字母表示加法的交换律a+b=b+a；加法结合律a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)。 三个或三个以上有理数相加，可以写成这些数的连加式，对于连加式，根据加法
有理数的概念 本节知识点比较多，同学们要认真学习并加以总结，用自己的语言来理解部分知识是有助于我们记忆的。 二、知识要点 1、正数和负数 （1）、大于0的数叫做正数。 （2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。 （3）、数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。 （4）、在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。 2、有理数 (1)凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2。 π不是有理数； (2)有理数的分类:①???? ???????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②?????????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)自然数＜====＞0和正整数；a ＞0 ＜====＞a 是正数； a ＜0 ＜====＞a 是负数； a ≥0＜====＞a 是正数或0＜====＞a 是非负数； a ≤0＜====＞a 是负数或0＜====＞a 是非正数. 3、数轴【重点】 （1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。它满足以下要求： ① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；
②通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3… （2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 （3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。 注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。（4）、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。 4、相反数 （1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 ①注意：a-b+c的相反数是-a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b； ②相反数的商为-1； ③相反数的绝对值相等。 （2）、一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点的两侧，表示a和-a，我们说这两点关于原点对称。 （3）、a和-a互为相反数。0的相反数是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。相反数是它本身的数只有0。 （4）、在任意一个数前面添上“-”号，新的数就表示原数的相反数。 （5）、若两个数a、b互为相反数，就可以得到a+b=0；反过来若a+b=0，则a、b互为相反数。 （6）、多重符号的相乘由“-”的个数来定：若“-”的个数为偶数，相乘结果为正数；若“-“的个数为奇数，化简结果为负数。比如：-2×4×-3×-1×-5，首先由4个负号，所以最终结果是正数，再算数字相乘得到120 5、绝对值 （1）、绝对值的定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记作|a|。 （2）、正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0（或者说0的绝对值是它本身，或者说0的绝对值是它的相反数）；负数的绝对值等于它的相反数；（注意：绝对值的意义是数轴上表
5.1有理数的意义 1.什么是正数？ 大于0的数是正数，像6,2.5， 43，1.2%等数叫做正数。2.什么是负数？ 小于0的数是负数，（在正数前加上“-”号的数叫做负数），比如：-6，-2.5，-43 ，-1.2%等数。 3.0既不是正数也不是负数 4.正数和负数可以表示具有相反意义的量。比如：盈利50元记作50元，那么亏损50元记作-50元。 5.什么是有理数？ 整数和分数统称为有理数。 6.判断有理数的方法：可以写成分数形式的数都是有理数。在我们目前学过的数中，只有无限不循环小数不是有理数。 7．一般有理数有如下两种分类： （1）正整数、零、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数． 有理数正整数 整数零 负整数 正分数 分数 负分数（2） 正整数正有理数 正分数 有理数零 负整数 负有理数负分数5.2数轴 1.什么是数轴？ 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2.所有的有理数都可以用数轴上的一个点表示。数轴上表示正数的点在原点的右边，表示负数的点在原点的左边。 3.什么是互为相反数？ 只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称为这两个数互为相反数。0的相反数等于它本身。 4.如何表示一个数的相反数？ 表示一个数的相反数，可以在这个数前添加一个“-”号，比如3的相反数是-3；-3的相反数是-（-3）=3.一般地，数a 的相反数表示为-a. 5.相反数的特征： （1）一个数相反数的相反数等于这个数本身。 （2）在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。 （3）如果两个数互为相反数，它们只是符号不同，它们的和等于0. 6.带负号的不一定是负数。比如-（-2）=2是正数
有理数章节知识点归纳总结 一、基本运算和基本概念 本身之迷 ① 倒数是它本身的数是±1 ② 绝对值是它本身的数是非负数（正数和0） ③平方等于它本身的数是0，1 ④立方等于经本身的数是±1，0 ⑤偶数次幂等于本身的数是0、1 ⑥奇数次幂等于本身的数是±1，0 ⑦相反数是它本身的数是0 数之最 ①最小的正整数是 1 ②最大的负整数是-1 ③绝对值最小的数是0 ④平方最小的数是0 ⑤最小的非负数是0 ⑥最大的非正数0 ⑦没有最大和最小的有理数 ⑧没有最大的正数和最小的负数 例、填空： ①两个互为相反数的数的和是_____； ②____与它绝对值的差为0； ③ 两个互为相反数的数的商是___；(0除外) ④ ____的倒数等于它本身； ⑤____的绝对值与它本身互为相反数； ⑥ ____的平方与它的立方互为相反数； ⑦_ __的倒数与它的平方相等； ⑧____的平方是4，_____的绝对值是4； 1、（1）、___)9()6(=-++ ， （2）、___)9()6(=--+， （3）、___)9()6(=-?+， （4）、___)14()56(=-÷-， （5）、___4716=-， （6）、___46=+-， （7）、____)3(3 =-， （8）、____)2(4 =-， （9）、____24=-， （10）、____) 1(2008 =-， （11）、____)2(3 =--， （12）、___565=--， （13）、___21 3 1 =- ， （14）、___)10 3()65(=-?-， （15）、___8 325.0=÷-，（16）、____5.04 =， （17）、___55=+-， （18）、___1020=--， （19）、___)1.6()9.5(=---， （20）、___)13(0)56()7(=-÷?-?-。 （21）、2)2(-=-------------- （22）、 2 3=-------------- （23）、 2 )3 2 (-=--------------（24）、 22-=-------------- （25）、 3 2=-------------- （ 26）、 3 22 -=-------------- （27）、2009)1(-=----------- （28）、 2007 1-=------------ （ 29） ( )2 ＝16， （ 30）()()=---3 4 11 （ 31）=??-4232 （ 32）()=-??-10 2 1) 32( （ 33）=? --2 1 222 （ 34）=???? ??-2 5 522 （ 35）=???? ??? ???? ??--2 231
有理数教学反思 本课是小学数学向初中数学的一节过渡课，随着数域扩大到有理数范畴，对学生的数学思维的转变将起到重大作用。同时也为进一步阐述有理数的有关概念、运算作了铺垫，是一节非常重要的基础课、启蒙课。 本节课学习目标 1、了解正、负数是实际需要的。 2、会判断正、负数。 3、会对有理数进行分类，并解决简单的实际问题。拓展数学思维。 重点：有理数的分类。 难点：解决问题思维的全面性（正、负、零三方面）。 关键：理解有理数的分类。 方法；独立思考、小组合作学习。 本课难度不大，主要是转变学生的数学思维，由小学单一的非负数思考问题转化到正、负、零三种情况思考问题。为此本节设计了一下几个教学环节： 1、创设情境导入新课。通过生活实例列举三位奥运冠军的报道中出现的数字，结合多媒体生动形象的画面导入新课，学生根据既有的知识对数进行简单分类，同时进行民族自豪感教育。 2、综合归纳形成新知。首先通过学生自主探究明确分数可以化成有限小数或无限循环小数，反之，可以把有限小数或无限循环小
数化成分数，从而把小数分数归为分数。同时留给学生一课外问题怎样把循环小数化成分数，进一步激发学生的学习兴趣。随后给出整数、分数、有理数定义。进一步简化数的分类。并通过多媒体，把有理数的分类通过大树的形式给出，通过形象思维的方式帮助学生理解、识记。符合学生的年龄特点和接受能力。 经过上述归纳学生对有理数分类已有初步认识，通过练习强化学生对有理数的理解，通过练习中出现错误，和学生喜欢给别人挑毛病，不但激发孩子的兴趣，还自然引伸出有理数的第二种分类方法，按正、负有理数分类。提出什么时候用第一种分类，什么时候用第二种分类。通过小组合作完成。并使学生理解不管哪种分类最后都归为正整数、负整数、零、正分数、负分数这五种数。强化数学思维的转变。 3、分析探究拓展新知。通过生活实例中的数学让学生感受数学，并能解决简单的实际问题。同时加快数学思维的培养，思考问题的全面性（正、负、零三方面）。 4、小节作业巩固引伸。①学生谈本节收获，有什么新发现？知道了那些新知识？学会了做什么？②教师小结,对本节知识作系统说明。 5、激发兴趣课外拓展。能力提升促学生全面发展 本课成功之处： 1、课的设计以学生身边事出发，结合学生的年龄、认知、接受能力去设计问题，解决问题。
有理数知识点考点难点 总结归纳 Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
第一章有理数知识点总结归纳一、正数和负数? ⒈正数和负数的概念? 负数：比0小的数；正数：比0大的数。 0既不是正数，也不是负数? 注意：字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a 表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。强调：带正号的数不一定是正数，带负号的数不一定是负数。 2.具有相反意义的量? 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量.习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负. 比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃ 二、有理数? 1.有理数的概念? ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数? ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。①π
是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 2．数轴 （1）数轴的概念：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。 注意：数轴是一条向两端无限延伸的直线； 原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可； 同一数轴上的单位长度要统一； 数轴的三要素都是根据实际需要规定的。 （2）数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来。 （3）利用数轴表示两数大小 在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数； 两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。 （4）数轴上特殊的最大（小）数 最小的自然数是0，无最大的自然数； 最小的正整数是1，无最大的正整数；
小结与思考 一、基础训练 1．在有理数中，整数包括 ；分数包括 ． 2．3的相反数是 ，213 -的倒数是 ． 3．绝对值等于3的数是 ，平方为 169的数是 ． 4．长为2个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖 个整数点． 5．三峡水库设计总容量约为39 000 000 000立方米，这个总容量用科学记数法表示应为 立方米． 二、典型例题 1．计算：（1）() ()200820090.254-?- （2）22221111111123910????????--???-- ??? ??????????? 2．已知：x 是最小的正整数，y ，z 是有理数，并且有()2232y x z +++＝0，求式子2244 xy z x y +-++的值． 三、拓展提升 有若干个数，第1个数记为1a ，第2个数记为2a ，第3个数记为3a ，……，第n 个数记为n a ．若112 a =-，从第2个数起，每个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数．试求2a 、3a 、4a 的值，并推断2007a 、2008a 的值，写出推断过程．
四、课后作业 1．计算： (1) ()()2321235(5)??-÷-+-÷-?? (2) ()()()335423102---÷-+?- (3) ()244113131112244283 4??????-÷-?--+-? ? ? ??????? (4) ()()423116 430.443 46??????-?÷--?-÷--?? ????????? 2．如果()22110x y z +-++=,则345x y z yz z -+++= . 3．已知a a =-,化简2122a a ---= . 4．a 、b 为有理数,如果 a+b>0,a-b<0,ab<0,则a 0,b 0, a . 5．比较大小56- 67 -, --()6.3--????, 4102 6．若x 、y 互为相反数,p 、q 互为倒数,则代数式22x pq y -+的值是 . 7．绝对值小于126而大于26的整数共有 个. 8．有一组数：2.5，3，122 -，－1.5，0，()301-，()22-， 3.5-- (1)画出一条数轴,并用数轴上的点表示各数； (2)把这些数用“<”连接起来.